Problemas razonados de álgebra... sin álgebra

El problema de edades del post de las 11 preguntas de ENLACE se puede responder sin álgebra, es decir, sin manipulacones algebraicas. Este hecho me llevó a redactar el presente post, el cual puede ser de alguna utilidad para los adolescentes interesados en las matemáticas. El post presenta varios problemas razonados clásicos. Las soluciones aquí presentadas representan una curiosidad de razonamiento lógico, basado en inferencias a partir de los datos y manteniendo la simbolización a un mínimo. 

1. El padre tiene 20 años más que su hijo. Dentro de 12 años tendrá el doble que su hijo. ¿Qué edad tienen?

Solución

Puesto que la diferencia de edades no cambia con los años, entonces 20 es igual a la edad del hijo más 12. Es decir, el hijo tiene 8 y el padre 28.

2. Las edades de un matrimonio suman 62 años. Cuando se casaron,  hace 10 años, la novia tenía 3/4 de la edad del novio. ¿Qué edad tienen?

Solución

Hace 10 años sus edades sumaban 42, lo cual es equivalente a 7/4 de la edad del novio. Es decir, un cuarto de la edad del novio era 6 años. De aquí que tenían 18 y 24. Por tanto, actualmente tienen 28 y 34. (Otra forma: si hubiesen tenido la misma edad en la boda, sería 21; por tanteos se llega a que tenían 18 y 24, etc.)

3. Hace 6 años el padre tenía 4 veces la edad del hijo. Dentro de 10 tendrá el doble. ¿Qué edad tienen?

Solución

La diferencia de edades hace 6 años era 3 veces la edad del hijo. Dentro de 10 esta diferencia será la edad del hijo. Pero la diferencia es constante. Por tanto, si h era la edad del hijo hace 6 años, 3h=h+16. Es decir, el hijo tenía 8 hace 6 (y el padre 32). Así que ahora tiene 14 y el padre 38.

4. Tres enteros consecutivos suman 204. Encuéntralos.

Solución

Si fueran iguales sería el 68. Pero son consecutivos. Por tanto son los consecutivos 67, 68, 69.

5. El perímetro de un cuadrado es el triple de otro cuyos lados miden 8 unidades menos. Calcular el lado de cada uno.

Solución

El perímetro del grande tiene 32 unidades más que el del pequeño y es el triple que el de éste. Por tanto, p+p+32=4p. Es decir, el perímetro del pequeño es de 16 unidades (pues 32 tiene que ser 2p). La respuesta es entonces 4 y 12.

6. Hace 12 años el padre tenía cuatro veces la edad del hijo y dentro de 12 su edad será solamente el doble ¿cuántos años tienen?

Solución

Hace 12 años la diferencia de edades era 3 veces la edad del hijo, y dentro de 12 años tal diferencia será la edad del hijo. Pero la diferencia de edades se mantiene constante. Si h es la edad del hijo hace 12 años, se tiene 3h=h+24. Es decir, la edad del hijo hace 12 años era de 12 y la del padre 48. Por tanto, actualmente tienen 24 y 60.

7. Tres impares consecutivos suman 81. Encuéntralos.

Solución

Si los tres fuesen el mismo sería el 27. Pero son consecutivos. Luego son 25, 27, 29.

8. Descomponer el número 48 en dos sumandos, de tal manera que dividiendo uno entre el otro se obtenga 3 de cociente y 4 de residuo.

Solución

Si una parte entre la otra fuese 3 exacto, entonces las partes serían 36 y 12. Pero sobran 4. Por tanteos se llega a: 37/11=3+4/11 y ya está.

Modelo algebraico: 

La condición se deja modelar como a/b=3+4/b,a+b=48. Este sistema se resuelve fácilmente como sigue:

a=3b+4=48−b

4b=44

b=11,a=37

9. Dos números enteros consecutivos son tales que la mitad del menor más el 

mayor, excede en 13 a  1/5 del menor más 1/11 del mayor. Hállalos.

Solución

Los dos números son enteros. El menor es divisible entre 10 (pues es divisible entre 2 y entre 5). El mayor es divisible entre 11 (pues se habla de 1/11 del mayor). Pero los números son consecutivos. Por tanto los números son 10 y 11 (no hay otra forma de que un número terminado en 0 tenga un consecutivo –y por tanto terminado en 1-- divisible entre 11).

Modelo algebraico:

Sean m y m+1 los números. Entonces la condición se expresa como

 m/2+m+1=13+m/5+(m+1)/11 . 

Lo que sigue es simplificar hasta que la solución sea obvia:

m+2m+2=26+2m/5+2(m+1)/11

3m=24+(1/55)(22m+10(m+1))

3m=24+(1/55)(32m+10)

3(55)m=24(55)+(32m+10)

165m−32m=10[(12)(11)+1]

133m=1330

   m=10,m+1=11

Comentario general sobre los problemas

El último problema demuestra que un planteamiento algebraico directo puede llegar a ser muy tedioso. Sin embargo, tiene la ventaja de que su solución es casi automática --si es que se tiene la habilidad de la manipulación algebraica y no se cometen errores. La solución sin álgebra exige extraer conclusiones de los datos. En otras palabras, la solución algebraica exige habilidad de manipulación algebraica, mientras que la solución no algebraica exige razonamiento. 

Por otro lado, la solución algebraica no se salva del razonamiento. Pues en el paso inicial de planteamiento o modelación está presente una habilidad de traducción a símbolos que no se puede hacer de manera automática, y en la interpretación de la solución hay que regresar al modelo inicial para darle un sentido a los resultados numéricos obtenidos en la manipulación algebraica.

En síntesis, la manipulación algebraica de símbolos y el razonamiento se complementan en la solución de un problema razonado (y no son, como muchos creen, o una cosa o la otra, es decir, no son dos opciones para elegir una de ellas). Ambas habilidades son igualmente importantes en la resolución de problemas matemáticos.

No está de más añadir unas palabras sobre el status de los problemas razonados. En primer lugar se debe destacar que no son una invención reciente (como lo atestiguan los problemas del Papiro de Rhind); en segundo lugar, deben verse como acertijos (y no como una aplicación de las matemáticas a la vida real): la pregunta pertinente acerca de un problema razonado no es si es realista, sino si es lo suficientemente interesante para atraer la atención del cognizador.

Ejercicios

1. Dentro de 18 años Manolo tendrá cinco veces la edad que tenía hace dos años. ¿Qué edad tiene ahora?

2. Un tren tiene 8 vagones. Los de primera clase tienen una capacidad de 48 pasajeros, mientras que los de segunda tienen una capacidad de 64. Calcular el número de vagones de segunda si se sabe que la capacidad total del tren es de 480 pasajeros.

3. El ángulo mayor de un triángulo mide 6 veces la medida del más pequeño. El tercer ángulo mide 75 grados. ¿Cuánto miden los otros dos?

Fuente:

Mate Tam