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11 de noviembre de 2018

George Boole, el ‘arquitecto’ de la revolución digital

Profundizar en el mecanismo que rige un semáforo o en el funcionamiento de un complejo sistema informático revela una base común. Es el álgebra de Boole, una herramienta matemática cuya evolución le ha llevado mucho más allá del ámbito específico de la lógica matemática, para el que fue concebido, convirtiéndose en un pilar teórico de nuestra civilización tecnológica.

La mayoría de los circuitos electrónicos, y de los sistemas de computación en general, tienen su origen en una función lógica. Pero esta puede ser bastante larga y compleja. Por eso George Boole (1815-1864) ideó un método para simplificar esa función lógica lo máximo posible, a través de ciertas reglas básicas o propiedades. Quizás este sistema encuentra hoy en día uno de sus máximos exponentes los buscadores de Internet como Google, que hoy le reconoce el mérito a Boole con un doodle que conmemora el 200 aniversario de su nacimiento.

A mediados del siglo XIX, Boole desarrolló en su libro “An Investigation of the Laws of Thought” (1854), la idea de que las proposiciones lógicas podían ser tratadas mediante herramientas matemáticas. Estas proposiciones lógicas podían tomar únicamente dos valores del tipo Verdadero/Falso o Sí/No. Estos valores bivalentes y opuestos podían ser representados por números binarios de un dígito (bits), por lo cual el álgebra booleana se puede entender cómo el álgebra del sistema binario.

Un sistema lógico de futuro imprevisto

Él mismo resumió su trabajo en esta frase: «Las interpretaciones respectivas de los símbolos 0 y 1 en el sistema de lógica son Nada y Universo». Podría interpretarse como un anticipo de su trascendencia. Sin embargo, contrariamente a lo que se puede pensar, el álgebra de Boole no pareció tener ninguna aplicación práctica en un primer momento y sólo se le encontró un sentido, bastante abstracto, en el campo de la lógica matemática.

Fue setenta años después de su muerte, en 1938, cuando el ingeniero electrónico y matemático estadounidense Claude E. Shannon (1916 – 2001) encontró en el trabajo de Boole una base para los mecanismos y procesos en el mundo real, demostrando cómo el álgebra booleana podía optimizar el diseño de los sistemas electromecánicos de relés, utilizados por aquel entonces en conmutadores de enrutamiento de teléfono.

Además de Shannon, el ruso Victor Shestakov (1907-1987) propuso una teoría de los interruptores eléctricos basados en la lógica booleana en 1935, aunque menos conocida en un principio: su publicación se hizo años después, en 1941 y en ruso. De esta manera, el álgebra de Boole se convirtió en el fundamento de la práctica de circuitos digitales de diseño, y George Boole (a través de Shannon y Shestakov) en el arquitecto que puso los cimientos teóricos para la revolución digital.

Tomado de: Open Mind

13 de septiembre de 2017

Descubren hasta 11 dimensiones en el cerebro

Blue Brain Project descubre un universo de estructuras y espacios multidimensionales dentro de nuestro cerebro.


¿Todo un universo multidimensional dentro de nuestro propio cerebro? Cada vez hay más personas que son capaces de escuchar colores, saborear palabras o ver sonidos. Es lo que conocemos como sinestesia, una condición neurológica no patológica que permite entender el mundo en cuatro dimensiones. Ahora, un nuevo trabajo llevado a cabo por científicos del Blue Brain Project (Suiza) ha descubierto estructuras en el cerebro con hasta once dimensiones. Seguimos desentrañando los secretos arquitectónicos más profundos de nuestro órgano pensante.

Concretamente, utilizando la
topología algebraica de una forma que nunca se ha utilizado antes en neurociencia, los investigadores han descubierto un universo de estructuras y espacios geométricos multidimensionales dentro de las redes del cerebro.

La investigación, publicada en la revista Frontiers in Computational Neuroscience, muestra que estas estructuras surgen cuando un grupo de neuronas forma una unión o grupo: cada neurona se conecta a otra neurona del grupo de una manera muy específica que genera un objeto geométrico muy preciso. Cuantas más neuronas haya en esa cuadrilla neuronal, mayor es la dimensión del objeto geométrico.

