Pioneras de la ciencia (06/08): Maria Gaetana Agnesi (1718-1799) y el primer libro de Cálculo

En épocas pasadas, quienes dedicaban su vida a las ciencias solían partir de un entorno familiar acomodado. Pero a la italiana Maria Gaetana Agnesi le cayeron todos los regalos de la vida: nació en una familia acaudalada de Milán, fue muy bella a decir de sus contemporáneos, y tenía un cerebro sin parangón: a los 11 años hablaba siete idiomas, y con pocos más discutía enrevesados problemas de filosofía con los invitados que congregaba su padre, profesor de matemáticas de la Universidad de Bolonia.

Agnesi cultivó también esta disciplina, al tiempo que educaba a sus 20 hermanos y hermanastros que los tres matrimonios de su padre llegaron a reunir bajo un mismo techo.

Su principal obra

Su obra más sobresaliente fue Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana (Instituciones analíticas para el uso de la juventud italiana), un volumen publicado en 1748 en el que trataba el cálculo diferencial e integral. Las 1.000 páginas de texto y las 50 de ilustraciones resultan sin embargo muy familiares al lector moderno, reflejando el mayor mérito de Agnesi: crear el primer texto completo de Cálculo, desde el álgebra hasta las ecuaciones diferenciales. Superando además tentativas anteriores, singularmente la de L'Hopital en su libro Analyse des infiniment petits.

Entre 1750 y 1752 consta que era catedrática de matemáticas en la Universidad de Bolonia, aunque puede que de forma honorífica. En 1775 la Academia de Ciencias publica en París la edición francesa, y en 1801, dos años después de la muerte de María, se publica la inglesa.

El libro contiene su contribución más conocida, la curva llamada Bruja de Agnesi. El nombre es producto de un error de traducción: el matemático Guido Grandi había llamado a esta curva versoria, nombre en latín de la escota, un cabo empleado en las embarcaciones. Su versión en italiano era versiera, palabra que se empleaba también como apócope de avversiera, diablesa o bruja. En la edición inglesa del libro se tradujo como witch, bruja, y así ha perdurado.

La bruja de Agnesi

Hoy en día, María Gaetana es también recordada por su curva “embrujada”, pero que no se trata de ningún hechizo, ni María era una bruja.

La historia por la que la curva recibió este nombre surge de la mala traducción del término versiera, del latín vertere, que es un término naval, que identifica la cuerda o cabo que hace girar la vela. John Colson, el traductor inglés, la confundió con la palabra avversiera, que significa diablesa o bruja.

La ecuación de su curva hechizada es la siguiente

 

donde a es un parámetro (de hecho, el radio de la circunferencia inicial con la que se construye la curva). Para a = 1/2, resulta

y esta es su representación gráfica

La magia de esta curva es que aunque su contorno sea infinito, el área encerrada bajo la curva es finita y proporcional al área de un círculo; además, el volumen engendrado por la revolución de esta curva alrededor de su asíntota es cuatro veces su hipotético volumen.

La curva tiene interesantes aplicaciones en física y en estadística. Desde el punto de vista de la estadística, la distribución de Cauchy de una variable aleatoria se expresa como una curva de Agnesi. Así mismo, en la física, pueden explicarse fenómenos de resonancia atómica cuando incide radiación monocromática sobre un electrón. La intensidad de esta radiación dependerá de la longitud de onda con que incide esta luz, y la relación entre estos dos parámetros puede modelizarse mediante la bruja de Agnesi.

Últimos días

Pero a pesar de sus muchos dones, triunfos y títulos, incluido el de primera mujer catedrática de matemáticas de la historia, Agnesi no se conformó con una vida regalada. Profundamente católica, trocó su éxito por una pobreza voluntaria y una vida entregada al servicio de los pobres y los enfermos, al tiempo que estudiaba teología. Sus últimos años los pasó enclaustrada y sirviendo a los ancianos en un hospicio milanés, donde murió como una monja más, o una indigente más.

Tomado de: Open Mind 

Foro Histórico

Matemática y sus Fronteras

Mujeres y ciencia 04/08: Mary Somerville (1780-1872), creadora de la palabra "científico"

La historia de la escocesa Mary Fairfax empieza como la de tantas otras mujeres de la sociedad acomodada de su tiempo: bailes y reuniones sociales, un padre que se oponía a sus estudios y un matrimonio con un primo lejano, Samuel Greig, que también se oponía a sus estudios. Pero fue clave en su vida que su marido solo viviera tres años más, lo que le permitió al fin dedicarse a sus estudios. Y llevó sus estudios al punto de ser considerada «la reina de las ciencias del siglo XIX».

Primero llegó la geometría


El único que la comprendía, cuando era aún soltera, era su tío, el Dr. Somerville, quien la alentaba a visitar su biblioteca y a iniciarse en un autodidáctico estudio de latín.

Aunque «la reina de las ciencias» se abrazaba a la lectura y a la pintura sabía que faltaba algo en su vida; pero no lo descubriría hasta una clase de dibujo. Durante la sesión, el profesor había recurrido a la geometría para explicarle la perspectiva. Él no lo sabía, pero le había presentado al gran amor de su vida: las matemáticas.

Somerville estudiaba intensamente todas las noches cuando nadie la veía; y en poco tiempo llegaría a dominar complejos teoremas,astronomía avanzada y física.


Durante ese tiempo el Imperio británico estaba atravesando un renacimiento en el desarrollo científico, tras un gran periodo de estancamiento durante el siglo XVIII, en el que se ejercía fundamentalmente la docencia mas no la investigación.


Mary Somerville, apellido tomado de su segundo marido, fue un espíritu de su época, fue polímata: cultivó las matemáticas, la física y la astronomía. Tradujo al inglés la mecánica celeste de Laplace, quien en una ocasión le dijo que sólo había tres mujeres que entendieran su trabajo: ella, Caroline Herschel y una tal señora Greig; el francés ignoraba que la tercera también era ella. 

