Los fractales y la naturaleza

En 1975, Benoît Mandelbrot puso nombre a una de las curiosidades matemáticas existentes, ya desde principios del siglo 20: los fractales. Estos no son más que objetos geométricos cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas.

El ejemplo básico más clasico es la llamada curva de Koch, descrita por  el matemáticosueco Helge von Koch en 1904 en un artículo titulado “Acerca de una curva continua que no posee tangentes y obtenida por los métodos de la geometría elemental”, y que podemos ver en la siguiente figura:

 
Resultaría imposible entender los fractales, separados de la teoría del caos, y que comenzó a definir  Edward Lorenz en 1963, a través del “atractor de Lorenz” y del archiconocido “efecto mariposa“. Todo empezó cuando en una determinada ocasión quiso volver a echar un vistazo a una simulación que ya había hecho llevándola más lejos en el tiempo. En vez de comenzar desde el principio y esperar a que el ordenador llegara al intervalo que le interesaba, introdujo por el teclado los valores que ya tenía apuntados en el papel. Dejó la máquina trabajando y se fue a tomar un café.

El clima atmosférico se describe por 3 ecuaciones diferenciales bien definidas. Siendo así, conociendo las condiciones iniciales se podría conocer la predicción del clima en el futuro. Sin embargo, al ser éste un sistema caótico, y no poder conocer nunca con exactitud los parámetros que fijan las condiciones iniciales (en cualquier sistema de medición, por definición, siempre se comete un error, por pequeño que éste sea) hace que aunque se conozca el modelo, éste diverja de la realidad pasado un cierto tiempo (véase Horizonte de predicciones).
(Fuente: Wikipedia).

Pero no es objetivo de este post hacer una larga aproximación matemática a estos conceptos, si bien se puede hacer siguiendo los enlaces mencionados anteriormente. Nuestro objetivo en este artículo es mostrar como lo que aparece inicialmente como una curiosidad matemática es, realmente, una forma de trabajar de la naturaleza, que nos ofrece fractales de múltiples formas.

El ejemplo más conocido lo constituyen los copos de nieve. Son algo así como los fractales por naturaleza.

Pero en la naturaleza tenemos más ejemplos cotidianos, como el de los helechos que pueblan nuestros montes.

Y también algo más exóticos, como el de la curiosa verdura Romanescu.

Como vemos, los fractales forman parte de nuestra vida y de un entorno que gracias a la ciencia conocemos cada día mejor.

¿Conoceis otros ejemplos de fractales que se den en la naturaleza?

 

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Enamorado de la Ciencia

La teroría del Caos cumple 50 años

 

Esta figura ilustra el comportamiento errático de temperaturas y velocidades atmosféricas predicho en las ecuaciones matemáticas de Lorenz. / Wikimedia Commons

 

La teoría del caos extiende su aplicación desde la meteorología hasta la criptografía. Se cumplen 50 años de la formulación científica del llamado “efecto mariposa”.

En marzo de 1963, el matemático y meteorólogo estadounidense Edward Lorenz dejó bien claro porqué los hombres del tiempo se equivocan tanto. Bajo el anodino título de Flujo determinista no-periódico, publicó un artículo que, 50 años después, es uno de los más citados de la historia científica. Contenía la moderna formulación de la teoría del caos, según la cual los sistemas dinámicos como el clima son muy sensibles a las condiciones iniciales. Para hacer más digeribles sus ideas, durante una conferencia, planteó la siguiente pregunta: ¿puede el aleteo de una mariposa en Brasil producir un tornado en Texas?

Aunque Lorenz pudo coger prestado del escritor de ciencia-ficción Ray Bradbury la metáfora del efecto mariposa, los sistemas que siguen los patrones descritos en la teoría del caos son muy reales. El no tan ordenado movimiento de los astros, el desplazamiento del plancton por los mares, el retraso de los aviones, la sincronización de las neuronas o el flamear de las banderas; todos son sistemas caóticos o, como prefierne llamarlos los físicos, “dinámicos no lineales”.

Un par de años antes de publicar su seminal artículo, Lorenz estaba trabajando en el diseño de un modelo de predicción meteorológica. En una ocasión, durante la simulación de la convección de masas de aire, olvidó anotar los últimos valores numéricos de las variables que había obtenido. Decidió reiniciar el trabajo con los datos que sí tenía, acortando una cifra. Aquellos pocos decimales de menos resultaron en un cambio radical del tiempo estimado.

“La teoría del caos destaca la importancia de las condiciones iniciales para resolver un problema”, dice Claudio Mirasso, del Instituto de Física Interdisciplinar y Sistemas Complejos (IFISC) de la Universitat de la Universitat de les Illes Balears y el CSIC. “En la simulación del tiempo, si introduces los valores de tus variables con diferente precisión, en poco, el tiempo habrá cambiado enormemente”, añade. Esa sensibilidad a las condiciones iniciales está en la base de la teoría y del efecto mariposa.

Otra de sus características es su dificultad para predecirlos. En la época de Lorenz no existían los modernos satélites ni las complejas redes de estaciones meteorológicas que hay hoy, pero ya entonces dejó claro que no se pueden hacer buenas predicciones del tiempo a medio plazo. Lo único que ha hecho la moderna tecnología es ganar días antes de que cualquier predicción sea víctima del caos.

Pero caos no significa azar. El humo de un cigarrillo, por ejemplo, es un movimiento caótico pero no caprichoso. Si se tuvieran los datos exactos de todas las variables que intervienen, desde el viento y dirección del aire, el polvo en suspensión, la combustión…. se podría predecir por donde irá tras la siguiente calada. ”El problema es que el caos y el azar se parecen”, recuerda Mirasso. Lo que hizo Lorenz fue someter a la ciencia a una cura de humildad.

Un orden celeste desordenado

Lorenz no fue el primero que destacó el papel del caos en todo lo que nos rodea. Ya en el siglo XIX, Henri Poincaré demostró que el orden de los cuerpos celestes establecido por Isaac Newton no era tal. Las órbitas de planetas y lunas no son tan exactas. “El problema es que, en nuestra escala del tiempo, nosotros no podemos verlo”, explica Emilio Hernández-García, también del IFISC. Pero hasta Lorenz, lo de Poincaré era visto como una extravagancia de los matemáticos. Tras Lorenz, “el caos empezó a ser visto no como una rareza sino como lo normal”, añade este investigador.

Hoy, la teoría del caos se aplica al estudio de un sinfín de los llamados modelos de dinámica no lineal. En el caso de Hernández-García, por ejemplo, lo hace en oceanografía. Estudia la estructura de las masas compactas de agua del mar para calcular su movimiento. Entre las aplicaciones de sus modelos estarían el desplazamiento del plancton, con sus implicaciones en la biodiversidad marina y la pesca, o la lucha contra los vertidos de petróleo.

«El problema es que el caos y el azar se parecen»

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Claudio Mirasso
investigador del Instituto de Física Interdisciplinar y Sistemas Complejos (IFISC)

Pero hay muchas otras aplicaciones, desde la criptografía caótica hasta la movilidad urbana, pasando por el tratamiento de enfermedades o el devenir de la bolsa. Mirasso ya demostró hace unos años las posibilidades del caos para transmitir información cifrada hace unos años en un experimento realizado en Atenas.

Pero, ¿existe aquel efecto mariposa que usó Lorenz para empezar su conferencia? La metáfora es muy sugerente y ha dado para varias películas, libros y hasta una cosmogonía sobre el papel del hombre en el mundo. Aunque para Mirasso, en la medida que indica que pequeñas variaciones, muchas veces imperceptibles, pueden tener grandes consecuencias, “no es una metáfora descabellada”, para su colega Hernández-García, es poético pero inútil ya que “no sabemos si hubo aleteo o cuántas mariposas aletearon”.

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Materia

El efecto mariposa, un atractor extraño

Lunes, 14 de junio de 2010

El efecto mariposa, un atractor extraño

El orden lleva asociado un grado importante de predicción, al caos le sucede lo contrario. Los sistemas lineales, representan el orden, son predecibles y cómodos de manejar, de ahí nuestra tendencia a generalizarlos. Ante un sinfín de situaciones generalizamos, proyectamos los datos del presente para tratar de averiguar un comportamiento futuro y casi siempre nos va bien. Pero existen sistemas que se resisten: pequeñas variaciones, incertidumbres, en los datos iniciales desembocan en situaciones finales totalmente descontroladas e impredecibles. Son los llamados sistemas caóticos ( En la figura, atractor extraño "poisson_saturne" hecho con el programa Chaoscope).


Para estudiar estos sistemas se requiere de una metodología diferente. Su estudio se realiza en el llamado espacio de fases, un espacio abstracto en el que se representan todas las variables dinámicas del sistema. Por ejemplo, un péndulo simple ideal se vería representado por dos variables, la velocidad y la posición de la masa suspendida. Su representación podría hacerse, por tanto, en el plano y sería una circunferencia. Cada punto de la misma representaría dos cantidades, la velocidad y la posición, en ese momento.


