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4 de junio de 2018

Combinatorio, dados y probabilidades

¿Cómo se puede hacer un calendario perpetuo con dos dados de seis caras?

Los datos del acertijo final de la semana pasada parecen muy insuficientes para sacar cualquier conclusión; sin embargo, hay pocos desarrollos del torneo de ajedrez imaginario que den lugar a un descenso del 5% en el porcentaje de victorias de Kaspárov. Reproduzco la acertada respuesta de nuestro “usuario destacado” Manuel Amorós:

Teniendo en cuenta que el 5% es 1/20, tendríamos que hallar dos fracciones propias que restadas dieran como resultado 1/20. Seguramente, el primer par de fracciones que cumplen son 1/4 y 1/5, ya que 1/4 – 1/5 = 1/20. Pero estas proporciones no se ajustan al hecho de que Kaspárov tenía ventaja inicial sobre su rival. El siguiente par de fracciones serían 4/5 y 6/8: 4/5 – 6/8 = 1/20
Es decir, que una posible respuesta es que Kaspárov empezó ganando 4 de 5 partidas (descontadas las tablas) y después ganó dos partidas y perdió una, reduciéndose de ese modo su porcentaje de triunfos en un 5% exacto.

El problema de las tres tarjetas (una con dos caras rojas, una con dos caras blancas y una con una cara roja y otra blanca) sigue propiciando un animado debate (ver comentarios de la semana pasada). Como señalé en el artículo anterior, es fácil pensar que si nos muestran una cara roja, la probabilidad de que la otra cara también sea roja es 1/2; pero en realidad hay tres posibilidades equiprobables: que nos muestren una cara de la tarjeta RR, que nos muestren la otra cara de RR o que nos muestren la cara roja de la tarjeta RB; en dos de estos tres casos la otra cara es roja, por tanto la probabilidad pedida es 2/3.

La combinatoria de los dados

La probabilidad de un suceso expresa la relación entre los casos favorables y los casos posibles. Decimos que la probabilidad de sacar un 5 al lanzar un dado es 1/6 porque el dado tiene seis caras (casos posibles) y solo en una de esas caras hay un 5 (casos favorables). Este es un ejemplo trivial, pero a menudo el cálculo de probabilidades implica la resolución previa de problemas combinatorios no siempre sencillos para determinar el número de casos posibles y de casos favorables.

La probabilística de un solo dado es trivial, pero con dos dados la cosa empieza a complicarse y es fácil incurrir en errores de apreciación. Al lanzar dos dados y sumar sus puntos podemos obtener las puntuaciones comprendidas entre 2 y 12: once posibilidades, por lo que podría parecer que la probabilidad de sacar una puntuación concreta, por ejemplo 7, es 1/11; pero este razonamiento es erróneo, pues las once posibilidades no son equiprobables; hay una sola forma de obtener 12 puntos (6-6) y seis formas de obtener 7 (6-1, 5-2, 4-3, 3-4, 2-5, 1-6). Cada una de las seis caras de un dado puede emparejarse con cada una de las seis caras del otro, por lo que hay 6 x 6 = 36 parejas posibles, de la que solo una da 12 puntos y seis dan 7 puntos; por tanto, la probabilidad de obtener 12 puntos es 1/36 y la de sacar 7 puntos es 6/36 = 1/6.

Si en vez de puntos en las caras de los dos dados figuraran los dígitos del 1 al 6, adosándolos podríamos formar los números 11 a 16, 21 a 26, 31 a 36…, 61 a 66. ¿Podemos numerar las caras de dos dados de manera que adosándolos convenientemente se puedan formar todos los días del mes? Hay que usar siempre los dos dados, expresando los números de una sola cifra de la forma 01, 02, etc.
Naturalmente, la cosa se complica a medida que aumenta el número de dados. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un póquer a la primera con los dados de póquer (valga la redundancia)? ¿Y la de sacar un repóquer?

Fuente:

1 de junio de 2018

Martin Gardner y la diversión matemática

Los retos matemáticos han cautivado a las mentes brillantes de la historia. Y más recientemente, atraparon al público, en gran parte gracias a la labor de Martin Gardner, que popularizó problemas de matemática y lógica como estos:

1. ¿Puedes trazar cuatro líneas rectas, sin levantar la punta del lápiz del papel, que pasen por los nueve puntos de la ilustración?

