Matemáticas: el problema de las pinturas de Mondrian

Los cuadros geométricos de Piet Mondrian, una de los máximops representantes del arte abstracto mundial, esconden mucha matemática... y tmbién este rimpecabezas, o problema, que les traemos a continuación.

El problema matemático de Mondrian consiste en dividir una cuadrícula de dimensiones n x n, en rectángulos y cuadrados de lados enteros e incongruentes entre sí (es decir, que no haya dos iguales), de tal modo que la diferencia entre la superficie del rectángulo mayor y el menor sea la menor posible. Esa resta dará la puntuación.

¿Cómo dijo?

Este enunciado, formulado de esta manera, en abstracto, resulta difícil de entender, pero se ve muy fácilmente con un caso concreto.

Por ejemplo, tomemos la cuadrícula de 4×4. Una posible solución es dividir el cuadro en dos rectángulos de 3×4 y 1×4, lo que otorga una puntuación de 8. Una forma de mejorar el resultado es dividir la cuadrícula en 3 rectángulos, lo que permite rebajar la puntuación a 6.

Pasatiempo N° 01:

Todavía hay una solución mejor para una cuadro 4×4, una distribución óptima que arroja una puntuación de 4. ¿Cuál es? Busca la respuesta.

Fue a partir de 1915, luego de haber estudiado a profundiad los principios de movimientos como el impresionismo, el expresionismo o el cubismo, cuando Piet Mondrian comenzó a pintar sus famosos cuadros. Estas obras sublimaban la abstracción y simplificación de las formas hasta limitar los elementos a líneas rectas y rectángulos; y los colores empleados a los primarios (rojo, amarillo y azul) y los acromáticos (gris, blanco y negro). Con este lenguaje, el pintor trataba de reflejar el equilibrio de opuestos —líneas vs superficies; formas horizontales vs verticales; colores vivos vs ausencia de color— que gobernaban la naturaleza y el universo entero y que constituía su esencia y espíritu... ¡bastante profundo y ambicioso! ¿verdad?

Ahora vamos a dar un paso más, pasemos a la siguiente cuadrícula:

Pasatiempo 2:

Aquí se muestra la mejor solución para el caso de un cuadro de 5×5, que permite una Puntuación de 4.

En el caso de un cuadro de 6×6, la mínima puntuación posible es 5, ¿cuál es la solución que permite alcanzar este valor?

¿Y cuál es la solución óptima para un cuadro de 8×8?

 

Pero aquí no acaba todo, el problema se vuelve más complejo y desafiante, sigue leyendo AQUÍ. 

Una astrofísica explica lo que tendrían que haber hecho los personajes de Friends para subir el sofá de Ross por las escaleras

En una de las escenas más icónicas de la quinta temporada de Friends, Rachel y Chandler ayudan a Ross a subir su nuevo sofá por las escaleras. La escena es icónica porque uno puede verse reflejado en ella: quién no ha ayudado a un amigo a regañadientes con una mudanza y se ha encontrado con que el sofá no cabe en el ascensor o no dobla una esquina difícil.

En Friends, el trío se encuentra con una de esas esquinas difíciles y nunca consigue pasar del rellano, así que Ross acaba devolviendo el mueble. Pero en realidad Ross se rinde demasiado rápido. La doctora en astrofísica Caroline Zunckel ha analizado la escena y asegura que el sofá cabía perfectamente por las escaleras: solo había que aplicar el teorema de Pitágoras e inclinar el sofá en un ángulo determinado para doblar la esquina. El blog de SpaceRoom lo explica paso a paso en una infografía:

1. Medir la anchura de las escaleras (WS), así como el ancho (WC) y el largo (LC) del sofá.
2. Usar la ecuación T = 44,15064 - (11,94274 × WS) + (8,69119 × WC) + (3,65961 × LC) para calcular el ángulo en el que habrá que rotar el sofá durante el paso 4.
3. Subir el sofá por las escaleras tan alto como sea posible.
4. Usar el ángulo calculado en el paso 2 para inclinar el sofá hacia el techo. De esta forma, el sofá puede girar la esquina sin bloquearse.
5. Una vez superada la esquina, volver a la inclinación original para que el sofá esté de nuevo en paralelo a las escaleras y subir hasta el apartamento.
6. Sentarse en el sofá a disfrutarlo con una cerveza fría. (Opcional: ofrecer una a tus amigos por ayudarte con él).

