3 paradojas que les quitan el sueño a los matemáticos y filósofos

Esta oración es falsa.

Esa es una de las paradojas más populares e ilustrativas: de ser realmente falsa, lo que la oración enuncia es verdad pero si la falsedad enunciada es real, la oración no puede ser falsa.


Paradoja viene de las palabras en latín y griego que significan 'lo contrario a la opinión común' y es, según el diccionario de la Real Academia...

2. f. Hecho o expresión aparentemente contrarios a la lógica.


3. f. Ret. Empleo de expresiones o frases que encierran una aparente contradicción entre sí, como en "mira al avaro, en sus riquezas, pobre".

Las hay de varios tipos, pero lo que suelen tener en común es que nos hacen detenernos a pensar, así sea por sólo un instante, como "para llegar rápido, nada mejor que ir despacio".

Pero otras nos han acompañado durante años, a veces siglos, y en ocasiones ha impulsado importantes avances en la ciencia, la filosofía y las matemáticas.

¿Sigue siendo tu barco?

Cambio e identidad. En eso nos ha hecho reflexionar el historiador, biógrafo y filósofo moralista griego Plutarco (46 o 50-c. 120) durante casi 2.000 años con la paradoja de Teseo, el mítico rey fundador de Atenas, hijo de Etra y Eseo, o según otras leyendas, de Poseidón.

"El barco en el que Teseo y la juventud de Atenas regresaron de Creta tenía treinta remos, y fue conservado por los atenienses incluso hasta la época de Demetrio de Falero, ya que retiraron los viejos tablones a medida que se descomponían e introdujeron madera nueva y más resistente en su lugar, tanto que este barco se convirtió en un ejemplo permanente entre los filósofos, para la pregunta lógica de las cosas que crecen, un lado sostiene que el barco sigue siendo el mismo, y el otro afirma que no".

Si el barco fue conservado por los atenienses hasta la época de Demetrio de Falero, eso querría decir más o menos 300 años.

Con tantos reemplazos, ¿era la nave la misma?

E iba más allá. Si con la madera vieja construían otro barco idéntico, ¿cuál de los dos sería el original: el que tiene las tablas originales o el que ha sido restaurado?

El movimiento no existe

Para ir a cualquier lugar, tienes que recorrer primero la mitad de la distancia, luego, la mitad de la distancia que te falta por recorrer, después, la mitad de la distancia que te falta, y así hasta el infinito, así que nunca llegarás.

Esta es una de las serie de paradojas del movimiento del filósofo griego Zenón de Elea creadas para demostrar que el Universo es singular y que el cambio, incluido el movimiento, es imposible, como argumentaba su maestro Parménides.

Si te parece absurda, no estás sólo: fue rechazada durante años. 

No obstante, la matemática ofreció una solución formal en el siglo XIX que fue aceptar que 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16... suman 1. 

Aunque esa solución teórica sirvió para ciertos propósitos, no respondió a lo que pasaba en la realidad: cómo algo puede llegar a su destino. 

Eso, que entendemos intuitivamente pues lo experimentamos a diario, es más complejo y para resolverlo hubo que esperar hasta el siglo XX para valerse de teorías que mostraran que la materia, el tiempo y el espacio no son infinitamente divisibles.

La que hizo tambalear a las matemáticas

Ahora que ya calentamos motores, hablemos de una paradoja que a principios del siglo XX sacudió a la comunidad matemática, incluyendo a quien la formuló: el filósofo, matemático, lógico y escritor británico ganador del Premio Nobel de Literatura Bertrand Russell.

Russell era uno de los que estaban tratando de impulsar el logicismo, la tesis filosófica que dice que la matemática, o la mayor parte de ella, puede ser reducida a la lógica. 

Ese proyecto incluía en su base la teoría de conjuntos de Cantor-Frege. Ambos, el alemán Georg Cantor y su compatriota Gotlob Frege, daban por supuesto que todo predicado definía un conjunto. Así, el predicado "ser de oro", define el conjunto de todas las cosas que son de oro.

Suena más que evidente.