BBVA-OpenMind-ventana-gardner-1 

2. ¿Con cuánta rapidez puedes multiplicar estos números?

256 x 3 x 45 x 3961 x 77 x 488 x 2809 x 0


3. ¿Puedes elegir seis dígitos de la ilustración que sumados den 21?

BBVA-OpenMind-ventana-gardner-2 

Dejaremos para el final las soluciones. Estos acertijos se pueden resolver nada más verlos en la pantalla, si uno es capaz de pensar diferente, o desistir después de darle muchas vueltas a la cabeza… ¿Para qué sirven los problemas matemáticos? Para Martin Gardner (1914-2010) era una forma de despertar el interés de la gente por las matemáticas. Así lo contaba en la revista Scientific American, donde se pasó más de veinte años publicando una columna mensual sobre juegos matemáticos: «Con seguridad, el mejor camino para despertar a un estudiante consiste en ofrecerle un intrigante juego, puzzle, truco de magia, chiste, paradoja, pareado de naturaleza matemática… o cualquiera de entre una veintena de cosas que los profesores aburridos tienden a evitar porque parecen frívolas».
El artículo completo en: Open Mind

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15 de enero de 2018

Cómo Alcuino de York, "el hombre más sabio del mundo", forjó la base para la computadora hace 1.200 años

Temprano una mañana, sales para el mercado. Vas a vender un lobo, una cabra y una col. El camino es escabroso y peligroso, y tú tienes que vigilar constantemente al lobo para que no se coma a la cabra, y a la cabra, para que no se coma la col. 

Estás por llegar, pero te falta salvar un obstáculo más: un río. Afortunadamente hay un bote, pero es demasiado pequeño así que solo puedes llevar una cosa por viaje.

¿Cómo haces para pasar todo al otro lado sin que nada termine en el estómago de tus dos animales?


En el primer viaje, tienes que llevarte la cabra en el bote. Regresas y te llevas el lobo, lo dejas en la otra orilla pero te traes la cabra, a la que dejas donde empezaste para traer la col y finalmente, puedes traer la cabra contigo.

Probablemente ya conocías esta prueba de ingenio... es vieja, pero ¿sabes cuán vieja? Está registrada en un documento del siglo IX, el período que los historiadores solían llamar "los años oscuros".

El responsable es Alcuino, un personaje poco conocido que desafía la mala reputación de ese opaco y distante período de la historia europea. Es el autor de un libro de acertijos matemáticos en latín, llamado "Problemas para afinar el ingenio de los jóvenes".


El principio del Medioevo fue mucho más vibrante intelectualmente de lo que uno imaginaría dado el estereotipo, y la historia de Alcuino con sus acertijos matemáticos ayuda a aclarar esa imagen. 

Cuando Alcuino nació cerca de York alrededor del año 732 d.C., Inglaterra era una colección de reinos sajones. Pero había reinos cristianos, un legado de la invasión romana.

York tenía una gran catedral con una escuela en la que Alcuino estudió, luego enseñó y finalmente dirigió. Bajo su administración, el colegio se convirtió en uno de los más distinguidos de Europa

Coleccionaba libros en una renombrada biblioteca, así como obras de los Padres de la Iglesia Cristiana, que contenían fragmentos de la sabiduría de los griegos y romanos.

Lea el artículo completo en:

BBC Mundo

1 de diciembre de 2017

¿Cuáles son los países donde los niños trabajan mejor en equipo, según la nueva prueba PISA?

¿Están cumpliendo los planes escolares con las necesidades de los niños?

Los sistemas de estudio y de exámenes normalmente recompensan los logros individuales de los estudiantes.

Pero cuando entran al mundo laboral, se les hace hincapié en la importancia de las habilidades sociales y en la necesidad de cooperar con otra gente para solucionar problemas.

El Programa para la Evaluación Internacional de los Alumnos (PISA, por sus siglas en inglés) evalúa las habilidades de los estudiantes en lectura, matemáticas y ciencia.

Y por primera vez ha realizado una prueba global que mide las habilidades para resolver problemas de manera colaborativa.


Como era esperable, los alumnos sobresalientes en las pruebas académicas también tienden a ser mejores en la solución de dificultades en colaboración con otros.

Además son más hábiles para interpretar información y realizar razonamientos complejos, lo que los prepara mejor para enfrentar cualquier tipo de problemas.

Eso es válido en los diferentes países. Las naciones con mejor desempeño en pruebas académicas como Japón, Corea del Sur, Singapur, Estonia, Finlandia y Canadá son asimismo los que tienen mejores resultados resolviendo dificultades en conjunto.

Pero no en todos los casos. Los estudiantes de China, que son muy buenos en matemáticas y ciencias, se ubican dentro del promedio en cuanto a habilidades de colaboración.
En los 20 primeros lugares no aparece ningún país de América Latina que sobresalga en trabajo en equipo.

Los 20 países que mejor resuelven problemas en conjunto son:
  1. Singapur
  2. Japón
  3. Hong Kong
  4. Corea del Sur
  5. Canadá
  6. Estonia
  7. Finlandia
  8. Macao
  9. Nueva Zelanda
  10. Australia
  11. Taiwán
  12. Alemania
  13. Estados Unidos
  14. Dinamarca
  15. Reino Unido
  16. Holanda
  17. Suecia
  18. Austria
  19. Noruega
  20. Eslovenia
El artículo completo en:

BBC Ciencia

27 de noviembre de 2017

Entrena tu mente con un acertijo: ¿cómo puedes medir 1 litro con estas jarras y no desperdiciar la leche?

Vamos a poner a prueba tus neuronas. Con este sencillo acertijo, sencillo pero muy desafiante...

Un repartidor de leche tiene dos jarras vacías: una con una capacidad de 3 litros y la otra de 5 litros.

¿Cómo puede este lechero medir exactamente 1 litro sin desperdiciar la leche?

Baja para descubrir la respuesta

La respuesta

El lechero llenó la jarra con capacidad de 3 litros y después vació el contenido en la jarra de 5 litros. 

Posteriormente, llenó nuevamente la jarra de 3 litros y la usó para llenar la jarra de los 5 litros completamente. 

La leche que quedó en la jarra de los 3 litros era 1 litro exactamente. 

Tomado de: BBC

9 de octubre de 2016

Tres acertijos matemáticos y por qué es genial que los resuelvas





En tu jardín, hay nueve rosas plantadas en un círculo perfecto. Pero ya te cansaste de ver lo mismo todo el tiempo. Tienes tres opciones para cambiarlas, pero cada una tiene sus reglas


1. Planta las 9 rosas de manera que crees 8 filas con 3 rosas en cada fila.
2. Planta las 9 rosas de manera que crees 9 filas con 3 rosas en cada fila.
3. Planta las 9 rosas de manera que crees 10 filas con 3 rosas en cada fila.
Este es uno de los acertijos que nos dejó el autor de "Alicia en el país de las maravillas", Lewis Carroll, quien bajo su verdadero nombre, Charles Lutwidge Dodgson, era un matemático y, en sus últimos años de vida, dedicó parte de su tiempo a las matemáticas recreativas. 

A pesar de que hay quienes opinan que las matemáticas no tienen nada de recreativas, es un área de esta ciencia que tiene muchos aficionados entre los expertos e iniciados.
Y una larga historia. 

El que se cree fue el primer acertijo de la historia data de hace más de dos milenios. Se le atribuye al eminente matemático griego e inventor Arquímedes de Siracusa, y sigue siendo un valioso rompecabezas.

El artículo completo (y las respuestas) en la web de la BBC

5 de mayo de 2016

Ganó el "Nobel de las matemáticas" por resolver un teorema de más de tres siglos

El problema captó su atención cuando tenía 10 años, y no dejó de estudiarlo hasta dar con la solución. 

El 1637, el francés Pierre de Fermat escribió una conjetura matemática en el
márgen de una página de un ejemplar de "Los Elementos" de Euclides.

Dijo que tenía una demostración maravillosa, pero que carecía de espacio suficiente para desarrollarla.

Y nunca lo hizo.

El problema quedó sin resolver y ha hecho que matemáticos se devanaran los sesos durante todo este tiempo.

Hasta que el británico Andrew J. Wiles dio con la solución, después estar estudiando la cuestión durante años.

"El teorema capturó mi imaginación cuando era muy joven. Comprendí perfectamente la fascinación de este problema y nunca la perdí", le contó a la BBC.

Dos décadas después de su hazaña, Wiles acaba de ser reconocido con uno de los premios más importantes para los matemáticos, el premio Abel, dotado con US$700.000 por haber resuelto el acertijo.

Pero ¿por qué era tan importante descifrar el último teorema de Fermat y qué significó este descubrimiento para Wiles?

Aparentemente sencillo

"Es una gran sorpresa y estoy muy emocionado", dijo Wiles tras recibir el premio este martes.

De acuerdo con la Academia Noruega de las Ciencias y las Letras, encargada de entregar el galardón –también llamado el "Nobel de los matemáticos"– el trabajo de Wiles "abrió una nueva era en la teoría numérica".


El artículo competo en:

BBC Mundo

26 de julio de 2015

Cambio climático es la principal preocupación mundial

Así lo revelo una encuesta del Centro de Investigaciones Pew. 





El cambio climático es ya el primer motivo de preocupación mundial dentro de los desafíos globales, con especial relevancia en América Latina y África, indicó una encuesta divulgada por el Centro de Investigaciones Pew.


A nivel mundial los entrevistados situaron al cambio climático como su preocupación primordial, con un 46 %; seguida por la inestabilidad económica, un 42 %; y el surgimiento del grupo yihadista del Estado Islámico (EI), un 41 %.

En particular, la amenaza del cambio climático y sus efectos es percibida como la más directa en América Latina, con un media regional del 61 %; y en África, con una media regional 59 %, mientras que en EE.UU. (68 %) y Europa (71 %), son las actividades del EI.

"Más de la mitad de los encuestados en todos los países latinoamericanos expresaron preocupaciones sustanciales sobre el cambio climático", reseñó el informe.

A la cabeza sobresalen Perú y Brasil, donde la cuestión es situada como la primera de las preocupaciones por el 75 % de los encuestados.

También muestran elevadas cifras de ansiedad por el calentamiento global India, con un 72 %; y Filipinas, con un 73 %, países que están sufriendo más directamente las consecuencias del cambio climático.

Por su parte, en África, los países en los que el tema es el mayor motivo de preocupación son Burkina Faso (79 %), Uganda (74 %) y Ghana (71 %).

En Estados Unidos y Europa, por el contrario, el cambio climático solo es visto como la principal amenaza por parte del 42 % de los encuestados, por detrás del EI y la inestabilidad económica.

La encuesta, llevada a cabo por el Centro de Investigaciones Pew en 40 países entre el 25 de marzo y el 27 de mayo, a 45.435 personas y cuenta con un margen de error de +/-5 %.

Fuente:

El Espectador

29 de junio de 2015

10 problemas para ser resueltos de forma creativa

Retos que ponen a prueba nuestra capacidad para el pensamiento lateral.


La dificultad de muchos adultos en resolver la pregunta número 21 a la que se enfrentaron los niños de seis años de Hong Kong para ser admitidos en Primaria ha puesto de nuevo en relieve el concepto de «pensamiento lateral» concebido por Edward de Bono en 1967. Este prestigioso psicólogo maltés lleva más de treinta años defendiendo el fomento de la creatividad para alcanzar el éxito. Ya en 2004 aseguraba a ABC: «Ser inteligente no es sinónimo de saber pensar bien. La relación es la misma que existe entre un coche y su conductor: aprovechar al máximo el potencial que ofrece el vehículo depende exclusivamente de la habilidad de quien lo conduce».
El corazón del pensamiento lateral, aseguraba De Bono, «está en la posibilidad de cambiar, en cualquier momento, la perspectiva desde la cual se analizan los acontecimientos, para observar cómo se ve el problema desde una perspectiva diferente».
He aquí algunos de los retos más conocidos de pensamiento lateral planteados por el experto británico Paul Sloane.