"
Encontramos un mundo que nunca habíamos imaginado. Hay decenas de millones de estos objetos incluso en una pequeña partícula del cerebro, Hasta siete dimensiones, y en algunas redes incluso encontramos estructuras de hasta once dimensiones", explica Henry Markram, líder del trabajo.

El artículo completo en: Muy Interesante

9 de diciembre de 2015

Las matemáticas como herramienta (I): El Renacimiento y el álgebra

La catedral de Florencia con la mayor cúpula de ladrillo del mundo realizada por Filippo Brunelleschi (1436). El remate de la linterna lo realizó el mismo autor en 1461. 
La catedral de Florencia posee la mayor cúpula de ladrillo del mundo realizada por Filippo Brunelleschi (1436). El remate de la linterna lo realizó el mismo autor en 1461.

Desde el siglo XI al XV las élites educadas de Europa consideraban a las matemáticas poco más que una herramienta secundaria, y ni siquiera característica, de los astrónomos/astrólogos, cuya actividad era fundamental para otras como la confección de calendarios, la judicial o incluso las médicas. Desde el punto de vista del cálculo aritmético casi nada superaba en esta época a la capacidad de agrimensores, fabricantes de relojes y calendarios, arquitectos fabricantes de máquinas. Solo mercaderes y contables manejaban un nivel superior de matemáticas al tener que incorporar variables que se componían con el tiempo en la valoración de sus activos financieros.

Durante la primera mitad del siglo XV comerciantes, coleccionistas, académicos y entusiastas italianos se embarcaron en un breve pero crucial periodo de importación de copias bizantinas de textos griegos y latinos antiguos. Los estudiosos de los inicios del Renacimiento carecían de la capacidad técnica para tratar con los textos matemáticos que se encontraban. Solo en las últimas décadas del siglo se empieza a prestar una atención especial al modelo matemático de los cielos de Ptolomeo.

Arquímedes pensativo, por Domenico Fetti (1620)
Arquímedes pensativo, por Domenico Fetti (1620)
Los humanistas empezaron a estudiar de forma pormenorizada los textos de Arquímedes a mediados del siglo XVI, y algunos de Apolonio a finales del siglo. Estos matemáticos-humanistas no realizaban una mera reconstrucción histórica; su intención era continuar al estilo de los antiguos con las matemáticas donde los antiguos las habían dejado.

Así, la continuación de Arquímedes llevó al estudio de las curvas y al desarrollo de la mecánica, la estática, la hidrostática matemáticas y a las matemáticas de las máquinas sencillas.
Muchos matemáticos renacentistas siguieron lo que pensaban que eran doctrinas platónicas, a saber, que las matemáticas eran la llave para descubrir los secretos del universo. Algunos llegaron a considerar esta forma de conocimiento como mística y simbólica; otros que proporcionaba el único conocimiento acerca del universo que podía ser considerado cierto y seguro sin tener que enredarse en las argumentaciones difíciles, algunas veces oscuras, y pocas veces definitivas de alquimistas y filósofos naturales.

Erección del obelisco en la Plaza de San Pedro del Vaticano en 1586.
Erección del obelisco en la Plaza de San Pedro del Vaticano en 1586, obra de Domenico Fontana
Pero si algo consiguió que las matemáticas cambiasen su consideración durante el Renacimiento fue el éxito de sus aplicaciones prácticas en forma de logros espectaculares de la arquitectura y la ingeniería la cúpula de la catedral de Florencia de Filippo Brunelleschi o el levantamiento del obelisco del Vaticano en los últimos años del siglo XVI por parte de Domenico Fontana. La asociación de sus obras con las cuestiones prácticas por las que se interesó Arquímedes ayudó a legitimar su trabajo como perteneciente a la élite ilustrada. Esta situación a finales del siglo XVI influyó de forma determinante en el pensamiento de figuras relevantes de la conocida como Revolución Científica del XVII, como Galileo Galilei, Marin Mersenne o René Descartes.

El artículo completo en:

Cultura Científica

6 de noviembre de 2015

Georges Boole: l matemático que inventó la forma en que hoy busca Google

 

Cada vez que haces una simple búsqueda en Google, o en cualquier otro buscador informático, entre los mecanismos de programación que hacen posible que encuentres lo que buscas hay unos principios de lógica que fueron concebidos hace más de 150 años.

Fue el matemático inglés George Boole quien inventó un sistema de álgebra que es clave para la programación de hoy en día.

La álgebra de Boole, o álgebra booleana, es una estructura algebraica que esquematiza las operaciones lógicas, y está presente en todas partes a nuestro alrededor: desde la programación detrás de los videojuegos a los que jugamos, hasta el código de las aplicaciones que usamos y los programas de las computadoras que utilizamos.

Se puede decir que los ladrillos con los que se construye la programación, que son los comandos o instrucciones que se le da a un sistema informático, están todos basados en la lógica de Boole.

"Si eres un programador no te puedes escapar del término booleano", dice Michael Dunn de Gospelweare, una compañía desarrolladora de iOS y Android.

AND, OR y NOT


Durante los últimos 17 años de su vida George Boole estableció el concepto de lógica algebraica en matemáticas y simplificó el mundo en enunciados básicos que tenían por respuesta Sí o No, utilizando para ello aritmética binaria.

"Las interpretaciones respectivas de los símbolos 0 y 1 en el sistema de lógica son Nada y Universo", dijo.

Este concepto, que introdujo en 1847 y expandió siete años más tarde, es lo que está presente en los programas informáticos actuales.

"Hay un enunciado booleano casi cada dos líneas de un programa informático", dice Dunn.
"No es algo sobre lo que reflexiones, porque es una parte totalmente integral de la programación".
Boole utilizó el concepto de puertas lógicas, o preguntas, que exploran un enunciado.

Las puertas lógicas más básicas son, en el lenguaje original de Boole, AND, OR o NOT. Es decir, Y, O o No en español.

Después, estas tres puertas se pueden combinar para crear enunciados más complejos.
Así que cuando buscas en internet "Miley Cyrus" hay un uso implícito de la lógica booleana del comando AND para combinar las dos palabras, "Miley" y "Cyrus".

Mucho antes de Google, durante los primeros años en que se hacían búsquedas, era frecuente usar los comandos AND, OR y NOT para filtrar los resultados.

Hoy, los avances en la tecnología de búsquedas hace que muchas se puedan realizar utilizando un lenguaje más natural.

Aún así, Google todavía le permite a los usuarios escribir OR o incluir el símbolo de sustracción - para afinar los resultados.

Juventud prolífica

Boole murió hace 150 años, cuando tenía 49.

En 1864 enfermó gravemente tras mojarse bajo la lluvia mientras caminaba hasta el aula donde daba clase.

Murió el 8 de diciembre de ese año de un derrame pleural o pleuresía, acumulación de agua en los pulmones.

Él mismo tenía cierta noción del impacto histórico que su sistema de lógica podría tener.

En 1851 le dijo a un amigo que la lógica booleana podría ser "la contribución más valiosa, si no la única, que he hecho o que probablemente haga a la ciencia y el motivo por el que desearía que me recuerden, si es que me van a recordar, póstumamente".

Y así fue.

Fuente:

BBC Ciencia

16 de agosto de 2015

El método Singapur para razonar problemas verbales elementales



Llamo problemas verbales (word problems) a los problemas razonados con los que se introduce (o debería introducirse) el razonamiento matemático en la escuela primaria (en quinto y sexto año por lo menos). Voy a ilustrar el tema con


Un ejemplo


Jenny tiene 7 pesos y su hermana 2. Después de que su madre les da una misma cantidad de pesos Jenny tiene el doble que su hermana. ¿Cuánto recibieron de su madre?
Solución algebraica
Sea x la cantidad recibida de su madre. Entonces, el problema se modela de la siguiente manera: 7+x=2(2+x). Es decir, x=3 --recibieron 3 pesos de su madre.

Elemental ¿no es cierto? Pues sí pero no para un niño de quinto año (11 años). Y ello porque no hay álgebra en aula de primaria. (No se le puede enseñar porque aún no alcanza la etapa de pensamiento formal en su desarrollo cognitivo --según se sabe.)

En la escuela primaria se prepara a los alumnos en aritmética, y se esperaría que la forma de enseñarla los prepare para el álgebra, la cual tiene que esperar la educación secundaria.

Y, sin embargo, el problema está al alcance de un niño de 11 años (bueno, por lo menos en teoría). Por ejemplo, lo puede resolver por tanteos: se propone al cantidad recibida y se verifica si cumple la condición del "doble que". Pero ese método tampoco es enseñado, pues se cree que es un método natural de resolverlo.

Otra forma de resolverlo es diagramático --el cual sí se enseña en Singapur. Sería más o menos como sigue:



Los datos del enunciado se representan gráficamente (la representación gráfica ayuda al razonamiento).


Se agrega al diagrama la cantidad recibida --la cual no se sabe cuánto es pero... Una vez teniendo el diagrama ya se puede razonar sobre él. Y se puede usar el método del "número escondido": la cantidad recibida más 2 es 5, por tanto la cantidad recibida es 3.

Entre lo concreto y lo abstracto está el diagrama

Todo mundo está de acuerdo en que, en el desarrollo cognitivo de los niños, primero es lo concreto y después lo abstracto. Pero intermedio entre esas dos formas de razonar está el razonamiento diagramático. Y el método Singapur de resolución de problemas razonados le apostó a esa hipótesis (clásica pero poco apreciada). El lema del currículum de la educación matemática básica en Singapur refleja esa apuesta: concreto, pictórico, abstracto.

Nota geográfica y económica: Singapur es un pequeño país en el extremo sur de la península de Malasia, sin ser parte de ésta pues es una isla --de hecho son varias islas. Añadiré que, de acuerdo a su economía, es uno de los "cuatro tigres asiáticos" --siendo los otros tres Korea del Sur, Hong Kong y Taiwan.




Ilustración del razonamiento diagramático

Ya en otra ocasión había escrito un post sobre razonamiento diagramático y el método Singapur

En esta ocasión voy continuar ese post, ilustrando el método diagramático de Singapur con algunos problemas razonados. Voy a resolver el más difícil y los restantes se quedan como un ejercicio para el lector.

Problema 1 (edades desfasadas): Beto tiene el doble de la edad que Sandra tenía cuando Beto tenía la edad que ahora tiene Sandra. Cuando Sandra tenga la edad que ahora tiene Beto, la suma de sus edades será 45 años. Calcular la edad de Sandra.
Solución diagramática


(Hay que saber que la diferencia de edades se mantiene constante en el tiempo.) Sea d la diferencia de edades y representemos con b la edad de Beto y con s la edad de Sandra.


Desplazando las edades de Sandra y Beto d años hacia el pasado, se hace evidente que Beto tiene 4d años.


Desplazando las edades d unidades hacia el futuro, se puede ver que 5d+4d=45. Es decir, d=5. Por tanto, Beto tiene 20 y Sandra 15.

Problema 2 (suma y diferencia): Las edades de Beto y Sandra suman 35 años, y su diferencia es 5. Calcularlas.

Problema 3 (la mula y el burro): Le dice el burro a la mula "si me ayudaras con 10 ladrillos llevaríamos la misma carga". Y la mula le contesta "si tú me ayudaras con 10 llevarías el doble que yo." Calcular los ladrillos que lleva cada uno.

Problema 4 (Padre e hijo): El padre es 45 años mayor que su hijo. En 6 años éste tendrá la cuarta parte de la edad de su padre.

Problema 5. Dos números suman 60, y el mayor es cuatro veces el menor.

Problema 6. Alex tiene 48 pesos más que Arturo y éste la séptima parte de loque Alex tiene. 
Se invita al lector a intentar resolver los problemas en el post Razonados de álgebra sin álgebra utilizando el método Singapur.

Tomado de:

Mate Tam

4 de agosto de 2015

Teorema de la altura: una prueba visual

En nuestra sociedad globalizada, en la que el espectáculo y la diversión han sido puestos en el centro por los mass media, es muy difícil ser profesor, de cualquier cosa, pero sobre todo de matemáticas. ¿Tiene que ser convertida el aula  en un reality show para atraer la atención de nuestros estudiantes?

Con demasiada frecuencia sigo escuchando el argumento de que las matemáticas son difíciles porque el profesor no sabe enseñarlas. Y el argumento se refuerza con anécdotas de la vida escolar adolescente. Puedo leer entre líneas --es decir, puedo "maliciar" en ese argumento-- la hipótesis oculta de que el profesor no sabe armar un espectáculo con su tema a enseñar. Mínimo, que hay una forma correcta (la cual puede depender del opinante) de enseñar las matemáticas mientras todas las demás están equivocadas. Permítaseme documentar la idea con un relato.

¿Por qué nadie me lo había explicado así?

Recientemente un profesor (de sociología) me comentaba muy entusiasmado que "ahora sí había entendido el binomio al cuadrado". Según le entendí, había asistido a una conferencia sobre educación matemática y el expositor había planteado el binomio al cuadrado de manera diagramática (o visual). Según su explicación, la visualidad que tanto impactó a mi amigo habría sido ésta:

Yo le comenté que esa manera de ilustrar el binomio al cuadrado está desde hace ya tiempo en los libros de secundaria y que no entendía qué era lo extraordinario de ello. El sociólogo replicó que si así le hubieran enseñado a él, posiblemente habría elegido estudiar la licenciatura en matemáticas, bla, bla , bla. La conversación continuó un poco más, pero ante el entusiasmo de mi sociólogo desistí de indagar el motivo de su entusiasmo.

Pues es muy difícil bajar a un estusiasta de su nube. Lo que pude inferir de su conversación es que, por alguna razón, se conectó al tema de la conferencia como nunca antes lo había hecho y tuvo una revelación... Aparte está el hecho de que el binomio al cuadrado requiere un mínimo de conocimientos previos para su comprensión --en contraste con otros productos notables como la factorización por las fórmulas de Vieta.

Por otro lado, las pruebas visuales están orientadas a atraer la atención del aprendiz --lo cual está cañón, pues una prueba visual es incomparablemente menos atractiva que el espectáculo montado por un videojuego. Además de que su utilidad didáctica de largo plazo es cuestionable --pues, en el caso de los productos notables, lo que verdaderamente estaría en juego ahí es la regla distributiva... Quiero decir, la prueba visual es atractiva y cumple una función didáctica pero...

Teorema de la altura y su contexto

Un poco como el profesor de sociología del relato --y a pesar de las contraindicaciones de las pruebas visuales-- voy a compartir con los lectores de MaTeTaM una prueba visual del teorema de la altura que logró entusiasmarme (aunque quizá por razones diferentes a las de mi sociólogo). Tiene la desventaja de que no es para todo público (como la del binomio al cuadrado). Pues hay que saber dos o tres cosas de semejanza de triángulos rectángulos.

La configuración geométrica para el teorema de la altura es un triángulo ABC, rectángulo en A, con h la altura relativa a la hipotenusa y p y q los segmentos en que aquélla divide a ésta. En otras palabras, si llamamos D al pie de la altura, entonces h=AD,p=BD,q=DC



Es fácil ver --por complementariedad-- que los triángulos CDA y ADB son semejantes. De aquí que sus lados sean proporcionales. Es decir 


BDDA=ADDC

O bien, sustituyendo las longitudes de los segmentos,


ph=hq

Este teorema se acostumbra formular como


h2=pq
Y se enuncia así:
En un triángulo rectángulo, la altura asociada a la hipotenusa es media geométrica de los segmentos en que la hipotenusa queda dividida por la altura.

Importancia didáctica del teorema de la altura

A pesar de que es elemental y su demostración es consecuencia directa de una evidente semejanza de triángulos, este teorema es importante porque permite al aprendiz ejercitar su comprensión de la semejanza de triángulos. Y aprovechando su cercanía con el teorema del cateto, se puede armar una secuencia didáctica que culmine en la demostración clásica más elemental del teorema de Pitágoras. Enseguida las demostraciones del teorema del cateto y el de Pitágoras.

Según la notación usual, el cateto opuesto al vértice B se denota con b y el opuesto al vértice C con c. Entonces, con referencia a la figura anterior, el teorema del cateto diría: b2=qa,c2=pa. Sumando ambas ecuaciones se obtiene Pitágoras.

La prueba visual

Con referencia de nuevo a la figura anterior, imaginemos que recortamos el triángulo ABC sobre su altura AD y que separamos los triángulos CDA y ADB --los cuales son semejantes, como se dijo arriba. Entonces, si giramos el triángulo ADB 90 grados sobre A, obtenemos una configuración como la siguiente.


Y si intercambiamos las posiciones de los dos triángulos se obtiene la siguiente configuración:

 

Y si tomamos una copia del triángulo CDA, ambas configuraciones se combinan en la siguiente:


La prueba visual consiste en observar que los triángulos BCS y AAT son rectángulos y congruentes y, en consecuencia, tienen la misma área. Así que si a cada uno de ellos le quitamos los dos triángulos cortados del original, las áreas que quedan son iguales. Es decir, h2=pq.

Tomado de:

MateTam

17 de agosto de 2014

Problemas razonados de álgebra... sin álgebra






El problema de edades del post de las 11 preguntas de ENLACE se puede responder sin álgebra, es decir, sin manipulacones algebraicas. Este hecho me llevó a redactar el presente post, el cual puede ser de alguna utilidad para los adolescentes interesados en las matemáticas. El post presenta varios problemas razonados clásicos. Las soluciones aquí presentadas representan una curiosidad de razonamiento lógico, basado en inferencias a partir de los datos y manteniendo la simbolización a un mínimo. 


1. El padre tiene 20 años más que su hijo. Dentro de 12 años tendrá el doble que su hijo. ¿Qué edad tienen?
Solución
Puesto que la diferencia de edades no cambia con los años, entonces 20 es igual a la edad del hijo más 12. Es decir, el hijo tiene 8 y el padre 28.
2. Las edades de un matrimonio suman 62 años. Cuando se casaron,  hace 10 años, la novia tenía 3/4 de la edad del novio. ¿Qué edad tienen?
Solución
Hace 10 años sus edades sumaban 42, lo cual es equivalente a 7/4 de la edad del novio. Es decir, un cuarto de la edad del novio era 6 años. De aquí que tenían 18 y 24. Por tanto, actualmente tienen 28 y 34. (Otra forma: si hubiesen tenido la misma edad en la boda, sería 21; por tanteos se llega a que tenían 18 y 24, etc.)
3. Hace 6 años el padre tenía 4 veces la edad del hijo. Dentro de 10 tendrá el doble. ¿Qué edad tienen?
Solución
La diferencia de edades hace 6 años era 3 veces la edad del hijo. Dentro de 10 esta diferencia será la edad del hijo. Pero la diferencia es constante. Por tanto, si h era la edad del hijo hace 6 años, 3h=h+16. Es decir, el hijo tenía 8 hace 6 (y el padre 32). Así que ahora tiene 14 y el padre 38.
4. Tres enteros consecutivos suman 204. Encuéntralos.
Solución
Si fueran iguales sería el 68. Pero son consecutivos. Por tanto son los consecutivos 67, 68, 69.
5. El perímetro de un cuadrado es el triple de otro cuyos lados miden 8 unidades menos. Calcular el lado de cada uno.
Solución
El perímetro del grande tiene 32 unidades más que el del pequeño y es el triple que el de éste. Por tanto, p+p+32=4p. Es decir, el perímetro del pequeño es de 16 unidades (pues 32 tiene que ser 2p). La respuesta es entonces 4 y 12.
6. Hace 12 años el padre tenía cuatro veces la edad del hijo y dentro de 12 su edad será solamente el doble ¿cuántos años tienen?
Solución
Hace 12 años la diferencia de edades era 3 veces la edad del hijo, y dentro de 12 años tal diferencia será la edad del hijo. Pero la diferencia de edades se mantiene constante. Si h es la edad del hijo hace 12 años, se tiene 3h=h+24. Es decir, la edad del hijo hace 12 años era de 12 y la del padre 48. Por tanto, actualmente tienen 24 y 60.
7. Tres impares consecutivos suman 81. Encuéntralos.
Solución
Si los tres fuesen el mismo sería el 27. Pero son consecutivos. Luego son 25, 27, 29.

8. Descomponer el número 48 en dos sumandos, de tal manera que dividiendo uno entre el otro se obtenga 3 de cociente y 4 de residuo.
Solución
Si una parte entre la otra fuese 3 exacto, entonces las partes serían 36 y 12. Pero sobran 4. Por tanteos se llega a: 37/11=3+4/11 y ya está.
Modelo algebraico: 
La condición se deja modelar como a/b=3+4/b,a+b=48. Este sistema se resuelve fácilmente como sigue:

a=3b+4=48b

4b=44

b=11,a=37
9. Dos números enteros consecutivos son tales que la mitad del menor más el 
mayor, excede en 13 a  1/5 del menor más 1/11 del mayor. Hállalos.
Solución
Los dos números son enteros. El menor es divisible entre 10 (pues es divisible entre 2 y entre 5). El mayor es divisible entre 11 (pues se habla de 1/11 del mayor). Pero los números son consecutivos. Por tanto los números son 10 y 11 (no hay otra forma de que un número terminado en 0 tenga un consecutivo –y por tanto terminado en 1-- divisible entre 11).
Modelo algebraico:
Sean m y m+1 los números. Entonces la condición se expresa como
 m/2+m+1=13+m/5+(m+1)/11
Lo que sigue es simplificar hasta que la solución sea obvia:

m+2m+2=26+2m/5+2(m+1)/11

3m=24+(1/55)(22m+10(m+1))

3m=24+(1/55)(32m+10)

3(55)m=24(55)+(32m+10)

165m32m=10[(12)(11)+1]

133m=1330

   m=10,m+1=11

Comentario general sobre los problemas
El último problema demuestra que un planteamiento algebraico directo puede llegar a ser muy tedioso. Sin embargo, tiene la ventaja de que su solución es casi automática --si es que se tiene la habilidad de la manipulación algebraica y no se cometen errores. La solución sin álgebra exige extraer conclusiones de los datos. En otras palabras, la solución algebraica exige habilidad de manipulación algebraica, mientras que la solución no algebraica exige razonamiento. 
Por otro lado, la solución algebraica no se salva del razonamiento. Pues en el paso inicial de planteamiento o modelación está presente una habilidad de traducción a símbolos que no se puede hacer de manera automática, y en la interpretación de la solución hay que regresar al modelo inicial para darle un sentido a los resultados numéricos obtenidos en la manipulación algebraica.
En síntesis, la manipulación algebraica de símbolos y el razonamiento se complementan en la solución de un problema razonado (y no son, como muchos creen, o una cosa o la otra, es decir, no son dos opciones para elegir una de ellas). Ambas habilidades son igualmente importantes en la resolución de problemas matemáticos.
No está de más añadir unas palabras sobre el status de los problemas razonados. En primer lugar se debe destacar que no son una invención reciente (como lo atestiguan los problemas del Papiro de Rhind); en segundo lugar, deben verse como acertijos (y no como una aplicación de las matemáticas a la vida real): la pregunta pertinente acerca de un problema razonado no es si es realista, sino si es lo suficientemente interesante para atraer la atención del cognizador.
Ejercicios
1. Dentro de 18 años Manolo tendrá cinco veces la edad que tenía hace dos años. ¿Qué edad tiene ahora?
2. Un tren tiene 8 vagones. Los de primera clase tienen una capacidad de 48 pasajeros, mientras que los de segunda tienen una capacidad de 64. Calcular el número de vagones de segunda si se sabe que la capacidad total del tren es de 480 pasajeros.
3. El ángulo mayor de un triángulo mide 6 veces la medida del más pequeño. El tercer ángulo mide 75 grados. ¿Cuánto miden los otros dos?
Fuente: