El conjunto de Mandelbrot en…un campoBenoit Mandelbrot, matemático polaco, falleció, como comentábamos el otro día, el pasado 14 de octubre, aunque hasta el día 16 no nos enteramos de esta triste noticia. Mandelbrot es, como a mí me gusta decir, el último grande, una de las pocas personas que ha sido capaces de crear una nueva rama de las matemáticas, la geometría fractal, con gran interés tanto por la teoría como por las aplicaciones de los resultados obtenidos.
Notas biográficas
Benoit Mandelbrot nació en Varsovia el 20 de noviembre de 1924 dentro de una familia con cierta tradición académica (aunque su padre se ganaba la vida con la compra-venta de ropa). Fueron dos tíos suyos quienes se encargaron de introducir a Mandelbrot en el mundo de las matemáticas. Uno de ellos, Szolem Mandelbrojt, se encargó de su educación cuando la familia Mandelbrot emigró a Francia en 1936.
El hecho de que Mandelbrot estudiara en la época de la Primera Guerra Mundial, entre otras cosas, provocó que su educación no fuera convencional. El propio Mandelbrot atribuye gran parte de su éxito matemático a esta educación poco convencional, ya que ello le permitió pensar de forma distinta a la que se le suele inculcar a quien sigue la educación habitual. Su gran visión e intuición geométrica también contribuyeron a ello.
Después de estudiar en Lyon y permanecer un día en la École Normale de París, Mandelbrot comenzó sus estudios en la École Polytechnique en 1944 bajo la dirección de Paul Lévy, quien también ejerció gran influencia en él. Más adelante se doctoró en la Universidad de París y viajó a Estados Unidos, donde, entre otras cosas, fue el último estudiante de postdoctorado de John Von Neumann. Echando un ojo a los mentores de Mandelbrot podemos ver que la lista no tiene desperdicio, si uno era bueno el siguiente era mejor.
A lo largo de su vida fue profesor en la Universidad de Harvard y en la Universidad de Yale (donde terminó su carrera), entre otras instituciones. Pero posiblemente fue su trabajo en IBM en el Centro de Investigaciones Thomas B. Watson de Nueva York lo que más le ayudó en sus estudios, ya que allí le brindaron libertad total en sus investigaciones.
¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña?
Benoit Mandelbrot es el padre de la denominada Geometría Fractal, una nueva rama de la geometría que podemos decir que estudia los objetos tal como son. Mandelbrot pensó que las cosas en la realidad no son tan perfectas como las muestra la geometría euclídea: las esferas no son realmente esferas, las líneas no son perfectamente rectas, las superficies no son uniformes… Ello le llevó a estudiar estas imperfecciones, derivando estos estudios en la creación de esta nueva rama de la geometría.
Las primeras ideas sobre fractales de Mandelbrot fueron publicadas en la revista Science en 1967 a través de su artículo ¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña? En él da ciertas evidencias empíricas de que la longitud de una línea geográfica (como por ejemplo, la costa de Gran Bretaña) depende de la regla con la que la midamos. En líneas generales, la costa tendrá mayor longitud cuanto menor sea la unidad de medida utilizada, esto es, cuanto más cerca estemos mirando a la costa mayor longitud tendrá.
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También habla de ciertas curvas autosemejantes, es decir, curvas que son semejantes a una parte de ellas mismas. Por ejemplo, las propias costas son un ejemplo de ello (no un ejemplo exacto, pero sí lo suficientemente aproximado como para comprender de qué estamos hablando), ya que la estructura quebradiza de las mismas hace que si vemos una porción de costa y después hacemos zoom en esa zona, lo que vemos en ese momento tiene una forma semejante a la primera porción que observamos.
El caso es que este tipo de objetos se salían de la concepción euclídea de la geometría. Es posible que por ello Mandelbrot buscara un nuevo término para designarlo: fractal (del latín fractus: quebrado, fracturado), que acuñó en 1975. Aunque ha habido diversos debates sobre cómo definirlo de forma clara y concisa, podemos decir que un fractal es precisamente eso, un objeto cuya estructura se repite a diferentes escalas. Y tanto se salen estos objetos autosemejantes de la geometría euclídea que generalmente tienen dimensiones no enteras. Por poner un ejemplo, una línea recta tiene dimensión 1 y un plano tiene dimensión 2, pero la costa occidental de Gran Bretaña tiene, aproximadamente, dimensión 1,25.
Mandelbrot publicó más tarde The Fractal Geometry of Nature, donde amplió y actualizó sus ideas sobre los fractales. La manera apasionada de escritura y el gran énfasis en la intuición visual y geométrica que impregnaba a esta publicación hizo que terminara por popularizarse tanto entre los estudiosos del tema como entre el público en general. El hecho de que Mandelbrot apoyara sus ideas con gráficos e ilustraciones también contribuyó a ello.
El conjunto de Mandelbrot
Es interesante comentar que fue su tío Szolem quien, posiblemente sin querer, le indujo a introducirse en el mundo fractal mostrándole unos estudios de Gaston Julia sobre 1945. En su momento a Mandelbrot ni siquiera le gustaron, pero más adelante se volvió a encontrar con ellos y comenzó sus estudios sobre el conocido como conjunto de Julia, y también del actualmente denominado conjunto de Mandelbrot.
Conjunto de Mandelbrot
Un número complejo
(un punto del plano, vamos) está en el conjunto de Mandelbrot si la sucesión de puntos siguiente
está acotada, es decir, si esta sucesión no tiende a infinito (esto es, el valor de sus términos tiene un “tope” que ninguno de ellos sobrepasa).
Si esta sucesión de puntos no está acotada, o lo que es lo mismo, sus valores crecen y crecen indefinidamente, el punto no está en el conjunto.
Los puntos del conjunto de Mandelbrot son los que aparecen en negro en la imagen anterior. Los que no pertenecen al conjunto no tienen por qué representarse, aunque lo que le da ese tremendo juego a este conjunto es representar con colores la velocidad con la que la sucesión anterior se acerca a infinito, como aparece también en la imagen. Los puntos para los que su sucesión crece muy rápido están representados en color rojo intenso. El rojo va tornándose más suave conforme la velocidad de crecimiento es menor. Los puntos muy cercanos al conjunto (en blanco) son puntos para los que ha hecho falta calcular muchísimos valores de la sucesión asociada para ver que no está acotada. Este juego de colores provoca que al hacer zoom en el conjunto, las imágenes que se crean sean de una belleza inusitada (¿fórmulas matemáticas creando obras de arte? Que raro…¿o no?). Además, este zoom hace que nos demos cuenta de esa autosemejanza de la que hablábamos hace un rato, ya que al acercarnos vemos que el propio conjunto contiene copias exactas de si mismo.
Para comprobar estos dos apuntes os recomiendo ver este vídeo. Es algo largo (10 minutos), pero os aseguro que merece mucho la pena. Mucho cuidado con él, no os vayáis a marear:
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