El hombre en el ascensor

«Un hombre vive en el décimo piso de un edificio. Cada día toma el ascensor hasta la planta baja para dirigirse al trabajo o ir de compras. Cuando regresa, siempre sube en el ascensor hasta el séptimo piso y luego por la escalera los restantes tres pisos hasta su apartamento en el décimo. ¿Por qué lo hace?»
Ojo: Si Usted NUNCA ha subido a un ascensor es altamente probable que no pueda resolver este problema.
Todos los problemas (y las soluciones) en ABC.

20 de abril de 2015

El problema matemático del que todo el mundo está hablando (desde Singapur, con amor)



Así dice el problema:
Albert y Bernard se acaban de hacer amigos de Cheryl y quieren saber cuándo es su cumpleaños. Cheryl les da una lista con 10 posibles fechas
Mayo 15, Mayo 16, Mayo 19
Junio 17, Junio 18
Julio 14, Julio 16
Agosto 14, Agosto 15, Agosto 17
Luego Cheryl les dice por separado a Albert y a Bernard, el mes y el día respectivamente.
-Albert: "No sé cuándo es el cumpleaños de Cheryl, pero sé que Bernard tampoco lo sabe".
-Bernard: "Al principio no sabía cuándo era el cumpleaños de Cheryl, pero ahora ya lo sé".
-Albert: "Entonces yo también sé cuándo es su cumpleaños".
¿Cuándo es el cumpleaños de Cheryl?
Tomado de:

17 de agosto de 2014

10 acertijos clásicos que pondrán a prueba tu capacidad lógica

Por pensamiento lateral se conoce una forma de pensamiento que consiste en solucionar problemas de una forma creativa. El término fue acuñado por Edward de Bono en el año 1967, en el libro New Think: the Use of Lateral Thinking. Se han diseñado diversos acertijos que, presentados como un problema tradicional, ponen a prueba los principios lógicos del que ha de resolverlos. Se trata de, como se dice en inglés, de “pensar fuera de la caja”. A continuación presentamos algunos de los acertijos clásicos relacionados con esta manera de pensar. No te preocupes: aunque la respuesta parezca evidente una vez conocida, no resulta tan sencillo adivinarla si no hemos sido capaces de encontrar la clave para responderla.

¿Cuántas has contestado correctamente (sin hacer trampas y mirar la respuesta)?
  1. El padre de Juan le dice a su hijo que le va a otorgar dos monedas de curso legal. “Entre las dos suman tres euros, pero una de ellas no es de un euro”. ¿Cuáles son las monedas?
  2. ¿Qué día del año hablan menos los charlatanes?
  3. Juan se levanta por la mañana y descubre que la luz de la habitación no funciona. Abre el cajón de los guantes, en el que hay diez guantes negros y diez azul oscuro. ¿Cuántos debe coger para asegurarse de que obtiene un par del mismo color?
  4. ¿Cuántas veces puede restarse el número 1 del número 1.111?
  5. Dos personas viajan en coche. La menor es hija de la mayor, pero la mayor no es su padre. ¿Quién es?
  6. En una carrera, un corredor adelanta al que va segundo. ¿En qué posición se coloca?
  7. ¿Cómo puede sobrevivir alguien que cae de un edificio de 50 pisos?
  8. Una mujer compra en una tienda de animales a un loro que, según le promete el dependiente, es capaz de repetir todo lo que oiga. Y, sin embargo, la mujer devuelve al animal una semana después puesto que no ha pronunciado ni un solo sonido, a pesar de que le ha hablado continuamente. Sin embargo, el dependiente no la ha engañado. ¿Qué ha pasado?
  9. Conduces un autobús, en el que se montan 18 personas. En la siguiente parada, se bajan 5 pero suben otras 13. Al llegar a la siguiente estación, se bajan 21 y se suben otras 4. ¿De qué color son los ojos del conductor?
  10. Un granjero tiene 10 conejos, 20 caballos y 40 cerdos. Si llamamos “caballos” a los “cerdos”, ¿cuántos caballos tendrá?
Es momento de pensar las respuestas. (Corbis)
RESPUESTAS

Respuesta 1. Una de dos euros y otra de un euro. El padre de Juan le dice a su hijo que una de ellas no es de un euro… pero la otra sí puede serlo.

