Matemática: ¿mas razonamiento o mas ejercicios a mano?

Llega un momento momento en el que un estudiante, con lápiz y papel y cansado de despejar la X en sus ejercicios diarios, levanta la mano y pregunta: “¿Y esto para qué me sirve?”. 

Países como Canadá han transformado la enseñanza de las matemáticas, dedicando menos tiempo a la repetición de ejercicios a mano para dar más espacio a la reflexión y al razonamiento sobre cómo resolver problemas cotidianos empleando matemáticas. 

España realizara algo similar en su curso 2022-2023.

Los ejercicios a mano repetitivos son usuales en primaria con las 4 operacioes básicas y en secundaria con los llamados castillos de fracciones, operaciones con radicales o con polinomios. 

“No es que los alumnos no tengan que aprender a hacerlo, sino que una vez que entienden el mecanismo ya pueden usar una calculadora o aplicación, y todas esas horas de clase que ahora se destinan a operaciones mecánicas y repetitivas se pueden emplear en razonar sobre para qué y por qué se usan esas fórmulas”, apunta Luis Rodríguez, presidente de la comisión de educación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME).

Luis Rodriguez es coautor de Bases para la elaboración de un currículo de Matemáticas en Educación no Universitaria un documento que  recoge las corrientes actuales de la didáctica de las matemáticas que se encuentran en el informe PISA ―elaborado por la OCDE―, en documentos del Ministerio de Educación de Ontario ―que concentra el 40% de la población de Canadá―, del National Council of Teachers of Mathematics (la federación de profesores de Matemáticas) de Estados Unidos, o del Freudenthal Institute de la Universidad de Utrecht ―que debe su nombre a Hans Freudenthal, uno de los padres de la didáctica matemática moderna, la llamada matemática realista―. 

“Dedicar menos tiempo a la repetición de algoritmos es un cambio importante que se debe contemplar en la reforma curricular”, señala el informe del Cemat, que aglutina a todas las sociedades científicas y matemáticas de España, que por primera vez se han puesto de acuerdo para sentar las bases de cómo rediseñar la asignatura. “Menos tiempo para memorizar procedimientos con el objetivo de que adquieran sentido crítico y sean capaces de comunicar y argumentar con lógica”. 

El aprendizaje de las matemáticas, defienden los autores, tiene que ir ligado a experiencias que resulten significativas para el alumno.

En el modelo actual las clases empiezan con definiciones de nuevos conceptos matemáticos para después realizar infinitud de operaciones. 

El cambio plantea partir de situaciones problemáticas que conecten con los intereses de los estudiantes. 

Antonio Moreno, profesor de didáctica de las matemáticas de la Universidad de Granada pone un ejemplo. “Normalmente, a los alumnos se les pide que calculen la media y la desviación típica de unas cantidades, sin mucho contexto. Si en lugar de hacerlo así les preguntamos quién creen que es el mejor jugador de la NBA basándose en datos estadísticos, van a conectar con lo que están haciendo”. Un alumno puede decantarse por el jugador con más triples por partido, mientras que otro puede sostener que la desviación de ese jugador es mayor; ha tirado más veces, pero también ha fallado más. 

Esa es también otra de las novedades, pasar de un modelo basado en las actividades individuales a otro en el que se generen discusiones y debates, porque “la interacción evoca la reflexión”.

La regla de tres es otro ejemplo de cómo se memoriza un proceso sin entenderlo bien. “Tienes tres números y tienes que calcular un cuarto. Como es un procedimiento sencillo, los alumnos lo aplican aunque no haya proporcionalidad entre las cifras, es un fenómeno que está muy descrito en la literatura científica, un error clásico del alumnado”, señala Luis Rodríguez. 

Un ejemplo. “La mayoría de la gente, ya en la vida adulta, busca en internet y ve que para hacer una paella para seis personas hace falta una paellera de 50 centímetros de diámetro, al querer calcular qué tamaño necesitarían para 12 comensales, hacen la regla de tres y creen que es una 100 centímetros. No es así porque la fórmula para calcular el área de un círculo no sigue esa regla”, expone. La solución sería enseñar a los estudiantes a entender la proporcionalidad.

Otro error extendido en primaria se comete al restringir la enseñanza de la probabilidad a contextos de juegos de cartas y bolas. 

“Hemos detectado un abuso por una parte del profesorado de los ejemplos relacionados con el ámbito de los juegos de azar, esto da una idea deformada porque parece que la utilidad de la probabilidad y la estadística es entender aspectos vinculados al entretenimiento, cuando se pueden usar contextos reales de transmisión de enfermedades o encuestas electorales”, indica el matemático Alfonso Gordaliza.

La otra reforma de calado es que el nuevo currículum contemple el uso de la computación.

Los retos tecnológicos pasan necesariamente por conectar la matemática escolar con la programación.

Utilizar en primaria lenguajes de programación como Scratch o Snap y en secundaria Phyton son algunas de sus sugerencias. 

Por ejemplo, al estudiar los algoritmos, los estudiantes pueden programarlos o mientras aprenden geometría, álgebra o estadística usar programas como Geogrebra, con el que se puede simular figuras geométricas en 3D o crear gráficas. 

Se requiere necesariamente la formación del profesorado; si no, estamos condenados al fracaso”, advierte Onofre Monzó presidente de la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas.

Con información de: El País (España)

Matemática: el misterioso número 6174

6174 parece un número cualquiera. Sin embargo, lleva intrigando a matemáticos y entusiastas de la teoría de los números desde 1949.

¿Por qué?

Pues mira esto tan curioso.

1. Elije cualquier número de cuatro dígitos que esté formado por al menos dos dígitos diferentes, incluido cero, por ejemplo 1234

2. Organiza los dígitos en orden descendente, lo que en nuestro ejemplo quedaría 4321

3. Ahora, organiza el número en orden ascendente: 1234

4. Resta el número más pequeño del número más grande: 4321 - 1234

5. Y ahora repite los tres últimos pasos 

Vamos a hacerlo:

• 4321 - 1234 = 3087

entonces organizamos los dígitos de 3087 en orden descendente y queda 8730, y en orden ascendente, 0378, y restamos:

• 8730 - 0378 = 8352

nuevamente, organizamos los dígitos del resultado 8352, y los restamos:

• 8532 - 2358 = 6174

Una vez más, en orden descendente -7641- y ascendente -1467-, y restamos:

• 7641 - 1467 = 6174

Como puedes notar, de aquí en adelante no vale la pena seguir, pues sólo repetiríamos la misma operación. 

Tratemos con otro número. ¿Qué tal 2005?:

• 5200 - 0025 = 5175
• 7551 - 1557 = 5994
• 9954 - 4599 = 5355
• 5553 - 3555 = 1998
• 9981 - 1899 = 8082
• 8820 - 0288 = 8532
• 8532 - 2358 = 6174
• 7641 - 1467 = 6174

Resulta que no importa con cuál número comiences, siempre llegas a 6174 y a partir de entonces, la operación se repite, con el mismo resultado una y otra vez: 6174.

Kaprekar, un adicto a los números

A esto se le conoce como la Constante de Kaprekar pues quien descubrió la misteriosa belleza de 6174 y la presentó en la Conferencia Matemática de Madrás en 1949 fue Dattatreya Ramchandra Kaprekar (1905-1986), un adicto confeso de la teoría de los números. 

"Un borracho quiere seguir bebiendo vino para permanecer en ese estado placentero. Lo mismo ocurre conmigo en lo que respecta a los números", solía decir.

El artículo completo en: BBC Mundo
 

Stanislas Dehaene: cómo aprende el cerebro y cuál es el método más eficaz

“Todos los niños vienen curiosos. Habría que preguntarse si la escuela no mata esa curiosidad”, planteó Dehaene.

Stanislas Dehaene da clases en el Collège de France y ganó el Brain Prize, considerado como el “Nobel de neurociencia”. Es catalogado como uno de los máximos exponentes en la materia, pero cuando se le pregunta qué es la inteligencia prefiere citar a un colega. “Demis Hassabis, CEO de DeepMind, dice que la inteligencia es la capacidad de transformar informaciones brutas en conocimientos utilizables. Eso, al final y al cabo, es el aprendizaje -agrega él-. implementar herramientas mentales para aplicar a situaciones extremadamente diferentes unas de las otras".

-¿Cuánto hay de innato y cuánto de adquirido?

-La máquina que es nuestro cerebro se basa en muchas cuestiones innatas. Es uno de los grandes descubrimientos de los últimos veinte años. En mi laboratorio también vimos que el cerebro de los niños muy pequeños ya está extremadamente organizado. Desde el nacimiento observamos circuitos cerebrales muy próximos a los que van a tener de adultos. Los bebés ya aplican funciones de muy alto nivel como el sentido de las probabilidades, de los números, del espacio. Nuestro cerebro proyecta sobre el mundo exterior para poder aprender.

-¿Todos los bebés nacen con un punto de partida similar?

-Sí, efectivamente. Los competencias matemáticas o proto-matemáticas ya existen desde los primeros días de nacidos y son idénticas tanto para varones como para mujeres.

-¿Cómo puede ser posible que tengan competencias matemáticas sin ni siquiera haber visto un número?

-Sigue siendo un misterio. Pero el cerebro se autoorganiza, como si fuera un mapeo. Está lo que se llama el GPS cerebral, que es un espacio que está entre el hipocampo y la corteza temporal. En las investigaciones con ratones se ve cómo ellos mapean el espacio. Este circuito ya está presente en el primer día que el ratón empieza a moverse.

-En su libro afirma que el cerebro del niño es superior a cualquier inteligencia artificial.

-Sí, por lo menos por ahora.

-¿Cree que en el algún momento la IA lo va a superar?

-Como hipótesis de base no puedo decir que eso no vaya a suceder. Por el momento les faltan algunos de los pilares de aprendizaje que aplicamos los humanos. Las máquinas hoy usan muchos menos datos para aprender. El cerebro humano descubre regularidades explícitas. Todo aquello que conocemos lo podemos reformular y transmitir. Esto es la base de la educación: somos la única especie que puede autoeducarse.

La entrevista completa en: Infobae 

Hay más de un millón de jóvenes ‘nininis’ en el Perú: ni estudian, ni trabajan ni buscan empleo

Cifras fueron reveladas por el viceministro de Trabajo, Augusto Eguiguren.
 

El viceministro de Trabajo, Augusto Eguiguren, brindó cifras sobre la fuerte presencia de los ‘nininis’ en el Perú, es decir, jóvenes que ni estudian ni trabajan ni están buscando empleo.

Refirió que hay 1.3 millones de ‘ninis’, pero de ellos el 80%, más de 1 millón, son ‘nininis’. “Esto es preocupante para nuestro país”, señaló hoy Eguiguren durante su participación en el 8vo Congreso de Negocios en la Era Digital, organizado por Seminarium y el IAB.

Eguiguren informó a Gestión.pe que los ‘nininis’ están compuestos en su mayoría por jóvenes entre 18 a 24 años (65.7%), mujeres (70%), y el 74.3% de ellos cuenta con un nivel educativo básico completo a superior completo.

Asimismo, refirió que la principal razón para ser un 'ninini’ y no buscar trabajo (75%) -excluyendo el estudio de algún curso de educación básica regular o superior- es la ocupación en quehaceres del hogar. Tener hijos aumenta la probabilidad de ser un ninini, en el caso de las mujeres, en un 30%.

Fuente: Gestión (Perú) 

 

¿Qué son los números imaginarios?

En la Italia renacentista de comienzos del siglo XVI uno de los espectáculos callejeros más populares en la ciudad universitaria de Bolonia eran los duelos. Pero no solo los de espadas. También había combates puramente intelectuales.

Se trataba de desafíos matemáticos, en los que dos o más expertos batallaban por encontrar la solución a un problema. El duelo se llevaba a cabo en plazas públicas y era seguido por miles de habitantes.

Fue en esta época que algunos matemáticos italianos se empezaron a dar cuenta de que algunas ecuaciones eran imposibles de resolver. 

En particular, aquellas cuya resolución requería calcular la raíz cuadrada de números negativos.
Como quizás recuerdes de la escuela, los números negativos no tienen raíces cuadradas: no hay un número que, cuando se multiplica por sí mismo, da un número negativo. 
 
Esto se debe a que los números negativos, cuando son multiplicados, siempre producen un resultado positivo. Por ejemplo: -2 × -2 = 4 (no -4).

Pero los matemáticos Niccolo Fontana (alias Tartaglia) y Gerolamo Cardano se dieron cuenta de que si permitían la existencia de raíces cuadradas negativas, podían resolver ecuaciones verdaderas -o con "números reales", como se conoce a los números que poseen una expresión decimal-.

La "unidad imaginaria" o "i" es la raíz cuadrada de -1, un número que fue inventado en el siglo XVI en Italia. >

Fue así como crearon una unidad nueva, imaginando la raíz cuadrada de -1 (o √-1 en términos matemáticos).

En 1573 otro matemático renacentista, Rafael Bombelli, explicó cómo funcionaba la aritmética con este nuevo concepto, en una obra llamada "Álgebra".

Allí señaló que la unidad nueva no era positiva ni negativa y, por lo tanto, no obedecía las reglas habituales de la aritmética.

Por cerca de un siglo muchos pensadores rechazaron esta nueva idea, llamando a esta unidad inventada "ficticia, imposible o sin sentido".

Uno de los detractores fue el filósofo francés René Descartes, quien en su obra "La Géométrie" (1637) bautizaría a la invención con el término despectivo de "números imaginarios".

i

Pasarían muchas décadas más para que los matemáticos empezaran a aceptar a estos números imaginarios, que desafiaban la lógica, como algo válido y genuino.

En 1707, otro francés, Abraham de Moivre, relacionó los números imaginarios con la geometría, logrando así usar esta disciplina para resolver complejos problemas algebraicos.

Setenta años más tarde, los números imaginarios tendrían finalmente su propio símbolo: i (gracias al matemático suizo Leonhard Euler).

Y su uso permitiría extender el sistema de números reales (R) al sistema de números complejos (C), donde se combinan números reales con números imaginarios.

Quizás todo esto suena como algo completamente abstracto y sin utilidad real, que solo podría interesarle a intelectuales que viven en el mundo de las ideas, pero esa está lejos de la realidad.

En el siglo XX, los números imaginarios empezaron a tener muchos usos prácticos, permitiendo a ingenieros y físicos, entre otros, resolver problemas que de otra forma no hubieran tenido solución.

Telecomunicaciones

Hoy estos números imaginarios y complejos están detrás de algunas de las tecnologías más esenciales que usamos.

Resultaron especialmente valiosos cuando se inventó la electricidad, ya que son muy útiles para analizar cualquier cosa que se expresa en ondas (como las ondas eléctricas).
La ingeniería eléctrica utiliza números complejos, en los que "i" es usado para indicar la amplitud y la fase de una oscilación eléctrica.


Sin estos números, no se hubiera podido desarrollar las telecomunicaciones. No existiría la radio, la televisión e internet y hoy no estarías leyendo esta nota en tu computadora, tablet o celular.
Los números imaginarios también permitieron todo tipo de desarrollos tecnológicos y científicos, desde el radar y el GPS hasta la resonancia magnética y las neurociencias.

La física cuántica reduce todas las partículas a formas de onda, lo que significa que los números complejos son fundamentales para comprender ese extraño mundo.

No sólo podrían ser clave para el futuro, sino que algunos creen que eventualmente podrían servir para responder una de las grandes incógnitas que siguen dejando perplejos a los científicos: ¿qué pasó antes del Big Bang y cuándo empezó realmente el tiempo?

¿En serio?

La clásica teoría general de la relatividad de Albert Einstein vinculó el tiempo con las tres dimensiones espaciales con las que todos estamos familiarizados (arriba-abajo, izquierda-derecha y adentro-afuera), creando un "espacio-tiempo" cuatridimensional en el que el tiempo solo puede avanzar. 

Una teoría brillante, pero cuando se aplica a la creación del Universo surgen problemas.
Pero si invocas la teoría cuántica y le agregas algo de tiempo imaginario y todo empieza a cobrar sentido... al menos para los cosmólogos. 

El tiempo imaginario se mide en números imaginarios y, a diferencia del tiempo real, puede avanzar y retroceder como una dimensión espacial adicional.
Y eso le da al Big Bang un momento para comenzar.

Fuente: BBC Mundo

Teoría de Dunbar: ¿podemos tener más de 150 amigos?

Robin Dunbar estableció que todo ser humano, en priomedio, popdría tener 150 amistades, ¿es esto posible en una sociedad hiperconectada como la actual?

A través de sus estudios de primates no humanos, el antropólogo británico Robin Dunbar llegó a la conclusión de que había una relación entre el tamaño del cerebro y el tamaño del grupo con el que nos vinculamos.

El experto concluyó que el tamaño de la neocorteza, la parte del cerebro asociada con la cognición y el lenguaje, en relación con el cuerpo, está relacionado con el tamaño de un grupo social cohesionado.

Esta relación limita la complejidad que puede manejar un sistema social.

Dunbar y sus colegas aplicaron este principio básico a los humanos, examinando datos psicológicos, antropológicos, ya fuera históricos como contemporáneos, sobre el tamaño de los grupos, incluida la forma en que los grandes grupos se forman antes de separarse o colapsar.

El resultado fue que encontraron notable consistencia alrededor del número 150.

Una persona tiene en torno a 150 amigos en total

¿De dónde viene?

Según Dunbar y muchos investigadores en los que influyó su teoría, esta regla de 150 es cierta para las primeras sociedades de cazadores-recolectores, así como para una sorprendente variedad de agrupaciones modernas: oficinas, comunas, fábricas, campamentos, organizaciones militares, pueblos… e, incluso la lista para la celebración de la Navidad.

Sus conclusiones indican que si un grupo excede 150 personas, es poco probable que dure mucho o sea coherente.

Pero 150 por sí solo no cuenta toda la historia. Otros números también son decisivos dentro de la hipótesis del cerebro social, que es como se conoce la teoría de Dunbar.

De acuerdo con ésta, el círculo más estrecho de nuestras relaciones humanas tiene cinco personas: nuestros seres más queridos o cercanos.
A estos, le siguen varias capas sucesivas:

• 15 buenos amigos

• 50 amigos

• 150 contactos significativos

• 500 conocidos

• 1.500 personas que puedes reconocer

Las personas migran dentro y fuera de estas capas, pero la idea es que cada persona mantiene sus relaciones en esos límites.

Por supuesto, esos números realmente representan un rango. Los extrovertidos, según el autor, tienden a tener una red más amplia, aunque con relaciones menos intensas, mientras que los introvertidos se concentran en un grupo más pequeño de contactos muy cercanos.

Las mujeres, por su parte, generalmente tienen un poco más de contactos en las capas más cercanas.

Lea el artículo completo en:

BBC Mundo

Las abejas saben contar desde cero

Las abejas saben contar desde cero.

Muchos animales saben contar. Mejor dicho, muchos animales saben ordenar mentalmente cantidades diferentes, por ejemplo de comida o de otros animales con los que compiten. Su supervivencia depende de ello. Los chimpancés, en algunos casos, hacen estos cálculos más rápido que las personas. Pero son pocos los animales que empiezan a contar desde cero, o sea, los que entienden que nada tiene un valor numérico por debajo de la unidad. Al menos eso piensan los científicos, que hasta ahora solo habían identificado esta habilidad en delfines, loros, simios y en humanos mayores de cuatro años. Un estudio publicado hoy en Science demuestra que las abejas se suman a este selecto grupo.

Para poner a prueba a los insectos, varios investigadores de Australia y Francia entrenaron a dos grupos de abejas. Sobre una pantalla rotatoria, los científicos colocaron parejas de cartas blancas estampadas con dos, tres, cuatro o cinco figuras geométricas negras —como naipes—. En un grupo, las abejas recibieron una recompensa dulce al posarse sobre las cartas con el mayor número de figuras. En el otro, la recompensa estaba asociada al valor menor. Cuando los animales aprendieron las reglas del juego, los científicos introdujeron dos elementos nuevos: el naipe en blanco (cero) y el naipe de una sola figura geométrica (uno). Las abejas entrenadas para buscar los valores más pequeños fueron capaces de extrapolar la regla y volar hacia el naipe vacío en lugar del naipe con la figura. “Demuestran comprensión de que el conjunto vacío es más pequeño que el uno, lo cual es difícil para otros animales”, escriben los autores en Science, aludiendo a estudios previos con loros y chimpancés. En una ampliación del experimento, los insectos también escogieron el cero en lugar de los naipes con los que ya habían entrenado u otros con figuras geométricas nuevas.

Lea el artículo completo en: El País (España)

Emmy Noether, la fundadora del álgebra moderna

La alemana fue en 1932 la primera conferenciante plenaria en un Congreso Internacional de Matemáticos. Sesenta años más tarde fue invitada la segunda, Karen Uhlenbeck, recientemente galardonada con el Premio Abel.

El álgebra es una de las áreas fundamentales de las matemáticas, junto con el análisis, la geometría, la topología o la probabilidad. Es la disciplina que se dedica al estudio de los conjuntos (es decir, colecciones de elementos), sus operaciones y sus propiedades, y hoy en día abarca numerosos enfoques. No obstante, hasta hace poco más de un siglo, el álgebra se limitaba básicamente a resolver ecuaciones polinómicas (como 7x³ +2x² - 3x + 8 = 0). Durante los últimos 150 años el álgebra ha experimentado un desarrollo espectacular, gracias al trabajo de un buen número de matemáticos como Evariste Galois, David Hilbert, Ernst Kummer, Bernhard Riemann, Felix Klein, Paul Gordan o Richard Dedekind. Sin embargo, el impulso definitivo vino de la mano o, mejor dicho, de la mente, de una mujer: Emmy Noether.

Noether nació en 1882 en Baviera (Alemania), en el seno de una familia en la que las matemáticas estaban muy presentes: su padre, Max Noether, era profesor de la materia en la Universidad de Erlangen-Nuremberg, y la visita a su domicilio de algunos de sus colegas era habitual. Pese a ello, durante su niñez y juventud, Emmy Noether no mostró un especial interés por las ciencias. En su lugar, se dedicó principalmente al estudio de idiomas, con la idea de ser maestra en alguna escuela femenina.

En 1900 se matriculó en estudios de historia e idiomas en la Universidad de Erlangen-Nuremberg. Era una de las dos únicas mujeres entre sus casi 1000 alumnos, y para asistir a cada una de las clases necesitaba un permiso especial previo del profesor a cargo de la misma. Sin embargo, Noether fue cambiando poco a poco sus intereses. Primero, comenzó a asistir a clases de astronomía y a partir de 1904 aparece matriculada oficialmente en estudios de Matemáticas.

En 1908 defendió su tesis bajo la dirección de Paul Gordan en la llamada teoría de invariantes, que estudia objetos que quedan fijos tras aplicarles una transformación algebraica. Rápidamente Noether se convirtió en una reputada experta en este campo que en aquellos años estaba en auge ya que servía para explicar algunos aspectos matemáticos de la teoría de la relatividad de Einstein. En ese sentido, cabe destacar el Teorema de Noether, que determina la relación entre leyes de conservación físicas y los invariantes del sistema.

Lea el artículo completo en: El País (España)

El sistema de base diez y porqué contamos con los dedos

 Por J. M. Mulet

La mayoría de las culturas cuentan en base 10: tienen 10 dígitos diferentes y los combinan para describir cualquier cantidad. ¿Por qué? Para conocer la causa solo hay que mirarse las manos. 

Las matemáticas que aprendemos en el parvulario tienen una base 10. Eso quiere decir que tenemos 10 dígitos diferentes y con combinaciones de ellos describimos cualquier cantidad, agrupada siempre en decenas o en potencias de 10. Contar en base 10 no es algo nuevo ni propio de nuestra cultura. El lenguaje protoindoeuropeo que se hablaba hace alrededor de 6.000 años en algún lugar cercano al mar Negro (quizás en Anatolia o en la estepas de Ucrania, en este punto no hay consenso) ya utilizaba base 10 y de ahí pasó a la mayor parte de culturas a través del griego clásico, el latín, el sánscrito o el germánico. Pero contar de 10 en 10 es algo que se descubrió varias veces en culturas que no tenían contacto entre ellas. Otras protolenguas como el sinotibetano, la nigerocongolesa y la austranesia, que son precursoras de lenguas con millones de hablantes como el chino mandarín o el suajili también utilizan una base 10. ¿Por qué 10? En principio se podría haber elegido cualquier base. En este caso la filología nos da una idea. 

Cuando estamos en el parvulario y aprendemos a sumar, el gesto instintivo es ayudarnos con los dedos. Puesto que tenemos 10 dedos, parece lógico pensar que la mayoría de culturas utilizaron 10 dígitos por tener 10 dedos, y esto se refuerza por el hecho de que etimológicamente dígito y dedo comparten origen en la mayoría de lenguas que cuentan en base 10. Sin embargo, no siempre se elegía contar de esta forma. En algunas lenguas de Centroamérica, el Cáucaso y África Central y Occidental los números se definen en base 20. De hecho, en algunas lenguas europeas quedan rastros de una convivencia entre la base 10 y la base 20, por eso en francés la palabra para “ochenta” es quatre-vingt, es decir, cuatro veces 20, y en inglés antiguo la palabra score define una veintena. Una base 5 es infrecuente en idiomas antiguos; sin embargo, en España no nos es ajena, solo hay que pensar en la palabra lustro para definir periodos de cinco años y en el uso de los duros para definir cinco pesetas. Y de la base 15 solo nos queda una referencia: el conteo del tenis, que parece motivado por un antiguo sistema de apuestas francés, aunque hay teorías alternativas que lo relacionan con la forma en la que medimos un círculo. El origen de la base 10, 5 y 15 se relaciona también con los dedos de la mano, y hace referencia a utilizar también los dedos de los pies, una sola mano, o las dos manos y un pie (por eso la base 15 es tan rara).

Hay otras culturas que también han contado con los dedos, pero de forma diferente a como lo hacía la mayoría. Por ejemplo, el sistema de base 60 fue utilizado originalmente por los sumerios y más tarde por los babilonios, y es el origen por el que dividimos las horas en 60 minutos y los minutos en 60 segundos y por el que una circunferencia tiene 360 grados. Ese sistema deriva de otro de base 12: solo hay que ver que los babilonios dividieron el año en 12 signos zodiacales. Y aquí volvemos a tener los dedos, aunque los sumerios los utilizaban de forma diferente a los protoindoeu­ropeos. Si miramos la palma de la mano y utilizamos el dedo pulgar como puntero para contar, veremos que el resto de dedos están divididos en tres falanges cada uno. Si contamos las falanges, ya tenemos la base 12, y este parece ser el origen más probable de esta numeración. Aunque hay explicaciones alternativas, puesto que 60 se puede dividir de forma exacta entre 2, 3, 4, 5, 6, 10 y 20, lo que permite hacer diferentes agrupaciones que hoy día seguimos utilizando (las medias horas, los cuartos de hora o los 5 o 10 minutos).

Y todavía existe una tercera forma de utilizar las manos para contar. Hay unos cuantos idiomas antiguos que contaban los números de forma octonaria, en base 8. Y también contaban con la mano, con la diferencia de que, en vez de asignar cada cantidad a un dedo (base 10) o a una falange (base 12), utilizaban los huecos entre los dedos, y así salen los cuatro huecos en cada mano. Queda claro que, independientemente de nuestra cultura, todos hemos contado con los dedos.

La base está en todo el cuerpo

De los miles de idiomas que han existido, no todos se ajustan al patrón general de contar con los dedos. Por ejemplo, hay lenguas con sistemas en base 2: en este caso, las palabras para los números recuerdan a las palabras para ojos u orejas, indicando que esa parte del cuerpo fue la que más llamó la atención a sus hablantes. Pero hay más casos: la lengua salinera de los nativos de California tiene base 4, y la que se habla al sur de Nueva Guinea, base 6, aunque parece que utilizaban como patrón la forma de agrupar alimentos más que el cuerpo. Y la lengua oksapmin, de la provincia de Sandaun, en Nueva Guinea, tiene base 27 debido a que utiliza todas las partes del cuerpo contables, incluyendo dedos, ojos, brazos y hombros.
 

Tomado de: El País (España)

 

La enigmática tabla-quipu

Un poblado escondido en las montañas de la Cordillera de Huayhuash, en Áncash, guarda entre sus archivos virreinales una tabla con medio centenar de nombres y su posible equivalencia tejida en quipus fonéticos.

La tabla tiene un listado de medio centenar de nombres escritos sobre cuero con una bella caligrafía y su equivalencia en quipus. Se cree que data del siglo XVII y que pudo ser un censo elaborado durante la campaña de extirpación de idolatrías realizada en la provincia limeña de Cajatambo.

La tabla-quipu es uno de los secretos más sorprendentes del poblado de San Francisco de Mangas, uno de los distritos más olvidados de Áncash. Sus escasos pobladores se quejan de la ausencia de apoyo regional y la precariedad de los caminos de acceso. Su imponente paisaje está dominado por los nevados de la Cordillera de Huayhuash y podría ser un buen destino turístico de no ser por su postergación y marginalidad.

Sin embargo, esta precariedad es la que evitó que Mangas pierda sus antiguos registros virreinales. Como esta tabla-quipu que hoy sorprende a los científicos.

Fue el Dr. Román Robles Mendoza quien advirtió su existencia, pero en estos días circula un documental donde la Dra. Sabine Hayland, de la Universidad de St. Andrew de Escocia, comparte su asombro por el hallazgo, convencida de que podría servir para entender a los quipus como una forma de escritura prehispánica. "La tabla-quipu podría ser el equivalente andino a la Piedra de Roseta, que sirvió para descifrar los jeroglíficos egipcios", sostiene la experta.

En el Perú, uno de los primeros en registrar la tabla-quipu fue el cineasta Roberto Aldave Palacios, quien viajó a Mangas y comprobó esa vieja tradición vinculada a los quipus. Aldave conversó con la profesora Beatriz Rebeca Arcayo Aguado (encargada de la conservación de la tabla-quipu) y juntos comprobaron que hasta la imagen de San Francisco –patrón jurado del pueblo– luce un quipu en la mano. La imagen adorna el frontis de la única capilla del pueblo. Aldave hizo un llamado a las autoridades ediles, regionales y nacionales para proteger esta joya cultural.

Mangas podría convertirse en un sorprendente destino turístico por su cercanía a Cajatambo y al circuito de la Cordillera de Huaylash, así como su tradición cultural, los restos de imponentes caminos prehispánicos y yacimientos arqueológicos. 

Fuente: La República (Perú)

¿Puedes resolver este problema aritmético? La calculadora no

En 2015, un estudio de las universidades japonesas de Kobe y Doshisha descubrió que muchos ingenieros de las principales empresas del país son incapaces de resolver un problema de aritmética diseñado para acceder a la escuela secundaria. Según el estudio, en el que participaron 1226 ingenieros de más de 20 años de edad, solo el 60% pudo obtener la respuesta correcta para un sencillo ejercicio de cálculo: 9 - 3 ÷ 1/3 + 1. ¿Sabrías obtenerla tú?

Uno de los problemas de este ejercicio es que la mayoría de las calculadoras arrojan un resultado erróneo, especialmente si ingresas la operación tal y como está escrita, sin añadirle paréntesis. Por ejemplo, la calculadora del sistema operativo macOS dice que la respuesta es 9, pero se equivoca:

Se equivoca porque interpreta los símbolos “÷” y “/” como dos operadores de división equivalentes, así que hace una operación distinta a la original:

1. 9 - 3 ÷ 1 ÷ 3 + 1
2. 9 - 3 ÷ 3 + 1
3. 9 - 1 + 1
4. 9

Sin embargo, cualquier alumno de secundaria se daría cuenta de que 1/3 está escrito así porque es un número fraccionario. Por lo tanto, la primera operación en orden de preferencia es una división de fracciones, 3 / (1/3):

1. 9 - 3 / (1/3) + 1
2. 9 - 9 / 1 + 1
3. 9 - 9 + 1
4. 1

La respuesta correcta, siempre que interpretemos 1/3 como una fracción, es 1. La calculadora de macOS se da cuenta de esto si usamos los paréntesis:

El ejercicio se volvió viral en Japón y sirvió de lección para ese 40% de ingenieros que lo estaba haciendo mal. También para los ingenieros de Google, que arreglaron su calculadora para que dejara de decir que es 9.

Fuente: Gizmodo 

George Boole, el ‘arquitecto’ de la revolución digital

Profundizar en el mecanismo que rige un semáforo o en el funcionamiento de un complejo sistema informático revela una base común. Es el álgebra de Boole, una herramienta matemática cuya evolución le ha llevado mucho más allá del ámbito específico de la lógica matemática, para el que fue concebido, convirtiéndose en un pilar teórico de nuestra civilización tecnológica.

La mayoría de los circuitos electrónicos, y de los sistemas de computación en general, tienen su origen en una función lógica. Pero esta puede ser bastante larga y compleja. Por eso George Boole (1815-1864) ideó un método para simplificar esa función lógica lo máximo posible, a través de ciertas reglas básicas o propiedades. Quizás este sistema encuentra hoy en día uno de sus máximos exponentes los buscadores de Internet como Google, que hoy le reconoce el mérito a Boole con un doodle que conmemora el 200 aniversario de su nacimiento.

A mediados del siglo XIX, Boole desarrolló en su libro “An Investigation of the Laws of Thought” (1854), la idea de que las proposiciones lógicas podían ser tratadas mediante herramientas matemáticas. Estas proposiciones lógicas podían tomar únicamente dos valores del tipo Verdadero/Falso o Sí/No. Estos valores bivalentes y opuestos podían ser representados por números binarios de un dígito (bits), por lo cual el álgebra booleana se puede entender cómo el álgebra del sistema binario.

Un sistema lógico de futuro imprevisto

Él mismo resumió su trabajo en esta frase: «Las interpretaciones respectivas de los símbolos 0 y 1 en el sistema de lógica son Nada y Universo». Podría interpretarse como un anticipo de su trascendencia. Sin embargo, contrariamente a lo que se puede pensar, el álgebra de Boole no pareció tener ninguna aplicación práctica en un primer momento y sólo se le encontró un sentido, bastante abstracto, en el campo de la lógica matemática.

Fue setenta años después de su muerte, en 1938, cuando el ingeniero electrónico y matemático estadounidense Claude E. Shannon (1916 – 2001) encontró en el trabajo de Boole una base para los mecanismos y procesos en el mundo real, demostrando cómo el álgebra booleana podía optimizar el diseño de los sistemas electromecánicos de relés, utilizados por aquel entonces en conmutadores de enrutamiento de teléfono.

Además de Shannon, el ruso Victor Shestakov (1907-1987) propuso una teoría de los interruptores eléctricos basados en la lógica booleana en 1935, aunque menos conocida en un principio: su publicación se hizo años después, en 1941 y en ruso. De esta manera, el álgebra de Boole se convirtió en el fundamento de la práctica de circuitos digitales de diseño, y George Boole (a través de Shannon y Shestakov) en el arquitecto que puso los cimientos teóricos para la revolución digital.

Tomado de: Open Mind

¿Hay realmente más estrellas en el Universo que granos de arena en todas las playas del mundo como dijo Carl Sagan?

Es un problema matemático de proporciones cósmicas, que podría venirte a la mente cada vez que te encuentras en una playa o mirando el cielo de noche.

"El número total de estrellas en el universo es mayor que todos los granos de arena en todas las playas del planeta Tierra".

La afirmación proviene del astrónomo estadounidense y maestro del universo Carl Sagan, quien la formuló en su programa de televisión "Cosmos", un éxito masivo en los años ochenta.

¿Pero es verdad? y ¿Es siquiera posible calcularlo?

Bueno, aquí haremos el intento (¡aunque debes prepararte para leer algunas cifras muy grandes!).

Un número galáctico

El profesor Gerry Gilmore es un astrónomo de la Universidad de Cambridge que ha estado contando las estrellas en la galaxia en la que vivimos los terrícolas: nuestro hogar cósmico, la Vía Láctea.

Dirige un proyecto en el Reino Unido llamado Gaia que incluye una nave espacial europea, actualmente en órbita, que está mapeando el cielo.

Para calcular cuántas estrellas hay realmente en toda nuestra galaxia el equipo de Gaia utilizó sus datos para construir un gran modelo tridimensional de la Vía Láctea.

El artículo completo en: BBC Mundo

¿Por qué estan colocados en ese orden los números de la diana de dardos?

Para penalizar la falta de puntería. Si nos fijamos, cerca del 20 (la máxima puntuación) hay dos números bajos: si fallas, el premio es escaso; y así, sucesivamente con los demás números. Esta idea se atribuye al fabricante de dianas Brian Gamlin, quien en 1896 decidió ordenarlos así, en vez de consecutivos. Lo que quizá no sabía es que hay 2.432.902.008.176.640.000 combinaciones, y resulta que esta es casi la mejor opción.

¿Es cierto que las sandías tienen talla, como si fueran ropa?

Sí, y no son las únicas: las frutas, las hortalizas y los huevos tienen indicaciones sobre su tamaño. En el caso de las sandías, se les atribuye un número según su peso: 6, para piezas de entre 1,5 y 2,4 kilos; 5 para las de 2,5 a 3,2 kilos; 4 si pesan entre 3,3 y 4,2 kilos; y 3 si alcanzan de 4,3 a 5,5 kilos. Otro método para clasificar el tamaño de la fruta es instalar cámaras en las cintas transportadoras y que un software traduzca las medidas.

Fuente: QUO

Cómo es el "Método Singapur" con el que Jeff Bezos les ha enseñado matemáticas a sus hijos (y por qué lo usan los mejores estudiantes del mundo)

Los mejores estudiantes de matemáticas del mundo están en Singapur, o eso dice la prueba PISA.

No es raro entonces que el llamado "Método Singapur" (también conocido como "Mastery Approach", "Enfoque de Maestría") para la enseñanza de las matemáticas se haya expandido alrededor del mundo.

Tanto es así que Jeff Bezos, el hombre más rico del mundo y dueño de Amazon, decidió junto a su esposa que sus hijos aprendieran el modelo utilizado por los niños singapurenses.

"Hemos intentado todo tipo de cosas, como lecciones de mandarín o el programa de Singapur", le dijo MacKenzie Bezos a la revista Vogue.

El método ha sido destacado y al mismo tiempo duramente criticado por expertos en educación. 

Algunos maestros han optado por usar algunos elementos del enfoque singapurense y mezclarlos con las tendencias occidentales que incluyen una visión más "libre y creativa".

En Estados Unidos, el Método Singapur ha sido una tendencia creciente y quienes lo promueven aseguran obtener excelentes resultados.

"Los planes de estudio para la enseñanza de matemáticas a nivel primario en varios países alrededor del mundo lo usan como modelo", le dijo a BBC Mundo Kevin Mahoney, profesor estadounidense que utiliza este enfoque en sus clases y trabaja en la formación de otros docentes.

¿Y por qué nos niños de Singapur tienen tan buenos resultados en la pruebas sobre habilidades matemáticas?

"Es una combinación entre el currículum, la pedagogía y la cultura", agrega Mahoney.

Las claves del método

Desarrollado en la década de los 80, los profesores trabajan en equipos utilizando objetos y materiales concretos para en enseñar matemáticas. 

La idea es centrarse en la resolución de problemas, entender el razonamiento lógico que hay detrás, más que la memorización del procedimiento para llegar a un resultado.

Los alumnos aprenden a través del enfoque CPA: concreto, pictórico y abstracto.
Se habla de "maestría" en el sentido de buscar la resolución de problemas sin enfocarse en la idea de "aprender para un examen".
            
Las clases usan objetos, fotografías y símbolos para modelar problemas utilizando bloques de colores para representar todo tipo de ideas, como fracciones, por ejemplo.

Es común la incorporación de dibujos y diagramas y por eso se dice que es un enfoque muy visual y en algunas ocasiones también auditivo.

Yeap Ban Har, matemático considerado uno de los referentes mundiales de este modelo, ha dicho que los objetos le permiten a los niños explorar diferentes ideas cuando están aprendiendo un concepto.

"Más que aprender operaciones, el modelo apunta a 'pensar como un matemático'", escribió Andreas Schleicher, director de educación de la OCDE y coordinador de la prueba PISA.

Se trata de enseñar menos temas con mayor profundidad. En teoría, todos los estudiantes avanzan a un ritmo similar, porque los profesores esperan a que todos los niños aprendan un concepto particular, antes de avanzar al próximo.

Estudios realizados por el Instituto de Educación UCL y la Universidad de Cambridge encontraron que con este enfoque mejora la velocidad de aprendizaje de las habilidades matemáticas.

Pero tampoco se trata de una panacea.

"No hay evidencia de que sea el mejor enfoque. Hay alguna evidencia limitada de que sería un poco más efectivo que el status quo en algunos países occidentales como Inglaterra. Pero los efectos parecen ser relativamente pequeños. Y todavía no sabemos sobre su impacto en el largo plazo", le dijo a BBC Mundo John Jerrim, investigador del Instituto de Educación de University College London (UCL).

Singapur en tu propia casa

En el mundo occidental, algunos elementos de este enfoque han sido incorporados en otras metodologías de enseñanza en la escuela y también en la casa.

Por ejemplo, se le recomienda a los padres que estimulen a sus hijos a conversar sobre cómo llegaron a un resultado, a comentar el proceso, los errores, los aciertos y las ideas que al niño se le ocurrieron en el camino.

La idea es que lo verbalicen usando frases completas, haciendo dibujos o construyendo modelos con cualquier material doméstico. Y el papel de los padres es que reconozcan el esfuerzo que los niños pusieron en tratar de llegar a la solución, más que en decir la respuesta correcta. 

Otra forma sencilla de aplicar el Modelo Singapur es transformar las cosas de la vida diaria en conversaciones matemáticas. Por ejemplo, ¿cuántos autos estacionados quedarán en la calle si los vecinos se van o si guardamos estos juguetes en una caja? 

Entre las sugerencias del enfoque, también está la práctica de mirar un mismo objeto desde distintos puntos de vista o llegar al mismo destino usando diferentes caminos.

"La clase igualitaria"

En Asia, particularmente en China, se utiliza el método Maestría de Shangái, que tiene algunos puntos en común con el Método Singapur.

Las clases giran en torno a un concepto matemático específico antes de avanzar hacia ideas más complejas siguiendo una progresión lineal. 

Los niños no son agrupados según sus habilidades intelectuales. Todos los chicos estudian al mismo tiempo el principio básico que deben aprender en la clase y ninguno da el siguiente paso hasta que todos sus compañeros lo hayan aprendido.

En cambio, en otros países las clases son consideradas buenas cuando incluyen una gran cantidad de contenidos o cuando los alumnos aventajados avanzan a un ritmo mucho más rápido que el resto para aprovechar su potencial.

Los críticos dicen que esta idea asiática de una clase más igualitaria desincentiva a los alumnos más capaces. 

Pero la reiteración en voz alta de las respuestas, los asientos en líneas mirando hacia adelante y la falta de interacción entre los niños han hecho que muchos pedagogos critiquen el método por tradicionalista, despersonalizado y con el foco en conseguir resultados en los test de medición internacional.

La discusión es intensa, considerando que la educación actualmente está girando hacia desarrollar habilidades como el pensamiento crítico y creativo, el trabajo en equipo para resolver desafíos cotidianos y el desarrollo de habilidades sociales en ambientes más libres e interactivos.

Y el otro punto debatido es que en varios países asiáticos los padres pagan clases particulares después del colegio para que los niños tengan mejores calificaciones en los exámenes, en contraste con las prácticas en Finlandia, por ejemplo, donde hay más énfasis en el juego que en el trabajo de clase en la primera infancia.

Eso no ocurre en Singapur, pero efectivamente los padres -que tienen los recursos económicos para hacerlo- les pagan a tutores privados.

Más allá de las diferencias culturales y las políticas públicas de los distintos países, efectivamente algunos elementos del Método Singapur han traspasado las fronteras y se han ido incorporando en otros sistemas educativos, aunque no sean similares.

Fuente:

BBC Mundo