Fractales con latas de gaseosa

Encontré este post en Variable de Mates

1-Fractales

Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada o aparentemente irregular, se repite a diferentes escala. A continuación veremos un fractal particular el triangulo de Sierpinski.

2-Triangulo de Sierpinski

El matemático polaco Waclaw Sierpinski introdujo este fractal en 1919.

3-Construcción por iteración

Dibujamos un triangulo equilatero de lado unidad(iteración n=0). Seguimos encontrando el punto medio de cada lado y construimos un triángulo invertido (iteración n=1),el lado del triángulo será 1/2 de la unidad.

• Ahora (iteración n=2) repetimos el proceso con cada uno de los tres triángulos de lado 1/2 que nos quedan. Aparecen tres triángulos invertidos de lado 1/4.

Iteración 3

http://sabrinamatematica.blogspot.com.es/2013/04/triangulo-de-sierpinski.html

Podemos deducir:

• 1 triángulo de 3 latas
• 

• 1 triángulo de 9 latas (formado por 3 triángulos de 3 latas)

• 1 de 27 latas (formado por 3 triángulos de 9 latas)

• 1 de 81 latas (formado por 3 triángulos de 27 latas)

• 1 de 243 latas (formado por 3 triángulos de 81 latas)

• 1 de 729 latas (formado por 3 triángulos de 243 latas)

4-Es una sucesión

Escribe el número de latas que necesitaré empezando por 3, ……

La sucesione pueden ser aritméticas si siempre se suma un número o geométricas si siempre se multiplica, ¿esta sucesi´on será aritmética o geométrica?

5-Calculo de las latas que necesitaremos

¿Aceptas el reto? 

Hasta la próxima amigos 

Lic. Leonardo Sánchez Coello 
leonardo.sanchez.coello@gmail.com

Pronto: El Gran Museo Egipcio

El Gran Museo de Egipto se ubicará a dos kilómetros de la meseta de Giza, donde se encuentran las tres grandes pirámides y la esfinge.

Heneghan Peng Architects es la firma irlandesa responsable del diseño arquitectónico del Gran Museo de Egipto. ¿Observas algo singular en su fachada?

Efectivamente, se trata de una figura fractal, el denominado triángulo de Sierpinski descrito por el matemático polaco Waclaw Siepinski en 1915.

En la fachada -un gran muro con cierta pendiente construido con piedras translúcidas grabadas con estos motivos fractales- de El Gran Museo Egipcio se observan seis iteraciones en esta división recursiva en triángulos definida por Siepinski.

El museo albergará objetos de los 7000 últimos años de la historia de Egipto.

Puede verse más información en la página de Heneghan Peng Architects.

Artículo publicado en el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología (ZTF-FCT) de la Universidad del País Vasco ztfnews.wordpress.com

Tomado de:

DivulgaMat

Los fractales y la naturaleza

En 1975, Benoît Mandelbrot puso nombre a una de las curiosidades matemáticas existentes, ya desde principios del siglo 20: los fractales. Estos no son más que objetos geométricos cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas.

El ejemplo básico más clasico es la llamada curva de Koch, descrita por  el matemáticosueco Helge von Koch en 1904 en un artículo titulado “Acerca de una curva continua que no posee tangentes y obtenida por los métodos de la geometría elemental”, y que podemos ver en la siguiente figura:

 
Resultaría imposible entender los fractales, separados de la teoría del caos, y que comenzó a definir  Edward Lorenz en 1963, a través del “atractor de Lorenz” y del archiconocido “efecto mariposa“. Todo empezó cuando en una determinada ocasión quiso volver a echar un vistazo a una simulación que ya había hecho llevándola más lejos en el tiempo. En vez de comenzar desde el principio y esperar a que el ordenador llegara al intervalo que le interesaba, introdujo por el teclado los valores que ya tenía apuntados en el papel. Dejó la máquina trabajando y se fue a tomar un café.

El clima atmosférico se describe por 3 ecuaciones diferenciales bien definidas. Siendo así, conociendo las condiciones iniciales se podría conocer la predicción del clima en el futuro. Sin embargo, al ser éste un sistema caótico, y no poder conocer nunca con exactitud los parámetros que fijan las condiciones iniciales (en cualquier sistema de medición, por definición, siempre se comete un error, por pequeño que éste sea) hace que aunque se conozca el modelo, éste diverja de la realidad pasado un cierto tiempo (véase Horizonte de predicciones).
(Fuente: Wikipedia).

Pero no es objetivo de este post hacer una larga aproximación matemática a estos conceptos, si bien se puede hacer siguiendo los enlaces mencionados anteriormente. Nuestro objetivo en este artículo es mostrar como lo que aparece inicialmente como una curiosidad matemática es, realmente, una forma de trabajar de la naturaleza, que nos ofrece fractales de múltiples formas.

El ejemplo más conocido lo constituyen los copos de nieve. Son algo así como los fractales por naturaleza.

Pero en la naturaleza tenemos más ejemplos cotidianos, como el de los helechos que pueblan nuestros montes.

Y también algo más exóticos, como el de la curiosa verdura Romanescu.

Como vemos, los fractales forman parte de nuestra vida y de un entorno que gracias a la ciencia conocemos cada día mejor.

¿Conoceis otros ejemplos de fractales que se den en la naturaleza?

 

Tomado de:

 

Enamorado de la Ciencia

Sabe usted... ¿por qué los relámpagos son fractales?

«Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos y la corteza del árbol no es suave, y tampoco viaja el rayo en línea recta». Así abre Benoît Mandelbrot, uno de los genios de la segunda mitad del s.XX, su libro-manifiesto «La geometría fractal de la naturaleza». Mandelbrot formuló el concepto de fractal a partir de anteriores intuiciones de otros científicos. Vemos que si cortamos una coliflor en trozos cada uno de ellos parece una coliflor más pequeña, que cada trozo de nube parece una nube en pequeño, o que un pico de una montaña parece una montaña en miniatura. Este fenómeno se conoce como autosimilaridad, la parte es similar al todo. 

 

Al igual que podemos representar un pino con una de sus ramas (pongamos, en la decoración navideña), si nos fijamos en una parte del rayo, ésta es igual en su aspecto al rayo en su conjunto. Bajo este punto de vista, el rayo es fractal. Un rayo o un relámpago se producen cuando existe un voltaje tal en la atmósfera que es capaz de romper la capacidad aislante del aire. Esta ruptura es una especie de «grieta» instantánea que surge en el aire, a través de la cual se abren camino las cargas eléctricas. Esta fractura del aire es similar al agua que se abre camino montaña abajo o a las raíces o las ramas de un árbol. En este proceso se van formando pequeñas «grietas» o «arroyos» eléctricos en el aire, caminos que tienen un comportamiento fractal. 

Más aún, cuando se habla de fractales se puede hablar de dimensiones «intermedias»: si una recta tiene dimensión 1, un plano tiene dimensión 2, y un cubo tiene dimensión 3, un objeto fractal «rellena» el espacio de manera que se «queda» en una dimensión no entera, con decimales. Así, igual que se podría decir que un brécol tiene dimensión fractal 2,66 o que la superficie del cerebro humano tiene dimensión 2,79 y los pulmones 2,97, un rayo tiene una dimensión aproximada de 1,5. Y este número, mayor que 1, nos muestra que la trayectoria de un rayo rellena más el espacio que la de una curva ordinaria.

Fuente:

ABC Ciencia

Dialéctica en el Caos, Fractales y Razón Dorada

Tres de las más grandes revoluciones científicas del siglo XX –la Teoría de la relatividad, la física cuántica y la teoría del Caos- han fortalecido, cada una a su manera, la concepción filosófica de la naturaleza sostenida por Engels en su obra Dialéctica de la naturaleza. Se trata de la concepción del mundo con la cual Marx realizó el estudio más serio acerca de la dinámica del capitalismo. El materialismo dialéctico no es sólo un método de análisis para estudiar al capitalismo, sino, como señalaba Engels, una concepción general del mundo: la naturaleza, el pensamiento y la sociedad que encuentra sus raíces en el maravilloso pensamiento del antiguo filósofo griego Heráclito y en el método dialéctico de Hegel.

 

En Razón y revolución Ted Grant y Alan Woods han puesto al día la obra de Engels, en mi texto “El materialismo dialéctico y la ciencia”, siguiendo la estela dejada por Ted Grant y Alan Woods, he tratado de mostrar cómo estas revoluciones científicas muestran un universo en constante cambio y movimiento, a través de contradicciones y con un desarrollo de complejidad creciente. En este texto pretendo concentrarme en la teoría del Caos, los fractales y el llamado “número dorado”; temas todos vinculados y que, además de interesantes y apasionantes, muestran la estructura contradictoria de la naturaleza y -especialmente el número áureo-  parecen señalar la auto-organización de la naturaleza y la estructura subyacente espiral oculta en muchas estructuras (incluidas las fractales). Para ilustrar el texto me he auxiliado - además de literatura de divulgación científica- de imágenes, ilustraciones y videos obtenidos del internet a las cuales les debo el lado gráfico de este trabajo. Espero que el tema resulte tan interesante para el lector como lo es para mí.

