El Teorema de Tales (para niños) - II

–Oye, Sal, ¿esto de Tales no te recuerda a lo que nos contó Mati en la playa?
–¿A qué te refieres, Ven?
–A cuando nos enseñó a calcular la altura de la silla del socorrista.
–Ummmm… -el gafotas se quedó pensando –puede ser, sí…
–Efectivamente, Ven –confirmó Mati que acababa de llegar –Es la misma idea.
–¡Hola, Mati! –dijeron los dos hermanos a la vez.
–¡Guau! –dijo Gauss, no estaba para muchas conversaciones.
–Hola, chicos –respondió ella –La idea que usamos aquel día en la playa es la misma que, según cuenta Herodoto, usó Tales para medir la pirámide de Keops.
–¿La pirámide de qué? –preguntó Ven con los ojos apretados.
–La gran pirámide de Guiza, una de las siete maravillas del mundo, que está en Egipto –les contó Mati.

–¡Toma! –se asombró el pequeño –¿Y cómo lo hizo , Mati?
–Pues usando su teorema –dijo la pelirroja y le guiñó un ojo –Tales pensó que cuando su sombra midiera lo mismo que él, los rayos de Sol estarían formando un ángulo de 45 grados con su cabeza y con la cima de la pirámide, y por lo tanto, la altura de la pirámide sería igual a la sombra de la misma en ese instante.

–En ese caso –continuó Mati — si llamamos h a la altura de Tales y s a la sombra del mismo, cuando s sea igual a h, los rayos de Sol forman un ángulo de 45 grados en la cabeza de Tales. Y como los rayos de Sol son paralelos unos con otros, el rayo de Sol en la cima de la pirámide también forma 45 grados y por lo tanto H es igual a S. Sólo hay que medir S  para conocer H, porque estamos mirando triángulos semejantes.
–¿Cómo sabes que son semejantes, Mati? –preguntó Sal.
–Pues porque la suma de todos los ángulos internos de un triángulo es 180 grados –empezó a decir la gafotas –Como H y S forman 90 grados, igual que h y s, y el Sol forma 45 grados en la cabeza y en la cima, el ángulo que forma el Sol con el suelo en los 2 casos, tiene que ser de 45 grados; con lo cual, los tres ángulos son iguales.
–¡Toma. toma. toma! ¡Cómo mola! –Ven estaba entusiasmado.
–¿Y cómo podía Tales medir su sombra? –preguntó Sal receloso –Si se agachaba a medirla, ya no podía medirla… ¿Tenía un ayudante?
–Hay varias versiones –dijo Mati –Algunas hablan de que en realidad usó un bastón, pero hay otras que dicen que Tales pintó un círculo de radio su altura y se puso en el centro; cuando su sombra tocara el círculo, ya sabía que era tan larga como su altura.
–¡Es verdad! –Sal respiró tranquilo.
–¡Me encanta Tales! –gritó el pequeño saltando provocando que nuestro Anubis particular ladrara del susto.
–Pues no se vayan todavía, aún hay más –anunció cómicamente Mati.
–¿Qué más, Mati? –preguntó Sal intrigado.
–Pues, por ejemplo –anunció Mati –gracias a este teorema de Tales podemos dividir un segmento en el número de partes iguales que queramos. usando sólo regla y compás.
–¿¿Sí?? –preguntó el pequeño –¿¿Cómo??
–Ya veréis –dijo la pelirroja –pintamos un segmento en nuestro cuaderno, ¿en cuántas partes iguales queréis dividirlo?
–¡En 5! –gritó Ven.

–Bien –siguió ella –ahora pintamos otro segmento formando un ángulo, el que queramos, con el segmento AB. 

–¿Y ahora? –preguntó el gafotas.
–Ahora abrimos el compás, con la medida que queráis, y marcamos 5 veces sobre el segmento AC

–Ahora sólo tenemos que unir la última marca –les dijo Mati –con el extremo B…

–…y trazar paralelas a ese segmento por las otras 4 marcas –terminó de decir Mati.

–¡Toma, toma, toma! –el pequeño Ven estaba emocionado.
–Sí que mola, Tales, sí –corroboró el gafotas.

Fuente:

Mati

El Teorema de Tales (para niños) - I

–Vaya, parece que Mati hoy viene más tarde, Sal.
–¿Tienes tu regla y tu compás, Ven?
–Sí, claro –respondió el pequeño y añadió ilusionado –A ver  qué nos enseña hoy…
–El teorema de Tales, creo  –dijo el gafotas –Pero no estoy muy seguro de si se dice así…
–Pues sí, Sal –Mati acababa de llegar –Lo has dicho perfectamente, un teorema de Tales.

–¡Hola, Mati! –dijeron al unísono Sal y Ven, mientras Gauss se acercaba a las piernas de la recién llegada.
–¿Nos lo cuentas? –pidió Sal apresurado.
–Claro –respondió ella –Os contaré uno de los 2 teoremas de Tales.
–¿Sólo uno? –protestó Ven.
–Hoy uno –dijo la pelirroja –y otro día otro, ¿vale?
–Vale –terminó aceptando Ven.
–El teorema de Tales sobre triángulos semejantes–comenzó diciendo Mati –nos asegura que si dos rectas cualesquieras se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.
–¿Qué son triángulos semejantes, Mati? ¿Que se parecen mucho?
–Más o menos, Ven –respondió Mati —Dos triángulos son semejantes si tienen los tres ángulos iguales.
–¡Ajá! –exclamó Ven–Entonces son exactamente iguales.

–No, Ven –le corrgió Mati –Pueden tener los mismos ángulos y ser de diferentes tamaños, mira:

–Estos 2 triángulos –continuó Mati –Tienen los 3 ángulos iguales y uno es mayor que el otro, ¿no?

–Imposible que tengan los mismos ángulos… –dijo Ven desconfiado.

–Ya verás –respondió ella –Podemos poner el ángulo A’ sobre A, el B’ sobre B y C’ sobre C, y coinciden.

–¡Toma! Es verdad –terminó aceptando el pequeño.

–Pues bien, como os decía, el teorema de Tales nos asegura que si dos rectas cualesquieras se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra. Vamos a verlo con un dibujo: dibujamos estas 3 rectas rojas paralelas y dos rectas negras que la cortan.

–Por el teorema de Tales, lo que sabemos es que si dividimos la longitud del segmento AB entre la longitud del segmento A’B’, obtendremos el mismo valor que al dividir la de BC entre B’C’ y que al dividir la del segmento AC entre la del A’C’.

–Y eso, ¿qué tiene que ver con triángulos semejantes? –preguntó Sal arrugando su naricilla.

–Si aplicamos este teorema a triángulos semejantes como los 2 que hemos visto antes –dijo Mati — Lo que tenemos es que los lados son proporcionales.

–Ya veo… –murmuró el gafotas.

–Y yo… –dijo Ven, aunque no parecía muy convencido.

–Por eso –continuó ella –cuando el otro día teníamos esta construcción

–…teníamos dos triángulos semejantes, unidos en el punto A –les dijo –Y el  resultado de dividir el lado verde, de longitud 8, entre la de el lado azul, de longitud 4, en el mayor de los dos triángulos, es igual al resultado de dividir el segmento AB entre el lado de longitud 1  en el menor de los dos triángulos.

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –dijo Ven.

–Ah, claro… –se asombró Sal.
–Además –les propuso la pelirroja –os propongo un pequeño truco  para que podáis explicar el Teorema de Tales a vuestros amiguitos…

–¡Venga! –interrumpió Ven.

–Necesitamos 4 hojas de colores –les dijo –Y las colocamos así

–Ahora –continuó –las cortamos según dos líneas, con la dirección que queramos…

–Si separamos las hojas –les dijo Mati –tendremos 4 triángulos diferentes, le ponemos nombre a sus ángulos.

–Sabemos que los ángulos marcado con las letra B₁, B₂, B₃ y B₄ son iguales porque estaban unidos por ahí, ¿no? –les preguntó.

Los niños asintieron con la cabeza.

–Pues bien, pedidle a vuestros amigos que pongan los triángulos uno encima de otro pegados por los ángulos A₁, A₂, A₃ y A₄ , ya veréis…

–¡Claro! ¡Son semejantes! –dijo Sal.

–Sí –corroboró la pelirroja –Y si los pegáis por los ángulos C₁, C₂, C₃ y C₄ , también.

–¡Cómo mola, Mati! –Sal estaba entusiasmado.

–Voy a buscar cartulina de colores –dijo Ven.

–Estupendo –añadió Mati –Otro día seguiremos hablando de Tales…

Tomado de: 

Mati

Teorema de la altura: una prueba visual

En nuestra sociedad globalizada, en la que el espectáculo y la diversión han sido puestos en el centro por los mass media, es muy difícil ser profesor, de cualquier cosa, pero sobre todo de matemáticas. ¿Tiene que ser convertida el aula  en un reality show para atraer la atención de nuestros estudiantes?

Con demasiada frecuencia sigo escuchando el argumento de que las matemáticas son difíciles porque el profesor no sabe enseñarlas. Y el argumento se refuerza con anécdotas de la vida escolar adolescente. Puedo leer entre líneas --es decir, puedo "maliciar" en ese argumento-- la hipótesis oculta de que el profesor no sabe armar un espectáculo con su tema a enseñar. Mínimo, que hay una forma correcta (la cual puede depender del opinante) de enseñar las matemáticas mientras todas las demás están equivocadas. Permítaseme documentar la idea con un relato.

¿Por qué nadie me lo había explicado así?

Recientemente un profesor (de sociología) me comentaba muy entusiasmado que "ahora sí había entendido el binomio al cuadrado". Según le entendí, había asistido a una conferencia sobre educación matemática y el expositor había planteado el binomio al cuadrado de manera diagramática (o visual). Según su explicación, la visualidad que tanto impactó a mi amigo habría sido ésta:

Yo le comenté que esa manera de ilustrar el binomio al cuadrado está desde hace ya tiempo en los libros de secundaria y que no entendía qué era lo extraordinario de ello. El sociólogo replicó que si así le hubieran enseñado a él, posiblemente habría elegido estudiar la licenciatura en matemáticas, bla, bla , bla. La conversación continuó un poco más, pero ante el entusiasmo de mi sociólogo desistí de indagar el motivo de su entusiasmo.

Pues es muy difícil bajar a un estusiasta de su nube. Lo que pude inferir de su conversación es que, por alguna razón, se conectó al tema de la conferencia como nunca antes lo había hecho y tuvo una revelación... Aparte está el hecho de que el binomio al cuadrado requiere un mínimo de conocimientos previos para su comprensión --en contraste con otros productos notables como la factorización por las fórmulas de Vieta.

Por otro lado, las pruebas visuales están orientadas a atraer la atención del aprendiz --lo cual está cañón, pues una prueba visual es incomparablemente menos atractiva que el espectáculo montado por un videojuego. Además de que su utilidad didáctica de largo plazo es cuestionable --pues, en el caso de los productos notables, lo que verdaderamente estaría en juego ahí es la regla distributiva... Quiero decir, la prueba visual es atractiva y cumple una función didáctica pero...

Teorema de la altura y su contexto

Un poco como el profesor de sociología del relato --y a pesar de las contraindicaciones de las pruebas visuales-- voy a compartir con los lectores de MaTeTaM una prueba visual del teorema de la altura que logró entusiasmarme (aunque quizá por razones diferentes a las de mi sociólogo). Tiene la desventaja de que no es para todo público (como la del binomio al cuadrado). Pues hay que saber dos o tres cosas de semejanza de triángulos rectángulos.

La configuración geométrica para el teorema de la altura es un triángulo ABC, rectángulo en A, con h la altura relativa a la hipotenusa y p y q los segmentos en que aquélla divide a ésta. En otras palabras, si llamamos D al pie de la altura, entonces h=AD,p=BD,q=DC

Es fácil ver --por complementariedad-- que los triángulos CDA y ADB son semejantes. De aquí que sus lados sean proporcionales. Es decir 

BDDA=ADDC

O bien, sustituyendo las longitudes de los segmentos,

ph=hq

Este teorema se acostumbra formular como

h2=pq

Y se enuncia así:

En un triángulo rectángulo, la altura asociada a la hipotenusa es media geométrica de los segmentos en que la hipotenusa queda dividida por la altura.

Importancia didáctica del teorema de la altura

A pesar de que es elemental y su demostración es consecuencia directa de una evidente semejanza de triángulos, este teorema es importante porque permite al aprendiz ejercitar su comprensión de la semejanza de triángulos. Y aprovechando su cercanía con el teorema del cateto, se puede armar una secuencia didáctica que culmine en la demostración clásica más elemental del teorema de Pitágoras. Enseguida las demostraciones del teorema del cateto y el de Pitágoras.

Según la notación usual, el cateto opuesto al vértice B se denota con b y el opuesto al vértice C con c. Entonces, con referencia a la figura anterior, el teorema del cateto diría: b2=qa,c2=pa. Sumando ambas ecuaciones se obtiene Pitágoras.

La prueba visual

Con referencia de nuevo a la figura anterior, imaginemos que recortamos el triángulo ABC sobre su altura AD y que separamos los triángulos CDA y ADB --los cuales son semejantes, como se dijo arriba. Entonces, si giramos el triángulo ADB 90 grados sobre A, obtenemos una configuración como la siguiente.

Y si intercambiamos las posiciones de los dos triángulos se obtiene la siguiente configuración:

 

Y si tomamos una copia del triángulo CDA, ambas configuraciones se combinan en la siguiente:

La prueba visual consiste en observar que los triángulos BCS y A′AT son rectángulos y congruentes y, en consecuencia, tienen la misma área. Así que si a cada uno de ellos le quitamos los dos triángulos cortados del original, las áreas que quedan son iguales. Es decir, h2=pq.

Tomado de:

MateTam

Geometría: Un reto tricolor

No te mates, que no hay manera le decían los otros dos alumnos a su compañero. Habían venido a resolver unas dudas y, cuando ya se iban, uno preguntó cuándo aparecería otro reto en el blog. Es que tengo un amigo al que siempre se los cuento, dijo. No me pude resistir. Y ahí seguía, un buen rato después, intentando evitar triángulos tricolores.

Dibuja un triángulo con unos cuantos puntos dentro. ¿Como quiera? Como te dé la gana.

Luego une los puntos, dibujando todos los segmentos que puedas sin que éstos se crucen. ¿Pero como quiera? Como más rabia te dé. Cuando termines, comprueba que dentro solo tienes triángulos más pequeños.

Ahora pinta los vértices del triángulo exterior con tres colores distintos; por ejemplo rojo, verde y azul.¿También como yo quiera? También.

Aquí va el reto:

¿A que no consigues colorear el resto de puntos de manera que ninguno de los triángulos pequeños sea tricolor (con vértices rojo-verde-azul)?

Al final tuvimos que irnos, pero sé que se picó y esa tarde volvió a pasar un buen rato intentándolo...

Cortesía de:

Cifras y Teclas

Cortando un palo en tres trozos para hacer un triángulo

Paseando por la red nos encontramos con listas de preguntas que supuestamente hacen en la empresa Google para contratar gente. Podrían pareceros peregrinas, pero son problema más o menos conocidos en los que se busca una manera de razonar o de aproximarse a un problema, más que la repetición de conocimientos previos, o la aplicación directa de fórmulas.

Muchas de ellas son lo que se llaman Problemas de Fermi, problemas de estimación de cosas aparentemente imposibles de calcular, pero que finalmente resultan fáciles de aproximar con cálculos sencillos. Como el más popular: ¿Cuántos afinadores podrían trabajar en la ciudad de Chicago?

Para mentes enfermas es peligroso jugar con estas cosas, porque rápido te picas y te pones a hacer alguno… y te lías y te lías… A nosotros nos picó éste:

Si rompo un palo en tres trozos, ¿cuál es la probabilidad de que pueda formar un triángulo con los trozos?

Pero tranquilos, no hay que ponerse así de chulos para cortar el palito. Si quieres, basta coger un espagueti e intentar cortarlo en dos… a ver si puedes.

Vamos a dejarnos de bromas y os vamos a mostrar dos formas de atacar este problema. Dos formas diferentes con dos interpretaciones diferentes.

Antes de empezar, hay que plantearse algo: ¿hay alguna condición para que tres segmentos puedan formar un triángulo? ¿Tres segmentos cualesquiera podrían formar un triángulo? La respuesta es no.

Mira este triángulo y piensa que para que los dos lados de arriba puedan apoyarse sobre la base, tienen que ser (entre los dos) más largos que la base, quiero decir, sumando los dos lados deben tener más longitud que la base. Imagina que los dos lados miden 0.3 y que la base mide 1. Ni siquiera poniéndolos uno a continuación del otro, eres capaz de abarcar la base, no puede hacerse.
A este hecho,  se le llama Desigualdad Triangular y debe cumplir para todos los lados del triángulo. Cada uno de ellos tiene que medir menos que la suma de los otros dos.

Supongamos que nuestro palo mide 1 e imagina que uno de los trozos mide más que (o incluso igual) 1/2. Entonces la suma de los otros dos trozos será menor (o igual) que 1/2, por lo que no se verificaría la Desigualdad Triangular. Así que para que al cortar un palo (de longitud 1) en tres trozos se pueda formar un triángulo necesitamos que todos los trozos midan menos que 1/2, es decir, que la desigualdad triangular nos asegura que cada trozo no será demasiado grande.

Y ahora, vamos al lío y cortemos el palito. El problema es que el enunciado no deja claro cómo se rompe el palo y esto crea algo (en realidad, bastante) de incertidumbre.  Esencialmente hay 2 formas de cortar un palo en 3 trozos.

1. Corto en 2 trozos, elijo uno de ellos y lo corto de nuevo en 2.
2. Corto directamente el palo en 3 trozos.

La diferencia radica en que en el primer caso la acción de realizar el segundo corte no es independiente de la primera; mientras que en el segundo método estamos interpretando que ambos cortes son independientes.

Vamos a ver que, de hecho, de cada una de estas formas, sale una probabilidad diferente. 

Comencemos con el primer caso.

Método 1:

Para ello, podemos plantear el problema así.

1. Suponemos que nuestro palo es el intervalo (por simplificar).
2. Rompemos por un punto
3. Rompemos uno de los trozos restantes por otro punto

e van a ser dos números entre 0 y 1. Puede pasar que el primer corte quede a la derecha del segundo corte o viceversa.
Si suponemos que el segundo corte se hace a la derecha del primero, estamos diciendo que . Así, los tres trozos serán de longitud , y .

La condición que hemos obtenido para que se forme un triángulo (que todos los trozos tengan longitud menor que 1/2), se reduce ahora a que , , o equivalentemente, , y , o lo que es lo mismo, . En resumen, .

Ya tenemos las restricciones que nos permiten formar un triángulo, ahora veamos cuál es la probabilidad de que nuestros cortes caigan dentro de esas restricciones.

Imagina que damos un corte y esperamos dar el corte . Como hemos supuesto que , la longitud accesible para hacer el segundo corte es . Pero sólo nos sirve si como hemos dicho. ¿Cuál es la longitud de ese trozo? Restando sale precisamente .
Por lo tanto la probabilidad de habiendo dado un corte en acertar con el corte en es el cociente entre la longitud que nos sirve dividida por la longitud total: .
Ahora tendríamos que sumar para todos los valores de que nos sirven, que, como dijimos antes, no pueden irse más allá de 1/2.
Como es una variable continua esto lo podemos hacer con la integral: .
Resolviendo nos sale (un 19%).

Ya, pero nos faltaría el otro caso, cuando el corte nos queda a la izquierda del primer corte (es decir, ). Si lo miras bien,  verás que la situación es igual a la primera, pero simétrica, así que multiplicamos por dos el resultado.

Por lo tanto, si generamos los tres trozos, dando un primer corte y luego otro, la probabilidad de que los tres trozos resultantes puedan formar un triángulo es , aproximadamente un 38%.

Método 2:

Aquí suponemos que los 2 cortes se hacen a la vez. Si llamamos al primer punto de corte e al segundo, estamos en una situación muy parecida a la anterior.

¿Cuáles son las posibles configuraciones de los puntos de corte   e ? La única restricción es que , luego todas las posibles opciones son .

Si representamos gráficamente en el plano este conjunto, resulta ser el triágulo de vértices , y :

Ahora bien, ¿Cuáles de esas posibles configuraciones hacen que pueda formarse un triángulo? Esas restricciones las calculamos un poco más arriba, acudiendo a las desigualdades triangulares, y eran: . Si representas de nuevo este conjunto en el plano, te sale otra vez un triángulo, pero ahora el de vértices , y :

En resumen, tenemos un montón de casos posibles (los del primer triángulo) de los cuales sólo los que están en el segundo triángulo son favorables. Aplicamos la Regla de Laplace, hallamos el área de cada triángulo y su cociente es… 1/4, es decir, tenemos un 25% de probabilidad.

Conclusiones:

¿Cómo es posible que un mismo problema se resuelva de dos formas diferentes y den resultados diferentes? ¿Acaso algún método está equivocado?

En primer lugar, eso es más habitual de lo que parece. Te recomendamos que veas la charla Intuiciones improbables de nuestro compañero Iñaki Úcar.

En segundo lugar, lo que ocurre aquí es una guerra de interpretaciones. Quizás una guerra entre paradigmas. Entre el clásico paradigma frecuentista, en el que todo es ideal, todo está perfectamente definido y está basado en unos axiomas concretos (como en el Método 2); y el nuevo paradigma bayesiano para el que las cosas no son ideales, sino que hay que someterlas a la cruda realidad y todo depende de las circunstancias concretas (como en el Método 1). Quizás estar de acuerdo con un método sí y el otro no, indique en qué bando estás. Pero en cualquier caso, si has resuelto por ti mismo este problema, siempre te quedará la satisfacción de haberlo hecho.

El artículo original en:

NAUKAS