Obras de Mary Somerville

En sus obras predomina el deseo de contribuir a la divulgación del pensamiento científico del momento. La importancia de la versión traducida de la obra de Laplace “Mecanique Celeste” bajo el título “Mechanism of the Heavens”, fue el comienzo de una nueva era para sus contemporáneos. “The Connection of the Physichal Sciences” es un profundo ensayo filosófico, con una amplia explicación científica, acerca de los fundamentos de las fuerzas que mueven el universo. Su obra “Physical Geography” se ha utilizado durante años en las aulas inglesas, reconociendo así su calidad, su carácter innovador y su capacidad para explicar los fenómenos naturales y las relaciones entre los seres vivos. Su última obra, “Molecular and Microscopic Science” aborda el mundo microscópico en la búsqueda de explicaciones a la composición de la materia, el fenómeno del calor y los movimientos vibratorios, entre otras cuestiones.

Matemáticas sencillas

En la traducción de «Mécanique Celeste» no solo se limitaría a cambiar de idioma las teorías; sino que además añadiría un preámbulo llamado «A preliminary dissertation on the mechanism of the heavens» (Una disertación preliminar sobre el mecanismo de los cielos), un compendio de desarrollos matemáticos e ideas fundamentales de física imprescindibles para comprender la obra de Laplace. La escritora científica explicaba con mayor sencillez toda una teoría que parecía imposible de entender para las mentes más comunes. 

Nuevo matrimonio
 
En 1804 volvería a casarse con otro primo, el médico William Somerville. Él sentía una profunda admiración por su entusiasmo, por lo que se convertiría en el gran soporte de Mary. De esta manera, el camino profesional de «la reina de las ciencias» estuvo en gran medida respaldado por su esposo; quien la representaría en todos los lugares donde una mujer no era bienvenida. William se hizo socio de la Royal Society -hasta 1945 no aceptaron mujeres- para ser los ojos y los oídos de Mary; en la biblioteca copiaría a mano todos los artículos que a su mujer le resultaban relevantes para sus investigaciones.


Somerville se relacionó con algunos de los principales científicos de su tiempo. Influyó en James Clerk Maxwell y sugirió la existencia de Neptuno, que después John Couch Adams demostraría matemáticamente. Fue tutora de Ada Lovelace, la hija de Lord Byron que trabajó con Charles Babbage en sus primeras máquinas de computación.

El término "científico"

Somerville fue una de las dos primeras mujeres, junto con Caroline Herschel, en ser admitida en la Royal Astronomical Society. Hoy se la recuerda como una de las científicas más grandes de la historia; tal vez la más importante, ya que su trabajo además motivó el término por el que todos sus colegas han sido conocidos desde entonces: fue en una revisión de su obra On the Connexion of the Physical Sciences donde en 1834 William Whewell acuñó el término scientist, científico, para referirse a los que hasta entonces eran “hombres de ciencia” o “filósofos naturales”.

Con información de : Open Mind 

Divulga Mat

ABC Ciencia

Las abejas saben contar desde cero

Las abejas saben contar desde cero.

Muchos animales saben contar. Mejor dicho, muchos animales saben ordenar mentalmente cantidades diferentes, por ejemplo de comida o de otros animales con los que compiten. Su supervivencia depende de ello. Los chimpancés, en algunos casos, hacen estos cálculos más rápido que las personas. Pero son pocos los animales que empiezan a contar desde cero, o sea, los que entienden que nada tiene un valor numérico por debajo de la unidad. Al menos eso piensan los científicos, que hasta ahora solo habían identificado esta habilidad en delfines, loros, simios y en humanos mayores de cuatro años. Un estudio publicado hoy en Science demuestra que las abejas se suman a este selecto grupo.

Para poner a prueba a los insectos, varios investigadores de Australia y Francia entrenaron a dos grupos de abejas. Sobre una pantalla rotatoria, los científicos colocaron parejas de cartas blancas estampadas con dos, tres, cuatro o cinco figuras geométricas negras —como naipes—. En un grupo, las abejas recibieron una recompensa dulce al posarse sobre las cartas con el mayor número de figuras. En el otro, la recompensa estaba asociada al valor menor. Cuando los animales aprendieron las reglas del juego, los científicos introdujeron dos elementos nuevos: el naipe en blanco (cero) y el naipe de una sola figura geométrica (uno). Las abejas entrenadas para buscar los valores más pequeños fueron capaces de extrapolar la regla y volar hacia el naipe vacío en lugar del naipe con la figura. “Demuestran comprensión de que el conjunto vacío es más pequeño que el uno, lo cual es difícil para otros animales”, escriben los autores en Science, aludiendo a estudios previos con loros y chimpancés. En una ampliación del experimento, los insectos también escogieron el cero en lugar de los naipes con los que ya habían entrenado u otros con figuras geométricas nuevas.

Lea el artículo completo en: El País (España)

Argentina: investigadora ideó un libro para enseñar matemáticas con fútbol

Una materia que le ha costado a más de uno en la escuela y que podríamos entenderlo con algo tan sencillo como las reglas del fútbol, es posible gracia a un profesora santafesina.

Matemática es una asignatura obligatoria y fundamental en cualquier escuela y que se encuentra presente en nuestra vida diaria, aunque algunos no quieran admitirlo.

Muchos de nosotros hemos fallado en los cálculos, reprobamos la materia en la escuela, haciéndonos odiarla totalmente o simplemente no nos gustaba, porque parecia aburrida.

Por todo esto, una profesora tomó cartas en el asunto, para que las matemáticas puedan ser más llevaderas, entendibles y aplicables a temas generales.

Marilina Carena es licenciada en Matemáticas Aplicadas, profesora adjunta de la Facultad de Ingeniería Química de la UNL e investigadora adjunta del CONICET , que ideó un libro para enseñar matemáticas usando el futbol.

La santafesina logró relacionar temas que tiene que ver con el fútbol a operaciones matemáticas. En diálogo con Aire de Santa Fe, comentó cómo nació esta idea y en qué consiste.

“A mí sí me gustan las dos cosas, mucho. De tanto está con ambas cosas a la vez , note que tiene muchísimas cosas en común y entonces se me ocurrió en escribir algunos problemas y sus soluciones”.

Se determinó a mostrar como con la matemática se relacionaba un montón de conceptos de la escuela con temas referidos al fútbol.

“La idea es que ellos puedan, algunos conceptos que puedan trabajar en la escuela o bien, motivarlos o fijarlos a través de problemas que vengan involucrados por el lado del futbol que eso si manejan”, explicó la autora.

El libro titulado “La pelota siempre al 10” busca traducir  las cosas que vieron en la matemática al lenguaje del fútbol o al revés y ver que son la misma cosa, el mismo razonamiento.

Los temas abarcan varios niveles de la escuela secundaria para que pueden desarrollarlos y los principales destinatarios son los docentes para que una herramienta de aprendizaje.

“Es un tema que despierta pasiones para por ese lado, ver si podemos motivar un poco a los chicos a que les guste más la matemáticas”.

El libro matemático contiene más de 70 problemas resueltos y casi 30 ejercicios y será presentado oficialmente el próximo mes de agosto.

Tomado de: El aire de Santa Fe

El Litoral

"El que no sepa matemáticas va a tener un serio problema": la importancia de las habilidades matemáticas en el mundo laboral

Los estudios han vaticinado que existe una clara relación entre el éxito a la hora de dominar las matemáticas y el nivel socioeconómico alcanzado años después. Nadie entiende cuál es el mecanismo que subyace tras esta cuestión, pero las investigaciones apuntan prácticamente de forma unívoca hacia este hecho.

"Tu habilidad para comprender las matemáticas de niño determina tu trabajo y hasta tu sueldo", se aventuran algunos titulares asociados a estudios de todo tipo. Pero ¿hasta que punto podemos usar esa correlación para predecir? ¿No estaremos malinterpretando algo? Nos hemos puesto en contacto con un matemático, profesor y divulgador para intentar despejar algunas incógnitas.

"Tu sueldo depende de tu habilidad temprana con las matemáticas"

No son uno, ni dos ni tres estudios los que evidencian una relación directa entre la capacidad de comprender y dominar los conceptos matemáticos y el éxito laboral y socioeconómico en el futuro. Este concepto no es del todo nuevo. La educación por áreas siempre se ha relacionado con el factor socioeconómico de las familias. Sin embargo, para los profesores de psicología Stuart J. Ritchie y Timothy C. Bates, de la Universidad de Edimburgo, son las matemáticas las que llevan la voz cantante en esta relación.

"Independientemente de la cantidad de aptitudes que tengamos, el tiempo que pasamos en la escuela o lo inteligentes que somos, las habilidades aprendidas tienen un efecto medible en el éxito en la edad adulta", comentaba sobre este estudio Lindsay Abrams, editora de The Atlantic. En él, los investigadores apuntaban que la asociación entre las habilidades básicas de matemáticas y lectura puede correlacionarse con un aumento del salario al llegar a la mediana edad. Es más, se atrevieron a dar una cifra: nada menos que 7.750 dólares más de media anual para las personas con mejor habilidad para las matemáticas.

Lea e artículo completo en: Xakata

Emmy Noether, la fundadora del álgebra moderna

La alemana fue en 1932 la primera conferenciante plenaria en un Congreso Internacional de Matemáticos. Sesenta años más tarde fue invitada la segunda, Karen Uhlenbeck, recientemente galardonada con el Premio Abel.

El álgebra es una de las áreas fundamentales de las matemáticas, junto con el análisis, la geometría, la topología o la probabilidad. Es la disciplina que se dedica al estudio de los conjuntos (es decir, colecciones de elementos), sus operaciones y sus propiedades, y hoy en día abarca numerosos enfoques. No obstante, hasta hace poco más de un siglo, el álgebra se limitaba básicamente a resolver ecuaciones polinómicas (como 7x³ +2x² - 3x + 8 = 0). Durante los últimos 150 años el álgebra ha experimentado un desarrollo espectacular, gracias al trabajo de un buen número de matemáticos como Evariste Galois, David Hilbert, Ernst Kummer, Bernhard Riemann, Felix Klein, Paul Gordan o Richard Dedekind. Sin embargo, el impulso definitivo vino de la mano o, mejor dicho, de la mente, de una mujer: Emmy Noether.

Noether nació en 1882 en Baviera (Alemania), en el seno de una familia en la que las matemáticas estaban muy presentes: su padre, Max Noether, era profesor de la materia en la Universidad de Erlangen-Nuremberg, y la visita a su domicilio de algunos de sus colegas era habitual. Pese a ello, durante su niñez y juventud, Emmy Noether no mostró un especial interés por las ciencias. En su lugar, se dedicó principalmente al estudio de idiomas, con la idea de ser maestra en alguna escuela femenina.

En 1900 se matriculó en estudios de historia e idiomas en la Universidad de Erlangen-Nuremberg. Era una de las dos únicas mujeres entre sus casi 1000 alumnos, y para asistir a cada una de las clases necesitaba un permiso especial previo del profesor a cargo de la misma. Sin embargo, Noether fue cambiando poco a poco sus intereses. Primero, comenzó a asistir a clases de astronomía y a partir de 1904 aparece matriculada oficialmente en estudios de Matemáticas.

En 1908 defendió su tesis bajo la dirección de Paul Gordan en la llamada teoría de invariantes, que estudia objetos que quedan fijos tras aplicarles una transformación algebraica. Rápidamente Noether se convirtió en una reputada experta en este campo que en aquellos años estaba en auge ya que servía para explicar algunos aspectos matemáticos de la teoría de la relatividad de Einstein. En ese sentido, cabe destacar el Teorema de Noether, que determina la relación entre leyes de conservación físicas y los invariantes del sistema.

Lea el artículo completo en: El País (España)

La creatividad es más importante que la matemática: experta del MIT

La especialista estadounidense en Educación Jennifer Groff e investigadora del Instituto de Tecnología de Massachusetts (MIT), de Estados Unidos, hace parte de los expertos que defienden la llamada Enseñanza Basada en Competencias (EBC), que se enfoca en desarrollar habilidades y raciocinio en vez de memorización de contenido.

Para el alumno del siglo 21, habilidades como el pensamiento crítico, la colaboración y la creatividad son mucho más importantes que la enseñanza a través de fórmulas o contenido memorizado y sin contexto.

Los contenidos tradicionales como matemáticas o incluso más nuevos, como lenguaje de programación, de nada sirven si se enseñan sin aplicación en el mundo real y sin razonar.

Es lo que dice la especialista estadounidense en Educación Jennifer Groff, cofundadora del Center for Curriculum Networkign e investigadora del Instituto de Tecnología de Massachusetts (MIT), de Estados Unidos, donde lidera el desarrollo del diseño de juegos para uso en las aulas.

"No se puede enseñar fuera de contexto. Para que exista la esperanza de que al final entiendan todo lo demás (los niños) tienen que comenzar a adquirir experiencia con los problemas reales a lo largo del vida", dice.

Groff es autora de estudios sobre temas curriculares, enseñanza personalizada y sobre cómo redefinir ambientes de aprendizaje y experiencias a través de innovaciones y tecnologías educativas. El año pasado, fue nombrada una de las 100 personas más influentes en tecnología de la educación por la revista Ed Tech Digest.

La especialista también es desde 2017 directora pedagógica de Lumiar, organización de escuelas y tecnologías de aprendizaje creada en Brasil.

Groff explica por qué un número cada vez mayor de expertos defienden la llamada Enseñanza Basada en Competencias (EBC) que se enfoca en desarrollar habilidades y raciocinio en vez de memorización de contenido.

En ese sistema, los alumnos aprenden a través de la realización de proyectos, en lugar de recibir un contenido listo dividido en disciplinas. Esta enseñanza tampoco depende de materiales como libros didácticos o división de los alumnos en grados.

La metodología fue elegida como una de las más innovadoras por la OECD (Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico) en 2017 y está siendo implementada en escuelas de países como Holanda, Estados Unidos, Inglaterra y Finlandia.

A pesar de las diferencias, las escuelas que siguen el método se adaptan para no dejar de seguir las directrices obligatorias de educación de cada país.

El artículo completo en: Semana
 

El sistema de base diez y porqué contamos con los dedos

 Por J. M. Mulet

La mayoría de las culturas cuentan en base 10: tienen 10 dígitos diferentes y los combinan para describir cualquier cantidad. ¿Por qué? Para conocer la causa solo hay que mirarse las manos. 

Las matemáticas que aprendemos en el parvulario tienen una base 10. Eso quiere decir que tenemos 10 dígitos diferentes y con combinaciones de ellos describimos cualquier cantidad, agrupada siempre en decenas o en potencias de 10. Contar en base 10 no es algo nuevo ni propio de nuestra cultura. El lenguaje protoindoeuropeo que se hablaba hace alrededor de 6.000 años en algún lugar cercano al mar Negro (quizás en Anatolia o en la estepas de Ucrania, en este punto no hay consenso) ya utilizaba base 10 y de ahí pasó a la mayor parte de culturas a través del griego clásico, el latín, el sánscrito o el germánico. Pero contar de 10 en 10 es algo que se descubrió varias veces en culturas que no tenían contacto entre ellas. Otras protolenguas como el sinotibetano, la nigerocongolesa y la austranesia, que son precursoras de lenguas con millones de hablantes como el chino mandarín o el suajili también utilizan una base 10. ¿Por qué 10? En principio se podría haber elegido cualquier base. En este caso la filología nos da una idea. 

Cuando estamos en el parvulario y aprendemos a sumar, el gesto instintivo es ayudarnos con los dedos. Puesto que tenemos 10 dedos, parece lógico pensar que la mayoría de culturas utilizaron 10 dígitos por tener 10 dedos, y esto se refuerza por el hecho de que etimológicamente dígito y dedo comparten origen en la mayoría de lenguas que cuentan en base 10. Sin embargo, no siempre se elegía contar de esta forma. En algunas lenguas de Centroamérica, el Cáucaso y África Central y Occidental los números se definen en base 20. De hecho, en algunas lenguas europeas quedan rastros de una convivencia entre la base 10 y la base 20, por eso en francés la palabra para “ochenta” es quatre-vingt, es decir, cuatro veces 20, y en inglés antiguo la palabra score define una veintena. Una base 5 es infrecuente en idiomas antiguos; sin embargo, en España no nos es ajena, solo hay que pensar en la palabra lustro para definir periodos de cinco años y en el uso de los duros para definir cinco pesetas. Y de la base 15 solo nos queda una referencia: el conteo del tenis, que parece motivado por un antiguo sistema de apuestas francés, aunque hay teorías alternativas que lo relacionan con la forma en la que medimos un círculo. El origen de la base 10, 5 y 15 se relaciona también con los dedos de la mano, y hace referencia a utilizar también los dedos de los pies, una sola mano, o las dos manos y un pie (por eso la base 15 es tan rara).

Hay otras culturas que también han contado con los dedos, pero de forma diferente a como lo hacía la mayoría. Por ejemplo, el sistema de base 60 fue utilizado originalmente por los sumerios y más tarde por los babilonios, y es el origen por el que dividimos las horas en 60 minutos y los minutos en 60 segundos y por el que una circunferencia tiene 360 grados. Ese sistema deriva de otro de base 12: solo hay que ver que los babilonios dividieron el año en 12 signos zodiacales. Y aquí volvemos a tener los dedos, aunque los sumerios los utilizaban de forma diferente a los protoindoeu­ropeos. Si miramos la palma de la mano y utilizamos el dedo pulgar como puntero para contar, veremos que el resto de dedos están divididos en tres falanges cada uno. Si contamos las falanges, ya tenemos la base 12, y este parece ser el origen más probable de esta numeración. Aunque hay explicaciones alternativas, puesto que 60 se puede dividir de forma exacta entre 2, 3, 4, 5, 6, 10 y 20, lo que permite hacer diferentes agrupaciones que hoy día seguimos utilizando (las medias horas, los cuartos de hora o los 5 o 10 minutos).

Y todavía existe una tercera forma de utilizar las manos para contar. Hay unos cuantos idiomas antiguos que contaban los números de forma octonaria, en base 8. Y también contaban con la mano, con la diferencia de que, en vez de asignar cada cantidad a un dedo (base 10) o a una falange (base 12), utilizaban los huecos entre los dedos, y así salen los cuatro huecos en cada mano. Queda claro que, independientemente de nuestra cultura, todos hemos contado con los dedos.

La base está en todo el cuerpo

De los miles de idiomas que han existido, no todos se ajustan al patrón general de contar con los dedos. Por ejemplo, hay lenguas con sistemas en base 2: en este caso, las palabras para los números recuerdan a las palabras para ojos u orejas, indicando que esa parte del cuerpo fue la que más llamó la atención a sus hablantes. Pero hay más casos: la lengua salinera de los nativos de California tiene base 4, y la que se habla al sur de Nueva Guinea, base 6, aunque parece que utilizaban como patrón la forma de agrupar alimentos más que el cuerpo. Y la lengua oksapmin, de la provincia de Sandaun, en Nueva Guinea, tiene base 27 debido a que utiliza todas las partes del cuerpo contables, incluyendo dedos, ojos, brazos y hombros.
 

Tomado de: El País (España)

 

3 paradojas que les quitan el sueño a los matemáticos y filósofos

Esta oración es falsa.

Esa es una de las paradojas más populares e ilustrativas: de ser realmente falsa, lo que la oración enuncia es verdad pero si la falsedad enunciada es real, la oración no puede ser falsa.


Paradoja viene de las palabras en latín y griego que significan 'lo contrario a la opinión común' y es, según el diccionario de la Real Academia...

2. f. Hecho o expresión aparentemente contrarios a la lógica.


3. f. Ret. Empleo de expresiones o frases que encierran una aparente contradicción entre sí, como en "mira al avaro, en sus riquezas, pobre".

Las hay de varios tipos, pero lo que suelen tener en común es que nos hacen detenernos a pensar, así sea por sólo un instante, como "para llegar rápido, nada mejor que ir despacio".

Pero otras nos han acompañado durante años, a veces siglos, y en ocasiones ha impulsado importantes avances en la ciencia, la filosofía y las matemáticas.

¿Sigue siendo tu barco?

Cambio e identidad. En eso nos ha hecho reflexionar el historiador, biógrafo y filósofo moralista griego Plutarco (46 o 50-c. 120) durante casi 2.000 años con la paradoja de Teseo, el mítico rey fundador de Atenas, hijo de Etra y Eseo, o según otras leyendas, de Poseidón.

"El barco en el que Teseo y la juventud de Atenas regresaron de Creta tenía treinta remos, y fue conservado por los atenienses incluso hasta la época de Demetrio de Falero, ya que retiraron los viejos tablones a medida que se descomponían e introdujeron madera nueva y más resistente en su lugar, tanto que este barco se convirtió en un ejemplo permanente entre los filósofos, para la pregunta lógica de las cosas que crecen, un lado sostiene que el barco sigue siendo el mismo, y el otro afirma que no".

Si el barco fue conservado por los atenienses hasta la época de Demetrio de Falero, eso querría decir más o menos 300 años.

Con tantos reemplazos, ¿era la nave la misma?

E iba más allá. Si con la madera vieja construían otro barco idéntico, ¿cuál de los dos sería el original: el que tiene las tablas originales o el que ha sido restaurado?

El movimiento no existe

Para ir a cualquier lugar, tienes que recorrer primero la mitad de la distancia, luego, la mitad de la distancia que te falta por recorrer, después, la mitad de la distancia que te falta, y así hasta el infinito, así que nunca llegarás.

Esta es una de las serie de paradojas del movimiento del filósofo griego Zenón de Elea creadas para demostrar que el Universo es singular y que el cambio, incluido el movimiento, es imposible, como argumentaba su maestro Parménides.

Si te parece absurda, no estás sólo: fue rechazada durante años. 

No obstante, la matemática ofreció una solución formal en el siglo XIX que fue aceptar que 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16... suman 1. 

Aunque esa solución teórica sirvió para ciertos propósitos, no respondió a lo que pasaba en la realidad: cómo algo puede llegar a su destino. 

Eso, que entendemos intuitivamente pues lo experimentamos a diario, es más complejo y para resolverlo hubo que esperar hasta el siglo XX para valerse de teorías que mostraran que la materia, el tiempo y el espacio no son infinitamente divisibles.

La que hizo tambalear a las matemáticas

Ahora que ya calentamos motores, hablemos de una paradoja que a principios del siglo XX sacudió a la comunidad matemática, incluyendo a quien la formuló: el filósofo, matemático, lógico y escritor británico ganador del Premio Nobel de Literatura Bertrand Russell.

Russell era uno de los que estaban tratando de impulsar el logicismo, la tesis filosófica que dice que la matemática, o la mayor parte de ella, puede ser reducida a la lógica. 

Ese proyecto incluía en su base la teoría de conjuntos de Cantor-Frege. Ambos, el alemán Georg Cantor y su compatriota Gotlob Frege, daban por supuesto que todo predicado definía un conjunto. Así, el predicado "ser de oro", define el conjunto de todas las cosas que son de oro.

Suena más que evidente.

Pero, Russell descubrió que había un predicado particular que contradecía la teoría: "no pertenecerse a sí mismo"

Esa es la paradoja de Russell, y es compleja pero por suerte nos topamos con una de las explicaciones más claras, creada por M. Carmen Márquez García para un curso de SAEM Thales, Formación a Distancia a través de Internet, que aparece en este sitio web.

Supongamos que un conocido experto en obras de arte decide clasificar las pinturas del mundo en una de dos categorías mutuamente excluyentes.
Una categoría, de muy pocos cuadros, consta de todas las pinturas que incluyen una imagen de ellas mismas en la escena presentada en el lienzo. Por ejemplo, podríamos pintar un cuadro, titulado "Interior", de una habitación y su mobiliaria -colgaduras en movimiento, una estatua, un gran piano- que incluye, colgando encima del piano, una pequeña pintura del cuadro "Interior". Así, nuestro lienzo incluiría una imagen de sí mismo.

La otra categoría, mucho más corriente, constaría de todos los cuadros que no incluyen una imagen de sí mismos. Llamaremos a estos cuadros "Pinturas de Russell". La Mona Lisa, por ejemplo, es una pintura de Russell porque no tiene dentro de ella un pequeño cuadro de la Mona Lisa.

Supongamos además que nuestro experto en obras de arte monta una enorme exposición que incluye todas las pinturas de Russell del mundo. Tras ímprobos esfuerzos, los reúne y los cuelga en una sala inmensa.

Orgulloso de su hazaña, el experto encarga a una artista que pinte un cuadro de la sala y de sus contenidos.
Cuando el cuadro está terminado, la artista lo titula, con toda propiedad, "Todas las pinturas del Russell del mundo".

El galerista examina el cuadro cuidadosamente y descubre una pequeña falla: en el lienzo, junto al cuadro de la Mona Lisa hay una representación de "Todas las pinturas de Russell del mundo". Esto quiere decir que "Todas las pinturas del mundo" es un cuadro que incluye una imagen de sí mismo, y por consiguiente, no es una pintura de Russell. En consecuencia, no pertenece a la exposición y ciertamente no debería estar colgado en las paredes.

El experto pide a la artista que borre la pequeña representación.

La artista la borra y le vuelve a mostrar el cuadro al experto. Tras examinarlo, éste se da cuenta de que hay un nuevo problema: la pintura "Todas las pinturas de Russell del mundo" ahora no incluye una imagen de sí misma y, por tanto, es una pintura de Russell que pertenece a la exposición. En consecuencia, debe ser pintada como colgado de alguna parte de las paredes no vaya a ser que la obra no incluya todas las pinturas de Russell.

El experto vuelve a llamar a la artista y le vuelve a pedir que retoque con una pequeña imagen el "Todas las pinturas de Russell del mundo".

Pero una vez que la imagen se ha añadido, estamos otra vez al principio de la historia. La imagen debe borrarse, tras lo cual debe pintarse, y luego eliminarse, y así sucesivamente.

Eventualmente la artista y el experto caerán en la cuenta de que algo no funciona: han chocado con la paradoja de Russell.

Teniendo en cuenta que lo que Russell estaba tratando de hacer era reducir la matemática a la lógica y lo que había descubierto era una grieta en los fundamentos de la ciencia, no sorprende su reacción.

"Sentí acerca de estas contradicciones lo mismo que debe sentir un ferviente católico acerca de los papas indignos".

Pero no había vuelta atrás: lo descubierto no se puede volver a cubrir.

Aunque a unos matemáticos el asunto los dejó indiferentes y les pareció que no merecía tanta reflexión, otros destinaron buena parte del trabajo intelectual de la primera mitad del siglo XX a superar la paradoja de Russell... hasta que se decidió que un conjunto que se contenga a sí mismo realmente no es un conjunto.

La solución no le gustó mucho a muchos, ni siquiera a Russell.

M. Carmen Márquez García cuenta que "la tensión intelectual y su descorazonadora conclusión se cobraron un precio muy terrible".

Russell recordaría cómo después de esto "se apartó de la lógica matemática con una especie de náusea".

Volvió a pensar en el suicidio, aunque decidió no hacerlo porque, observó, seguramente viviría para lamentarlo.

Fuente: BBC Mundo

La enigmática tabla-quipu

Un poblado escondido en las montañas de la Cordillera de Huayhuash, en Áncash, guarda entre sus archivos virreinales una tabla con medio centenar de nombres y su posible equivalencia tejida en quipus fonéticos.

La tabla tiene un listado de medio centenar de nombres escritos sobre cuero con una bella caligrafía y su equivalencia en quipus. Se cree que data del siglo XVII y que pudo ser un censo elaborado durante la campaña de extirpación de idolatrías realizada en la provincia limeña de Cajatambo.

La tabla-quipu es uno de los secretos más sorprendentes del poblado de San Francisco de Mangas, uno de los distritos más olvidados de Áncash. Sus escasos pobladores se quejan de la ausencia de apoyo regional y la precariedad de los caminos de acceso. Su imponente paisaje está dominado por los nevados de la Cordillera de Huayhuash y podría ser un buen destino turístico de no ser por su postergación y marginalidad.

Sin embargo, esta precariedad es la que evitó que Mangas pierda sus antiguos registros virreinales. Como esta tabla-quipu que hoy sorprende a los científicos.

Fue el Dr. Román Robles Mendoza quien advirtió su existencia, pero en estos días circula un documental donde la Dra. Sabine Hayland, de la Universidad de St. Andrew de Escocia, comparte su asombro por el hallazgo, convencida de que podría servir para entender a los quipus como una forma de escritura prehispánica. "La tabla-quipu podría ser el equivalente andino a la Piedra de Roseta, que sirvió para descifrar los jeroglíficos egipcios", sostiene la experta.

En el Perú, uno de los primeros en registrar la tabla-quipu fue el cineasta Roberto Aldave Palacios, quien viajó a Mangas y comprobó esa vieja tradición vinculada a los quipus. Aldave conversó con la profesora Beatriz Rebeca Arcayo Aguado (encargada de la conservación de la tabla-quipu) y juntos comprobaron que hasta la imagen de San Francisco –patrón jurado del pueblo– luce un quipu en la mano. La imagen adorna el frontis de la única capilla del pueblo. Aldave hizo un llamado a las autoridades ediles, regionales y nacionales para proteger esta joya cultural.

Mangas podría convertirse en un sorprendente destino turístico por su cercanía a Cajatambo y al circuito de la Cordillera de Huaylash, así como su tradición cultural, los restos de imponentes caminos prehispánicos y yacimientos arqueológicos. 

Fuente: La República (Perú)

La música es color... y matemática

EL GRAN AMOR de Albert Einstein se llamaba Lina y era un violín. Físico e instrumento (el instrumento que históricamente ha acompañado a judíos errantes por su facilidad para ser transportado) vivieron una historia apasionada. No salía de casa sin él. Según Elsa Einstein, su prima y su segunda esposa, la música le ayudaba a pensar sus teorías. “La vida sin tocar me es inconcebible. Vivo mis ensoñaciones en mi música. Veo mi vida en términos musicales… Y obtengo alegría de vivir gracias a la música”, declaró. No por casualidad sus biógrafos coinciden en señalar que las composiciones de Bach y Mozart tienen la misma claridad, simplicidad y perfección arquitectónica que él anhelaba para sus teorías.

No fue Einstein el único enamorado de los números que halló inspiración y consuelo en la música. Ígor Stravinski sostenía que “la forma musical se parece a las relaciones matemáticas”. Ambas disciplinas comparten terminología: “armónico”, “raíz”, “serie”… El estrecho víncu­lo entre ellas ha sido analizado por el experto Eli Maor en el ensayo La música y los números (Turner). Desde Pitágoras, que investigó las vibraciones de los objetos que emitían sonidos y estableció la octava como intervalo musical fundamental, hasta Arnold Schönberg, hijo de aquella Viena luminosa del fin de siècle en la que todo sucedió, y paradigma de la relación entre números y música, pues fue el inventor del dodecafonismo. Fue contemporáneo de Einstein, con quien tuvo coincidencias vitales: ambos judíos, hijos de madres que sabían tocar el piano, exiliados en Estados Unidos huyendo del nazismo, de donde nunca volverían a Europa…, Schönberg estaba convencido de que este nuevo sistema de composición de 12 tonos que se relacionan entre sí acabaría con la que consideraba “filistea” y “sentimental” tonalidad imperante. Y aunque no lo consiguió, descubrió un cosmos sonoro sin jerarquías que hizo evolucionar a la música y abrió nuevos caminos. Tuvo la suerte de contar con dos seguidores igualmente extraordinarios: Anton ­Webern y Alban Berg.

Pero no solo de números vive el músico, también puede hacerlo de los colores. Para hablar de ello es obligado recordar al ruso Alek­sandr Scriabin, que padecía “sinestesia” y oía los colores con tanta nitidez que asoció cada tono con un color y creó un sistema musical con ellos. Y a Olivier Messiaen, figura determinante de la cultura francesa del siglo XX, cuya vida ha sido novelada por Mario Cuenca Sandoval en El don de la fiebre (Seix Barral). Este “Mozart francés” veía y leía colores en todos los sonidos del mundo a través de su oído absoluto. Siendo niño, entró junto a su padre en la Sainte-Chapelle de París y en el incendio de luz de las vidrieras sintió que podía escuchar los colores como si fueran acordes. Ornitólogo (para él los pájaros eran los grandes compositores de la creación cuyas líneas melódicas le recordaban al canto gregoriano), católico, místico y al mismo tiempo vanguardista con sus arcoíris de acordes que “abrían los cielos y derrumbaban la casa”, como apuntó el compositor Virgil Thomson, Messiaen se apoyó en la música para salvarse de la barbarie del siglo. Luchó en la Segunda Guerra Mundial. En 1940, en la batalla de Francia, cayó preso. En la cárcel compuso su crudo Cuarteto para el fin de los tiempos. Lo estrenó en el invierno de 1941 entre presos como él y vigilantes armados. La música, inseparable de la vida, extendiendo su fuerza como un hilo de color, en el centro de un campo de concentración.

Tomado de: El País Semanal
 

Las termitas han construido la mayor estructura del planeta

Durante milenios, un minúsculo insecto ha levantado una de las mayores estructuras jamás creadas por el ser vivo. Una especie de termitas, considerada una plaga en la ciudad, ha excavado millones de montículos en el nordeste de Brasil. Aunque conocidos por los lugareños, su extensión real no se ha podido determinar hasta que la deforestación y los satélites han desvelado su grandeza: más de 230.000 kilómetros cuadrados salpicados de montones de tierra repartidos de forma regular, casi matemática.

"Los montículos siempre estuvieron bien escondidos entre la vegetación de secano de la región (la catinga) y en general apenas se pueden ver. Los de fuera solo los han podido observar después de que alguna porción de tierra fuera deforestada para pastos", dice el investigador de la Universidad Estatal de Feira de Santana (Brasil) y coautor del estudio, Roy Funch. "Algunos locales pensaban que los habían levantado termitas, hormigas u otra criatura similar. Pero para muchos, simplemente estuvieron ahí, formaciones naturales hechas por Dios que siempre habían existido", añade.

Siempre no, pero sí al menos desde hace más de 3.800 años. La datación de una muestra de murundus (como se conoce a estos montículos en la zona) indica que muchos de ellos llevan milenios ahí, lo que los convierte en una de las estructuras de origen biológico más antiguas. Y tampoco son obra divina, sino de la Syntermes dirus, una termita. Mejor dicho, de colonias y colonias de ellas. Pero no son sus nidos. Es la tierra que los insectos excavan mientras buscan hojas caídas con las que alimentar a la colonia.

El artículo completo en: El País (España)

Así se forma a futuras promesas de la matemática internacional

Estalmat, el programa que trata de detectar, orientar y estimular de manera continuada el talento matemático excepcional de jóvenes estudiantes, cumple 20 años. 

 Celebración del 20 aniversario de Estalmat en la Universidad Complutense de Madrid el 25 de mayo de 2018. Estalmat

Hay muchos senderos posibles para afrontar los retos del futuro. Y precisamente, los jóvenes son los que deben mantenerlos abiertos, para poder resolver los desafíos científicos y culturales de nuestra época. ¿Se transmite este pensamiento revolucionario e innovador en las aulas de enseñanza secundaria? ¿O es necesario estimular el talento de los jóvenes con mayores capacidades de razonamiento más allá de la educación reglada?

El matemático Miguel de Guzmán Ozámiz (1936-2004) apostó durante su carrera por el segundo enfoque: consideraba que aquellos estudiantes con una dotación excepcional para las matemáticas debían recibir una atención especial. “Son talentos que pasarán a veces más o menos inadvertidos y más bien desatendidos por la imposibilidad de que los profesores dediquen la atención personal que se necesitaría”, reflexionaba, y proseguía: “constituye una gran responsabilidad social la indudable pérdida del talento que causa su desatención”. Para hacer frente a este deber, hace 20 años puso en marcha un proyecto en la Comunidad de Madrid con el objetivo de detectar y estimular el talento matemático de los jóvenes que pudieran convertirse en líderes de la matemática internacional. Con el apoyo de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales, nació Estalmat.

Durante el mes de junio de 1998 se seleccionaron 25 estudiantes, a través de una prueba escrita y una entrevista, para aquella experiencia piloto. Durante todo un curso, aquellos jóvenes de entre 12 y 14 años asistieron a sesiones semanales en la Facultad de Matemáticas de la Universidad Complutense de Madrid, algunas impartidas por De Guzmán. Las actividades se programaban en torno a desafíos que los alumnos resolvían en grupos. El esquema era parecido en todas las sesiones: en primer lugar, el profesor exponía un problema en lenguaje entendible para los alumnos y explicaba los conocimientos necesarios para resolverlo; a continuación los jóvenes trabajaban en grupos de cuatro o cinco en la resolución de las actividades propuestas, graduadas en dificultad, de manera comunicativa, colaborando y explicando sus ideas entre ellos.

Hoy en día la organización es similar. Los encuentros se realizan generalmente los sábados por la mañana, a lo largo de tres horas, en aulas cedidas por universidades e institutos de enseñanza secundaria (el programa se ha extendido exitosamente por España, y cuenta con 10 sedes en total). Actualmente se seleccionan 250 estudiantes cada año, que siguen las actividades durante dos cursos. Estos dos primeros años (para estudiantes de 12-13 años, y de 13-14) son obligatorios y, tras ellos, se ofrece un programa de continuación hasta finales de Bachillerato, ya opcional (y mensual), para los participantes que lo deseen.

Estalmat involucra aproximadamente a 150 profesores que diseñamos las actividades e impartimos las lecciones. Tenemos una reunión anual para intercambiar experiencias e ir mejorando las actividades que se realizan semanalmente, donde aprendemos de otros colegas distintas formas de seguir cultivando el talento de los jóvenes del programa.

El artículo completo en: El País (España) 

Arthur Scherbius, creador de «Enigma», la máquina de encriptar de los alemanes

Murió sin conocer el uso militar que se le daría a su invento.

Una de las personalidades que indirectamente tuvieron una influencia capital en la Segunda Guerra Mundial fue Arthur Scherbius, el padre de la máquina criptográfica Enigma. Ésta, usada inicialmente por la Marina alemana, la Kriegsmarine , fue posteriormente adoptada por todas las fuerzas armadas germanas para el encriptado y codificado de sus comunicaciones secretas, principalmente las instrucciones a los submarinos que, en «manadas de lobos», libraban una lucha capital en alta mar por interrumpir el tráfico marítimo y el sistema de convoyes hacia el Reino Unido.

Considerada imposible de desencriptar, la historia de la ruptura de sus claves, conseguida finalmente en el Reino Unido gracias a la labor desarrollada anteriormente por un equipo de matemáticos y criptólogos polacos, es una de las historias secretas más espectaculares de la Segunda Guerra Mundial.

Ingeniero eléctrico, Scherbius dirigió su máquina criptográfica al sector civil y murió sin conocer la dramática influencia que su invento tuvo en el desarrollo de la guerra.

Fuente: ABC (España)

Ya hay algoritmos ayudando a seleccionar personal: la búsqueda de trabajo en la era del algoritmo

Si estás buscando trabajo, parte de la evaluación de tu perfil podría no estar a cargo de un ser humano. Entre los sectores en fase de transformación por los efectos de la revolución tecnológica actual, también está el de la selección de personal.

Mientras aumentan las empresas que experimentan soluciones de inteligencia artificial para mejorar su capacidad de encontrar talento, expertos y profesionales de los recursos humanos debaten sobre hasta qué punto pueden ser eficaces estos sistemas.

Entre los especialistas entrevistados para este reportaje, nadie pone en duda la necesidad de que la captación de talento sea liderada por profesionales humanos a través de pasos como las entrevistas cara a cara o por teléfono. Pero muchos destacan los beneficios potenciales de algoritmos y software en las fases más automatizadas del proceso.

La inteligencia artificial ayuda a optimizar el rastreo de grandes volúmenes de candidaturas, coinciden los operadores consultados por Xataka. Y así permite agilizar el trabajo de los equipos de recursos humanos a la hora de profundizar en el análisis de un perfil en concreto y evaluar aspectos más sujetivos como la creatividad, la capacidad de interacción social o de liderazgo, añaden. Además, en muchos casos con estos sistemas se ahorran tiempo y dinero. ¿Pero qué pasa si el algoritmo falla y descarta un perfil válido? ¿Qué hacen las empresas para evitarlo?

Lea el artículo completo en: Xakata Ciencia 

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