Fuente: Gizmodo

Fractales con latas de gaseosa

Encontré este post en Variable de Mates

1-Fractales

Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada o aparentemente irregular, se repite a diferentes escala. A continuación veremos un fractal particular el triangulo de Sierpinski.

2-Triangulo de Sierpinski

El matemático polaco Waclaw Sierpinski introdujo este fractal en 1919.

3-Construcción por iteración

Dibujamos un triangulo equilatero de lado unidad(iteración n=0). Seguimos encontrando el punto medio de cada lado y construimos un triángulo invertido (iteración n=1),el lado del triángulo será 1/2 de la unidad.

• Ahora (iteración n=2) repetimos el proceso con cada uno de los tres triángulos de lado 1/2 que nos quedan. Aparecen tres triángulos invertidos de lado 1/4.

Iteración 3

http://sabrinamatematica.blogspot.com.es/2013/04/triangulo-de-sierpinski.html

Podemos deducir:

• 1 triángulo de 3 latas
• 

• 1 triángulo de 9 latas (formado por 3 triángulos de 3 latas)

• 1 de 27 latas (formado por 3 triángulos de 9 latas)

• 1 de 81 latas (formado por 3 triángulos de 27 latas)

• 1 de 243 latas (formado por 3 triángulos de 81 latas)

• 1 de 729 latas (formado por 3 triángulos de 243 latas)

4-Es una sucesión

Escribe el número de latas que necesitaré empezando por 3, ……

La sucesione pueden ser aritméticas si siempre se suma un número o geométricas si siempre se multiplica, ¿esta sucesi´on será aritmética o geométrica?

5-Calculo de las latas que necesitaremos

¿Aceptas el reto? 

Hasta la próxima amigos 

Lic. Leonardo Sánchez Coello 
leonardo.sanchez.coello@gmail.com

Un científico ha calculado matemáticamente la fuerza de Thanos en Avengers: Infinity War

Si has visto Avengers: Infinity War sabrás que Thanos es el villano más bestia que ha aparecido en una producción de Marvel en la gran pantalla. Ahora bien, ¿hasta dónde llegaría esa fuerza? Esto es precisamente lo que ha averiguado un científico de la Universidad Northeastern, y es bastante impresionante.

El hombre que se embarcó en el proyecto fue Steven Cranford, profesor de ingeniería de la universidad, quién calculó hasta dónde llegaría la fuerza de Thanos. Para llegar a ese calculo el investigador realizó modelos moleculares reales del cubo ficticio Teseracto. Su trabajo se acaba de publicar (y revisar) en Extreme Mechanics Letters.

Para los profanos, el Teseracto en el mundo de Marvel es una gema en forma de cubo de un poder incomparable que una vez perteneció a Odín, una brillante caja azul que Thanos aplasta como si nada. Cranford, un aficionado a las películas de Marvel y científico de los materiales, vio en la escena una fórmula perfecta para adivinar la fuerza real del personaje.

Cuando Thanos demolió el cubo, Cranford activó un programa de dinámica molecular para descubrir cómo sería una caja tetradimensional. Si descifraba la geometría del cubo, podría calcular su fuerza material. Y si conocía la fuerza del cubo, podría calcular lo poderoso que debía ser Thanos para aplastarlo.

Se da la casualidad de que los teseractos no son solo imaginación del universo de Marvel, también existen en las páginas de libros de texto de geometría. De hecho, su definición es la de una figura formada por ocho cubos tridimensionales ubicados en un espacio donde existe un cuarto eje dimensional (considerando al primero longitud, el segundo altura y el tercero profundidad). Básicamente, en un espacio tetradimensional, el teseracto es un cubo de cuatro dimensiones espaciales.

Dicho de otra forma, es algo así como un cubo más pequeño suspendido perfectamente en el centro de un cubo más grande. Utilizando el software de modelado, Cranford comenzó a construir teseractos moleculares, uniendo átomos de carbono a átomos de carbono.

Si deseas leer el artículo mcompleto puedes hacer click AQUÍ.

Pero si deseas la respuesta a la pregunta inicial aquí la tienes:

Conclusión final

El investigador concluyó que exprimir un cubo Teseracto hasta dejarlo en polvo requería una fuerza equivalente a 42.000 toneladas, o la fuerza de agarre combinada de 750.000 hombres promedio de Estados Unidos.

¿El resultado final? Suponiendo una relación proporcional entre la fuerza de agarre y lo que puede levantar un estadounidense promedio, las matemáticas del científico sugieren que Thanos podría arrojar 54 millones de kilogramos, 4.5 millones de kilogramos más que el peso de el Titanic. Una auténtica barbaridad. 

Suerte que el tipo no está entre nosotros.

Fuente:

Gizmodo

El sorprendente cuadrado mágico del maravilloso pintor Durero

Desde siempre, el mundo del arte ha sabido aprovechar y sacar partido a lo que las matemáticas le brindaban, repercutiendo por tanto en nuestro propio beneficio. El buen uso de la perspectiva y de las proporciones o la utilización de la razón áurea son algunos buenos ejemplos.

Pero también encontramos casos en los que lo reseñable no es la utilización de las matemáticas en el arte, sino que las matemáticas están plasmadas en el propio arte. Tenemos ejemplos de arte matemático “vanguardista”, como los que os mostraba ayer en esta entrada, y también hay casos que tienen más tiempo. Hoy os traigo uno donde el protagonista es un cuadrado mágico.

El cuadrado mágico de Durero

Alberto Durero fue un pintor alemán (nacido en Nuremberg) de los siglox XV y XVI con una producción artística muy amplia y de gran calidad. Además de ejercer una gran influencia en sus contemporáneos, fue uno de esos artistas que consiguieron utilizar de forma magistral la geometría y las proporciones matemáticas en su arte. Además fabricó algunos dispositivos mecánicos para facilitar el dibujo en perspectiva, que representó en algunos de sus grabados, como El dibujante del laúd, La mujer desnuda o El dibujante en la jarra. También se preocupó bastante del trazado de las secciones cónicas, llegando a escribir tratados donde explicaba métodos para ello.

Entre sus obras se encuentran cuadros, varios de ellos autorretratos (como el que puede verse a la derecha, que está en el Museo del Prado de Madrid), dibujos y grabados. Vamos a detenernos en uno de ellos, Melancolía I:

Este grabado compone las “Estampas Maestras” junto con otro dos grabados: “El caballero, la Muerte y el Diablo” y “San jerónimo en su gabinete”. Es, posiblemente, la obra más misteriosa de Durero.
¿Os habéis fijado en lo que hay en la parte superior derecha? Vaya, un cuadrado con números…No será…¡¡Sí, un cuadrado mágico!!:

Como podéis ver, en el grabado aparecen más detalles relacionados con las matemáticas, como una esfera o un poliedro truncado. Pero, como decía, detengámonos en el cuadrado. ¿Es un cuadrado mágico? Sí, es un cuadrado mágico de los más habituales, ya que la suma de los elementos de sus filas, de los de sus columnas y de los de sus diagonales es siempre la misma, 34, que es por tanto la “constante mágica” del cuadrado:

Pero este cuadrado mágico es mucho más especial de lo que parece. Sumemos los números de las esquinas:

¿Cuánto suman? Sí, 34.
Sumemos ahora los números centrales:

¿Y ahora cuánto suman? Otra vez 34.
Veamos ahora qué ocurre con los números centrales de las filas superior e inferior:

Exacto, 34.
¿Y con los centrales de la primera y la última columna?

También 34.
Si dividimos el cuadrado por la mitad tanto horizontal como verticalmente, nos quedan cuatro cuadrados más pequeños con cuatro números cada uno:

¿Qué ocurre si sumamos los números que hay en cada uno de esos cuadrado? Pues sí amigos, 34 en todos los casos.

¿Y si saltamos una posición tanto en filas como en columnas (primero y tercero de primera y tercera fila, segundo y cuarto de primera y tercera fila, etc)? ¿Y agrupando con salto de caballo los números exteriores? ¿Y si sumamos por parejas saltando una fila (primero y segundo de primera y tercera fila, tercero y cuarto de primera y segunda fila, etc)?


Todas 34
¿Y agrupando por parejas saltando una columna? ¿Y formando esas dos cruces? ¿Y éstas otras?


De nuevo, cómo no, 34.
Y todavía hay más:

Y seguro que hay más agrupaciones interesantes y curiosas de elementos de este cuadrado cuya suma vuelve a ser este misterioso y enigmático, a la par que cansino, número 34.

Además si elevamos al cuadrado y al cubo sus elementos, nos quedan cuadrado que aunque no son mágicos sí que tienen propiedades interesantes. Os invito a explorarlos y a que comentéis las regularidades que encontréis en ellos:

- El de los cuadrados:

- El de los cubos:

Y para terminar, ¿sabéis de que año es Melancolía I? Sí, efectivamente, de 1514 (los números centrales de la última fila). Y, por rizar el rizo, los números de las esquinas de la última fila, el 4 y el 1, corresponden en nuestro alfabeto a las letras D y A, esto es:
Durero, Alberto

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La foto de Durero la he tomado de aquí y la de Melancolía I de aquí.

Tomado de:

Gaussianos

Un problema griego antiguo: la raiz de dos

Una piedra en el zapato de los primeros filósofos griegos: la raíz cuadrada de dos 

Pitagoras y su Teorema.

Para los primeros filósofos los principios inmutables de la naturaleza eran “sustancias subyacentes” o ingredientes. Así pues la concepción que los griegos tenían de la creación del universo era el resultado de la expansión, la contracción y la mezcla de unidades de materiales inmutables.

Ahora bien, puesto que el tema principal de la filosofía griega era el poder de la razón, también se desarrollaron concepciones que se prestaran más al razonamiento y a la demostración racional, por eso, junto con esta idea de los “ingredientes” se desarrollo también la idea de que los verdaderos principios de las cosas eran axiomas matemáticos.

El resultado más importante por esta pasión por la demostración racional fue que, además de la física teórica, los griegos inventaron el ideal clásico de la matemática abstracta.

Los principios de la geometría

En Egipto y la Mesopotamia habían llegado a adquirir gran desarrollo las técnicas prácticas de cálculo. Por ejemplo, la geometría (geo= tierra, metria= medir) que consistía en un conjunto de reglas empíricas para ser usadas en la agrimensura. Así encontramos que los matemáticos babilonios comprendían la relación entre los lados de un triangulo rectángulo que midieron tres, cuatro y cinco unidades; pero nunca formularon el teorema general de Pitágoras, y menos aun dieron alguna demostración del mismo.

Fracción de una roca donde esta grabado el teorema.

La presentación de la matemática como un sistema de proposiciones generales y abstractas, unidas por el razonamiento lógico –como en los textos de geometría de la actualidad-, parece haber sido una invención de los griegos. Solo después de esta innovación fue posible examinar la matemática de una manera teórica y separada, aparte de toda aplicación práctica. La primera gran innovación intelectual de los griegos condujo de este modo, de manera natural a la segunda: el resultado más sorprendente de la fe de los griegos en la posibilidad de comprender el mundo en términos de principios racionales fue la invención de la matemática abstracta.

Los Pitagóricos

La más grandiosa ambición que concibieron fue explicar todas las propiedades de la naturaleza en términos exclusivamente aritméticos. Tal fue el objetivo de los Pitagóricos del sur de Italia.
Ellos sabían, por supuesto, que los fenómenos del cielo reaparecían de manera cíclica; por eso cuando descubrieron que también en la tierra algunas cosas se comportaban de manera tal que manifiestan relaciones numéricas simples, tal ambición recibió nuevo estímulo.

El ejemplo que mas los impresionaba era el del sonido emitido por una cuerda vibrante. Ellos descubrieron que el sonido se relaciona de manera simple con la longitud de la cuerda. Si la totalidad de la cuerda da un sonido de altura determinada, al reducir su longitud a la mitad produciremos la octava; si la dividimos por tres, el sonido producido estará una quinta por encima de esta última octava, y así sucesivamente. Las correlaciones entre el sonido original y sus “armónicos” siempre se expresan en magnitudes fraccionarias simples.

Los números de las cosas

Por eso, al principio, el programa de la filosofía matemática era buscar “los números en las cosas”. Y dado que los pitagóricos constituían una hermandad religiosa, para quienes el orden natural y el orden moral se hallaban ligados estrechamente, ellos pensaron que esta búsqueda no solamente los iba a conducir a explicaciones. Creían que si lograban descubrir las armonías matemáticas que hay en las cosas, podían también descubrir cómo ponerse en armonía con la naturaleza.

“Acorde planetario” de Kepler, basado en los conceptos pitagóricos.

De este modo, tanto las virtudes como los sonidos, las formas y los movimientos deberían recibir una interpretación aritmética. Hoy esto puede sonar extraño pero debemos recordar que los primeros griegos aún no habían recibido, obviamente, la influencia de las concepciones cristiana posterior acerca del alma; para ellos, el alma formaba parte del mundo natural. Un hombre que gozaba de salud espiritual era como un instrumento musical bien afinado.

Cualquiera que sea el juicio que nos merezca su ética aritmética, debemos admitir que tenían buenas razones para pensar que, tanto la astronomía como la acústica eran aritméticas en su esencia. El estudio de las fracciones simples, tal como la aprendemos hoy en la escuela, era llamado “música” hasta fines de la Edad Media.

Las influencias

¿Qué influencia ejercieron en el campo particular de la astronomía estos intentos por elaborar una concepción aritmética de la naturaleza? Los primeros pitagóricos como Anaxágoras, pudieron explicar el porqué de las observaciones de los babilónicos (cuyo registro tan detallado y exacto, los propios babilónicos, jamás pudieron explicar) ya que comprendieron que la luz de la Luna no es propia, y que los eclipses se producen cuando un cuerpo astronómico oscurece a otro. Pero fueron aun más lejos, y enseñaron que la Tierra es una esfera, y no un disco o un cilindro.

Alejandro de Afrodisias.

En este cuadro general podría objetarse que no hay nada especialmente aritmético, pero el siguiente comentario de Alejandro de Afrodisias (Siglo III a.C.) muestra donde aparece la aritmética.

Los pitagóricos afirmaban que “los cuerpos del sistema planetario giran alrededor del centro a distancias que se hallan relacionadas entre sí por proporciones matemáticas. Algunos cumplen sus revoluciones más rápidamente que otros. Los más lentos emiten sonidos más graves, a medida que se mueven, y los más rápidos emiten sonidos más agudos. Estos sonidos dependen de las proporciones de las distancias, que se hallan distribuidas de tal manera que el efecto combinado es armonioso… Si la distancia del Sol a la Tierra (por ejemplo) es el doble de la distancia de la Luna, la Venus tres veces mayor y la de Mercurio cuatro veces mayor, suponían que había proporciones aritméticas en el caso de los otros planetas igualmente, y que el movimiento de todo el cielo era armonioso. Los cuerpos más distantes (afirmaban) se mueven con mayor rapidez, los más cercanos se mueven más lentamente y los cuerpos que están entre los primeros y los segundos se mueven a velocidades que corresponden a las dimensiones de órbitas”. 

Representacion simple de la armonía de las esferas.

Obsérvese que en la cita anterior, las distancias planetarias se miden desde la Tierra. Alejandro era aristotélico y por eso usa un ejemplo geocéntrico para ilustrar el punto central de la teoría pitagórica.
Esta creencia pitagórica en que las distancias de los planetas del centro de sus órbitas cumple una ley matemática simple y “armoniosa” fue una convicción que Kepler sostuvo durante toda su vida, dos mil años más tarde, e inspiro todo el curso de sus investigaciones astronómicas.

De esta manera los pitagóricos cayeron en una suerte de “embrujo”, otorgando a ciertos números un carácter divino y fueron los primeros en captar la fascinación intelectual (o la diversión) que ofrece el mundo de los números. Independientemente de la astronomía y de la acústica hicieron una serie de descubrimientos acerca de las propiedades de los números enteros, muchas de las cuales demostraron geométricamente disponiendo guijarros para formar triángulos, cuadrados y rectángulos. Su figura sagrada era el tetraktys. Esta figura expresaba para ellos la ecuación aritmética en números 10 = 1 + 2 + 3 + 4 

El Tetraktys

Sobre el problema del programa

Como en este mundo todo tiene un “pero”, Pitágoras también tuvo el suyo, y más bien temprano que tarde, el programa pitagórico encontró, un serio inconveniente como resultado del cual cambio totalmente la dirección de las especulaciones griegas acerca de la naturaleza (e inspiró a Platón a dirigirse hacia esa nueva dirección).

En efecto descubrieron ciertas relaciones geométricas muy elementales que no se adecuaban a su esquema; este descubrimiento fue un duro golpe para ellos.

Los pitagóricos descubrieron que si el lado de un cuadrado tiene una longitud igual a un número entero de unidades, la longitud de la diagonal nunca será un número entero de estas mismas unidades. También podemos decir: la diagonal y el lado de un cuadrado son “inconmensurables”, es decir, no son medibles en unidades comunes.

Puesto que, por el teorema de Pitágoras, la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado igual a la unidad, es la raíz cuadrada de dos, podemos decir que no es posible expresar la raíz cuadrada de dos como una fracción simple de dos números enteros. No hay dos números enteros cuya división sea igual a la raíz cuadrada de dos; esta cantidad solo puede ser expresada numéricamente mediante el decimal infinito 1,4142….

Raiz cuadrada de 2 = 1,4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379907…….

Hasta el día de hoy los matemáticos llaman a la raíz cuadrada de dos, un número irracional. Esto constituye un eco lejano de la respuesta de los griegos a este descubrimiento, Enamorados de los números enteros, para ellos era doblemente irracional, por un lado no puede expresarse un numero como relación de dos y por el otro lado esta irracionalidad era una amenaza, una indicación de que toda su concepción del mundo carecía de sentido

Toda la concepción pitagórica del mundo se basaba en la idea de que todo se adecua a principios racionales y de que estos son la expresión de números enteros y de sus fracciones (o razones). Así la irracionalidad de la raíz cuadrada de dos amenazaba con quebrantar toda su fe.

La leyenda nos dice que trataron a ese descubrimiento como a una especie de esqueleto oculto en un placar, cuyo conocimiento por el resto de la humanidad es necesario evitar por todos los medios. Pues ¿de qué manera su enseñanza fundamental, según la cual los números enteros constituyen los principios esenciales de la naturaleza, podía sobrevivir a la revelación de que, de acuerdo con sus pautas, ni siquiera la geometría simple era totalmente racional?

Una raíz cuadrada Real……….

Aunque su primera reacción fue suprimir este descubrimiento, a la larga debieron enfrentarse con él, y los resultados de esto fueron beneficiosos. Este obstáculo para la elaboración de una teoría aritmética de la naturaleza no desacredito a la matemática (como ellos temían). En lugar de ello sirvió como estimulo para la creación de una teoría geométrica, que en realidad funcionó mucho mejor. Después de todo (pensaban los hombres), quizá los números son demasiado generales y abstractos para servir como principios universales de las cosas; las figuras y los modelos geométricos quizá podrían servir más efectivamente a la física.

Quizás, inspirado en este nuevo rumbo que tomo la teoría geométrica, Platón colgó un cartel en el frontispicio de su academia que versaba aproximadamente así: “Prohibida la entrada a aquel que no sepa geometría” y aunque Platón no era un matemático supo difundir e inspirar a otros en tan noble saber.

En este pasaje de “La República” Platón discute los objetivos y los métodos de la astronomía en los siguientes términos:

“Por eso, si queremos estudiar la astronomía de una manera que haga uso adecuado del intelecto innato del alma, debemos proceder como lo hacen en geometría – es decir, trabajando en problemas matemáticos- y no perder el tiempo observando los cielos”.

Pero esto, ya es harina de otro costal y será motivo de un nuevo relato

Fuente:

Info Observador

El Teorema de Tales (para niños) - II

–Oye, Sal, ¿esto de Tales no te recuerda a lo que nos contó Mati en la playa?
–¿A qué te refieres, Ven?
–A cuando nos enseñó a calcular la altura de la silla del socorrista.
–Ummmm… -el gafotas se quedó pensando –puede ser, sí…
–Efectivamente, Ven –confirmó Mati que acababa de llegar –Es la misma idea.
–¡Hola, Mati! –dijeron los dos hermanos a la vez.
–¡Guau! –dijo Gauss, no estaba para muchas conversaciones.
–Hola, chicos –respondió ella –La idea que usamos aquel día en la playa es la misma que, según cuenta Herodoto, usó Tales para medir la pirámide de Keops.
–¿La pirámide de qué? –preguntó Ven con los ojos apretados.
–La gran pirámide de Guiza, una de las siete maravillas del mundo, que está en Egipto –les contó Mati.

–¡Toma! –se asombró el pequeño –¿Y cómo lo hizo , Mati?
–Pues usando su teorema –dijo la pelirroja y le guiñó un ojo –Tales pensó que cuando su sombra midiera lo mismo que él, los rayos de Sol estarían formando un ángulo de 45 grados con su cabeza y con la cima de la pirámide, y por lo tanto, la altura de la pirámide sería igual a la sombra de la misma en ese instante.

–En ese caso –continuó Mati — si llamamos h a la altura de Tales y s a la sombra del mismo, cuando s sea igual a h, los rayos de Sol forman un ángulo de 45 grados en la cabeza de Tales. Y como los rayos de Sol son paralelos unos con otros, el rayo de Sol en la cima de la pirámide también forma 45 grados y por lo tanto H es igual a S. Sólo hay que medir S  para conocer H, porque estamos mirando triángulos semejantes.
–¿Cómo sabes que son semejantes, Mati? –preguntó Sal.
–Pues porque la suma de todos los ángulos internos de un triángulo es 180 grados –empezó a decir la gafotas –Como H y S forman 90 grados, igual que h y s, y el Sol forma 45 grados en la cabeza y en la cima, el ángulo que forma el Sol con el suelo en los 2 casos, tiene que ser de 45 grados; con lo cual, los tres ángulos son iguales.
–¡Toma. toma. toma! ¡Cómo mola! –Ven estaba entusiasmado.
–¿Y cómo podía Tales medir su sombra? –preguntó Sal receloso –Si se agachaba a medirla, ya no podía medirla… ¿Tenía un ayudante?
–Hay varias versiones –dijo Mati –Algunas hablan de que en realidad usó un bastón, pero hay otras que dicen que Tales pintó un círculo de radio su altura y se puso en el centro; cuando su sombra tocara el círculo, ya sabía que era tan larga como su altura.
–¡Es verdad! –Sal respiró tranquilo.
–¡Me encanta Tales! –gritó el pequeño saltando provocando que nuestro Anubis particular ladrara del susto.
–Pues no se vayan todavía, aún hay más –anunció cómicamente Mati.
–¿Qué más, Mati? –preguntó Sal intrigado.
–Pues, por ejemplo –anunció Mati –gracias a este teorema de Tales podemos dividir un segmento en el número de partes iguales que queramos. usando sólo regla y compás.
–¿¿Sí?? –preguntó el pequeño –¿¿Cómo??
–Ya veréis –dijo la pelirroja –pintamos un segmento en nuestro cuaderno, ¿en cuántas partes iguales queréis dividirlo?
–¡En 5! –gritó Ven.

–Bien –siguió ella –ahora pintamos otro segmento formando un ángulo, el que queramos, con el segmento AB. 

–¿Y ahora? –preguntó el gafotas.
–Ahora abrimos el compás, con la medida que queráis, y marcamos 5 veces sobre el segmento AC

–Ahora sólo tenemos que unir la última marca –les dijo Mati –con el extremo B…

–…y trazar paralelas a ese segmento por las otras 4 marcas –terminó de decir Mati.

–¡Toma, toma, toma! –el pequeño Ven estaba emocionado.
–Sí que mola, Tales, sí –corroboró el gafotas.

Fuente:

Mati

El Teorema de Tales (para niños) - I

–Vaya, parece que Mati hoy viene más tarde, Sal.
–¿Tienes tu regla y tu compás, Ven?
–Sí, claro –respondió el pequeño y añadió ilusionado –A ver  qué nos enseña hoy…
–El teorema de Tales, creo  –dijo el gafotas –Pero no estoy muy seguro de si se dice así…
–Pues sí, Sal –Mati acababa de llegar –Lo has dicho perfectamente, un teorema de Tales.

–¡Hola, Mati! –dijeron al unísono Sal y Ven, mientras Gauss se acercaba a las piernas de la recién llegada.
–¿Nos lo cuentas? –pidió Sal apresurado.
–Claro –respondió ella –Os contaré uno de los 2 teoremas de Tales.
–¿Sólo uno? –protestó Ven.
–Hoy uno –dijo la pelirroja –y otro día otro, ¿vale?
–Vale –terminó aceptando Ven.
–El teorema de Tales sobre triángulos semejantes–comenzó diciendo Mati –nos asegura que si dos rectas cualesquieras se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.
–¿Qué son triángulos semejantes, Mati? ¿Que se parecen mucho?
–Más o menos, Ven –respondió Mati —Dos triángulos son semejantes si tienen los tres ángulos iguales.
–¡Ajá! –exclamó Ven–Entonces son exactamente iguales.

–No, Ven –le corrgió Mati –Pueden tener los mismos ángulos y ser de diferentes tamaños, mira:

–Estos 2 triángulos –continuó Mati –Tienen los 3 ángulos iguales y uno es mayor que el otro, ¿no?

–Imposible que tengan los mismos ángulos… –dijo Ven desconfiado.

–Ya verás –respondió ella –Podemos poner el ángulo A’ sobre A, el B’ sobre B y C’ sobre C, y coinciden.

–¡Toma! Es verdad –terminó aceptando el pequeño.

–Pues bien, como os decía, el teorema de Tales nos asegura que si dos rectas cualesquieras se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra. Vamos a verlo con un dibujo: dibujamos estas 3 rectas rojas paralelas y dos rectas negras que la cortan.

–Por el teorema de Tales, lo que sabemos es que si dividimos la longitud del segmento AB entre la longitud del segmento A’B’, obtendremos el mismo valor que al dividir la de BC entre B’C’ y que al dividir la del segmento AC entre la del A’C’.

–Y eso, ¿qué tiene que ver con triángulos semejantes? –preguntó Sal arrugando su naricilla.

–Si aplicamos este teorema a triángulos semejantes como los 2 que hemos visto antes –dijo Mati — Lo que tenemos es que los lados son proporcionales.

–Ya veo… –murmuró el gafotas.

–Y yo… –dijo Ven, aunque no parecía muy convencido.

–Por eso –continuó ella –cuando el otro día teníamos esta construcción

–…teníamos dos triángulos semejantes, unidos en el punto A –les dijo –Y el  resultado de dividir el lado verde, de longitud 8, entre la de el lado azul, de longitud 4, en el mayor de los dos triángulos, es igual al resultado de dividir el segmento AB entre el lado de longitud 1  en el menor de los dos triángulos.

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –dijo Ven.

–Ah, claro… –se asombró Sal.
–Además –les propuso la pelirroja –os propongo un pequeño truco  para que podáis explicar el Teorema de Tales a vuestros amiguitos…

–¡Venga! –interrumpió Ven.

–Necesitamos 4 hojas de colores –les dijo –Y las colocamos así

–Ahora –continuó –las cortamos según dos líneas, con la dirección que queramos…

–Si separamos las hojas –les dijo Mati –tendremos 4 triángulos diferentes, le ponemos nombre a sus ángulos.

–Sabemos que los ángulos marcado con las letra B₁, B₂, B₃ y B₄ son iguales porque estaban unidos por ahí, ¿no? –les preguntó.

Los niños asintieron con la cabeza.

–Pues bien, pedidle a vuestros amigos que pongan los triángulos uno encima de otro pegados por los ángulos A₁, A₂, A₃ y A₄ , ya veréis…

–¡Claro! ¡Son semejantes! –dijo Sal.

–Sí –corroboró la pelirroja –Y si los pegáis por los ángulos C₁, C₂, C₃ y C₄ , también.

–¡Cómo mola, Mati! –Sal estaba entusiasmado.

–Voy a buscar cartulina de colores –dijo Ven.

–Estupendo –añadió Mati –Otro día seguiremos hablando de Tales…

Tomado de: 

Mati