Teoría del Caos

La Teoría del Caos -desarrollada en los años sesenta en los trabajos de los científicos soviéticos A. Kolmogorov, V. Arnold; S. Smale y E. Lorenz en EUA; D. Ruelle y R, Thom en Francia-señala que la dinámica de los fenómenos complejos –fenómenos que involucran más de tres variables- no se pueden describir y entender con la matemática euclidiana (es decir, con reglas, escuadras y compases), ni con la mecánica de Newton. Fenómenos como el movimiento pendular, el flujo turbulento, la dinámica del mundo subatómico, los ruidos de fondo, el goteo azaroso en la bañera, etc. son fenómenos que combinan el caos y el orden; son impredecibles pero, al mismo tiempo están determinados. El “azar” y el orden están dialécticamente vinculados. Esta maravillosa teoría nos enseña que el movimiento lineal y predecible se transforma más allá de cierto punto en un movimiento caótico e impredecible y que, si bien, es imposible determinar el comportamiento de cada partícula que conforma el movimiento caótico, es perfectamente posible predecir la estructura subyacente del Caos como un sistema. Pero esto no es todo: el Caos hace posible el surgimiento de nuevos órdenes lineales que expresan una nueva etapa del desarrollo. Se trata del replanteamiento inconsciente en términos de la ciencia moderna de una concepción dialéctica del mundo. Tenemos en esta teoría todas las llamadas “leyes de la dialéctica”: Unidad y lucha de contrarios, paso de lo cuantitativo a cualitativo y viceversa, y negación de la negación.

Ejemplifiquemos concretamente esta idea con el asombroso patrón de desarrollo –“Diagrama de bifurcación”-descubierto por R. May en la década de los setentas en la dinámica de población de algunos animales, insectos y bacterias.  R. May encontró que cuando algunos crustáceos tenían una tasa de reproducción menor a 0.6 la población desaparece al cabo de pocos años; en este caso la tasa es menor a la capacidad de la especie para compensar los especímenes que mueren. Cuando la tasa de población es superior a 0.6 y hasta una tasa de 2.7, la población aumenta progresivamente quedando estabilizada en una cantidad determinada. Estamos ante el comportamiento de un patrón perfectamente predecible y lineal. Pero con una tasa de crecimiento mayor a 3 el patrón lineal se bifurca en dos cifras que se alternan cada año; para una tasa mayor a 3.45 la tasa población se bifurca en 4 cifras que se alternan; en 3.569 la tasa vuelve a bifurcarse en ocho cifras, en 3.56 tenemos 16 cifras y así sucesivamente con cada pequeño digito que alteremos. En este punto nos encontramos al borde del Caos, la dinámica es tan inestable que cualquier pequeño cambio provocará un salto de estado. Lorenz se refirió al pequeño cambio que provoca el caos como “El efecto mariposa”. En dialéctica se le llama transición de cantidad a calidad. Así en 3.56999 entramos en una fase caótica de la dinámica poblacional: ya es imposible determinar un número exacto para la población la cual varía caóticamente dentro de cifras en un rango que la vez está determinado. Abajo la gráfica que representa esta fascinante dinámica.

En esta gráfica podemos observar que dentro del periodo caótico del desarrollo podemos encontrar pequeñas franjas blancas que son “ventanas de orden dentro del Caos”, es decir, tasas en donde la dinámica de población vuelve a ser lineal y ordenada describiendo en pequeña escala el patrón ya descrito: se estabiliza, se bifurca y que se vuelve a bifurcar hasta dar lugar a un nuevo caos. El orden genera caos, el caos tiene un orden y genera nuevos órdenes.

Este, por supuesto, no es el único patrón que describe el paso del orden al caos. Las formas obedecen al tipo de dinámica estudiada, así se conocen transiciones “casi periódicas”, “cascadas subarmónicas”, “intermitencias”, etc. Estos patrones no son exclusivos de la dinámica poblacional. Se han encontrado patrones equivalentes en los ritmos cardiacos cuando se vuelven inestables en las arritmias y caóticos en los ataques cardiacos; los estados mentales, el patrón del encefalograma parece ser más caótico y fractal mientras la persona está más alerta. ¡La consciencia humana sería imposible sin el caos y la contradicción! Es posible que esta dinámica se manifieste también en los ciclos económicos que pasan de estables a inestables durante las crisis capitalistas. Ya Marx había señalado que la dinámica del capitalismo no es lineal, es contradictoria y está llena de inestabilidades y caos intrínseco.

La dialéctica de los fractales

Hemos señalado que el Caos tiene un orden que depende del sistema caótico de que se trate. Hemos observado, en el caso de la dinámica poblacional, que en el caos se encuentran ventanas de orden que repiten la estructura inicial en pequeña escala. Esas pequeñas ventanas de orden dentro del caos pueden ampliarse cuantas veces se quiera encontrando los mismo patrones una y otra vez. El caos tiene una estructura fractal: una estructura geométrica no lineal autosimilar; repite la misma estructura a cualquier escala que la miremos. El orden del caos se puede representar por fractales, estructuras contradictorias, son un verdadero asalto a la lógica formal, verdaderos “monstruos matemáticos”. Para explicar hasta que punto estas estructuras son dialécticas veamos algunos de los fractales más famosos y conocidos.

En 1828 el botánico ingles Robert Brown describió en curioso movimiento en zigzag que se conoce en la actualidad como “movimiento browniano”. Una partícula de polen suspendida en agua o en polvo  suspendido en el aire (suspensión coloidal) describe este asombroso movimiento irregular. Si trazamos los puntos por los que pasa una mota de polvo por el espacio en un momento determinado (1 minuto por ejemplo) y unimos los puntos de manera imaginaria, obtendremos una estructura en zigzag como la de la imagen de abajo. Si nos preguntamos qué paso entre el punto 1 y 2 representado en nuestro dibujo por una recta, trazando el movimiento con puntos en un inérvalo de tiempo más corto (por ejemplo 1 segundo) obtendremos, en ese nuevo intervalo, otra estructura en zigzag similar a la antes mencionada. El fenómeno se repite hasta el infinito para tiempos más cortos. Se trata de un fractal porque la estructura se repite en diversos intervalos de tiempo. El movimiento browniano nos obliga a aceptar que la mota de polvo está en un tiempo finito en infinitos puntos. ¡Un movimiento infinito en un tiempo finito! Este tipo de contradicciones ya habían sido expresadas en las paradojas de Zenón, solo que Zenón las exponía para demostrar que el movimiento es contradictorio y, por tanto, no debía existir como señalaba su maestro Parménides (precursor de la lógica formal). La única manera de resolver las contradicciones de Zenón es aceptando la contradicción misma.

Otro de los fractales más antiguos y “sencillos” es el ideado y, al mismo tiempo, descubierto por Cantor en 1883. Se trata de un monstruo matemático que ni el mismo Cantor creía que pudiera existir: se trata de una estructura autosimilar (fractal) que tiene infinitos puntos pero cuya longitud tiende a cero. Es difícil concebir algo así. En la escuela nos enseñaron que la recta se define como la suma de los puntos, la lógica formal nos señala que mientras una línea contenga más puntos su longitud será mayor. Se dice que el polvo de Cantor es más que una colección de puntos pero menos que una línea. Por un lado Cantor compuso este fractal, pero al mismo tiempo, estaba descubriendo, sin saberlo, la estructura fractal de fenómenos como los finísimos anillos de Saturno, las fluctuaciones del precio del algodón, hasta las variaciones del nivel del río Nilo durante los últimos dos mil años¹.

Posteriormente el matemático sueco H. Koch construyó en 1904 una curva infinitamente irregular conocida como “curva de Koch”. La estructura es asombrosa porque es finita (por ejemplo cabe en una hoja de papel) pero es infinita al mismo tiempo. Si intentamos medir el perímetro de esta curva encontraremos una cifra aproximada; pero si observamos con lupa observaremos irregularidades o protuberancias que no habíamos medido, utilizando un instrumento de medición más fino obtendremos una nueva aproximación y así, hasta el infinito. La dimensión de esta curva es fraccional (dimensión Hausdorff), lo que quiere decir que se aproxima a un número sin llegar nunca a él. La curva de Koch está lejos de ser una simple curiosidad para entretenerse de la misma forma en que los niños ocupan el tiempo hurgando su nariz. El perímetro de nubes, continentes, grietas, fallas, la membrana celular, la membrana nasal, etc. son tan irregulares y contradictorios como la increíble curva de Koch.

La “empaquetadura de Sierpinski” descrita por el matemático polaco Waclaw Sierpinski en 1916, por ejemplo, es un triángulo equilátero infinitamente agujereado con espacios en blanco -en forma de triángulo invertido inserto- en el triángulo negro inicial; se repite, sucesivamente, el proceso de “agujereado” con los 4 triángulos negros que resultan en cada operación. El resultado es una estructura cuya suma de los perímetros de los triángulos negros es infinito, mientras que su área tiende a cero. Nuevamente se desafía a la lógica formal puesto que en la matemática euclidiana el área aumenta en proporción al perímetro. Aquí tenemos lo contrario.  A este tipo de área se le conoce como área Sierpinski.