Respuesta 2. El día en el que se adelante la hora en primavera para adaptarse al horario de verano, puesto que es el día del año que menos horas tiene.

Respuesta 3. 11. Pongámonos en el peor de los casos, en el que Juan coge los diez guantes derechos (o izquierdos) de ambos colores, lo que le haría imposible obtener una pareja. Con uno más le bastaría para completar la pareja.

Respuesta 4. Tan sólo una, puesto que en las ocasiones consecutivas estaríamos restándolo al número 1.110, 1.109, 1.108…

Respuesta 5. Su madre.

Respuesta 6. En segundo lugar.

Respuesta 7. Cayendo desde el primer piso: el enunciado no identifica de dónde cae la persona.

Respuesta 8. El loro es sordo.

Respuesta 9. ¿De qué color son tus ojos?

Respuesta 10. Seguirá teniendo 20. Llamarlos de otra manera no provoca que se transformen. 

Si se ha quedado con ganas de más, intente resolver el acertijo que los chinos ponen a los niños de 6 años 

Tomado de:

El Confidencial

Problemas razonados de álgebra... sin álgebra






El problema de edades del post de las 11 preguntas de ENLACE se puede responder sin álgebra, es decir, sin manipulacones algebraicas. Este hecho me llevó a redactar el presente post, el cual puede ser de alguna utilidad para los adolescentes interesados en las matemáticas. El post presenta varios problemas razonados clásicos. Las soluciones aquí presentadas representan una curiosidad de razonamiento lógico, basado en inferencias a partir de los datos y manteniendo la simbolización a un mínimo. 


1. El padre tiene 20 años más que su hijo. Dentro de 12 años tendrá el doble que su hijo. ¿Qué edad tienen?
Solución
Puesto que la diferencia de edades no cambia con los años, entonces 20 es igual a la edad del hijo más 12. Es decir, el hijo tiene 8 y el padre 28.
2. Las edades de un matrimonio suman 62 años. Cuando se casaron,  hace 10 años, la novia tenía 3/4 de la edad del novio. ¿Qué edad tienen?
Solución
Hace 10 años sus edades sumaban 42, lo cual es equivalente a 7/4 de la edad del novio. Es decir, un cuarto de la edad del novio era 6 años. De aquí que tenían 18 y 24. Por tanto, actualmente tienen 28 y 34. (Otra forma: si hubiesen tenido la misma edad en la boda, sería 21; por tanteos se llega a que tenían 18 y 24, etc.)
3. Hace 6 años el padre tenía 4 veces la edad del hijo. Dentro de 10 tendrá el doble. ¿Qué edad tienen?
Solución
La diferencia de edades hace 6 años era 3 veces la edad del hijo. Dentro de 10 esta diferencia será la edad del hijo. Pero la diferencia es constante. Por tanto, si h era la edad del hijo hace 6 años, 3h=h+16. Es decir, el hijo tenía 8 hace 6 (y el padre 32). Así que ahora tiene 14 y el padre 38.
4. Tres enteros consecutivos suman 204. Encuéntralos.
Solución
Si fueran iguales sería el 68. Pero son consecutivos. Por tanto son los consecutivos 67, 68, 69.
5. El perímetro de un cuadrado es el triple de otro cuyos lados miden 8 unidades menos. Calcular el lado de cada uno.
Solución
El perímetro del grande tiene 32 unidades más que el del pequeño y es el triple que el de éste. Por tanto, p+p+32=4p. Es decir, el perímetro del pequeño es de 16 unidades (pues 32 tiene que ser 2p). La respuesta es entonces 4 y 12.
6. Hace 12 años el padre tenía cuatro veces la edad del hijo y dentro de 12 su edad será solamente el doble ¿cuántos años tienen?
Solución
Hace 12 años la diferencia de edades era 3 veces la edad del hijo, y dentro de 12 años tal diferencia será la edad del hijo. Pero la diferencia de edades se mantiene constante. Si h es la edad del hijo hace 12 años, se tiene 3h=h+24. Es decir, la edad del hijo hace 12 años era de 12 y la del padre 48. Por tanto, actualmente tienen 24 y 60.
7. Tres impares consecutivos suman 81. Encuéntralos.
Solución
Si los tres fuesen el mismo sería el 27. Pero son consecutivos. Luego son 25, 27, 29.

