Matemática: Qué es la teoría de categorías y cómo se ha "puesto de moda"

Desde hace algunos años se habla mucho de una de las ramas de la matemática: la teoría de categorías que ha ganado bastante popularidad dentro de la comunidad matemática. Pero, ¿qué es esta rama de las matemáticas y por qué está de moda?

Algunas personas llaman a la teoría de categorías “las matemáticas de las matemáticas”, ya que se sitúa por encima de muchas disciplinas matemáticas, conectándolas. Fue propuesta en 1945 como una herramienta para trasladar problemas matemáticos de un campo a otro, en el que se pudieran resolver con mayor facilidad. Por ejemplo, sabemos que en cualquier momento debe haber un punto en la superficie de la Tierra donde la velocidad del viento es cero. Pero para demostrar este precioso resultado lo debemos traducir a una afirmación algebraica, para lo que es útil emplear una pizca de teoría de categorías. Habitualmente, resultados más complejos requieren más teoría de categorías. La demostración del último teorema de Fermat, por ejemplo, se basa en una gran cantidad de matemáticas del s. XX y la teoría de categorías jugó allí también su papel.

Desafortunadamente, este alto nivel de abstracción superó incluso el grado de tolerancia de los propios matemáticos y, durante años, muchos de ellos han considerado esta teoría como un “sinsentido abstracto” y se han limitado a usarla cuando era totalmente necesario para su trabajo. Sin embargo, otros sí aceptaron con los brazos abiertos la belleza y el poder de esta disciplina, lo que hizo que su influencia fuese extendiéndose de forma gradual no solo en las matemáticas, sino también en otras ciencias. A partir de la década de 1990 comenzó a infiltrarse en las ciencias de la computación: nuevos lenguajes de programación como Haskell y Scla, por ejemplo, empleaban ideas de la teoría de categorías. Actualmente aparecen nuevas aplicaciones de esta teoría a la química, la ingeniería eléctrica o ¡incluso para diseñar frenos de los coches! La teoría de categorías aplicada, que en otra época hubiese sido considerada un oxímoron, se está convirtiendo en un tema de investigación real.

Más información en: El País (España) 

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Ya hay algoritmos ayudando a seleccionar personal: la búsqueda de trabajo en la era del algoritmo

Si estás buscando trabajo, parte de la evaluación de tu perfil podría no estar a cargo de un ser humano. Entre los sectores en fase de transformación por los efectos de la revolución tecnológica actual, también está el de la selección de personal.

Mientras aumentan las empresas que experimentan soluciones de inteligencia artificial para mejorar su capacidad de encontrar talento, expertos y profesionales de los recursos humanos debaten sobre hasta qué punto pueden ser eficaces estos sistemas.

Entre los especialistas entrevistados para este reportaje, nadie pone en duda la necesidad de que la captación de talento sea liderada por profesionales humanos a través de pasos como las entrevistas cara a cara o por teléfono. Pero muchos destacan los beneficios potenciales de algoritmos y software en las fases más automatizadas del proceso.

La inteligencia artificial ayuda a optimizar el rastreo de grandes volúmenes de candidaturas, coinciden los operadores consultados por Xataka. Y así permite agilizar el trabajo de los equipos de recursos humanos a la hora de profundizar en el análisis de un perfil en concreto y evaluar aspectos más sujetivos como la creatividad, la capacidad de interacción social o de liderazgo, añaden. Además, en muchos casos con estos sistemas se ahorran tiempo y dinero. ¿Pero qué pasa si el algoritmo falla y descarta un perfil válido? ¿Qué hacen las empresas para evitarlo?

Lea el artículo completo en: Xakata Ciencia 

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Las matemáticas revelan datos curiosos sobre Star Wars

¿Crees que lo sabes todo sobre el universo de Star Wars? Este software te dejará asombrado.

Empleando un innovador software, un equipo de investigadores de la Escuela Politécnica Federal de Lausana (Suiza) ha descubierto una visión poco común dentro del universo de Star Wars o La Guerra de las Galaxias, la franquicia de ópera espacial épica, creada por el guionista y director estadounidense George Lucas y que cuenta con millones de fans en todo el mundo desde que se inició la saga en 1977.

Gracias al nuevo algoritmo -desarrollado en el Laboratorio de Procesamiento de Señal 2 (LTS2)- que aprovecha los principios de la teoría de grafos y los cálculos matemáticos llevados a cabo por un ordenador, los expertos pusieron a prueba el software con centenares de webs en la red dedicadas exclusivamente a la exitosa saga que ha trascendido la gran pantalla (libros, juegos, etc...).

Los resultados han revelado datos interesantes: Star Wars integra más de 20.000 personajes repartidos entre 640 comunidades durante un período de 36.000 años: “Los fans se sorprenderán al saber, por ejemplo, que contabilizamos más de 20.000 personajes; entre ellos, 7.500 juegan un papel importante”, explica Kirell Benzi, líder del trabajo.

Además, la eterna rivalidad de los Sith y Jedi también ofrece sus estadísticas: existen 1.367 Jedi y 724 Sith. Pese a la multitud de razas y especies que conviven en la galaxia como los nautolanos o los toydarianos (antes de la República, en la Antigua República, durante el Imperio, la rebelión, la Nueva República o la Orden Jedi), casi el 80% de la población es humana.

“Para poner un poco de orden en este bosque masivo de datos, hemos basado nuestro enfoque en el análisis de redes. En otras palabras, todas las conexiones que tiene un personaje con el resto de ellos. Usando estas referencias cruzadas, hemos sido capaces de determinar con precisión el período de tiempo del personaje casi sin excepción, a pesar de que esta información no se proporciona directamente en los libros o las películas”, afirma Xavier Bresson, coautor del estudio.

El logro de este programa informático es que traza conexiones en la masa de datos no organizados disponibles en Internet y los algoritmos desarrollados por los investigadores de LTS2 ofrecen datos muy precisos que pueden ser cuantificados, ordenados y, por supuesto, sencillos de leer.

Según los expertos, “este método podría ser útil para llenar los vacíos de conocimiento que permanecen en la investigación histórica y sociológica y en numerosos campos científicos también”.

Muy Interesante

Uno de los mayores misterios de los Beatles, resuelto por un matemático después de 50 años

La leyenda de los Beatles es tan grande que hasta tiene sus propios misterios. Uno de los más tenaces es la respuesta a esta pregunta: ¿Quién compuso la canción In My Life? Un matemático llamado Jason Brown ha recurrido a una herramienta poco habitual para averiguarlo: el análisis estadístico.

La cuestión alrededor de In My Life es que no se sabe con seguridad quién es su autor. Los Beatles no acostumbraban a firmar sus canciones de manera muy específica o detallada. A menudo los expertos en música y los entusiastas de la banda de Liverpool asumen que la autoría de un tema suele recaer en el Beatle que interpreta la canción, pero esto no siempre es así, e In My Life es el ejemplo más claro.

Hasta 1980 se asumía que había sido John Lennon el autor de la letra y música de In My Life, pero el Beatle negó de manera bastante abrupta ser el autor durante una entrevista a la revista Playboy. Lennon aseguraba que la canción pertenecía a Paul McCartney.

Efectivamente, McCartney declaró más tarde que él era el autor de In My Life, pero solo a medias. Él solo había compuesto la música y aseguraba que fue Lennon el que había escrito la letra.

Las matemáticas hacen sospechar que ambos mienten.

Jason Brown ha analizado la obra de los Beatles aplicando análisis estadístico de conjuntos a los giros musicales de cada Beatle. El resultado es un poco como las nubes de etiquetas que definen cuál es la temática de una determinada web o cuáles son las tendencias en Twitter, pero aplicado a la música. Resulta que cada miembro de la banda tenía sus propios trucos a la hora de componer y de hilar unas partes de la canción con otras. Esos trucos son muy característicos y permiten identificar quién es el autor de cada tema de la banda con mucha porecisión.

En el caso de In My Life, la estadística no miente. La canción es solo un 0,18% McArtney. La música está compuesta por Lennon casi con toda seguridad, lo que significa que, si hacemos caso a las tibias declaraciones de McArtney en las que atribuye la letra a Lennon, toda la canción es suya. No es un misterio tan fascinante como saber si Paul McArtney murió y el actual Paul es un doble, pero por algo se empieza.

Tomado de: Gizmodo

Modelos matemáticos para entender el funcionamiento del sistema inmunológico

Las ecuaciones diferenciales son claves en los modelos de poblaciones empleados para estudiar y comprender los procesos de enfermedades autoinmunes.

Los linfocitos T son células que forman parte del sistema inmune del cuerpo humano. Sus procesos de creación y maduración son especialmente delicados, ya que cualquier fallo puede derivar en problemas graves para el individuo, como leucemias y otras enfermedades autoinmunes. En los últimos años, las ecuaciones diferenciales han resultado ser la clave de los modelos matemáticos de poblaciones empleados para estudiar y comprender estos procesos.

Los linfocitos T participan en la respuesta inmune adaptativa, la segunda etapa de acción del sistema inmunológico para proteger al organismo de las infecciones causadas por virus, bacterias y toda clase de patógenos. Se crean en la médula ósea, a partir de células madre hematopoyéticas. Estas células se convierten en precursoras de los linfocitos T mediante la selección tímica, un proceso de diferenciación celular que dura aproximadamente tres semanas y tiene lugar en el timo.

En cada instante del proceso, cada una de las células puede (1) morirse, (2) dividirse y dar lugar a dos células hijas, o (3) diferenciarse y dar origen a una célula diferente. Es muy importante entender dónde y cuándo recibe cada timocito una señal que le indica la opción que ha de seguir. Estas señales dependen tanto de las células epiteliales del timo, en particular del tipo de moléculas (antígenos) que tengan en su membrana celular, como del tipo de receptor T que el timocito muestre en su superficie. Es precisamente la interacción entre los receptores T de un timocito y los antígenos de las células epiteliales lo que determina su futuro.

Si la interacción es de gran afinidad bioquímica, el timocito ha de morir por apoptosis (muerte celular programada); si la afinidad es muy pequeña o nula, la muerte es por ``negligencia”; en el caso de afinidades intermedias, el timocito sufre un proceso de diferenciación y continúa la maduración. Para cuantificar la cinética de la selección tímica se introducen tasas de muerte (la frecuencia con la que un timocito recibe una señal de muerte) y tasas de diferenciación o proliferación (la frecuencia con la que recibe una señal de diferenciación o de división celular). Conocer estas tasas permitiría predecir, por ejemplo, el tiempo medio que un timocito pasa en cada fase del proceso de maduración tímica.

Sin embargo, no es posible determinar de manera experimental estos parámetros, ya que requeriría observar la trayectoria de cada pre-linfocito T en el timo del individuo estudiado, y las técnicas de microscopía actuales solamente permiten hacerlo durante una hora como máximo, lo que es un periodo muy inferior a las escalas de tiempo del proceso tímico.

Las matemáticas brindan herramientas precisas para describir poblaciones de células y sus cambios en el tiempo, mediante modelos deterministas de poblaciones. En esencia, estos modelos describen la evolución temporal de la población. Si se supone que a tiempo inicial la población consta de un cierto número de individuos, la ecuación describe cuántos habrá un poco después, si la población cambia por migración, por muerte o por nacimiento de nuevos individuos. Cada modelo de población depende de lo que se suponga como mecanismos de migración (por ejemplo, un flujo constante o no de individuos), de muerte y de nacimiento.

Lea el artículo completo en: El País (España)

Un científico ha calculado matemáticamente la fuerza de Thanos en Avengers: Infinity War

Si has visto Avengers: Infinity War sabrás que Thanos es el villano más bestia que ha aparecido en una producción de Marvel en la gran pantalla. Ahora bien, ¿hasta dónde llegaría esa fuerza? Esto es precisamente lo que ha averiguado un científico de la Universidad Northeastern, y es bastante impresionante.

El hombre que se embarcó en el proyecto fue Steven Cranford, profesor de ingeniería de la universidad, quién calculó hasta dónde llegaría la fuerza de Thanos. Para llegar a ese calculo el investigador realizó modelos moleculares reales del cubo ficticio Teseracto. Su trabajo se acaba de publicar (y revisar) en Extreme Mechanics Letters.

Para los profanos, el Teseracto en el mundo de Marvel es una gema en forma de cubo de un poder incomparable que una vez perteneció a Odín, una brillante caja azul que Thanos aplasta como si nada. Cranford, un aficionado a las películas de Marvel y científico de los materiales, vio en la escena una fórmula perfecta para adivinar la fuerza real del personaje.

Cuando Thanos demolió el cubo, Cranford activó un programa de dinámica molecular para descubrir cómo sería una caja tetradimensional. Si descifraba la geometría del cubo, podría calcular su fuerza material. Y si conocía la fuerza del cubo, podría calcular lo poderoso que debía ser Thanos para aplastarlo.

Se da la casualidad de que los teseractos no son solo imaginación del universo de Marvel, también existen en las páginas de libros de texto de geometría. De hecho, su definición es la de una figura formada por ocho cubos tridimensionales ubicados en un espacio donde existe un cuarto eje dimensional (considerando al primero longitud, el segundo altura y el tercero profundidad). Básicamente, en un espacio tetradimensional, el teseracto es un cubo de cuatro dimensiones espaciales.

Dicho de otra forma, es algo así como un cubo más pequeño suspendido perfectamente en el centro de un cubo más grande. Utilizando el software de modelado, Cranford comenzó a construir teseractos moleculares, uniendo átomos de carbono a átomos de carbono.

Si deseas leer el artículo mcompleto puedes hacer click AQUÍ.

Pero si deseas la respuesta a la pregunta inicial aquí la tienes:

Conclusión final

El investigador concluyó que exprimir un cubo Teseracto hasta dejarlo en polvo requería una fuerza equivalente a 42.000 toneladas, o la fuerza de agarre combinada de 750.000 hombres promedio de Estados Unidos.

¿El resultado final? Suponiendo una relación proporcional entre la fuerza de agarre y lo que puede levantar un estadounidense promedio, las matemáticas del científico sugieren que Thanos podría arrojar 54 millones de kilogramos, 4.5 millones de kilogramos más que el peso de el Titanic. Una auténtica barbaridad. 

Suerte que el tipo no está entre nosotros.

Fuente:

Gizmodo

¿De qué tamaño es el Perú comparado a otros países?

Una página permite que eliminemos mitos sobre la dimensión de los países. Su clave está en una proyección cartográfica vigente desde hace siglos.

Su nombre es The True Size y se vale de un mapa interactivo para revelar cuánta área cubrirían los países si los ubicamos en otras latitudes. Para realizar estas comparaciones solo es necesario ingresar a la página, seleccionar el país y arrastrar su silueta por los diferentes lugares del mundo. 


Por ejemplo, los 1'285,2016 kilómetros de área del Perú podrían tapar, entre parcial y totalmente, hasta diez países europeos. En Asia, la silueta del país cubre Corea del Norte y Corea del Sur, además de varias zonas de Japón. Sobre China, de 9'572,900 kilómetros cuadrados, el Perú no se ve tan pequeño como se creería. En Oriente Medio, podría cubrir Siria, Líbano, Israel, Jordania e incluso parte de Irak y Arabia Saudí.

La Proyección Mercator. El mapa desarrollado por los estadounidenses James Talmage y Damon Maneice se inspira en la creación de alguien que falleció hace siglos: el geógrafo belga Geert de Kremer.

Conocido en Latinoamérica como Gerardus Mercator, tuvo un papel destacado en la Historia al calcular sobre un plano el tamaño de los continentes dentro de la superficie esférica del planeta Tierra. Por supuesto, su proyección cartográfica no fue exacta, pero sirvió de base para otros estudios. 

El principal descubrimiento de la Proyección Mercator, presentada por su autor en 1569, es que las dimensiones de los países se distorsionan de acuerdo a la distancia que tengan de la línea ecuatorial. Este principio se utiliza hasta hoy en aplicaciones como Google Maps.

El artículo completo en: RPP Noticias

Si los algoritmos nos hacen la compra, ¿para qué servirá el marketing?

Gran parte del marketing se basa en que las empresas envíen mensajes concretos a los clientes para influir en sus compras y consumo. No extraña entonces que los principales anunciantes del mundo sean empresas como Procter & Gamble, Nestlé y Unilever. Las tres venden productos de consumo que se compran y gastan de manera habitual y constante. El objetivo de las decenas de miles de millones de dólares que invierten en publicidad es recordar a los consumidores que necesitan comprar detergente, sopa, café, yogur o alimento para mascotas durante su próxima visita a la tienda. Pero dentro de pocos años, este modelo de marketing, publicidad y compras estará obsoleto. Los comienzos de este cambio ya son evidentes en avances como los botones Dash de Amazon que convierten las compras rutinarias en más simples y rutinarias si cabe.

No pasará mucho tiempo hasta que Amazon y otros minoristas puedan conocer tan bien los hábitos de sus clientes como para enviarles (de manera convencional o por dron) los aproximadamente 200 productos que se consumen de manera habitual. Los algoritmos de las empresas estimarán cuándo es apropiado reponerlos. Poco después, los armarios y las neveras inteligentes de cada hogar elaborarán sus propios pedidos. Liberarán al consumidor de tener que escribir listas de la compra, recordar qué necesitan o enfrentarse al tedio de las compras repetitivas. Los productos que necesiten llegarán hasta los domicilios como la luz y el agua. Para muchos productos, será un bot el que se encargue de la compra. Los clientes sólo tendrán que consumir.

¿Cómo será pues el marketing en un mundo en el que las máquinas hablan con otras máquinas?

Primero, en un mundo conectado, gastar miles de millones para recordar a los consumidores que han de comprar su marca parecería desmesuradamente despilfarrador. En su lugar, el gasto en publicidad se redirigirá a construir mejores relaciones, competir con los líderes del mercado, aumentar la tasa de consumo e intentar condicionar el diseño y a los propietarios de los algoritmos. Influir en los algoritmos –por ejemplo, al convertirse en una marca nativa o por defecto dentro de las opciones preinstaladas de software– será altamente valioso. Sabemos que el 90% de los compradores de smartphones y ordenadores no cambian la mayoría de las configuraciones de fábrica. Supone una gran ventaja para las aplicaciones y servicios instalados por defecto. En consecuencia, las empresas líderes se beneficiarán de unas barreras de entrada más altas. Quien aspire a entrar en el mercado, sobre todo en los productos básicos, tendrá que romper no sólo la inercia de los consumidores, sino también la de los bots ya programados, una mucho más difícil de superar.

Segundo, la fidelidad con una marca se redefinirá. Los equipos de marketing necesitarán diferenciar con mucha más claridad entre la mera recompra y la lealtad real. Tendrán que preguntarse, sobre todo en las marcas líderes, si el "leal" es el algoritmo o es el consumidor. Para las nuevos actores la pregunta crítica será qué necesitan para lograr que los consumidores reconfiguren sus algoritmos.

En tercer lugar, gran parte de la estrategias de marketing actuales se basa en la idea de que los consumidores son intérpretes imperfectos de los mensajes publicitarios. Las personas están sujetas a sesgos cognitivos como la atención selectiva y su capacidad para retener información. Los estudios sobre publicidad, por ejemplo, se centran en mejorar las probabilidades de que los consumidores hagan lo que dictan los anuncios. Buscan aumentar la eficacia de los anuncios al mejorar su tasa de conversión (el ratio entre las personas que compran un producto y las que han visto su anuncio).
Pero si esas decisiones las toman bots en vez de humanos, los anunciantes deberán dirigirse a ellos. Y los bots suelen hacer lo que se les mande, sin sesgos cognitivos. Así que las investigaciones se centrarán en entender cómo influir sobre las decisiones de los bots: ¿Cuáles son sus fuentes de información? ¿Qué criterios están programados para optimizar? ¿Cuáles son sus algoritmos de aprendizaje? Las investigaciones sobre los consumidores se centrarán en temas estratégicos como los patrones de consumo y la fidelización de la marca.

Por último, los efectos de las máquinas conectadas no se limitarán a las compras básicas. Muchas de las interacciones entre la empresa y el consumidor se producirán directamente entre la empresa y el producto. Por ejemplo, los coches que se retiren por problemas de seguridad o reparaciones imprevistas podrán dirigirse de manera autónoma al taller cuando no los utilicen sus propietarios. Los lavavajillas y aspiradoras actualizarán su software directamente desde la nube. Los botes de medicamentos no se abrirán expirada su fecha de caducidad. De las interacciones no placenteras se ocuparán los bots. Los clientes hartos de hablar con una máquina cuando llaman a su compañía telefónica pedirán a su bot que llame al bot de la compañía.

La robotización de las compras y el marketing cambiará cómo interactúan las empresas con los consumidores. Eliminar de la ecuación la imprevisibilidad de los consumidores aumentará la eficiencia del marketing; sólo los ahorros en publicidad sumarían miles de millones de dólares. Pero la oportunidad real se encuentra en la redefinición de la relación con el cliente, no en la reducción de costes. Pongan a sus máquinas a pensar en eso.

Fuente:

Harvatd Business Review

Matemáticas para predecir tsunamis

Un algoritmo recrea el origen de la ola para predecir su evolución

En caso de tsunami, la información es el mejor salvavidas. Los actuales sistemas de alerta permiten avisar con cierto grado de antelación a la población en riesgo una vez que los sensores instalados en el océano detectan movimientos anormales como consecuencia de un terremoto. En cambio, no se puede predecir con precisión qué cantidad de agua va a golpear la costa tiempo después ni con qué grado de violencia. La situación se complica cuando el comportamiento del tsunami en cuestión no encaja en ninguno de los patrones preestablecidos: entonces su desarrollo se vuelve imprevisible y se multiplican las posibilidades de perder vidas humanas; 8.000 al año, según la Oficina de Naciones Unidas para la Reducción del Riesgo de Desastres.

Para poner fin a esta situación, científicos de la Universidad Nacional de Australia están desarrollando un modelo matemático que se sirve de los datos ofrecidos por los sensores y boyas ubicados en los océanos para recrear cómo es la primera ola que se origina después de un terremoto bajo el agua. Con esa información y conocido el relieve del fondo del mar y sus movimientos, los investigadores podrán hacer mejores predicciones sobre lo que puede suceder cuando el agua alcance la costa. 

La base teórica del trabajo reside en el hecho de que los procesos físicos de los que depende la propagación de las ondas no cambian si al tiempo se le da la vuelta y se coloca primero la información recibida por los últimos sensores en detectar la gran ola, y así hacia atrás. "Hacemos esto en 20 puntos de observación repartidos por todo el océano. Este proceso da lugar a una imagen enfocada del tsunami en el punto de origen, en el espacio y el tiempo", explica a EL MUNDO Jan Dettmer, sismólogo de la Universidad Nacional de Australia. Gracias a eso, es posible asignar el punto de origen a una perturbación del agua. 

El artículo completo en:

El Mundo Ciencia

La ley de la selva siempre sigue las mismas reglas matemáticas

Los grandes ecosistemas del planeta repiten el mismo patrón que relaciona la biomasa de depredadores y presas.

Las matemáticas son una abstracción humana, pero gobiernan la vida salvaje del planeta. Ya sea en la sabana o en las profundidades del mar, los ecosistemas muestran siempre los mismos patrones matemáticos que relacionan la biomasa de depredadores con el de presas. Un monumental estudio con miles de especies demuestra cómo el aumento de comida disponible (presas) no lleva aparejado un aumento igual del número de depredadores. Y el patrón se reproduce casi de manera universal.

En la Tierra hay una gran variedad de ecosistemas marinos, terrestres, lacustres, de montaña, selváticos o desérticos. Unos están integrados por unas pocas especies, como en las cumbres alpinas o las fumarolas de las simas atlánticas. Otros son exuberantes, como la Amazonia brasileña o la reserva del Ngorongoro, en Tanzania. A pesar de tanta diversidad, todos pueden representarse en forma de pirámide, con una base, generalmente biomasa vegetal, y sucesivas capas que se alimentan de la precedente, como los herbívoros de aquella base y los grandes depredadores felinos de estos últimos.

La lógica y buena parte de las investigaciones en ecología dicen que a más biomasa en la base, más cantidad de energía en forma de comida para los de arriba: si hay más pasto en la sabana, habrá más gacelas y ñus, y si hay más gacelas y ñus, habrá más leones. Es decir, el tamaño de la pirámide puede aumentar, pero no cambia su forma. Sin embargo, no es así. La relación no es lineal, sigue en realidad una ley de potencia que es sublineal: a más gacelas y ñus, habrá 0,74 (o 3/4) más de leones. Y se ha comprobado en todos los ecosistemas donde ambos conviven. Desde el secarral del desierto del Kalahari hasta el rico cráter del Ngorongoro, pasando por el delta del Okavango o la reserva Kruger, siempre se repite esa ley de potencia.

"Una ley de potencia es una función matemática simple", dice el investigador de la Universidad McGill (Canadá) y principal autor del estudio, Ian Hatton. En ecología, se asumía que el exponente de esa ley de potencia era 1, lo que significa que cuando se dobla las presas [en número o densidad], también se dobla el de los depredadores. "Sin embargo, hemos comprobado un exponente cercano a los 3/4, lo que es menos que 1", añade el científico canadiense. Esto supone que si aumentan las gacelas, también lo harán los leones pero no en la misma proporción.

Lo que han descubierto Hatton y sus colegas es que esta ratio no es solo cosa de los leones. En el caso de las hienas y sus presas es de 0,74. En el de los tigres del sudeste asiático, también del 0,74. De los lobos de norteamericana, del 0,72... y así hasta una treintena de grandes depredadores y los centenares de especies de las que se alimentan. Tal y como muestran en un artículo publicado en Science, allí donde aumenta la biomasa de presas, la ratio depredador-presas disminuye.

El fenómeno, además, no es exclusivo de los grandes depredadores. Los investigadores repasaron más de 1.000 estudios sobre poblaciones ecológicas, densidad de especies, número de ejemplares, relaciones entre depredadores y presas... En total obtuvieron datos de 2.260 ecosistemas y unas 1.500 áreas geográficas. Hay estudios sobre grandes mamíferos, invertebrados, zooplancton que depreda el fitoplancton, invertebrados y plantas... En la práctica totalidad, a excepción de algunas comunidades de peces y protistas, la relación entre depredadores y presas siempre sigue esa ley de potencia elevado a 3/4.

"Estamos impresionados. Se trata de un patrón asombroso", dice en una nota el investigador de la Universidad de Guelph, Kevin McCanny, coautor del artículo. Sea el ecosistema que sea el observado, la cantidad relativa de biomasa de presas y depredadores puede ser predicha "por una simple función matemática", comenta.

Pero aquí no acaba la relación de la naturaleza con las matemáticas.
El artículo completo en:

El País 

Groenlandia: Los glaciares tienen menos tiempo del que se pensaba

Un estudio reveló que las paredes de hielo se erosionan a mayor velocidad debido a las corrientes de agua salada.

Los glaciares en Groenlandia se están derritiendo más rápido de lo esperado.

La NASA reveló este martes que los glaciares de esta isla se encuentran en un nivel más bajo en el oceano, lo que permite que la corriente erosione sus paredes con más facilidad y aumente el nivel del mar.

Las mediciones fueron tomadas durante tres años consecutivos y después analizadas para descubrir el nivel de salinidad, profundidad y temperatura del agua que se introduce en los glaciares.

"Es difícil obtener mediciones debajo de cientos de metros de agua marina en fiordos infestados de hielo", comentó Erick Rignot, quien trabaja en la universidad de California y en la agencia espacial. 

Sin embargo, pese a los obstáculos, el estudio descubrió que los glaciares con protección del agua marina aun la mantienen, aunque otros se encuentran profundamente erosionados a nivel subacuático y podrían derretirse en menos tiempo del que se creía.

Lee: Una plataforma de hielo de 10,000 años desaparecerá en 2020: NASA

"Los modelos de cálculo numérico de hielo no toma en cuenta estas interacciones (con el agua marina) y subestima lo rápido que responden los glaciares al calentamiento global", aseguró Rignot.Los glaciares en Groenlandia se están derritiendo más rápido de lo esperado.
 
La NASA reveló este martes que los glaciares de esta isla se encuentran en un nivel más bajo en el oceano, lo que permite que la corriente erosione sus paredes con más facilidad y aumente el nivel del mar.

Lee: Focas 'exploradoras' permiten a los científicos saber más de los océanos

Las mediciones fueron tomadas durante tres años consecutivos y después analizadas para descubrir el nivel de salinidad, profundidad y temperatura del agua que se introduce en los glaciares.

"Es difícil obtener mediciones debajo de cientos de metros de agua marina en fiordos infestados de hielo", comentó Erick Rignot, quien trabaja en la universidad de California y en la agencia espacial. 

Sin embargo, pese a los obstáculos, el estudio descubrió que los glaciares con protección del agua marina aun la mantienen, aunque otros se encuentran profundamente erosionados a nivel subacuático y podrían derretirse en menos tiempo del que se creía.

"Los modelos de cálculo numérico de hielo no toma en cuenta estas interacciones (con el agua marina) y subestima lo rápido que responden los glaciares al calentamiento global", aseguró Rignot.

Tomado de:

CNN

¡Matemática y malabares!

Aquellos que hayan visitado un campus universitario no habrán tenido mucha dificultad para encontrar estudiantes pasando el rato jugando a los malabares. Otra cosa fácil de encontrar en una universidad es empollones de todo tipo. En algunas ocasiones incluso ambos personajes resultan ser el mismo: un empollón malabarista. Y un empollón malabarista es precisamente lo que era Paul Klimek, que además de tener gran habilidad con las bolas era matemático en la Universidad de California en Santa Cruz.

Klimek, y posteriormente otros matemáticos, desarrollaron una notación numérica para trucos de malabares conocida como notación Siteswap (también llamada a veces Quantum Juggling o Cambridge Notation), que además de simple es bastante bonita.

La idea consiste en registrar la acción de cada mano en una secuencia temporal, como si las manos actuasen por turnos (izquierda, derecha, izquierda, derecha, …). Se visualiza mejor mediante un diagrama como este, en el que se supone que el tiempo “fluye” de arriba a abajo:

Ilustración via Wikicommons

Las acciones posibles son mano vacía, mano con bola, o lanzar bola (a diferentes alturas y cambiando o no de mano).

Cada acción se puede codificar con un número entero, contando para ello el número de pasos durante los cuales la bola se mantendrá en el aire. Lo mejor es verlo en un ejemplo:

El tiempo corre de arriba abajo. Así, este truco es equivalente a la secuencia 5314530…

El siguiente diagrama también puede ser útil:

“Siteswap relative visualized” by Hyacinth – Own work. Licensed under Creative Commons

Vemos algunas características de esta notación:

• Cuando aparece un número par, la bola se recogerá con la misma mano con la que es lanzada.
• Si es impar, la bola cambiará de mano.
• El número tiene que ver con el tiempo que pasa volando la bola, y por tanto con la altura a la que se lanza
• Un 0 representa una mano sin bola, y un 2 una mano que sostiene una bola sin lanzarla.

Hay que aclarar que normalmente los trucos no son tan complicados como el de este ejemplo. Habitualmente son secuencias muy cortas, como por ejemplo 333 o 40, y se da por hecho que se repiten periódicamente.

El artículo completo en:

Cultura Científica

Diagramas de Leibniz, Euler, Venn y Luetich (el razonamiento diagramático)

El razonamiento diagramático (también llamado razonamiento gráfico o conceptografía) es el que se lleva adelante haciendo uso de representaciones visuales de los conceptos. En esta técnica, los diagramas y los gráficos son más importantes que las palabras y las expresiones matemáticas. A estos diagramas también se les conoce como diagramas ontológicos; en un lñenguaje más preciso los diagramas ontol+ogicos son aquellos diagramas que muestran entes ("elementos") y las definiciones que a ellos se les ha aplicado ("conjuntos").

El origen de esta forma de razonamiento debe buscarse en los grafos de Llul y Leibniz, las líneas de Leibniz y los diagramas de Euler. Sin embargo, una expresión equivalente a "razonamiento diagramático" —aunque aplicada específicamente a una notación de dos dimensiones— recién aparece en 1879 con la publicación del libro Begriffsschrift de Gottlob Frege, que ha sido traducido al castellano como Conceptografía. La historia del razonamiento diagramático incluye también la creación por parte de Peirce del sistema de gráficos existenciales, una notación geométrica-topológica-lógica que Gardner consideraba "el más ambicioso sistema de lógica geométrica que se haya construido jamás".

En síntesis podemos decir que el razonamiento diagramático tiene tres campos: a) los diagramas ontológicos, b) los diagramas topológicos y c) los grafos.

a) Diagramas ontológicos

Los diagramas ontológicos son los que muestran las definiciones de los conjuntos por enumeración. En ellos, además de la relación entre las definiciones, se ve a los elementos (entes). De ahí su nombre.¹

Los diagramas de Leibniz son líneas abiertas que indican la posición relativa de los conjuntos.

diagrama de Leibniz

Las regiones de superposición corresponden a las intersecciones.

Los diagramas de Euler son construcciones gráficas con líneas cerradas (circunferencias, elipses) que delimitan colecciones de elementos y muestran su posición relativa. (Leibniz también usó círculos, pero prefería las líneas abiertas porque encontró que los primeros requerían en ciertos casos símbolos complementarios.)

diagrama de Euler

Cada región del diagrama contiene al menos un elemento. Los elementos pueden pertenecer a una sola colección o ser comunes a dos o más.

En los diagramas de Venn, todas las regiones posibles para una cantidad de definiciones dada aparecen representadas. Las regiones pueden estar vacías y en tal caso se las distingue sombreándolas.

diagrama de Venn

Todos los conjuntos están incluidos en otro (el universo U, marco de referencia).

En los diagramas de Luetich se representa otra región, la del Todo, cuya interpretación se dio en el "Glosario de ontología". En el Todo excepto U se encuentran los elementos no definidos o no considerados, es decir, aquellos que están escondidos en la oscuridad. El todo no es un conjunto.

diagrama de Luetich (2D)

Los diagramas de Luetich sirven para resolver problemas como el que Humpty Dumpty le planteó a Alicia en la obra "A través del espejo" de Lewis Carroll.

Estos cuatro tipos de diagramas de conjuntos corresponden a la categoría "diagramas ontológicos".

¹ "Diagramas ontológicos: de Leibniz a Luetich", Actas Acad. Luventicus, Editoriales.

² "Diagrama de Venn". Wikipedia, la enciclopedia libre.

³ "Glosario de ontología", Actas Acad. Luventicus, Sup. 1, Vol. I, No. 2.

⁴ "El no cumpleaños de Humpty Dumpty", Actas Acad. Luventicus, Editoriales.

⁵ "Razonamiento diagramático", "Razonamiento gráfico" o "Conceptografía". Wikipedia, la enciclopedia libre.

b) Diagramas topológicos

Son los diagramas que muestran la posición relativa de los conjuntos, pero no los elementos. La forma, el tamaño y la posición de las líneas cerradas no tienen importancia.

Regiones posibles

En los diagramas de conjuntos de Euler y de Venn se pone énfasis en indicar las regiones posibles. En los diagramas de Euler, solamente son representadas las regiones en las que puede haber elementos. En los diagramas de Venn, a las regiones que no contienen elementos se las anula sombreándolas.

diagrama de Euler	diagrama de Venn

En estos ejemplos se muestra que no hay elementos que pertenezcan a A y C que no sean también de B, ni tampoco elementos que pertenezcan exclusivamente a C. En el diagrama de Venn de conjuntos cada región sombreada es —para usar una expresión de Leibniz— una combinatio impossibilis. Se trata entonces de diagramas topológicos.²⁸

Topología flexible

En un intento por flexibilizar la topología de los sistemas, Peirce introdujo en los diagramas de Venn la notación lógica correspondiente a la disyunción. Con ello creó los diagramas de topología flexible. A esta extensión de Peirce siguieron otras dos (Venn-I y Venn-II), propuestas por Shin.²⁹

Extensión de Peirce

Charles Sanders Peirce (1839–1914), lógico americano considerado el padre de la semiótica moderna

La extensión de Peirce de los diagramas de Euler-Venn introduce tres símbolos:

• "o" para reemplazar al sombreado,
• "x" para indicar importación existencial, y
• "–" (línea) para unir los dos anteriores e indicar disyunción.²⁹

Así, por ejemplo, el siguiente diagrama representa la proposición: «Todo elemento de B es de A o algunos elementos de B son de A».

extensión de Peirce

Esta proposición topológica no se podría representar con un diagrama de Euler: sería necesario usar dos y buscar alguna manera de indicar la disyunción.

«Todo elemento de B es de A»	«Algunos elementos de B son de A»

Las ventajas de la notación de Peirce, en este caso, son grandes. Sin embargo, cuando las proposiciones son más complejas, la lectura del diagrama se torna dificultosa.²⁹

Primera extensión de Shin (Venn-I)

Esta extensión tiene las siguientes características:

• vuelve al sombreado de regiones para indicar que éstas no pueden ser ocupadas,
• usa el símbolo "x" de Peirce, y
• usa el símbolo "–", introducido por Peirce.

diagrama de Shin (Venn-I)	diagrama de Peirce

En estos diagramas (equivalentes), las dos premisas son:

• «Ningún elemento es sólo de B», y
• «B tiene algún elemento».

La conclusión, por lo tanto, es: «Algún elemento pertenece simultáneamente a B y A».

Segunda extensión de Shin (Venn-II)

Esta extensión tiene las mismas características que el anterior, pero agrega la posibilidad de conectar dos diagramas —que en este caso tienen representado el conjunto universal— con una línea de disyunción^.

diagrama de Shin (Venn-II)	diagrama de Peirce

La proposición, en este caso, es: «O todo elemento de A es elemento de B y algún elemento de A es de B, o ningún elemento de A es de B y algún elemento de B no es de A». El diagrama simple de Peirce es de lectura más difícil que el correspondiente diagrama doble de Shin.
 

Arañas

 Los diagramas con arañas son una extensión de los diagramas de Euler, y por lo tanto en ellos hay información topológica. Se los obtiene introduciendo restricciones de dos tipos: agregando "arañas" (secuencias x de Peirce generalizadas) y sombreando regiones. La presencia de una araña indica la existencia de un elemento en su "hábitat" (la región donde se encuentra). Una región sombreada es la que no contiene más elementos que los que indican las arañas correspondientes. Si una región sombreada no tiene arañas, está vacía. Dos arañas unidas por una línea indican la existencia de por lo menos un elemento en las regiones involucradas. El nombre "araña" se ha elegido porque en diagramas complejos muchas líneas pueden salir de cada punto, como los hilos de un nodo de una telaraña.

diagrama con arañas

El diagrama de la figura indica que:

• C está contenido en B;
• A – B tiene exactamente dos elementos;
• hay al menos un elemento en B – A.

El diagrama tiene 3 líneas limite de conjuntos (definiciones), indicadas con los rótulos A, B y C, y 6 regiones, por ejemplo la región cuyo contorno es B pero que no contiene elementos ni de A ni de C. Una zonas está sombreada y contiene sólo 2 elementos. El diagrama contiene 3 arañas: 2 de un pie cuyo hábitat es la zona de los elementos de A que no pertenecen a B y 1 "articulada", en la región de los elementos que son de B pero no de A.

 

c) Los grafos 

 

Los grafos son construcciones que surgen de representar elementos y sus conexiones.³² La teoría de grafos, como la teoría de conjuntos, está íntimamente ligada a la topología.^{33 34}

Cuadrado de oposición

Aristóteles (384 a.C.–322 a.C.), filósofo griego fundador de la lógica clásica

Aristóteles, al fundar la lógica, puso su atención en algunos cuantificadores usados en el lenguaje natural: todo, algún, ningún, no todo. Éstos pueden ser expresados usando la notación de Peirce de predicados (gráficos existenciales "beta"). El clásico "cuadrado de oposición de juicios" de Aristóteles quedaría entonces representado como se muestra en la figura.

El "cuadrado de oposición" de Aristóteles en la notación de Peirce

Diamante de Leibniz

Una muestra de razonamiento diagramático: grabado del libro de Leibniz De Arte Combinatoria de 1666

En el grabado de la portada del libro De Arte Combinatoria de 1666, Leibniz habría dado otra muestra de su lenguaje universal^. En él se representa la idea de los antiguos de que todas las cosas materiales están hechas de tierra, agua, aire y fuego, "elementos" que combinan las cualidades de: frío, húmedo, caliente y seco. Entre elementos, entre cualidades, y entre elementos y cualidades, han sido dibujadas líneas, cada una con un rótulo. Así, por ejemplo, a los nodos SICCITAS y HVMIDITAS ("sequedad" y "humedad") se los ha conectado con una línea rotulada Combinatio impossibilis ("combinación imposible"). En otros términos, de los elementos de estos dos conjuntos, el grabado muestra las conexiones, objeto de estudio de la topología. La characteristica es, en este caso, una notación topológica.³⁷ El siguiente grafo es una variante del Diamante de Leibniz, que muestra la relación entre elementos y cualidades a la manera de un grafo bipartido.

Cuando dos cualidades concurren en un elemento es porque su combinación es posible. Por ejemplo, CALIDITAS y HVMIDITAS concurren en AER. Cuando dos cualidades no se encuentran en ningún elemento, su combinación es imposible. Tal es el caso de HVMIDITAS y SICCITAS. Con estos elementos y cualidades, sujetas a las restricciones mencionadas, se puede deducir la cantidad de combinaciones posibles.

El diamante de Leibniz puede ser representado sin recurrir a un grafo partido, simplemente usando cuatro conjuntos. En este caso, a menos que a los conjuntos se los dibuje como rectángulos, quedarían regiones vacías. Para indicar esa situación se puede hacer uso de un diagrama con arañas.

diagrama de conjuntos	diagrama con arañas

Estas representaciones actuales del tema que Leibniz tomó de los antiguos para ilustrar su libro de análisis combinatorio muestran lo que ha sido la historia del razonamiento diagramático, un área de trabajo en la que se ha vuelto siempre sobre los mismos complejos problemas, desde la perspectiva de especialistas en las materias más diversas.³⁷

Árboles

Los árboles son unos grafos especiales con estructura jerárquica, que pueden ser usados para dar la misma información topológica que los diagramas de Euler y de Venn.

árbol del diagrama de Euler	diagrama de Euler
árbol del diagrama de Venn	diagrama de Venn

Cada árbol muestra las regiones posibles del diagrama que está a su derecha. Las primeras 2 ramas corresponden al conjunto A; las restantes 4, al conjunto B. En el diagrama de Euler, la rama de no pertenencia (∉) a A aparece de color gris, ya que no es una región posible. En consecuencia, también están de ese color las ramas derivadas. En el diagrama de Venn, dado que se define un conjunto universal, la no pertenencia a A es posible, exceptuando el caso de pertenencia (∈) simultánea a B.³¹

Notación bidimensional

Friedrich Ludwig Gottlob Frege (1848–1925), matemático alemán considerado por muchos el fundador de la lógica moderna

La notación bidimensional de Frege permite representar las operaciones lógicas con conexiones.³⁹

notación bidimensional de Frege

Este esquema representa la disyunción lógica A ∨ B, o mejor, ¬A → B.⁴⁰
En su trabajo sobre los axiomas del cálculo proposicional, Frege recurría sólo a las operaciones negación e implicación.

Obsérvese que la notación de los diagramas "beta" de Peirce —con recortes abreviados o no— también es bidimensional, como se puede ver claramente en la lista de reglas de inferencia.
 

 

Fuentes:

 

Luventicus

 

Wikipedia