¿Puedes resolver este problema aritmético? La calculadora no

En 2015, un estudio de las universidades japonesas de Kobe y Doshisha descubrió que muchos ingenieros de las principales empresas del país son incapaces de resolver un problema de aritmética diseñado para acceder a la escuela secundaria. Según el estudio, en el que participaron 1226 ingenieros de más de 20 años de edad, solo el 60% pudo obtener la respuesta correcta para un sencillo ejercicio de cálculo: 9 - 3 ÷ 1/3 + 1. ¿Sabrías obtenerla tú?

Uno de los problemas de este ejercicio es que la mayoría de las calculadoras arrojan un resultado erróneo, especialmente si ingresas la operación tal y como está escrita, sin añadirle paréntesis. Por ejemplo, la calculadora del sistema operativo macOS dice que la respuesta es 9, pero se equivoca:

Se equivoca porque interpreta los símbolos “÷” y “/” como dos operadores de división equivalentes, así que hace una operación distinta a la original:

1. 9 - 3 ÷ 1 ÷ 3 + 1
2. 9 - 3 ÷ 3 + 1
3. 9 - 1 + 1
4. 9

Sin embargo, cualquier alumno de secundaria se daría cuenta de que 1/3 está escrito así porque es un número fraccionario. Por lo tanto, la primera operación en orden de preferencia es una división de fracciones, 3 / (1/3):

1. 9 - 3 / (1/3) + 1
2. 9 - 9 / 1 + 1
3. 9 - 9 + 1
4. 1

La respuesta correcta, siempre que interpretemos 1/3 como una fracción, es 1. La calculadora de macOS se da cuenta de esto si usamos los paréntesis:

El ejercicio se volvió viral en Japón y sirvió de lección para ese 40% de ingenieros que lo estaba haciendo mal. También para los ingenieros de Google, que arreglaron su calculadora para que dejara de decir que es 9.

Fuente: Gizmodo 

La olvidada prueba del nueve

En el podcast de SciFri, “Steven Strogatz: The Joy Of X,” 23 Nov 2012, le preguntan a Strogatz por qué funciona la prueba del nueve (“casting out nines” en inglés) y no sabe contestar. Como buen matemático y como buen profesor no tiene miedo en confesar que nunca se ha preocupado por buscar la razón detrás de esta prueba, por ello no puede contestar a la pregunta. Todo ello me ha traído a la memoria la prueba del nueve, que no siempre funciona, como muestra este dibujo de Luis Vives, “Aritmética. Segundo Grado,” Zaragoza, 1949. ¡Qué no te acuerdas de la prueba del 9! Solo hay dos opciones, o eres muy joven, o eres un poco desmemoriado. Veamos como nos la explica Vives en su libro.

La prueba del nueve sirve para comprobar sumas, restas, productos y divisiones. En esta figura tienes la explicación para el caso del producto. Sobran más palabras. ¿Cuál es el secreto de la prueba del nueve que Strogatz no ha sido capaz de recordar? Obviamente, utilizar aritmética módulo 9. Nada más simple. En el caso del producto si a = b (mód 9), y c = d (mód 9), entonces ac = bd (mód 9). Lo mismo ocurre con sumas y restas, y con operaciones que involucren un número finito de sumas, restas y productos (como la división).

¿Funciona siempre la prueba? Obviamente, no. ¿Cuál es la probabilidad de fallo? Como nueve posibles resultados, la prueba del nueve fallará 1/9 de las veces (un 11% de las veces). ¿Se puede utilizar una prueba del siete o de cualquier otro número? Por supuesto y combinar dos pruebas asegura la corrección del resultado con mayor probabilidad (1/54 corresponde a un 1,6% de fallos). “Acerca de la prueba del nueve,” y Antonio, “La ¿prueba? del 9,” Tito Eliatron Dixit, 20 mayo 2009, explican cómo aplicarla a la división. Más información en María Luz Callejo de la Vega, “Una nueva mirada a “la prueba del 9″,” SUMA 30: 53-58, feb. 1999, y en Michel Ballieu, “La prueba del nueve,” Investigación y Ciencia 334, Julio 2004. Por cierto, este último artículo reproduce un fragmento de un texto de Al-Khwarizmi del siglo IX donde se explica cómo realizarla, aunque lo que destaca es su contundente inicio…

“En la clase el ambiente es tenso. El maestro, severo pero justo, permanece en un extremo de la tarima. El niño, ante el gran pizarrón negro, gacha la cabeza, trata de esquivar la mirada de reproche que le lanza su instructor. “Vamos a ver… ¿estás seguro de que 171 x 231 son 39.401?”, le pregunta, impaciente la voz. La respuesta es tímida. “Esto… ¿sí, señor?”. El maestro estalla. “¡Pequeño cabestro! ¿No te das cuenta de que te has equivocado? ¿Te has olvidado de la prueba del nueve?” El niño, aterrorizado, guarda un silencio culpable y siente revolotear sobre sí la amenaza del castigo. La sentencia no tarda en llegar. “Abre la mano”, ordena el profesor, que golpea con su larga regla de hierro la palma infantil…”

En inglés recomiendo consultar Peter Hilton, Jean Pedersen, “Casting Out Nines Revisited,” Mathematics Magazine 54: 195-201, Sep. 1981, y Murray Lauber, “Casting Out Nines: An Explanation and Extensions,” The Mathematics Teacher 83: 661-665, Nov. 1990. El uso de la prueba del nueve en Educación Básica ha sido criticado por algunos y defendido por otros. Ver por ejemplo, Maxim Bruckheimer, Ron Ofir, Abraham Arcavi, “The Case for and against “Casting out Nines”,” For the Learning of Mathematics 15: 23-28, Jun. 1995.

Atención, pregunta, ¿merece la pena que los profesores de Educación Básica recuperen la prueba del nueve en lugar del uso de la calculadora para chequear resultados? Utiliza los comentarios para ofrecer tu opinión, si te apetece.

Esta entrada participa en la Edición 3.14159265 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión se organiza en PiMedios. La aventura de las matemáticas.

PS: En los comentarios Emm Alva escribe que “Creo que los niños de Educación Básica no deberían utilizar calculadora o algún dispositivo electrónico, porque siento que gracias a esas herramientas su aprendizaje no es tan sólido y cada vez les cuesta más trabajo hacer cosas que se dicen básicas.” Yo soy de la misma opinión. Creo que usar calculadora en Educación Primaria es como usar reglas de letras de molde (ver figura abajo) para aprender a escribir. Nadie puede aprender a escribir de esa manera. Lo que no quita que en Educación Secundaria sea muy recomendable que los alumnos aprendan a usar correctamente la calculadora y el ordenador.

Fuente:

Francis Science News