10 acertijos clásicos que pondrán a prueba tu capacidad lógica

Por pensamiento lateral se conoce una forma de pensamiento que consiste en solucionar problemas de una forma creativa. El término fue acuñado por Edward de Bono en el año 1967, en el libro New Think: the Use of Lateral Thinking. Se han diseñado diversos acertijos que, presentados como un problema tradicional, ponen a prueba los principios lógicos del que ha de resolverlos. Se trata de, como se dice en inglés, de “pensar fuera de la caja”. A continuación presentamos algunos de los acertijos clásicos relacionados con esta manera de pensar. No te preocupes: aunque la respuesta parezca evidente una vez conocida, no resulta tan sencillo adivinarla si no hemos sido capaces de encontrar la clave para responderla.

¿Cuántas has contestado correctamente (sin hacer trampas y mirar la respuesta)?

1. El padre de Juan le dice a su hijo que le va a otorgar dos monedas de curso legal. “Entre las dos suman tres euros, pero una de ellas no es de un euro”. ¿Cuáles son las monedas?
2. ¿Qué día del año hablan menos los charlatanes?
3. Juan se levanta por la mañana y descubre que la luz de la habitación no funciona. Abre el cajón de los guantes, en el que hay diez guantes negros y diez azul oscuro. ¿Cuántos debe coger para asegurarse de que obtiene un par del mismo color?
4. ¿Cuántas veces puede restarse el número 1 del número 1.111?
5. Dos personas viajan en coche. La menor es hija de la mayor, pero la mayor no es su padre. ¿Quién es?
6. En una carrera, un corredor adelanta al que va segundo. ¿En qué posición se coloca?
7. ¿Cómo puede sobrevivir alguien que cae de un edificio de 50 pisos?
8. Una mujer compra en una tienda de animales a un loro que, según le promete el dependiente, es capaz de repetir todo lo que oiga. Y, sin embargo, la mujer devuelve al animal una semana después puesto que no ha pronunciado ni un solo sonido, a pesar de que le ha hablado continuamente. Sin embargo, el dependiente no la ha engañado. ¿Qué ha pasado?
9. Conduces un autobús, en el que se montan 18 personas. En la siguiente parada, se bajan 5 pero suben otras 13. Al llegar a la siguiente estación, se bajan 21 y se suben otras 4. ¿De qué color son los ojos del conductor?
10. Un granjero tiene 10 conejos, 20 caballos y 40 cerdos. Si llamamos “caballos” a los “cerdos”, ¿cuántos caballos tendrá?

RESPUESTAS

Respuesta 1. Una de dos euros y otra de un euro. El padre de Juan le dice a su hijo que una de ellas no es de un euro… pero la otra sí puede serlo.

Respuesta 2. El día en el que se adelante la hora en primavera para adaptarse al horario de verano, puesto que es el día del año que menos horas tiene.

Respuesta 3. 11. Pongámonos en el peor de los casos, en el que Juan coge los diez guantes derechos (o izquierdos) de ambos colores, lo que le haría imposible obtener una pareja. Con uno más le bastaría para completar la pareja.

Respuesta 4. Tan sólo una, puesto que en las ocasiones consecutivas estaríamos restándolo al número 1.110, 1.109, 1.108…

Respuesta 5. Su madre.

Respuesta 6. En segundo lugar.

Respuesta 7. Cayendo desde el primer piso: el enunciado no identifica de dónde cae la persona.

Respuesta 8. El loro es sordo.

Respuesta 9. ¿De qué color son tus ojos?

Respuesta 10. Seguirá teniendo 20. Llamarlos de otra manera no provoca que se transformen. 

Si se ha quedado con ganas de más, intente resolver el acertijo que los chinos ponen a los niños de 6 años 

Tomado de:

El Confidencial

Problemas razonados de álgebra... sin álgebra

El problema de edades del post de las 11 preguntas de ENLACE se puede responder sin álgebra, es decir, sin manipulacones algebraicas. Este hecho me llevó a redactar el presente post, el cual puede ser de alguna utilidad para los adolescentes interesados en las matemáticas. El post presenta varios problemas razonados clásicos. Las soluciones aquí presentadas representan una curiosidad de razonamiento lógico, basado en inferencias a partir de los datos y manteniendo la simbolización a un mínimo. 

1. El padre tiene 20 años más que su hijo. Dentro de 12 años tendrá el doble que su hijo. ¿Qué edad tienen?

Solución

Puesto que la diferencia de edades no cambia con los años, entonces 20 es igual a la edad del hijo más 12. Es decir, el hijo tiene 8 y el padre 28.

2. Las edades de un matrimonio suman 62 años. Cuando se casaron,  hace 10 años, la novia tenía 3/4 de la edad del novio. ¿Qué edad tienen?

Solución

Hace 10 años sus edades sumaban 42, lo cual es equivalente a 7/4 de la edad del novio. Es decir, un cuarto de la edad del novio era 6 años. De aquí que tenían 18 y 24. Por tanto, actualmente tienen 28 y 34. (Otra forma: si hubiesen tenido la misma edad en la boda, sería 21; por tanteos se llega a que tenían 18 y 24, etc.)

3. Hace 6 años el padre tenía 4 veces la edad del hijo. Dentro de 10 tendrá el doble. ¿Qué edad tienen?

Solución

La diferencia de edades hace 6 años era 3 veces la edad del hijo. Dentro de 10 esta diferencia será la edad del hijo. Pero la diferencia es constante. Por tanto, si h era la edad del hijo hace 6 años, 3h=h+16. Es decir, el hijo tenía 8 hace 6 (y el padre 32). Así que ahora tiene 14 y el padre 38.

4. Tres enteros consecutivos suman 204. Encuéntralos.

Solución

Si fueran iguales sería el 68. Pero son consecutivos. Por tanto son los consecutivos 67, 68, 69.

5. El perímetro de un cuadrado es el triple de otro cuyos lados miden 8 unidades menos. Calcular el lado de cada uno.

Solución

El perímetro del grande tiene 32 unidades más que el del pequeño y es el triple que el de éste. Por tanto, p+p+32=4p. Es decir, el perímetro del pequeño es de 16 unidades (pues 32 tiene que ser 2p). La respuesta es entonces 4 y 12.

6. Hace 12 años el padre tenía cuatro veces la edad del hijo y dentro de 12 su edad será solamente el doble ¿cuántos años tienen?

Solución

Hace 12 años la diferencia de edades era 3 veces la edad del hijo, y dentro de 12 años tal diferencia será la edad del hijo. Pero la diferencia de edades se mantiene constante. Si h es la edad del hijo hace 12 años, se tiene 3h=h+24. Es decir, la edad del hijo hace 12 años era de 12 y la del padre 48. Por tanto, actualmente tienen 24 y 60.

7. Tres impares consecutivos suman 81. Encuéntralos.

Solución

Si los tres fuesen el mismo sería el 27. Pero son consecutivos. Luego son 25, 27, 29.

8. Descomponer el número 48 en dos sumandos, de tal manera que dividiendo uno entre el otro se obtenga 3 de cociente y 4 de residuo.

Solución

Si una parte entre la otra fuese 3 exacto, entonces las partes serían 36 y 12. Pero sobran 4. Por tanteos se llega a: 37/11=3+4/11 y ya está.

Modelo algebraico: 

La condición se deja modelar como a/b=3+4/b,a+b=48. Este sistema se resuelve fácilmente como sigue:

a=3b+4=48−b

4b=44

b=11,a=37

9. Dos números enteros consecutivos son tales que la mitad del menor más el 

mayor, excede en 13 a  1/5 del menor más 1/11 del mayor. Hállalos.

Solución

Los dos números son enteros. El menor es divisible entre 10 (pues es divisible entre 2 y entre 5). El mayor es divisible entre 11 (pues se habla de 1/11 del mayor). Pero los números son consecutivos. Por tanto los números son 10 y 11 (no hay otra forma de que un número terminado en 0 tenga un consecutivo –y por tanto terminado en 1-- divisible entre 11).

Modelo algebraico:

Sean m y m+1 los números. Entonces la condición se expresa como

 m/2+m+1=13+m/5+(m+1)/11 . 

Lo que sigue es simplificar hasta que la solución sea obvia:

m+2m+2=26+2m/5+2(m+1)/11

3m=24+(1/55)(22m+10(m+1))

3m=24+(1/55)(32m+10)

3(55)m=24(55)+(32m+10)

165m−32m=10[(12)(11)+1]

133m=1330

   m=10,m+1=11

Comentario general sobre los problemas

El último problema demuestra que un planteamiento algebraico directo puede llegar a ser muy tedioso. Sin embargo, tiene la ventaja de que su solución es casi automática --si es que se tiene la habilidad de la manipulación algebraica y no se cometen errores. La solución sin álgebra exige extraer conclusiones de los datos. En otras palabras, la solución algebraica exige habilidad de manipulación algebraica, mientras que la solución no algebraica exige razonamiento. 

Por otro lado, la solución algebraica no se salva del razonamiento. Pues en el paso inicial de planteamiento o modelación está presente una habilidad de traducción a símbolos que no se puede hacer de manera automática, y en la interpretación de la solución hay que regresar al modelo inicial para darle un sentido a los resultados numéricos obtenidos en la manipulación algebraica.

En síntesis, la manipulación algebraica de símbolos y el razonamiento se complementan en la solución de un problema razonado (y no son, como muchos creen, o una cosa o la otra, es decir, no son dos opciones para elegir una de ellas). Ambas habilidades son igualmente importantes en la resolución de problemas matemáticos.

No está de más añadir unas palabras sobre el status de los problemas razonados. En primer lugar se debe destacar que no son una invención reciente (como lo atestiguan los problemas del Papiro de Rhind); en segundo lugar, deben verse como acertijos (y no como una aplicación de las matemáticas a la vida real): la pregunta pertinente acerca de un problema razonado no es si es realista, sino si es lo suficientemente interesante para atraer la atención del cognizador.

Ejercicios

1. Dentro de 18 años Manolo tendrá cinco veces la edad que tenía hace dos años. ¿Qué edad tiene ahora?

2. Un tren tiene 8 vagones. Los de primera clase tienen una capacidad de 48 pasajeros, mientras que los de segunda tienen una capacidad de 64. Calcular el número de vagones de segunda si se sabe que la capacidad total del tren es de 480 pasajeros.

3. El ángulo mayor de un triángulo mide 6 veces la medida del más pequeño. El tercer ángulo mide 75 grados. ¿Cuánto miden los otros dos?

Fuente:

Mate Tam

Aprender a leer a edades tempranas mejora el razonamiento

Un equipo de investigadores de la Universidad de Edimburgo y el King College de Londres (Reino Unido) ha presentado un estudio con gemelos monocigóticos que relaciona la lectura precoz con una mejor capacidad intelectual para el razonamiento. El trabajo ha sido publicado en la revista Child Development.

  ¿Por qué los niños de una misma familia pueden obtener resultados muy diferentes en las pruebas de inteligencia a pesar de tener muchos factores en común? Este fue el punto de partida de la investigación. Los expertos realizaron un ensayo con 1.890 gemelos monocigóticos o idénticos, examinando las puntuaciones de cinco pruebas de lectura e inteligencia realizadas a los niños cuando tenían 7, 9, 10, 12 y 16 años, comprobando que las desigualdades en el aprendizaje en la lectura entre los gemelos estaban vinculadas a las diferencias posteriores en la inteligencia.


Leer no solo se asocia con el desarrollo de la inteligencia verbal, sino que también se relaciona con capacidades no verbales como el pensamiento abstracto. Las variaciones intelectuales ya estaban presentes cuando los niños tenían 7 años, por lo que, según los investigadores, aprender a leer enseguida tiene consecuencias muy positivas en el desarrollo intelectual de los pequeños.

