Diagramas de Leibniz, Euler, Venn y Luetich (el razonamiento diagramático)

El razonamiento diagramático (también llamado razonamiento gráfico o conceptografía) es el que se lleva adelante haciendo uso de representaciones visuales de los conceptos. En esta técnica, los diagramas y los gráficos son más importantes que las palabras y las expresiones matemáticas. A estos diagramas también se les conoce como diagramas ontológicos; en un lñenguaje más preciso los diagramas ontol+ogicos son aquellos diagramas que muestran entes ("elementos") y las definiciones que a ellos se les ha aplicado ("conjuntos").

El origen de esta forma de razonamiento debe buscarse en los grafos de Llul y Leibniz, las líneas de Leibniz y los diagramas de Euler. Sin embargo, una expresión equivalente a "razonamiento diagramático" —aunque aplicada específicamente a una notación de dos dimensiones— recién aparece en 1879 con la publicación del libro Begriffsschrift de Gottlob Frege, que ha sido traducido al castellano como Conceptografía. La historia del razonamiento diagramático incluye también la creación por parte de Peirce del sistema de gráficos existenciales, una notación geométrica-topológica-lógica que Gardner consideraba "el más ambicioso sistema de lógica geométrica que se haya construido jamás".

En síntesis podemos decir que el razonamiento diagramático tiene tres campos: a) los diagramas ontológicos, b) los diagramas topológicos y c) los grafos.

a) Diagramas ontológicos

Los diagramas ontológicos son los que muestran las definiciones de los conjuntos por enumeración. En ellos, además de la relación entre las definiciones, se ve a los elementos (entes). De ahí su nombre.¹

Los diagramas de Leibniz son líneas abiertas que indican la posición relativa de los conjuntos.

diagrama de Leibniz

Las regiones de superposición corresponden a las intersecciones.

Los diagramas de Euler son construcciones gráficas con líneas cerradas (circunferencias, elipses) que delimitan colecciones de elementos y muestran su posición relativa. (Leibniz también usó círculos, pero prefería las líneas abiertas porque encontró que los primeros requerían en ciertos casos símbolos complementarios.)

diagrama de Euler

Cada región del diagrama contiene al menos un elemento. Los elementos pueden pertenecer a una sola colección o ser comunes a dos o más.

En los diagramas de Venn, todas las regiones posibles para una cantidad de definiciones dada aparecen representadas. Las regiones pueden estar vacías y en tal caso se las distingue sombreándolas.

diagrama de Venn

Todos los conjuntos están incluidos en otro (el universo U, marco de referencia).

En los diagramas de Luetich se representa otra región, la del Todo, cuya interpretación se dio en el "Glosario de ontología". En el Todo excepto U se encuentran los elementos no definidos o no considerados, es decir, aquellos que están escondidos en la oscuridad. El todo no es un conjunto.

diagrama de Luetich (2D)

Los diagramas de Luetich sirven para resolver problemas como el que Humpty Dumpty le planteó a Alicia en la obra "A través del espejo" de Lewis Carroll.

Estos cuatro tipos de diagramas de conjuntos corresponden a la categoría "diagramas ontológicos".

¹ "Diagramas ontológicos: de Leibniz a Luetich", Actas Acad. Luventicus, Editoriales.

² "Diagrama de Venn". Wikipedia, la enciclopedia libre.

³ "Glosario de ontología", Actas Acad. Luventicus, Sup. 1, Vol. I, No. 2.

⁴ "El no cumpleaños de Humpty Dumpty", Actas Acad. Luventicus, Editoriales.

⁵ "Razonamiento diagramático", "Razonamiento gráfico" o "Conceptografía". Wikipedia, la enciclopedia libre.

b) Diagramas topológicos

Son los diagramas que muestran la posición relativa de los conjuntos, pero no los elementos. La forma, el tamaño y la posición de las líneas cerradas no tienen importancia.

Regiones posibles

En los diagramas de conjuntos de Euler y de Venn se pone énfasis en indicar las regiones posibles. En los diagramas de Euler, solamente son representadas las regiones en las que puede haber elementos. En los diagramas de Venn, a las regiones que no contienen elementos se las anula sombreándolas.

diagrama de Euler	diagrama de Venn

En estos ejemplos se muestra que no hay elementos que pertenezcan a A y C que no sean también de B, ni tampoco elementos que pertenezcan exclusivamente a C. En el diagrama de Venn de conjuntos cada región sombreada es —para usar una expresión de Leibniz— una combinatio impossibilis. Se trata entonces de diagramas topológicos.²⁸

Topología flexible

En un intento por flexibilizar la topología de los sistemas, Peirce introdujo en los diagramas de Venn la notación lógica correspondiente a la disyunción. Con ello creó los diagramas de topología flexible. A esta extensión de Peirce siguieron otras dos (Venn-I y Venn-II), propuestas por Shin.²⁹

Extensión de Peirce

Charles Sanders Peirce (1839–1914), lógico americano considerado el padre de la semiótica moderna

La extensión de Peirce de los diagramas de Euler-Venn introduce tres símbolos:

• "o" para reemplazar al sombreado,
• "x" para indicar importación existencial, y
• "–" (línea) para unir los dos anteriores e indicar disyunción.²⁹

Así, por ejemplo, el siguiente diagrama representa la proposición: «Todo elemento de B es de A o algunos elementos de B son de A».

extensión de Peirce

Esta proposición topológica no se podría representar con un diagrama de Euler: sería necesario usar dos y buscar alguna manera de indicar la disyunción.

«Todo elemento de B es de A»	«Algunos elementos de B son de A»

Las ventajas de la notación de Peirce, en este caso, son grandes. Sin embargo, cuando las proposiciones son más complejas, la lectura del diagrama se torna dificultosa.²⁹

Primera extensión de Shin (Venn-I)

Esta extensión tiene las siguientes características:

• vuelve al sombreado de regiones para indicar que éstas no pueden ser ocupadas,
• usa el símbolo "x" de Peirce, y
• usa el símbolo "–", introducido por Peirce.

diagrama de Shin (Venn-I)	diagrama de Peirce

En estos diagramas (equivalentes), las dos premisas son:

• «Ningún elemento es sólo de B», y
• «B tiene algún elemento».

La conclusión, por lo tanto, es: «Algún elemento pertenece simultáneamente a B y A».

Segunda extensión de Shin (Venn-II)

Esta extensión tiene las mismas características que el anterior, pero agrega la posibilidad de conectar dos diagramas —que en este caso tienen representado el conjunto universal— con una línea de disyunción^.

diagrama de Shin (Venn-II)	diagrama de Peirce

La proposición, en este caso, es: «O todo elemento de A es elemento de B y algún elemento de A es de B, o ningún elemento de A es de B y algún elemento de B no es de A». El diagrama simple de Peirce es de lectura más difícil que el correspondiente diagrama doble de Shin.
 

Arañas

 Los diagramas con arañas son una extensión de los diagramas de Euler, y por lo tanto en ellos hay información topológica. Se los obtiene introduciendo restricciones de dos tipos: agregando "arañas" (secuencias x de Peirce generalizadas) y sombreando regiones. La presencia de una araña indica la existencia de un elemento en su "hábitat" (la región donde se encuentra). Una región sombreada es la que no contiene más elementos que los que indican las arañas correspondientes. Si una región sombreada no tiene arañas, está vacía. Dos arañas unidas por una línea indican la existencia de por lo menos un elemento en las regiones involucradas. El nombre "araña" se ha elegido porque en diagramas complejos muchas líneas pueden salir de cada punto, como los hilos de un nodo de una telaraña.

diagrama con arañas

El diagrama de la figura indica que:

• C está contenido en B;
• A – B tiene exactamente dos elementos;
• hay al menos un elemento en B – A.

El diagrama tiene 3 líneas limite de conjuntos (definiciones), indicadas con los rótulos A, B y C, y 6 regiones, por ejemplo la región cuyo contorno es B pero que no contiene elementos ni de A ni de C. Una zonas está sombreada y contiene sólo 2 elementos. El diagrama contiene 3 arañas: 2 de un pie cuyo hábitat es la zona de los elementos de A que no pertenecen a B y 1 "articulada", en la región de los elementos que son de B pero no de A.

 

c) Los grafos 

 

Los grafos son construcciones que surgen de representar elementos y sus conexiones.³² La teoría de grafos, como la teoría de conjuntos, está íntimamente ligada a la topología.^{33 34}

Cuadrado de oposición

Aristóteles (384 a.C.–322 a.C.), filósofo griego fundador de la lógica clásica

Aristóteles, al fundar la lógica, puso su atención en algunos cuantificadores usados en el lenguaje natural: todo, algún, ningún, no todo. Éstos pueden ser expresados usando la notación de Peirce de predicados (gráficos existenciales "beta"). El clásico "cuadrado de oposición de juicios" de Aristóteles quedaría entonces representado como se muestra en la figura.

El "cuadrado de oposición" de Aristóteles en la notación de Peirce

Diamante de Leibniz

Una muestra de razonamiento diagramático: grabado del libro de Leibniz De Arte Combinatoria de 1666

En el grabado de la portada del libro De Arte Combinatoria de 1666, Leibniz habría dado otra muestra de su lenguaje universal^. En él se representa la idea de los antiguos de que todas las cosas materiales están hechas de tierra, agua, aire y fuego, "elementos" que combinan las cualidades de: frío, húmedo, caliente y seco. Entre elementos, entre cualidades, y entre elementos y cualidades, han sido dibujadas líneas, cada una con un rótulo. Así, por ejemplo, a los nodos SICCITAS y HVMIDITAS ("sequedad" y "humedad") se los ha conectado con una línea rotulada Combinatio impossibilis ("combinación imposible"). En otros términos, de los elementos de estos dos conjuntos, el grabado muestra las conexiones, objeto de estudio de la topología. La characteristica es, en este caso, una notación topológica.³⁷ El siguiente grafo es una variante del Diamante de Leibniz, que muestra la relación entre elementos y cualidades a la manera de un grafo bipartido.

Cuando dos cualidades concurren en un elemento es porque su combinación es posible. Por ejemplo, CALIDITAS y HVMIDITAS concurren en AER. Cuando dos cualidades no se encuentran en ningún elemento, su combinación es imposible. Tal es el caso de HVMIDITAS y SICCITAS. Con estos elementos y cualidades, sujetas a las restricciones mencionadas, se puede deducir la cantidad de combinaciones posibles.

El diamante de Leibniz puede ser representado sin recurrir a un grafo partido, simplemente usando cuatro conjuntos. En este caso, a menos que a los conjuntos se los dibuje como rectángulos, quedarían regiones vacías. Para indicar esa situación se puede hacer uso de un diagrama con arañas.

diagrama de conjuntos	diagrama con arañas

Estas representaciones actuales del tema que Leibniz tomó de los antiguos para ilustrar su libro de análisis combinatorio muestran lo que ha sido la historia del razonamiento diagramático, un área de trabajo en la que se ha vuelto siempre sobre los mismos complejos problemas, desde la perspectiva de especialistas en las materias más diversas.³⁷

Árboles

Los árboles son unos grafos especiales con estructura jerárquica, que pueden ser usados para dar la misma información topológica que los diagramas de Euler y de Venn.

árbol del diagrama de Euler	diagrama de Euler
árbol del diagrama de Venn	diagrama de Venn

Cada árbol muestra las regiones posibles del diagrama que está a su derecha. Las primeras 2 ramas corresponden al conjunto A; las restantes 4, al conjunto B. En el diagrama de Euler, la rama de no pertenencia (∉) a A aparece de color gris, ya que no es una región posible. En consecuencia, también están de ese color las ramas derivadas. En el diagrama de Venn, dado que se define un conjunto universal, la no pertenencia a A es posible, exceptuando el caso de pertenencia (∈) simultánea a B.³¹

Notación bidimensional

Friedrich Ludwig Gottlob Frege (1848–1925), matemático alemán considerado por muchos el fundador de la lógica moderna

La notación bidimensional de Frege permite representar las operaciones lógicas con conexiones.³⁹

notación bidimensional de Frege

Este esquema representa la disyunción lógica A ∨ B, o mejor, ¬A → B.⁴⁰
En su trabajo sobre los axiomas del cálculo proposicional, Frege recurría sólo a las operaciones negación e implicación.

Obsérvese que la notación de los diagramas "beta" de Peirce —con recortes abreviados o no— también es bidimensional, como se puede ver claramente en la lista de reglas de inferencia.
 

 

Fuentes:

 

Luventicus

 

Wikipedia

¿Qué es un diagrama de Carroll? (¿y cuáles son sus aplicaciones didácticas?)

Los diagrama de Venn tienen problemas para representar más de tres conjuntos... por lo tanto estos diagramas tuvieron que evolucionar, y es aquí donde aparece Lewis Carroll, conocido mundialmente por ser el creador de Alicia en el País de las Maravillas, pero Carroll fue también un gran matemático y, a la vez, el creador de los diagramas que llevan su nombre. Veamos:

Un diagrama de Lewis Carroll es un diagrama usado para agrupar cosas de una manera sí/no. Números y objetos son categorizados como x (teniendo una cualidad x) o no x (no teniendo este atributo). Son llamados así en alusión a Lewis Carroll, el seudónimo de Charles Lutwidge Dodgson, el famoso autor de Alicia en el País de las Maravillas quien también era matemático.

Aunque los diagramas de Carroll pueden ser simples como el mostrado arriba, los más conocidos son como el mostrado abajo, donde dos atributos son mostrados. El universo de un diagrama de Carroll se contiene dentro de las cajas en el diagrama, como cualquier número u objeto tiene que, o tener una cualidad, o no tenerla.

Los diagramas de Carroll son frecuentemente aprendidos por escolares, pero pueden ser usados también fuera de este campo. Por ejemplo, representan una manera muy ordenada y útil de categorizar y exhibir ciertos tipos de información.

Estos diagramas usados muy frecuentemente en la teoría de conjuntos aplicada a estructuras computacionales, son de gran ayuda en el manejo de las estructuras booleanas donde se manejan los estados de los circuitos electrónicos como 1 y 0 en el sistema binario (encendido y apagado), además de que es una evolución del diagrama de Venn el cual tiene problemas para representar todas las regiones existentes cuando el número de conjuntos es mayor a tres... Fuente: Wikipedia  

Aplicaciones didácticas de los diagramas de Carroll (educación primaria)

Por su sencillez tanto los diagramas de Venn como los diagramas de Carroll se emplean en la enseñanza de las matemáticas a niños de educación primaria; las aplicaciones didácticas, de estos diagramas, son muchas:

1) Una manera sumamente sencilla de comprender la funcionalidad de un diagrama de Carrlll la podemos ver en el siguiente GIF. En este caso se trata el tema de los ANIMALES. En las filas están las variables AVES y NO AVES, y en las columnas están las variables VUELAN y  NO VUELAN.

via GIPHY

Otra aplicación de los diagramas de Carroll. En las columnas tenemos los atributos VEGETAL y NO VEGETAL. En las filas tenemos los atributos ES ROJO y NO ES ROJO.

En la siguiente imagen vemos las variables: PAR e IMPAR en las filas y MÚLTIPLOS DE 3 y MÚLTIPLOS DE 5 en las columnas.

Otros ejemplos: RAPARIGA (niña), RAPAZ (niño)...


El número de criterios de clasificación puede ser mayor de dos (info tomada de AQUÍ):

Más ejemplos. Con osos de juguete, de plastilina... ¡o de gominola!

Más problemas, con diagramas de Carroll en este documento (PDF).

Crear juegos y crear problemas

Gracias los programas de DESCARTES puedes jugar con los diagras de Carroll en tu computadora o tablet. Ingresa AQUÍ. Es un juego sencillo, te animo a tú crees tus propios juegos con Diagrams de Carroll.

Ahora nosotros te damos una imagen, yt a partir de ella tú debes de crear un problema:

Videos y presentaciones con diagrams de Carroll

En el siguiente video podemos ver la resolución del siguiente problema:

Problema 01

Para los votantes de una cierta comunidad de 300 personas se tiene que:
 - 110 son mayores de 20 años
 - 120 son mujeres y 50 mujeres son mayores de 20 años

Determine el número de votantes que:

a) Son hombres.
b) Son hombres mayores de 20 años
c) Son mujeres con 20 o menos años.
d) Son hombres con 20 o menos años
e) Tienen 20 o menos años.

Más videos en el blog del Profe Alex

Resolución de problemas matemáticos empleando diagramas de Lewis Carroll en esta presentación:

Diagramas de carroll from Hespinoza

Más problemas resueltos en el blog MATEMÁTICA1


Lectura recomendada

Lea "Las diversiones matemáticas de un matemático aburrido: Lewis Carroll" en este PDF.

Finalmente: De los diagramas de Venn a los diagramas de Carroll y a los diagramas árbol hay un solo paso. Pero esto lo veremos en la siguiente entrega.

¡Hasta pronto!

Mag. Leonardo Sánchez Coello

Educación y Didáctica

conocerciencia.com

@conocerciencia

Diagramas de Venn y diagramas de Edwards

La dificultad de representar más de tres conjuntos mediante diagramas de Venn es evidente. Venn sentía afición por los diagramas de más de tres conjuntos, a los que definía como "figuras simétricas, elegantes en sí mismas". A lo largo de su vida, diseñó varias representaciones usando elipses, y dejó indicaciones para la construcción de diagramas con cualquier cantidad de curvas, partiendo del diagrama de tres círculos.

Diagramas de Edwards

Y es entonces que aparece Anthony William Fairbank Edwards que propuso diagramas para más de tres conjuntos, proyectando el diagrama sobre una esfera. 

Tres conjuntos pueden ser representados fácilmente tomando tres hemisferios en ángulos rectos (x = 0, y = 0 y z = 0). 

Un cuarto conjunto puede ser representado tomando una curva similar a la juntura de una pelota de tenis que suba y baje alrededor del ecuador. Los conjuntos resultantes pueden ser proyectados de nuevo sobre el plano para mostrar diagramas de tipo engranaje, con cantidades cada vez mayores de dientes. 

Edwards ideó estos diagramas mientras diseñaba la ventana acristalada en memoria de Venn que hoy adorna el comedor del Caius College.

3 conjuntos	4 conjuntos
5 conjuntos	6 conjuntos

El mapa de Karnaugh

Un mapa de Karnaugh (también conocido como tabla de Karnaugh o diagrama de Veitch, abreviado como Mapa-K o Mapa-KV) es un diagrama utilizado para la simplificación de funciones algebraicas Booleanas. El mapa de Karnaugh fue inventado en 1950 por Maurice Karnaugh, un físico y matemático de los laboratorios Bell.

Los mapas de Karnaugh reducen la necesidad de hacer cálculos extensos para la simplificación de expresiones booleanas, aprovechando la capacidad del cerebro humano para el reconocimiento de patrones y otras formas de expresión analítica, permitiendo así identificar y eliminar condiciones muy inmensas.

El mapa de Karnaugh consiste en una representación bidimensional de la tabla de verdad de la función a simplificar. Puesto que la tabla de verdad de una función de N variables posee 2^N filas, el mapa K correspondiente debe poseer también 2^N cuadrados. Las variables de la expresión son ordenadas en función de su peso y siguiendo el código Gray, de manera que sólo una de las variables varía entre celdas adyacentes. La transferencia de los términos de la tabla de verdad al mapa de Karnaugh se realiza de forma directa, albergando un 0 ó un 1, dependiendo del valor que toma la función en cada fila. Las tablas de Karnaugh se pueden utilizar para funciones de hasta 6 variables. Más información AQUÍ.

Fuente:

Wikipedia

¿Cúal es la diferencia entre los diagramas de Venn y los diagramas de Euler?

Por lo general, entre los estudiantes de matemáticas, se observa confusión entre los diagramas de Venn y los diagramas de John Euler, pero, como probablemente ya dedució usted amable lector, se trata de diagramas diferentes... parecidos sí, pero diferentes... Son tan parecidos que inclusive en muchos textos de matemática y páginas web se les llma diagramas de Venn-Euler... En fin, en esta ocasión les vamos a describir las diferencias entre los diagramas de John Venn y los de Leonhard Euler (y todo gracias a la Wikipedia):

Un diagrama de Euler o esquema de Euler es una manera diagramática de representar a los conjuntos y sus relaciones. Son una representación moderna de los círculos de Euler, los cuales deben su nombre a su creador, Leonhard Euler.

Los diagramas de Euler normalmente consisten de simples curvas cerradas en el plano que son usadas para describir conjuntos. Las relaciones espaciales entre las curvas (superposición, contención o ninguno) corresponden, respectivamente, a relaciones de intersección, subconjunto y disjuntes, de la teoría de conjuntos.

Estos diagramas son una generalización del bien conocido diagrama de Venn, el cual representa todas las posibles intersecciones entre los conjuntos presentes dados.

A la intersección del interior de una colección de curvas con el exterior del resto de curvas se le llama zona. Así, dado un conjunto de curvas, en los diagramas de Venn todas las zonas deben estar presentes, pero no así en un diagrama de Euler, donde algunas zonas podrían no estar.

En el sentido de la lógica, uno puede usar la semántica de un modelo teórico para interpretar los diagramas de Euler dentro de un dominio de discurso. En el ejemplo de la figura, el diagrama de Euler representa que los conjuntos Animal y Mineral son disjuntos, porque las curvas correspondientes son disjuntas, y también que el conjunto Four Legs es un subconjunto del conjunto Animal. 

El diagrama de Venn que usa las mismas categorías Animal, Mineral y Four Legs no encapsula esta información. Tradicionalmente, este vacío de un conjunto en los diagramas de Venn es descrito por un sombreado o achurado de la región. Los diagramas de Euler, en cambio, representan vacío ya sea por el sombreado o por la omisión de una de las zonas.

A menudo se impone un conjunto de condiciones bien formadas, que corresponden a restricciones topológicas o geométricas impuestas a la estructura del diagrama. Por ejemplo, se puede forzar la conectitud de las zonas, o prohibir la concurrencia de curvas o puntos múltiples como forma de representar intersecciones tangenciales de curvas. 

En el diagrama de abajo, se observa la transformación secuencial de pequeños diagramas de Venn en diagramas de Euler; algunos de los diagramas intermedios tienen concurrencia de curvas. Sin embargo, esta secuencia de transformaciones desde un diagrama de Venn con sombreado hasta un diagrama de Euler sin sombreado, no es siempre posible. En efecto, existen ejemplos de diagramas de Euler con 9 conjuntos que no son diagramables usando curvas cerradas simples y sin la creación de zonas no deseadas, puesto que ellos tendrían que tener grafos duales no planares.

Texto e imágenes de;

Wikipedia

John Venn y los diagramas de Venn

John Venn (1835) fue criado en el seno de una familia que jugó un papel destacado en el movimiento evangélico. De él se esperaba que siguiese la tradición familiar y que, al igual que su padre, se convirtiese en ministro cristiano. Aunque en 1859 llegó a ordenarse como sacerdote, la vida de John Venn siempre estuvo ligada a las ciencias, tanto en el seno de la moral como del empirismo, al considerar incompatible el anglicanismo con sus creencias filosóficas.

El área de mayor interés para John Venn fue sin duda la de la lógica. De ahí que todas sus obras versasen sobre esa materia. Su primera publicación salió a la luz en 1866 bajo el nombre de La lógica del azar y con ella introdujo la teoría de frecuencia de la probabilidad.

Las siguientes publicaciones de John Venn se centraron en el estudio de una lógica matemática mucho más pura. En 1881 publicó Lógica simbólica con la que dio a conocer sus diagramas y ocho años después presentó Los principios de la lógica empírica.

A pesar de su dedicación hacia este campo de estudio, John Venn pasó sus últimos días a estudiar la historia del colegio en el que se formó, la de la Universidad de Cambridge y la de su propia familia. En una de las vidrieras del Colegio de Gonville y Gaius puede verse un diagrama de Venn en conmemoración a su creador. John Venn falleció en 1923, a la edad de 88 años.

Fuente:

La Voz de Galicia

Ideal