Esa figura en el espacio de fases, a la que se aproxima el fenómeno estudiado, se le llama su atractor. En los sistemas no caóticos el atractor suele ser un punto, una circunferencia, una figura geométrica conocida, pero en los sistemas caóticos presenta una forma “extraña”, de ahí que reciba el nombre de “atractor extraño”, con una dimensión fraccionaria o fractal ( En la figura, atractor de Lorenz, en 3D, con el programa Chaoscope).

El primero de éstos fue hallado, por casualidad, por el meteorólogo Edward Lorenz cuando trataba de encontrar un modelo matemático que permitiera predecir el comportamiento de grandes masas de aire. Consiguió ajustar el modelo a sólo tres variables que indican como cambian la velocidad y la temperatura del aire a lo largo del tiempo (atractor de Lorenz).


Después de haber estudiado el modelo, volvió a introducir los datos iniciales - esta vez con menos decimales- y el resultado que obtuvo fue completamente diferente del anterior. Cuando reflexionó sobre los resultados se dio cuenta que el sistema era extremadamente sensible a las condiciones iniciales: pequeñas perturbaciones en los datos de partida tienen una gran influencia sobre el resultado final. Sus ecuaciones captaban la esencia de la verdadera atmósfera. “Aquel primer día ( invierno de 1961) decidió que los pronósticos amplios estaban condenados a la extinción”. Pero vio más que azar en su modelo del tiempo: una fina estructura geométrica, orden disfrazado de casualidad.


Para explicar de una manera gráfica – y exagerada - la cuestión se le ocurrió que el simple aleteo de una mariposa, que no se hubiera tenido en cuenta en los datos iniciales, podía modificar una predicción hasta hacerla totalmente inviable después de un determinado tiempo.


Sobre el efecto mariposa se han escrito cientos de artículos, novelas, canciones y se han hecho películas. Sobre el tema, es muy interesante un artículo de Enrique Dans, profesor del Instituto de Empresa, en el que compara el “ecosistema de Internet” con los sistemas no lineales y complejos como el tiempo atmosférico:” Las variables en juego ( en Internet) no son tantas: si en el clima hablamos fundamentalmente de velocidad y temperatura del aire, en Internet hablamos de visitas, vínculos y cuestiones afines. Pero el posible impacto de una variación infinitesimal en medición de las variables de origen puede tener un impacto brutal en los resultados finales,...” . “ Criterios que todo el mundo, aparentemente, da por buenos, como el sacrosanto PageRank de Google, la cuenta de vínculos entrantes de una página web que lleva a cabo Technorati o los rankings de popularidad de Alexa son medidas completamente burdas, groseras, carentes de inteligencia, que responden únicamente al deseo e intentar reducir la incertidumbre, pero que lo hacen, en general, bastante mal.”


En este sentido nos encontramos en la era anterior al descubrimiento del efecto mariposa, utilizamos métodos lineales para tratar de analizar los sistemas complejos, no lineales, en donde las realimentaciones de todo tipo, y a todos los niveles, son la propia esencia del sistema. Necesitamos conocer "el atractor extraño de Internet".

Para saber más:"Caos,La creación de una ciencia", de James Gleik. Seix Barral. Barcelona 1988. Un magnífico libro. (Reedición del post del 17 de octubre de 2006.)

¿Podría verse la propia Historia de la humanidad como un sistema muy sensible a las condiciones iniciales? :

"Hay algo asombroso que siempre me ha llamado la atención sobre la historia. Ocurrió antes, ocurre ahora y, posiblemente, pasará siempre : la humanidad no parece saber, ni poder controlar realmente, hacia dónde va. Los acontecimientos se suceden y cuando todo parece amarrado y en su sitio, viene un nuevo incidente que lo desbarata todo, guerras, revoluciones, crisis económicas o cualquier otra catástrofe. Ante estas situaciones la historia, después de ocurridas, saca sus conclusiones y nos ayuda a impedir que vuelvan a repetirse, pero siempre hay algo que se nos escapa y todo vuelve a derivar en alguna nueva catástrofe, todo vuelve a empezar de nuevo".

Seguir leyendo en: Historia, dignidad y efecto mariposa, de mi colaboración con Libro de notas. Un abrazo.

Fuente:

La Bella Teoría