“Lo más interesante es que hemos demostrado cómo las desigualdades en la destreza lectora también pueden traducirse en diferencias en las habilidades no verbales. Estas se midieron mediante tareas como la terminación de rompecabezas, lo que implica el uso de pensamiento abstracto. Y sí, leer influye en la inteligencia. Los niños que no reciben ayuda suficiente para aprender también pueden ver limitadas competencias intelectuales que van más allá de la alfabetización”, afirma a la agencia Sinc Stuart J. Ritchie, líder del estudio.

Fuente:

Muy

Razonamiento diagramático en problemas de factorización

En este post voy a comentar sobre el método de reagrupamiento para factorizar una ecuación cuadrática y su correspondiente solución diagramática. Ilustro con un caso particular de toda

Una familia de problemas cuadráticos

En una ecuación cuadrática, si se puede factorizar entonces se puede representar como rectángulo --con uno de sus factores la base y el otro la altura.

Consideremos el problema de factorizar la ecuación cuadrática

ax2+(a+b)x+b=0

(donde a,b son enteros positivos).
Este problema es, en realidad, toda una familia de problemas, uno para cada par de números enteros positivos a,b. Por ejemplo, si a=2011,b=1, se tiene el problema 1A del concurso estatal OMM Tamaulipas 2012 

Por esa razón, puede ser de alguna utilidad como generador de problemas cuadráticos para los profesores de matemáticas de bachillerato. Discutamos ahora su

Solución

El método de reagrupamiento nos lleva a la siguiente ecuación equivalente:

ax2+ax+bx+b=0

Y se logra ver que es posible factorizar la ecuación como

ax(x+1)+b(x+1)=(ax+b)(x+1)=0

Y esa factorización se puede representar como un rectángulo de base x+b y altura x+1
(Nota: por el teorema del residuo, es también relativamente fácil darse cuenta que x=−1 satisface la ecuación --y lo que sigue es dividir entre x+1 para obtener el otro factor.)

Discusión

La pregunta ahora es ¿es posible factorizar una cuadrática de manera diagramática? Y, bueno, uno podría decir: sí, si es de la forma antes mencionada.

Y ¿cómo se reconoce una ecuación de la forma antes mencionada? Bueno, debería ser claro que el truco es que todos sus coeficientes sean positivos y que la diferencia entre el coeficiente de la x y el de la x2 sea igual al término independiente.

Consideremos el caso de la ecuación 5x2+7x+2. Es claro que esta ecuación satisface los dos requisitos mencionados. Y, bueno, uno entonces podría explicar a sus estudiantes:

Vean que si tomamos este rectángulo de base 5x y altura x su área es 5x2. Pero como 7x=5x+2x entonces agregando este otro rectángulo de base 5x y altura 1, y este otro --a la derecha-- de base 2 y altura x, ya tenemos el segundo término representado en estos rectángulos. Y como este otro rectángulo de la esquina arriba a la derecha es de base 2 y altura 1, entonces ya tenemos el término independiente. ¿OK? Y ahora ¿cuáles son las dimensiones de este rectángulo que hemos formado con los términos de la ecuación cuadrática? Piénsenlo un rato y me lo dicen. Etcétera, etcétera.

Esta exposición didáctica de la factorización de este tipo de ecuaciones cuadráticas es efectista. De hecho no aporta nada que no esté ya en el método de reagrupamiento.

Pero tiene la ventaja --posiblemente-- de dejar al aprendiz intrigado, y posiblemente asombrado... (se preguntará acaso sobre la forma en que los términos se acomodaron tan perfectamente en un rectángulo). Y si llega a descubrir el truco entonces la exposición fue un éxito. (Claramente, para el indiferente cualquier tipo de exposición es igualmente aburrida...)

Los saluda
jmd

Tomado de:

Mate Tam

Diagramas de Leibniz, Euler, Venn y Luetich (el razonamiento diagramático)

El razonamiento diagramático (también llamado razonamiento gráfico o conceptografía) es el que se lleva adelante haciendo uso de representaciones visuales de los conceptos. En esta técnica, los diagramas y los gráficos son más importantes que las palabras y las expresiones matemáticas. A estos diagramas también se les conoce como diagramas ontológicos; en un lñenguaje más preciso los diagramas ontol+ogicos son aquellos diagramas que muestran entes ("elementos") y las definiciones que a ellos se les ha aplicado ("conjuntos").

El origen de esta forma de razonamiento debe buscarse en los grafos de Llul y Leibniz, las líneas de Leibniz y los diagramas de Euler. Sin embargo, una expresión equivalente a "razonamiento diagramático" —aunque aplicada específicamente a una notación de dos dimensiones— recién aparece en 1879 con la publicación del libro Begriffsschrift de Gottlob Frege, que ha sido traducido al castellano como Conceptografía. La historia del razonamiento diagramático incluye también la creación por parte de Peirce del sistema de gráficos existenciales, una notación geométrica-topológica-lógica que Gardner consideraba "el más ambicioso sistema de lógica geométrica que se haya construido jamás".

En síntesis podemos decir que el razonamiento diagramático tiene tres campos: a) los diagramas ontológicos, b) los diagramas topológicos y c) los grafos.

a) Diagramas ontológicos

Los diagramas ontológicos son los que muestran las definiciones de los conjuntos por enumeración. En ellos, además de la relación entre las definiciones, se ve a los elementos (entes). De ahí su nombre.¹

Los diagramas de Leibniz son líneas abiertas que indican la posición relativa de los conjuntos.

diagrama de Leibniz

Las regiones de superposición corresponden a las intersecciones.

Los diagramas de Euler son construcciones gráficas con líneas cerradas (circunferencias, elipses) que delimitan colecciones de elementos y muestran su posición relativa. (Leibniz también usó círculos, pero prefería las líneas abiertas porque encontró que los primeros requerían en ciertos casos símbolos complementarios.)

diagrama de Euler

Cada región del diagrama contiene al menos un elemento. Los elementos pueden pertenecer a una sola colección o ser comunes a dos o más.

En los diagramas de Venn, todas las regiones posibles para una cantidad de definiciones dada aparecen representadas. Las regiones pueden estar vacías y en tal caso se las distingue sombreándolas.

diagrama de Venn

Todos los conjuntos están incluidos en otro (el universo U, marco de referencia).

En los diagramas de Luetich se representa otra región, la del Todo, cuya interpretación se dio en el "Glosario de ontología". En el Todo excepto U se encuentran los elementos no definidos o no considerados, es decir, aquellos que están escondidos en la oscuridad. El todo no es un conjunto.

diagrama de Luetich (2D)

Los diagramas de Luetich sirven para resolver problemas como el que Humpty Dumpty le planteó a Alicia en la obra "A través del espejo" de Lewis Carroll.

Estos cuatro tipos de diagramas de conjuntos corresponden a la categoría "diagramas ontológicos".

¹ "Diagramas ontológicos: de Leibniz a Luetich", Actas Acad. Luventicus, Editoriales.

² "Diagrama de Venn". Wikipedia, la enciclopedia libre.

³ "Glosario de ontología", Actas Acad. Luventicus, Sup. 1, Vol. I, No. 2.

⁴ "El no cumpleaños de Humpty Dumpty", Actas Acad. Luventicus, Editoriales.

⁵ "Razonamiento diagramático", "Razonamiento gráfico" o "Conceptografía". Wikipedia, la enciclopedia libre.

b) Diagramas topológicos

Son los diagramas que muestran la posición relativa de los conjuntos, pero no los elementos. La forma, el tamaño y la posición de las líneas cerradas no tienen importancia.

Regiones posibles

En los diagramas de conjuntos de Euler y de Venn se pone énfasis en indicar las regiones posibles. En los diagramas de Euler, solamente son representadas las regiones en las que puede haber elementos. En los diagramas de Venn, a las regiones que no contienen elementos se las anula sombreándolas.

diagrama de Euler	diagrama de Venn

En estos ejemplos se muestra que no hay elementos que pertenezcan a A y C que no sean también de B, ni tampoco elementos que pertenezcan exclusivamente a C. En el diagrama de Venn de conjuntos cada región sombreada es —para usar una expresión de Leibniz— una combinatio impossibilis. Se trata entonces de diagramas topológicos.²⁸

Topología flexible

En un intento por flexibilizar la topología de los sistemas, Peirce introdujo en los diagramas de Venn la notación lógica correspondiente a la disyunción. Con ello creó los diagramas de topología flexible. A esta extensión de Peirce siguieron otras dos (Venn-I y Venn-II), propuestas por Shin.²⁹

Extensión de Peirce

Charles Sanders Peirce (1839–1914), lógico americano considerado el padre de la semiótica moderna

La extensión de Peirce de los diagramas de Euler-Venn introduce tres símbolos:

• "o" para reemplazar al sombreado,
• "x" para indicar importación existencial, y
• "–" (línea) para unir los dos anteriores e indicar disyunción.²⁹

Así, por ejemplo, el siguiente diagrama representa la proposición: «Todo elemento de B es de A o algunos elementos de B son de A».

extensión de Peirce

Esta proposición topológica no se podría representar con un diagrama de Euler: sería necesario usar dos y buscar alguna manera de indicar la disyunción.

«Todo elemento de B es de A»	«Algunos elementos de B son de A»

Las ventajas de la notación de Peirce, en este caso, son grandes. Sin embargo, cuando las proposiciones son más complejas, la lectura del diagrama se torna dificultosa.²⁹

Primera extensión de Shin (Venn-I)

Esta extensión tiene las siguientes características:

• vuelve al sombreado de regiones para indicar que éstas no pueden ser ocupadas,
• usa el símbolo "x" de Peirce, y
• usa el símbolo "–", introducido por Peirce.

diagrama de Shin (Venn-I)	diagrama de Peirce

En estos diagramas (equivalentes), las dos premisas son:

• «Ningún elemento es sólo de B», y
• «B tiene algún elemento».

La conclusión, por lo tanto, es: «Algún elemento pertenece simultáneamente a B y A».

Segunda extensión de Shin (Venn-II)

Esta extensión tiene las mismas características que el anterior, pero agrega la posibilidad de conectar dos diagramas —que en este caso tienen representado el conjunto universal— con una línea de disyunción^.

diagrama de Shin (Venn-II)	diagrama de Peirce

La proposición, en este caso, es: «O todo elemento de A es elemento de B y algún elemento de A es de B, o ningún elemento de A es de B y algún elemento de B no es de A». El diagrama simple de Peirce es de lectura más difícil que el correspondiente diagrama doble de Shin.
 

Arañas

 Los diagramas con arañas son una extensión de los diagramas de Euler, y por lo tanto en ellos hay información topológica. Se los obtiene introduciendo restricciones de dos tipos: agregando "arañas" (secuencias x de Peirce generalizadas) y sombreando regiones. La presencia de una araña indica la existencia de un elemento en su "hábitat" (la región donde se encuentra). Una región sombreada es la que no contiene más elementos que los que indican las arañas correspondientes. Si una región sombreada no tiene arañas, está vacía. Dos arañas unidas por una línea indican la existencia de por lo menos un elemento en las regiones involucradas. El nombre "araña" se ha elegido porque en diagramas complejos muchas líneas pueden salir de cada punto, como los hilos de un nodo de una telaraña.

diagrama con arañas

El diagrama de la figura indica que:

• C está contenido en B;
• A – B tiene exactamente dos elementos;
• hay al menos un elemento en B – A.

El diagrama tiene 3 líneas limite de conjuntos (definiciones), indicadas con los rótulos A, B y C, y 6 regiones, por ejemplo la región cuyo contorno es B pero que no contiene elementos ni de A ni de C. Una zonas está sombreada y contiene sólo 2 elementos. El diagrama contiene 3 arañas: 2 de un pie cuyo hábitat es la zona de los elementos de A que no pertenecen a B y 1 "articulada", en la región de los elementos que son de B pero no de A.

 

c) Los grafos 

 

Los grafos son construcciones que surgen de representar elementos y sus conexiones.³² La teoría de grafos, como la teoría de conjuntos, está íntimamente ligada a la topología.^{33 34}

Cuadrado de oposición

Aristóteles (384 a.C.–322 a.C.), filósofo griego fundador de la lógica clásica

Aristóteles, al fundar la lógica, puso su atención en algunos cuantificadores usados en el lenguaje natural: todo, algún, ningún, no todo. Éstos pueden ser expresados usando la notación de Peirce de predicados (gráficos existenciales "beta"). El clásico "cuadrado de oposición de juicios" de Aristóteles quedaría entonces representado como se muestra en la figura.

El "cuadrado de oposición" de Aristóteles en la notación de Peirce

Diamante de Leibniz

Una muestra de razonamiento diagramático: grabado del libro de Leibniz De Arte Combinatoria de 1666

En el grabado de la portada del libro De Arte Combinatoria de 1666, Leibniz habría dado otra muestra de su lenguaje universal^. En él se representa la idea de los antiguos de que todas las cosas materiales están hechas de tierra, agua, aire y fuego, "elementos" que combinan las cualidades de: frío, húmedo, caliente y seco. Entre elementos, entre cualidades, y entre elementos y cualidades, han sido dibujadas líneas, cada una con un rótulo. Así, por ejemplo, a los nodos SICCITAS y HVMIDITAS ("sequedad" y "humedad") se los ha conectado con una línea rotulada Combinatio impossibilis ("combinación imposible"). En otros términos, de los elementos de estos dos conjuntos, el grabado muestra las conexiones, objeto de estudio de la topología. La characteristica es, en este caso, una notación topológica.³⁷ El siguiente grafo es una variante del Diamante de Leibniz, que muestra la relación entre elementos y cualidades a la manera de un grafo bipartido.

Cuando dos cualidades concurren en un elemento es porque su combinación es posible. Por ejemplo, CALIDITAS y HVMIDITAS concurren en AER. Cuando dos cualidades no se encuentran en ningún elemento, su combinación es imposible. Tal es el caso de HVMIDITAS y SICCITAS. Con estos elementos y cualidades, sujetas a las restricciones mencionadas, se puede deducir la cantidad de combinaciones posibles.

El diamante de Leibniz puede ser representado sin recurrir a un grafo partido, simplemente usando cuatro conjuntos. En este caso, a menos que a los conjuntos se los dibuje como rectángulos, quedarían regiones vacías. Para indicar esa situación se puede hacer uso de un diagrama con arañas.

diagrama de conjuntos	diagrama con arañas

Estas representaciones actuales del tema que Leibniz tomó de los antiguos para ilustrar su libro de análisis combinatorio muestran lo que ha sido la historia del razonamiento diagramático, un área de trabajo en la que se ha vuelto siempre sobre los mismos complejos problemas, desde la perspectiva de especialistas en las materias más diversas.³⁷

Árboles

Los árboles son unos grafos especiales con estructura jerárquica, que pueden ser usados para dar la misma información topológica que los diagramas de Euler y de Venn.

árbol del diagrama de Euler	diagrama de Euler
árbol del diagrama de Venn	diagrama de Venn

Cada árbol muestra las regiones posibles del diagrama que está a su derecha. Las primeras 2 ramas corresponden al conjunto A; las restantes 4, al conjunto B. En el diagrama de Euler, la rama de no pertenencia (∉) a A aparece de color gris, ya que no es una región posible. En consecuencia, también están de ese color las ramas derivadas. En el diagrama de Venn, dado que se define un conjunto universal, la no pertenencia a A es posible, exceptuando el caso de pertenencia (∈) simultánea a B.³¹

Notación bidimensional

Friedrich Ludwig Gottlob Frege (1848–1925), matemático alemán considerado por muchos el fundador de la lógica moderna

La notación bidimensional de Frege permite representar las operaciones lógicas con conexiones.³⁹

notación bidimensional de Frege

Este esquema representa la disyunción lógica A ∨ B, o mejor, ¬A → B.⁴⁰
En su trabajo sobre los axiomas del cálculo proposicional, Frege recurría sólo a las operaciones negación e implicación.

Obsérvese que la notación de los diagramas "beta" de Peirce —con recortes abreviados o no— también es bidimensional, como se puede ver claramente en la lista de reglas de inferencia.
 

 

Fuentes:

 

Luventicus

 

Wikipedia