8. Descomponer el número 48 en dos sumandos, de tal manera que dividiendo uno entre el otro se obtenga 3 de cociente y 4 de residuo.
Solución
Si una parte entre la otra fuese 3 exacto, entonces las partes serían 36 y 12. Pero sobran 4. Por tanteos se llega a: 37/11=3+4/11 y ya está.
Modelo algebraico: 
La condición se deja modelar como a/b=3+4/b,a+b=48. Este sistema se resuelve fácilmente como sigue:

a=3b+4=48b

4b=44

b=11,a=37
9. Dos números enteros consecutivos son tales que la mitad del menor más el 
mayor, excede en 13 a  1/5 del menor más 1/11 del mayor. Hállalos.
Solución
Los dos números son enteros. El menor es divisible entre 10 (pues es divisible entre 2 y entre 5). El mayor es divisible entre 11 (pues se habla de 1/11 del mayor). Pero los números son consecutivos. Por tanto los números son 10 y 11 (no hay otra forma de que un número terminado en 0 tenga un consecutivo –y por tanto terminado en 1-- divisible entre 11).
Modelo algebraico:
Sean m y m+1 los números. Entonces la condición se expresa como
 m/2+m+1=13+m/5+(m+1)/11
Lo que sigue es simplificar hasta que la solución sea obvia:

m+2m+2=26+2m/5+2(m+1)/11

3m=24+(1/55)(22m+10(m+1))

3m=24+(1/55)(32m+10)

3(55)m=24(55)+(32m+10)

165m32m=10[(12)(11)+1]

133m=1330

   m=10,m+1=11

Comentario general sobre los problemas
El último problema demuestra que un planteamiento algebraico directo puede llegar a ser muy tedioso. Sin embargo, tiene la ventaja de que su solución es casi automática --si es que se tiene la habilidad de la manipulación algebraica y no se cometen errores. La solución sin álgebra exige extraer conclusiones de los datos. En otras palabras, la solución algebraica exige habilidad de manipulación algebraica, mientras que la solución no algebraica exige razonamiento. 
Por otro lado, la solución algebraica no se salva del razonamiento. Pues en el paso inicial de planteamiento o modelación está presente una habilidad de traducción a símbolos que no se puede hacer de manera automática, y en la interpretación de la solución hay que regresar al modelo inicial para darle un sentido a los resultados numéricos obtenidos en la manipulación algebraica.
En síntesis, la manipulación algebraica de símbolos y el razonamiento se complementan en la solución de un problema razonado (y no son, como muchos creen, o una cosa o la otra, es decir, no son dos opciones para elegir una de ellas). Ambas habilidades son igualmente importantes en la resolución de problemas matemáticos.
No está de más añadir unas palabras sobre el status de los problemas razonados. En primer lugar se debe destacar que no son una invención reciente (como lo atestiguan los problemas del Papiro de Rhind); en segundo lugar, deben verse como acertijos (y no como una aplicación de las matemáticas a la vida real): la pregunta pertinente acerca de un problema razonado no es si es realista, sino si es lo suficientemente interesante para atraer la atención del cognizador.
Ejercicios
1. Dentro de 18 años Manolo tendrá cinco veces la edad que tenía hace dos años. ¿Qué edad tiene ahora?
2. Un tren tiene 8 vagones. Los de primera clase tienen una capacidad de 48 pasajeros, mientras que los de segunda tienen una capacidad de 64. Calcular el número de vagones de segunda si se sabe que la capacidad total del tren es de 480 pasajeros.
3. El ángulo mayor de un triángulo mide 6 veces la medida del más pequeño. El tercer ángulo mide 75 grados. ¿Cuánto miden los otros dos?
Fuente: