Las matemáticas revelan datos curiosos sobre Star Wars

¿Crees que lo sabes todo sobre el universo de Star Wars? Este software te dejará asombrado.

Empleando un innovador software, un equipo de investigadores de la Escuela Politécnica Federal de Lausana (Suiza) ha descubierto una visión poco común dentro del universo de Star Wars o La Guerra de las Galaxias, la franquicia de ópera espacial épica, creada por el guionista y director estadounidense George Lucas y que cuenta con millones de fans en todo el mundo desde que se inició la saga en 1977.

Gracias al nuevo algoritmo -desarrollado en el Laboratorio de Procesamiento de Señal 2 (LTS2)- que aprovecha los principios de la teoría de grafos y los cálculos matemáticos llevados a cabo por un ordenador, los expertos pusieron a prueba el software con centenares de webs en la red dedicadas exclusivamente a la exitosa saga que ha trascendido la gran pantalla (libros, juegos, etc...).

Los resultados han revelado datos interesantes: Star Wars integra más de 20.000 personajes repartidos entre 640 comunidades durante un período de 36.000 años: “Los fans se sorprenderán al saber, por ejemplo, que contabilizamos más de 20.000 personajes; entre ellos, 7.500 juegan un papel importante”, explica Kirell Benzi, líder del trabajo.

Además, la eterna rivalidad de los Sith y Jedi también ofrece sus estadísticas: existen 1.367 Jedi y 724 Sith. Pese a la multitud de razas y especies que conviven en la galaxia como los nautolanos o los toydarianos (antes de la República, en la Antigua República, durante el Imperio, la rebelión, la Nueva República o la Orden Jedi), casi el 80% de la población es humana.

“Para poner un poco de orden en este bosque masivo de datos, hemos basado nuestro enfoque en el análisis de redes. En otras palabras, todas las conexiones que tiene un personaje con el resto de ellos. Usando estas referencias cruzadas, hemos sido capaces de determinar con precisión el período de tiempo del personaje casi sin excepción, a pesar de que esta información no se proporciona directamente en los libros o las películas”, afirma Xavier Bresson, coautor del estudio.

El logro de este programa informático es que traza conexiones en la masa de datos no organizados disponibles en Internet y los algoritmos desarrollados por los investigadores de LTS2 ofrecen datos muy precisos que pueden ser cuantificados, ordenados y, por supuesto, sencillos de leer.

Según los expertos, “este método podría ser útil para llenar los vacíos de conocimiento que permanecen en la investigación histórica y sociológica y en numerosos campos científicos también”.

Muy Interesante

Geometría: Un reto tricolor

No te mates, que no hay manera le decían los otros dos alumnos a su compañero. Habían venido a resolver unas dudas y, cuando ya se iban, uno preguntó cuándo aparecería otro reto en el blog. Es que tengo un amigo al que siempre se los cuento, dijo. No me pude resistir. Y ahí seguía, un buen rato después, intentando evitar triángulos tricolores.

Dibuja un triángulo con unos cuantos puntos dentro. ¿Como quiera? Como te dé la gana.

Luego une los puntos, dibujando todos los segmentos que puedas sin que éstos se crucen. ¿Pero como quiera? Como más rabia te dé. Cuando termines, comprueba que dentro solo tienes triángulos más pequeños.

Ahora pinta los vértices del triángulo exterior con tres colores distintos; por ejemplo rojo, verde y azul.¿También como yo quiera? También.

Aquí va el reto:

¿A que no consigues colorear el resto de puntos de manera que ninguno de los triángulos pequeños sea tricolor (con vértices rojo-verde-azul)?

Al final tuvimos que irnos, pero sé que se picó y esa tarde volvió a pasar un buen rato intentándolo...

Cortesía de:

Cifras y Teclas

Razonamiento diagramático en problemas verbales

El diagrama se debe considerar como una memoria externa y como una ayuda al razonamiento. El diagrama más conocido en matemáticas es tan "natural" que ya es invisible. Estoy hablando de la recta numérica para representar los números reales. La recta numérica es ya "muy natural" porque se usa desde la escuela primaria para razonar sobre los números y, por ejemplo, para enseñar las sumas y las restas con saltos de ranita. Y no es que los números reales sean la recta numérica sino que uno debe imaginar los números en la recta numérica para tener algo concreto sobre lo que se pueda razonar. (Por supuesto, a los niños no hay que darles tanta filosofía, sino que hay que enseñarles la recta numérica como si fuese la cosa más natural del mundo...)
Consideremos la suma 1+3+5+...+2n−1 de los primeros n  naturales impares. Una prueba visual de que esta suma es n2 se presenta a continuación (aunque el diagrama muestra la suma de impares hasta el 11). Sin embargo, es prueba visual para quien ya está entrenado para verla como prueba visual. Es decir, al diagrama hay que saberlo interpretar, aprender a verlo como algo otro a lo cual representa.


 
Este post es continuación de la noticia Selecciones Reynosa y Victoria donde comenté la solución diagramática del problema de Razón de Velocidades del concurso ciudades. Para ello voy a comentar sobre el método diagramático de solución de problemas verbales (word problems) usado en Singapur.

El método diagramático no es nuevo, y se podría decir que es casi natural. Los aprendices lo usan intuitivamente para resolver problemas, para razonar sobre los problemas --si bien, quizá, de manera bastante burda, dado que todavía no es un método para ellos, sino un modo de intentar resolver el problema "como Dios les da a entender".

Sin embargo, este método ha alcanzado en los últimos años cierta popularidad en la literatura sobre la enseñanza de las matemáticas escolares debido a que está incluido en el curriculum de un país  tercermundista que les ganó a los de primer mundo en varias evaluaciones internacionales. En particular, en la evaluación denominada TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study), Singapur obtuvo el mayor puntaje en los años 1995, 1999 y 2003. Esto hizo que los Estados Unidos de América voltearan a ver el curriculum escolar de Singapur.

Y uno de los rasgos de la educación de ese país que los americanos descubrieron es su sistematicidad en enseñar y usar el modo diagramático de razonar en matemáticas. (Ver http://www.moe.gov.sg/media/press/2004/pr20041214.htm)
Consideremos el siguiente ejemplo de un problema verbal y la manera en que se enseña a resolverlo en Singapur (eliminé el contexto para que el problema quedara en estado puro):
(El Problema) La suma de tres números D,E,F es 51. Si E es el doble que F y D es 15 unidades mayor que F ¿cuáles son esos números?
(La solución) El primer paso es darse cuenta que las condiciones segunda y tercera apuntan a F. Para que los niños logren ver esa dependencia, el método Singapur (llamémoslo así como un reconocimiento a su excelente iniciativa) enseña a los niños un diagrama muy elemental pero que tiene la ventaja de organizar la información del enunciado:



 
El segundo paso es concluir que F puede tomarse como "unidad" (o bien asignarle un valor x, si se trata de niños de secundaria). Si se quiere aplicar álgebra (o casi álgebra) el diagrama de flechas se completa así:



 
Y la ecuación correspondiente a la primera condición se resuelve de la manera usual: 4x+15=51, es decir, 4x=36 o x=9, etc. (Notemos que la forma usual de plantear el problema resulta en un sistema de 3x3, aunque muy fácil de resolver. En el método Singapur, el álgebra es apoyada por el diagrama.)
Para niños de primaria, el diagrama de flechas mostrado arriba da lugar a otro diagrama (que es ya casi álgebra):

Con este diagrama es muy fácil para los niños ver la solución: cuatro barras más 15 unidades es 51, etc. (Bueno, posiblemente no sea tan fácil para los niños aprender a construir y después a interpretar estos diagrama. Posiblemente un tercer paso sea usar el diagrama para llegar al valor de un bloque y un cuarto podría consistir en regresar sobre los pasos para obtener la solución completa.
No conozco los detalles del método didáctico, pero me imagino que hay sesiones completas para cada paso, con ejercicios para hacer el diagrama de dependencia y después ejercicios para crear el diagrama de bloques, etc. Lo que sí es claro es que no se necesita ninguna tesis doctoral para pronosticar que si los niños aprenden (como lo hacen) el método de los bloques en la primaria, y en la secundaria apoyan con diagramas sus primeros pasos en el álgebra, a los 14 años ya dominarían muy bien la simbolización y la resolución de ecuaciones. (Porque los diagramas son andamios, es decir, construcciones provisionales; no se trata de que los diagramas sustituyan al álgebra sino de que les ayuden a aprender álgebra.)
Notemos finalmente que el problema verbal que hemos tomado de ejemplo es una clase muy específica: da lugar a una ecuación lineal de la forma ax+bx+cx=d. Pero presumiblemente, para otra clase de problemas verbales, el método diagramático de Singapur sólo requiera modificaciones menores.
Para finalizar les presento una solución diagramática del problema clásico Conejos y Gallinas:
(El problema) En el corral hay conejos y gallinas. Son 15 cabezas y 44 patas. Determinar el número de conejos y gallinas en el corral.
(La solución diagramática) Representemos el número de patas de los conejos como el área de un rectángulo de 4 unidades de altura (las patas) y de base desconocida; de la misma manera el número de patas de las gallinas es el área de un rectángulo de altura 2 y base desconocida. Si yuxtaponemos los dos rectángulos queda una figura como la siguiente:

Razonando sobre el diagrama se podría generar un argumento como el siguiente: "mhh, bueno, es claro que el área del rectángulo de la base es 15(2)=30 patas; pero son 44... ah, pues ya está: el área del rectángulo superior es 14 patas; es decir, son 7 conejos... y bueno... ahora se puede calcular el número de gallinas... mhh... son 15-7=8 gallinas." (Nota: con el diagrama se puede generar el argumento mucho más elaborado --y muy conocido y asombroso también-- que consiste en decir: paramos de manos a todos los conejos; tenemos entonces 30 patas pisando el suelo; las manos de los conejos --las que están levantadas-- son entonces 14; es decir, son 7 conejos; y bueno, las gallinas son... hagan ustedes las cuentas...")

Notemos que lo que está por detrás de la interpretación del diagrama es saber ver el área de un rectángulo como el producto de dos números: una correspondencia que ya usaban los griegos de la antigüedad. Pero para que esta correspondencia tenga alguna utilidad en la transición de la aritmética al álgebra (para que no se quede en una mera curiosidad lúdica) hay que destacarla y ponerla a  funcionar en problemas como éste y con muchos ejercicios.

Si denotamos con c el número de conejos y con g el de gallinas, entonces el número de patas de conejo es 4c y el de gallinas es 2g; cada uno de estos términos es un rectángulo. Y si ahora los yuxtaponemos, se tendría 4c+2g=44, con c+g=15. Es decir, viendo el diagrama de los dos rectángulos yuxtapuestos también hay que ver que es un sistema de ecuaciones: "ves el diagrama y ves áreas; lo traduces en tu mente (lo interpretas) y ves ecuaciones..."
No sé qué efecto de aprendizaje pueda tener usar el método diagramático de manera aislada y fuera del curriculum. No se descartaría la posibilidad de que si un profe entre 1000 lo utilizara, podría ganarse de sus alumnos el mote de "el loquito". Es el efecto del medio ambiente. Pero como en Singapur todos los profes están obligados a ser loquitos, pues ya no son loquitos sino que son buenos profesores de matemáticas --en el estándar de calidad profesional de su país...
Y al decir esto, esta delegación hace conciencia de que, al trabajar en los márgenes del curriculum de las matemáticas escolares, posiblemente ya se haya ganado el mote de "loquita"... Nos salva un poco el hecho de que trabajamos con la Sociedad Matemática Mexicana...
Los saluda
jmd
PD: Como se habrán dado cuenta, he puesto varios problemas verbales (chicas barbie, bellezas maduras, el cuerudo, chico fresa, etc.) en atención a los adolescentes de secundaria y para dar cierto contexto para el Concurso Ciudades. Son problemas clásicos en contexto actualizado según el talante del que esto escribe. El lector puede comparar el problema "chicas barbie" con el "método sui generis" --el cual apareció en ciudades-- y constatar que tienen exactamente la misma estructura (de hecho es el mismo problema). Pero ya pasó ciudades, y sigue el regional. Y éste requiere subirle un poquito el nivel... es decir, en los problemas verbales ya no insistiré por este año... a menos que se me ocurra un contexto interesante para un problema verbal clásico, a tal grado que me sea imposible no ponerlo en este sitio...
 

Ver también: 

 

Conocer la cultura matemática –el tránsito de novicio a experto. (Entrada de blog)

Diagrama (Definición)

 

Tomado de:

 

Mate Tam 

Diagramas de Leibniz, Euler, Venn y Luetich (el razonamiento diagramático)

El razonamiento diagramático (también llamado razonamiento gráfico o conceptografía) es el que se lleva adelante haciendo uso de representaciones visuales de los conceptos. En esta técnica, los diagramas y los gráficos son más importantes que las palabras y las expresiones matemáticas. A estos diagramas también se les conoce como diagramas ontológicos; en un lñenguaje más preciso los diagramas ontol+ogicos son aquellos diagramas que muestran entes ("elementos") y las definiciones que a ellos se les ha aplicado ("conjuntos").

El origen de esta forma de razonamiento debe buscarse en los grafos de Llul y Leibniz, las líneas de Leibniz y los diagramas de Euler. Sin embargo, una expresión equivalente a "razonamiento diagramático" —aunque aplicada específicamente a una notación de dos dimensiones— recién aparece en 1879 con la publicación del libro Begriffsschrift de Gottlob Frege, que ha sido traducido al castellano como Conceptografía. La historia del razonamiento diagramático incluye también la creación por parte de Peirce del sistema de gráficos existenciales, una notación geométrica-topológica-lógica que Gardner consideraba "el más ambicioso sistema de lógica geométrica que se haya construido jamás".

En síntesis podemos decir que el razonamiento diagramático tiene tres campos: a) los diagramas ontológicos, b) los diagramas topológicos y c) los grafos.

a) Diagramas ontológicos

Los diagramas ontológicos son los que muestran las definiciones de los conjuntos por enumeración. En ellos, además de la relación entre las definiciones, se ve a los elementos (entes). De ahí su nombre.¹

Los diagramas de Leibniz son líneas abiertas que indican la posición relativa de los conjuntos.

diagrama de Leibniz

Las regiones de superposición corresponden a las intersecciones.

Los diagramas de Euler son construcciones gráficas con líneas cerradas (circunferencias, elipses) que delimitan colecciones de elementos y muestran su posición relativa. (Leibniz también usó círculos, pero prefería las líneas abiertas porque encontró que los primeros requerían en ciertos casos símbolos complementarios.)

diagrama de Euler

Cada región del diagrama contiene al menos un elemento. Los elementos pueden pertenecer a una sola colección o ser comunes a dos o más.

En los diagramas de Venn, todas las regiones posibles para una cantidad de definiciones dada aparecen representadas. Las regiones pueden estar vacías y en tal caso se las distingue sombreándolas.

diagrama de Venn

Todos los conjuntos están incluidos en otro (el universo U, marco de referencia).

En los diagramas de Luetich se representa otra región, la del Todo, cuya interpretación se dio en el "Glosario de ontología". En el Todo excepto U se encuentran los elementos no definidos o no considerados, es decir, aquellos que están escondidos en la oscuridad. El todo no es un conjunto.

diagrama de Luetich (2D)

Los diagramas de Luetich sirven para resolver problemas como el que Humpty Dumpty le planteó a Alicia en la obra "A través del espejo" de Lewis Carroll.

Estos cuatro tipos de diagramas de conjuntos corresponden a la categoría "diagramas ontológicos".

¹ "Diagramas ontológicos: de Leibniz a Luetich", Actas Acad. Luventicus, Editoriales.

² "Diagrama de Venn". Wikipedia, la enciclopedia libre.

³ "Glosario de ontología", Actas Acad. Luventicus, Sup. 1, Vol. I, No. 2.

⁴ "El no cumpleaños de Humpty Dumpty", Actas Acad. Luventicus, Editoriales.

⁵ "Razonamiento diagramático", "Razonamiento gráfico" o "Conceptografía". Wikipedia, la enciclopedia libre.

b) Diagramas topológicos

Son los diagramas que muestran la posición relativa de los conjuntos, pero no los elementos. La forma, el tamaño y la posición de las líneas cerradas no tienen importancia.

Regiones posibles

En los diagramas de conjuntos de Euler y de Venn se pone énfasis en indicar las regiones posibles. En los diagramas de Euler, solamente son representadas las regiones en las que puede haber elementos. En los diagramas de Venn, a las regiones que no contienen elementos se las anula sombreándolas.

diagrama de Euler	diagrama de Venn

En estos ejemplos se muestra que no hay elementos que pertenezcan a A y C que no sean también de B, ni tampoco elementos que pertenezcan exclusivamente a C. En el diagrama de Venn de conjuntos cada región sombreada es —para usar una expresión de Leibniz— una combinatio impossibilis. Se trata entonces de diagramas topológicos.²⁸

Topología flexible

En un intento por flexibilizar la topología de los sistemas, Peirce introdujo en los diagramas de Venn la notación lógica correspondiente a la disyunción. Con ello creó los diagramas de topología flexible. A esta extensión de Peirce siguieron otras dos (Venn-I y Venn-II), propuestas por Shin.²⁹

Extensión de Peirce

Charles Sanders Peirce (1839–1914), lógico americano considerado el padre de la semiótica moderna

La extensión de Peirce de los diagramas de Euler-Venn introduce tres símbolos:

• "o" para reemplazar al sombreado,
• "x" para indicar importación existencial, y
• "–" (línea) para unir los dos anteriores e indicar disyunción.²⁹

Así, por ejemplo, el siguiente diagrama representa la proposición: «Todo elemento de B es de A o algunos elementos de B son de A».

extensión de Peirce

Esta proposición topológica no se podría representar con un diagrama de Euler: sería necesario usar dos y buscar alguna manera de indicar la disyunción.

«Todo elemento de B es de A»	«Algunos elementos de B son de A»

Las ventajas de la notación de Peirce, en este caso, son grandes. Sin embargo, cuando las proposiciones son más complejas, la lectura del diagrama se torna dificultosa.²⁹

Primera extensión de Shin (Venn-I)

Esta extensión tiene las siguientes características:

• vuelve al sombreado de regiones para indicar que éstas no pueden ser ocupadas,
• usa el símbolo "x" de Peirce, y
• usa el símbolo "–", introducido por Peirce.

diagrama de Shin (Venn-I)	diagrama de Peirce

En estos diagramas (equivalentes), las dos premisas son:

• «Ningún elemento es sólo de B», y
• «B tiene algún elemento».

La conclusión, por lo tanto, es: «Algún elemento pertenece simultáneamente a B y A».

Segunda extensión de Shin (Venn-II)

Esta extensión tiene las mismas características que el anterior, pero agrega la posibilidad de conectar dos diagramas —que en este caso tienen representado el conjunto universal— con una línea de disyunción^.

diagrama de Shin (Venn-II)	diagrama de Peirce

La proposición, en este caso, es: «O todo elemento de A es elemento de B y algún elemento de A es de B, o ningún elemento de A es de B y algún elemento de B no es de A». El diagrama simple de Peirce es de lectura más difícil que el correspondiente diagrama doble de Shin.
 

Arañas

 Los diagramas con arañas son una extensión de los diagramas de Euler, y por lo tanto en ellos hay información topológica. Se los obtiene introduciendo restricciones de dos tipos: agregando "arañas" (secuencias x de Peirce generalizadas) y sombreando regiones. La presencia de una araña indica la existencia de un elemento en su "hábitat" (la región donde se encuentra). Una región sombreada es la que no contiene más elementos que los que indican las arañas correspondientes. Si una región sombreada no tiene arañas, está vacía. Dos arañas unidas por una línea indican la existencia de por lo menos un elemento en las regiones involucradas. El nombre "araña" se ha elegido porque en diagramas complejos muchas líneas pueden salir de cada punto, como los hilos de un nodo de una telaraña.

diagrama con arañas

El diagrama de la figura indica que:

• C está contenido en B;
• A – B tiene exactamente dos elementos;
• hay al menos un elemento en B – A.

El diagrama tiene 3 líneas limite de conjuntos (definiciones), indicadas con los rótulos A, B y C, y 6 regiones, por ejemplo la región cuyo contorno es B pero que no contiene elementos ni de A ni de C. Una zonas está sombreada y contiene sólo 2 elementos. El diagrama contiene 3 arañas: 2 de un pie cuyo hábitat es la zona de los elementos de A que no pertenecen a B y 1 "articulada", en la región de los elementos que son de B pero no de A.

 

c) Los grafos 

 

Los grafos son construcciones que surgen de representar elementos y sus conexiones.³² La teoría de grafos, como la teoría de conjuntos, está íntimamente ligada a la topología.^{33 34}

Cuadrado de oposición

Aristóteles (384 a.C.–322 a.C.), filósofo griego fundador de la lógica clásica

Aristóteles, al fundar la lógica, puso su atención en algunos cuantificadores usados en el lenguaje natural: todo, algún, ningún, no todo. Éstos pueden ser expresados usando la notación de Peirce de predicados (gráficos existenciales "beta"). El clásico "cuadrado de oposición de juicios" de Aristóteles quedaría entonces representado como se muestra en la figura.

El "cuadrado de oposición" de Aristóteles en la notación de Peirce

Diamante de Leibniz

Una muestra de razonamiento diagramático: grabado del libro de Leibniz De Arte Combinatoria de 1666

En el grabado de la portada del libro De Arte Combinatoria de 1666, Leibniz habría dado otra muestra de su lenguaje universal^. En él se representa la idea de los antiguos de que todas las cosas materiales están hechas de tierra, agua, aire y fuego, "elementos" que combinan las cualidades de: frío, húmedo, caliente y seco. Entre elementos, entre cualidades, y entre elementos y cualidades, han sido dibujadas líneas, cada una con un rótulo. Así, por ejemplo, a los nodos SICCITAS y HVMIDITAS ("sequedad" y "humedad") se los ha conectado con una línea rotulada Combinatio impossibilis ("combinación imposible"). En otros términos, de los elementos de estos dos conjuntos, el grabado muestra las conexiones, objeto de estudio de la topología. La characteristica es, en este caso, una notación topológica.³⁷ El siguiente grafo es una variante del Diamante de Leibniz, que muestra la relación entre elementos y cualidades a la manera de un grafo bipartido.

Cuando dos cualidades concurren en un elemento es porque su combinación es posible. Por ejemplo, CALIDITAS y HVMIDITAS concurren en AER. Cuando dos cualidades no se encuentran en ningún elemento, su combinación es imposible. Tal es el caso de HVMIDITAS y SICCITAS. Con estos elementos y cualidades, sujetas a las restricciones mencionadas, se puede deducir la cantidad de combinaciones posibles.

El diamante de Leibniz puede ser representado sin recurrir a un grafo partido, simplemente usando cuatro conjuntos. En este caso, a menos que a los conjuntos se los dibuje como rectángulos, quedarían regiones vacías. Para indicar esa situación se puede hacer uso de un diagrama con arañas.

diagrama de conjuntos	diagrama con arañas

Estas representaciones actuales del tema que Leibniz tomó de los antiguos para ilustrar su libro de análisis combinatorio muestran lo que ha sido la historia del razonamiento diagramático, un área de trabajo en la que se ha vuelto siempre sobre los mismos complejos problemas, desde la perspectiva de especialistas en las materias más diversas.³⁷

Árboles

Los árboles son unos grafos especiales con estructura jerárquica, que pueden ser usados para dar la misma información topológica que los diagramas de Euler y de Venn.

árbol del diagrama de Euler	diagrama de Euler
árbol del diagrama de Venn	diagrama de Venn

Cada árbol muestra las regiones posibles del diagrama que está a su derecha. Las primeras 2 ramas corresponden al conjunto A; las restantes 4, al conjunto B. En el diagrama de Euler, la rama de no pertenencia (∉) a A aparece de color gris, ya que no es una región posible. En consecuencia, también están de ese color las ramas derivadas. En el diagrama de Venn, dado que se define un conjunto universal, la no pertenencia a A es posible, exceptuando el caso de pertenencia (∈) simultánea a B.³¹

Notación bidimensional

Friedrich Ludwig Gottlob Frege (1848–1925), matemático alemán considerado por muchos el fundador de la lógica moderna

La notación bidimensional de Frege permite representar las operaciones lógicas con conexiones.³⁹

notación bidimensional de Frege

Este esquema representa la disyunción lógica A ∨ B, o mejor, ¬A → B.⁴⁰
En su trabajo sobre los axiomas del cálculo proposicional, Frege recurría sólo a las operaciones negación e implicación.

Obsérvese que la notación de los diagramas "beta" de Peirce —con recortes abreviados o no— también es bidimensional, como se puede ver claramente en la lista de reglas de inferencia.
 

 

Fuentes:

 

Luventicus

 

Wikipedia