Pero, Russell descubrió que había un predicado particular que contradecía la teoría: "no pertenecerse a sí mismo"

Esa es la paradoja de Russell, y es compleja pero por suerte nos topamos con una de las explicaciones más claras, creada por M. Carmen Márquez García para un curso de SAEM Thales, Formación a Distancia a través de Internet, que aparece en este sitio web.

Supongamos que un conocido experto en obras de arte decide clasificar las pinturas del mundo en una de dos categorías mutuamente excluyentes.
Una categoría, de muy pocos cuadros, consta de todas las pinturas que incluyen una imagen de ellas mismas en la escena presentada en el lienzo. Por ejemplo, podríamos pintar un cuadro, titulado "Interior", de una habitación y su mobiliaria -colgaduras en movimiento, una estatua, un gran piano- que incluye, colgando encima del piano, una pequeña pintura del cuadro "Interior". Así, nuestro lienzo incluiría una imagen de sí mismo.

La otra categoría, mucho más corriente, constaría de todos los cuadros que no incluyen una imagen de sí mismos. Llamaremos a estos cuadros "Pinturas de Russell". La Mona Lisa, por ejemplo, es una pintura de Russell porque no tiene dentro de ella un pequeño cuadro de la Mona Lisa.

Supongamos además que nuestro experto en obras de arte monta una enorme exposición que incluye todas las pinturas de Russell del mundo. Tras ímprobos esfuerzos, los reúne y los cuelga en una sala inmensa.

Orgulloso de su hazaña, el experto encarga a una artista que pinte un cuadro de la sala y de sus contenidos.
Cuando el cuadro está terminado, la artista lo titula, con toda propiedad, "Todas las pinturas del Russell del mundo".

El galerista examina el cuadro cuidadosamente y descubre una pequeña falla: en el lienzo, junto al cuadro de la Mona Lisa hay una representación de "Todas las pinturas de Russell del mundo". Esto quiere decir que "Todas las pinturas del mundo" es un cuadro que incluye una imagen de sí mismo, y por consiguiente, no es una pintura de Russell. En consecuencia, no pertenece a la exposición y ciertamente no debería estar colgado en las paredes.

El experto pide a la artista que borre la pequeña representación.

La artista la borra y le vuelve a mostrar el cuadro al experto. Tras examinarlo, éste se da cuenta de que hay un nuevo problema: la pintura "Todas las pinturas de Russell del mundo" ahora no incluye una imagen de sí misma y, por tanto, es una pintura de Russell que pertenece a la exposición. En consecuencia, debe ser pintada como colgado de alguna parte de las paredes no vaya a ser que la obra no incluya todas las pinturas de Russell.

El experto vuelve a llamar a la artista y le vuelve a pedir que retoque con una pequeña imagen el "Todas las pinturas de Russell del mundo".

Pero una vez que la imagen se ha añadido, estamos otra vez al principio de la historia. La imagen debe borrarse, tras lo cual debe pintarse, y luego eliminarse, y así sucesivamente.

Eventualmente la artista y el experto caerán en la cuenta de que algo no funciona: han chocado con la paradoja de Russell.

Teniendo en cuenta que lo que Russell estaba tratando de hacer era reducir la matemática a la lógica y lo que había descubierto era una grieta en los fundamentos de la ciencia, no sorprende su reacción.

"Sentí acerca de estas contradicciones lo mismo que debe sentir un ferviente católico acerca de los papas indignos".

Pero no había vuelta atrás: lo descubierto no se puede volver a cubrir.

Aunque a unos matemáticos el asunto los dejó indiferentes y les pareció que no merecía tanta reflexión, otros destinaron buena parte del trabajo intelectual de la primera mitad del siglo XX a superar la paradoja de Russell... hasta que se decidió que un conjunto que se contenga a sí mismo realmente no es un conjunto.

La solución no le gustó mucho a muchos, ni siquiera a Russell.

M. Carmen Márquez García cuenta que "la tensión intelectual y su descorazonadora conclusión se cobraron un precio muy terrible".

Russell recordaría cómo después de esto "se apartó de la lógica matemática con una especie de náusea".

Volvió a pensar en el suicidio, aunque decidió no hacerlo porque, observó, seguramente viviría para lamentarlo.

Fuente: BBC Mundo

La Paradoja del Barbero de Russell

En este blog ya hemos hablado en otras ocasiones sobre paradojas, concretamente las de “Banach-Tarsky” y “Aquiles y la tortuga”. Recordemos que una paradoja es un razonamiento que aparentemente parece correcto, pero que contradice una verdad evidente (o a veces no tan evidente).

La Paradoja del Barbero fue formulada por Bertrand Russell en el año 1901, de ahí que también sea conocida como Paradoja de Russell, aunque personalmente no me gusta este nombre porque Russell era un excelente lógico matemático y enunció muchas de ellas.



Veamos la historia que da origen a la contradicción:

Hace muchos años, en un lejano reino, había pocas personas que su oficio fuera ser barbero. Para solucionar el problema, el rey dictaminó que los barberos solo podían afeitar a las personas que no podían afeitarse por sí mismas.

Uno de esos barberos, era el único en su comarca y le entró la siguiente duda: “Como barbero no puedo afeitar al barbero de mi comarca, que soy yo, porque entonces podría afeitarme a mí mismo. Pero entonces, algún barbero debe de afeitarme, pero como soy el único que hay, entonces no me puedo afeitar”.

¿Qué puede hacer nuestro pobre barbero para hacer desaparecer sus barbas? La verdad que está en una situación realmente complicada. Tan complicada, que es una paradoja y no tiene solución.

Para ver qué pasa lo primero que hacemos es definir qué es un conjunto. Podemos imaginarnos que un conjunto es un cajón muy grande donde metemos cosas. Por ejemplo, el conjunto de las frutas sería un cajón en el que metemos todas las manzanas, todas las naranjas, todas las peras…

Un subconjunto, sería tomar un conjunto más pequeño dentro de nuestro conjunto. Por ejemplo, en nuestro cajón gigante, poner dentro una caja en la que metemos la fruta roja. Ahí pondríamos las manzanas, las cerezas,…

Por último, los elementos serían por separado cada uno de los objetos o números que hay en un conjunto. En nuestro ejemplo sería una manzana o una naranja concretas.

Vamos a ver un ejemplo más numérico. Tomamos un conjunto X compuesto por los números naturales: X={1,2,3,4,5,…}. Un subconjunto M serían por ejemplo los números pares: M={2,4,6,…}. Y algunos elementos del conjunto M (que también lo serían de X) son por ejemplo el 4, el 6 ó el 48, por citar algunos.
Pues una vez entendido esto, existen dos tipos de conjuntos: los normales y los singulares.

Los conjuntos normales son aquellos que no se contienen a sí mismos. En cambio, los singulares son aquellos que sí se contienen a sí mismo.

¿Cómo se contiene un conjunto a sí mismo? Supongamos que creamos el conjunto de todo lo que no es un lápiz. Como mi conjunto NO es un lápiz, entonces está dentro del propio conjunto.
Además, estas propiedades son excluyentes. Un conjunto es o normal o singular. Ni hay otra opción, ni pueden ser los dos a la vez.

¿Y qué tiene que ver todo esto con nuestro amigo el barbero? Pues que él está en una posición difícil. Si pertenece al conjunto de los que no se pueden afeitar, él razona que sí se podría afeitar. Y si pertenece al conjunto de los que sí se pueden afeitar, entonces razona que no se podría afeitar. Por lo tanto, el conjunto al que pertenece el barbero es un conjunto normal y singular a la vez, que hemos visto que es imposible.

Esta paradoja hizo temblar a toda la comunidad matemática, puesto que la base más elemental de las matemáticas nace a raíz de la teoría de conjuntos. El problema se solucionó excluyendo los conjuntos singulares, algo un poco trampa en mi opinión, pero que de momento funciona.

Fuente:

Matemàticas Digitales

Lógica y Matemáticas: ¿Dios existe?

Sea la frase: “Dios no existe o esta frase es falsa.”. La frase es una disyunción, formada por dos partes; la parte p1 es “Dios no existe”; la parte p2 es “esta frase es falsa”; la frase completa es “p1 ó p2″, donde ó simboliza la disyunción. La frase es cierta cuando p1 ó p2 (o ambas) lo son; es falsa cuando p1 y p2 (ambas) lo son. Supongamos que la frase es falsa; en ese caso p1 y p2 deben ser falsas; pero p2 es “esta frase es falsa”, resultaría cierta; por lo tanto, la frase no puede ser falsa. En consecuencia debe ser verdadera; en ese caso p1 ó p2 debe ser verdadera; pero p2 es “esta frase es falsa”, que resulta una afirmación falsa; al ser p2 falsa, siendo la frase completa verdadera, debe ser p1 cierta; es decir, Dios no existe.

En realidad esto no deja de ser una paradoja del tipo autorreferencial, como la de paradoja de Russell en teoría de conjuntos:

Russell, en rigor, plantea “consideremos el conjunto de todos los conjuntos que no son un elemento de sí mismos”. Preguntemos entonces: “¿Es este conjunto elemento de sí mismo?”. Si fuera elemento de sí mismo, no lo sería, y si no lo fuese, debería estar contenido en él mismo.

Fuente:

Eulerianos

Los 10 mandamientos según Bertrand Russell

Bertrand Russell fue un gran matemático y uno de los filósofos más influyentes del siglo XX. Luchó a lo largo de toda su vida en contra de las supersticiones milenarias, pero no enfrentándose directamente a ellas, sino divulgando la razón a través de sus libros, sus ponencias y en cualquier oportunidad que se encontrara por el camino.

Bertrand Russell (fuente)

El 16 de diciembre de 1951, aprovechó una colaboración para la New York Times Magazine para divulgar una vez más la razón, mediante un artículo titulado The best answer to fanaticism: Liberalism. Al final de este artículo, Russell exponía un decálogo que, según él, todo profesor debería desear enseñar a sus alumnos.

Posiblemente el decálogo -al que Russell se refirió como mandamientos- no sea una enseñanza completa en sí, pero enseña los pasos necesarios que toda persona ha de intentar dar para encontrarse con la razón y alejarse de todo tipo de supersticiones y creencias sin fundamento alguno.

1. No estés absolutamente seguro de nada.
2. No creas conveniente actuar ocultando pruebas, pues las pruebas terminan por salir a la luz.
3. Nunca intentes oponerte al raciocino, pues seguramente lo conseguirás.
4. Cuando encuentres oposición, aunque provenga de tu esposo o de tus hijos, trata de superarla por medio de la razón y no de la autoridad, pues una victoria que dependa de la autoridad es irreal e ilusoria.
5. No respetes la autoridad de los demás, pues siempre se encuentran autoridades enfrentadas.
6. No utilices la fuerza para suprimir las ideas que crees perniciosas, pues si lo haces, ellas te suprimirán a ti.
7. No temas ser extravagante en tus ideas, pues todas la ideas ahora aceptadas fueron en su día extravagantes.
8. Disfruta más con la discrepancia inteligente que con la conformidad pasiva, pues si valoras la inteligencia como debieras, aquélla significa un acuerdo más profundo que ésta.
9. Muéstrate escrupuloso en la verdad, aunque la verdad sea incómoda, pues más incómoda es cuando tratas de ocultarla.
10. No sientas envidia de la felicidad de los que viven en el paraíso de los necios, pues sólo un necio pensará que eso es la felicidad.

Estos diez mandamientos, difícilmente resumibles, nos enseñan a ser escépticos, pero sin cerrarnos a posibles evidencias que desconozcamos; A respetar al resto y permitir que todos expongan su opinión, sin que nadie la intente imponer a la fuerza mediante el miedo o la opresión; A seguir adelante con nuestras opiniones, por muy excéntricas que sean; A ser franco y no ocultar la realidad, aunque esta vaya en contra de nuestro propio beneficio.

Ni la fuerza, ni la autoridad, ni la mentira tienen valor alguno en un mundo donde únicamente ha de triunfar la razón, por encima de todo.

Nota: Si os interesa Bertrand Russel, no os perdáis La naturaleza de la felicidad.

Fuente:

Recuerdos de Pandora