La versión tridimensional de este monstruo es la “esponja de Menger” pirámide infinitamente agujereada con espacios  piramidales. Fue compuesta por el matemático vienés Karl Menger en 1926, cuando investigaba la “dimensión topológica” (matemática no euclidiana). El área superficial de la pirámide es infinita mientras que el volumen tiende a cero. El cerebro tiene volumen “Menger”, la Torre Eiffel es una versión tosca del mismo fractal. Los átomos, por ejemplo, parecen estar al borde de la no existencia y, al mismo tiempo, son uno de los niveles básicos de la existencia. De acuerdo a los maravillosos programas sobre ciencia de Enrique Ganem, para imaginar la evanescente existencia del átomo podemos hacer la siguiente representación mental: si el átomo de hidrógeno fuera del tamaño de la Ciudad de México el núcleo de protones sería del tamaño aproximado de la plancha del Zócalo, los protones serían del tamaño de un bolón de Básquet Bol; y el electrón sería del tamaño del punto de una “i” situada a las afueras de la Ciudad, protón que está y no está: se mueve a kilómetro y medio por segundo dentro de su nivel de energía en un movimiento azaroso pero determinado por la constante Plank. Así de contradictoria es la dialéctica entre el ser y no ser.

Observemos un fascinante viaje al interior de una esponja de Menger. Se entiende por qué se usan las dimensiones fractales para los efectos especiales de las películas de Hollywood.

Durante mucho tiempo los fractales no fueron considerados más que como “casos patológicos” o curiosidades sin interés; no fue sino hasta el desarrollo de los procesadores en los años sesenta y setenta que los científicos pudieron construir estructuras que implicaban una sucesión infinita de operaciones matemáticas encontrando, con ello, patrones fractales asombrosos. Terminemos la exposición de fractales con el que generó, a finales de los años setenta, Benoit Mandelbrot, ingeniero de la IBM, estudiando las propiedades de los Conjuntos de Julia; se trata de uno de los fractales más asombrosos conocidos. El fractal de Mandelbrot es un fractal mucho más complejo que los fractales “lineales” que se repiten a sí mismos hasta el infinito. Se trata de un fractal irregular porque las estructuras infinitas que contiene se repiten hasta cierto punto y dan origen a nuevas estructuras y patrones infinitos que, al mismo tiempo, siguen conteniendo de forma subordinada, en alguna de sus infinitas protuberancias, al fractal original. En dialéctica a esto se le conoce como “negación de la negación”.

Lea el artículo completo en:

Lucha de Clases

El infinito es posible: juego de cubiertos

Una lujosa mezcla de estilo clásico,  elegantes siluetas de vanguardia y recubrimiento antibacterial inoxidable.

 

Orgullosamente presentamos nuestro último diseño de cubiertos, que combina siglos de trabajo de artesanos con lo más avanzado del conocimiento científico. Cada pieza del conjunto incluye nuestro logo de Julia y la inscripción El infinito es posible.

La figura de arriba fue generada por un usuario de Fractal Forums, a partir de una imagen de la tienda por internet Alibaba.com y modificada con el sofware libre GIMP, según explica el mismo autor en los comentarios del foro. El mismo también ha presentado una exposición de figuras fractales, tanto online como en la instalaciones de la Facultad de Matemáticas e Informática de la Universidad de Sofia: Seduction.

La figura incluye un cuchara autocontenida recursivamente, un tenedor de Cantor y un cuchillo de Koch, además de un conjunto de Julia en cada mango.

Fuente:

Series Divergentes

El universo no es un fractal, según un nuevo estudio

Artículo publicado por Natalie Wolchover el 22 de agosto de 2012 en SPACE.com

Las estrellas se apiñan en galaxias, las galaxias se unen para formar cúmulos, y los cúmulos se agolpan en supercúmulos. Los astrónomos que estudian los volúmenes cada vez mayores del cosmos han quedado sorprendidos una y otra vez al descubrir la acumulación de materia a escalas cada vez mayores.

Esta distribución de materia, como si fuesen matrioskas, les ha llevado a preguntarse si el universo es un fractal: un objeto matemático que tiene el mismo aspecto en cualquier escala, ya te acerques o te alejes. Si el patrón fractal continúa sin importar lo lejos que vayas, esto tendría profundas implicaciones para la comprensión del universo por parte de los científicos. Pero ahora, un nuevo estudio astronómico refuta esta idea.

Fractal © by paul mccoubrie

El universo tiene apariencia fractal a muchas escalas de distancia, pero en cierto punto, la forma matemática colapsa. Ya no hay más matrioskas – es decir, cúmulos de materia que contengan menores cúmulos de materia – mayores de 350 millones de años luz.

El hallazgo procede de Morag Scrimgeour del International Centre for Radio Astronomy Research (ICRAR) en la Universidad de Australia Occidental en Perth, y sus colegas. Usando el Telescopio Anglo-Australiano, los investigadores fijaron la posición de 200 000 galaxias que llenan un volumen de 3000 millones de años luz de lado. El estudio, conocido como WiggleZ Dark Energy Survey, estudió la estructura del universo a unas escalas mayores que ningún otro estudio anterior.

Los investigadores encontraron que la materia se distribuye de forma extremadamente equitativa por el universo en escalas de distancia extremadamente grandes, con pocas señales de patrones fractales.

Scrimgeour explica el proceso que llevó a esta conclusión. “Colocamos esferas imaginarias alrededor de galaxias en el [estudio WiggleZ] y contamos el número de galaxias en cada esfera”, explica. “Queríamos comparar esto con una distribución homogénea aleatoria” — una en la que las galaxias están dispersas equitativamente por el espacio —”por lo que generamos una distribución aleatoria de puntos y contamos el número de galaxias aleatorias dentro de las esferas con el mismo tamaño”.

Los investigadores compararon entonces el número de galaxias de WiggleZ dentro de las esferas con el número de galaxias aleatorias dentro de esferas similares. Cuando las esferas contenían pequeños volúmenes de espacio, las galaxias de WiggleZ estaban mucho más agrupadas dentro de ellas respecto a las galaxias aleatorias. “Pero conforme se agrandaban las esferas, esta proporción tendía a 1, lo que significa que contamos el mismo número de galaxias en Wigglez que en galaxias aleatorias”, comenta Scrimgeour.

Y esto significa que la materia se distribuye de forma homogénea por el universo en grandes escalas de distancia y, por tanto, que el universo no es un fractal.

Si tuviese forma fractal, “implicaría que toda nuestra descripción del universo podría ser incorrecta”, apunta Scrimgeour. De acuerdo con la historia aceptada del universo, no hay suficiente tiempo desde el Big Bang, hace 13 700 millones de años, para que la gravedad genere unas estructuras tan grandes.

Además, la suposición de que la materia está distribuida homogéneamente a lo largo del universo ha permitido a los cosmólogos modelar el universo usando la teoría general de la relatividad de Einstein, que relaciona la geometría del espacio-tiempo con la dispersión uniforme de materia en su interior.

Así pues, ambas suposiciones están a salvo.

El artículo que detalla los hallazgos aparecerá en un futuro ejemplar de la revista Monthly Notices of the Royal Astronomical Society Journal.

Fuente:

Ciencia Kanija

Un sueño fractal ¡en 3D!

Magnífico el vídeo sobre fractales que os traigo hoy. Se titula Kleinian Dream y es uno de esos vídeos que uno no puede parar de mirar desde que comienza hasta que termina. Poco más de cuatro minutos de vídeo completamente hipnóticos que provocan sensaciones que solamente los fractales son capaces de producir.

Según la descripción del vídeo, representa

A journey through Kleinian 3D fractal worlds.

Es decir, un paseo a través de los mundos del fractal 3D de Klein. No os hago esperar más, aquí lo tenéis:

 

Para quienes se lo pregunten, no he conseguido encontrar información sustanciosa de este fractal, por lo que agradeceré que si alguien la tiene nos lo comente.

Y para los nostálgicos, para mí el conjunto de Mandelbrot sigue siendo el rey del mundo de los fractales en lo que a vídeos atrayentes e hipnotizantes, de esos que puedes estar viendo durante varios minutos con la boca medio abierta.

Fuente:

Gaussianos

Fractales: Construyendo una figura de Sierpinski

En un post anterior tratamos sobre el fallecimiento del matemático Mandelbrot, conocido como el padre de la geometría fractal. En esta oportunidad veremos como introducir a los niños en el conocimiento de los fractales. Y lo haremos a nuestro estilo, o sea de manera sencilla, divertida y fascinante. Uno de los fractales más conocidos es la figura de Sierpinski...

Un fractal es una figura autosemejante , esto es ,una parte de la figura es semejante a la figura total

Ahora veremos de que manera podemos realizar su construcción empleando material concreto.

Construyendo una figura de Sierpinski



Paso 1: El primer paso no reviste ninguna dificultad: consiste simplemente en pegar tres botes de refresco formando un triángulo equilátero. Pero, ¡ojo! hay que tener la precaución de echar la silicona en la cantidad y el lugar adecuados. Después los sujetaremos con una goma elástica para evitar que se nos muevan antes de secarse la silicona.

(3 botes utilizados)

PASO 2: Para el segundo paso necesitamos tres “triángulos” del paso 1 que estén perfectamente secos. Hay que pegarlos de una determinada manera formando otro “triángulo” equilátero.

+ + =

(9 botes utilizados)

• Hasta aquí la cosa es más bien fácil, pero en el 3^er paso ya se complica. Y no digamos nada del paso 4, que hubo que hacerlo apoyado en el suelo para no tener que moverlo recién pegado.

PASO 3: Necesitamos tres “triángulos” del paso 2 ya secos para, siguiendo la línea del paso anterior, pegarlos formando un nuevo “triángulo” equilátero. Obtenemos así un “triángulo” con ocho botes por lado que habrá que mover con sumo cuidado si está recién pegado, para que no se desmorone.

+ + =

(27 botes utilizados)

PASO 4: Como vemos la dinámica es siempre la misma: partir de tres triángulos del paso anterior –perfectamente pegados y secos– para pegarlos después, aunque no de cualquier modo, formando un nuevo “triángulo” equilátero. Aquí empleamos ya… ¡81 botes!

+ + =

(81 botes utilizados)

Alberto de U. P. A. se convirtió en el especialista de los pasos 3^o y 4^o, que son los que revisten mayor dificultad.

• En el porche del instituto se realizaron todos los pasos del 1^o al 4^o. Este último paso se tomó como “base” para la construcción de los restantes, llegando así únicamente hasta piezas de 81 botes que luego podrían transportarse fácilmente.

PASOS DEL 5^o AL 7^o: Las restantes etapas se hicieron tomando como base la pieza obtenida en el paso 4 y, exceptuando alguna prueba de montaje que hubo que hacer, ya se llevaron a cabo en el lugar de la ubicación definitiva (el escenario del antiguo Mercado Público de La Unión, en España)

Y estos fueron los resultados:

Si deseas introducirte en el interior de un fractal dale click aquí.

Más detalles del proceso en este enlace

Una manera de explicar los fractales sin tener que juntar tantas latas (videos en inglés, pero bastante legibles):

Conocer Ciencia: Ciencia sencilla, ciencia divertida, ciencia fascinanate...

Leonardo Sánchez Coello
conocerciencia@yahoo.es

Mandelbrot, el matemático que creo la geometría fractal

El conjunto de Mandelbrot en…un campo

Benoit Mandelbrot, matemático polaco, falleció, como comentábamos el otro día, el pasado 14 de octubre, aunque hasta el día 16 no nos enteramos de esta triste noticia. Mandelbrot es, como a mí me gusta decir, el último grande, una de las pocas personas que ha sido capaces de crear una nueva rama de las matemáticas, la geometría fractal, con gran interés tanto por la teoría como por las aplicaciones de los resultados obtenidos.

Notas biográficas

Benoit Mandelbrot nació en Varsovia el 20 de noviembre de 1924 dentro de una familia con cierta tradición académica (aunque su padre se ganaba la vida con la compra-venta de ropa). Fueron dos tíos suyos quienes se encargaron de introducir a Mandelbrot en el mundo de las matemáticas. Uno de ellos, Szolem Mandelbrojt, se encargó de su educación cuando la familia Mandelbrot emigró a Francia en 1936.

El hecho de que Mandelbrot estudiara en la época de la Primera Guerra Mundial, entre otras cosas, provocó que su educación no fuera convencional. El propio Mandelbrot atribuye gran parte de su éxito matemático a esta educación poco convencional, ya que ello le permitió pensar de forma distinta a la que se le suele inculcar a quien sigue la educación habitual. Su gran visión e intuición geométrica también contribuyeron a ello.

Después de estudiar en Lyon y permanecer un día en la École Normale de París, Mandelbrot comenzó sus estudios en la École Polytechnique en 1944 bajo la dirección de Paul Lévy, quien también ejerció gran influencia en él. Más adelante se doctoró en la Universidad de París y viajó a Estados Unidos, donde, entre otras cosas, fue el último estudiante de postdoctorado de John Von Neumann. Echando un ojo a los mentores de Mandelbrot podemos ver que la lista no tiene desperdicio, si uno era bueno el siguiente era mejor.

A lo largo de su vida fue profesor en la Universidad de Harvard y en la Universidad de Yale (donde terminó su carrera), entre otras instituciones. Pero posiblemente fue su trabajo en IBM en el Centro de Investigaciones Thomas B. Watson de Nueva York lo que más le ayudó en sus estudios, ya que allí le brindaron libertad total en sus investigaciones.

¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña?

Benoit Mandelbrot es el padre de la denominada Geometría Fractal, una nueva rama de la geometría que podemos decir que estudia los objetos tal como son. Mandelbrot pensó que las cosas en la realidad no son tan perfectas como las muestra la geometría euclídea: las esferas no son realmente esferas, las líneas no son perfectamente rectas, las superficies no son uniformes… Ello le llevó a estudiar estas imperfecciones, derivando estos estudios en la creación de esta nueva rama de la geometría.

Las primeras ideas sobre fractales de Mandelbrot fueron publicadas en la revista Science en 1967 a través de su artículo ¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña? En él da ciertas evidencias empíricas de que la longitud de una línea geográfica (como por ejemplo, la costa de Gran Bretaña) depende de la regla con la que la midamos. En líneas generales, la costa tendrá mayor longitud cuanto menor sea la unidad de medida utilizada, esto es, cuanto más cerca estemos mirando a la costa mayor longitud tendrá.

También habla de ciertas curvas autosemejantes, es decir, curvas que son semejantes a una parte de ellas mismas. Por ejemplo, las propias costas son un ejemplo de ello (no un ejemplo exacto, pero sí lo suficientemente aproximado como para comprender de qué estamos hablando), ya que la estructura quebradiza de las mismas hace que si vemos una porción de costa y después hacemos zoom en esa zona, lo que vemos en ese momento tiene una forma semejante a la primera porción que observamos.

El caso es que este tipo de objetos se salían de la concepción euclídea de la geometría. Es posible que por ello Mandelbrot buscara un nuevo término para designarlo: fractal (del latín fractus: quebrado, fracturado), que acuñó en 1975. Aunque ha habido diversos debates sobre cómo definirlo de forma clara y concisa, podemos decir que un fractal es precisamente eso, un objeto cuya estructura se repite a diferentes escalas. Y tanto se salen estos objetos autosemejantes de la geometría euclídea que generalmente tienen dimensiones no enteras. Por poner un ejemplo, una línea recta tiene dimensión 1 y un plano tiene dimensión 2, pero la costa occidental de Gran Bretaña tiene, aproximadamente, dimensión 1,25.

Mandelbrot publicó más tarde The Fractal Geometry of Nature, donde amplió y actualizó sus ideas sobre los fractales. La manera apasionada de escritura y el gran énfasis en la intuición visual y geométrica que impregnaba a esta publicación hizo que terminara por popularizarse tanto entre los estudiosos del tema como entre el público en general. El hecho de que Mandelbrot apoyara sus ideas con gráficos e ilustraciones también contribuyó a ello.

El conjunto de Mandelbrot

Es interesante comentar que fue su tío Szolem quien, posiblemente sin querer, le indujo a introducirse en el mundo fractal mostrándole unos estudios de Gaston Julia sobre 1945. En su momento a Mandelbrot ni siquiera le gustaron, pero más adelante se volvió a encontrar con ellos y comenzó sus estudios sobre el conocido como conjunto de Julia, y también del actualmente denominado conjunto de Mandelbrot.

Conjunto de Mandelbrot

Este conjunto es, en líneas generales, el conjunto de puntos para los cuales cierta operación matemática da siempre resultados menores que un cierto valor. Más concretamente:

Un número complejo (un punto del plano, vamos) está en el conjunto de Mandelbrot si la sucesión de puntos siguiente

está acotada, es decir, si esta sucesión no tiende a infinito (esto es, el valor de sus términos tiene un “tope” que ninguno de ellos sobrepasa).

Si esta sucesión de puntos no está acotada, o lo que es lo mismo, sus valores crecen y crecen indefinidamente, el punto no está en el conjunto.

Los puntos del conjunto de Mandelbrot son los que aparecen en negro en la imagen anterior. Los que no pertenecen al conjunto no tienen por qué representarse, aunque lo que le da ese tremendo juego a este conjunto es representar con colores la velocidad con la que la sucesión anterior se acerca a infinito, como aparece también en la imagen. Los puntos para los que su sucesión crece muy rápido están representados en color rojo intenso. El rojo va tornándose más suave conforme la velocidad de crecimiento es menor. Los puntos muy cercanos al conjunto (en blanco) son puntos para los que ha hecho falta calcular muchísimos valores de la sucesión asociada para ver que no está acotada. Este juego de colores provoca que al hacer zoom en el conjunto, las imágenes que se crean sean de una belleza inusitada (¿fórmulas matemáticas creando obras de arte? Que raro…¿o no?). Además, este zoom hace que nos demos cuenta de esa autosemejanza de la que hablábamos hace un rato, ya que al acercarnos vemos que el propio conjunto contiene copias exactas de si mismo.

Para comprobar estos dos apuntes os recomiendo ver este vídeo. Es algo largo (10 minutos), pero os aseguro que merece mucho la pena. Mucho cuidado con él, no os vayáis a marear:

Fuente:

Gaussianos

En el siguiente post usted aprenderá !a crear su propio fractal!