Una astrofísica explica lo que tendrían que haber hecho los personajes de Friends para subir el sofá de Ross por las escaleras

En una de las escenas más icónicas de la quinta temporada de Friends, Rachel y Chandler ayudan a Ross a subir su nuevo sofá por las escaleras. La escena es icónica porque uno puede verse reflejado en ella: quién no ha ayudado a un amigo a regañadientes con una mudanza y se ha encontrado con que el sofá no cabe en el ascensor o no dobla una esquina difícil.

En Friends, el trío se encuentra con una de esas esquinas difíciles y nunca consigue pasar del rellano, así que Ross acaba devolviendo el mueble. Pero en realidad Ross se rinde demasiado rápido. La doctora en astrofísica Caroline Zunckel ha analizado la escena y asegura que el sofá cabía perfectamente por las escaleras: solo había que aplicar el teorema de Pitágoras e inclinar el sofá en un ángulo determinado para doblar la esquina. El blog de SpaceRoom lo explica paso a paso en una infografía:

1. Medir la anchura de las escaleras (WS), así como el ancho (WC) y el largo (LC) del sofá.
2. Usar la ecuación T = 44,15064 - (11,94274 × WS) + (8,69119 × WC) + (3,65961 × LC) para calcular el ángulo en el que habrá que rotar el sofá durante el paso 4.
3. Subir el sofá por las escaleras tan alto como sea posible.
4. Usar el ángulo calculado en el paso 2 para inclinar el sofá hacia el techo. De esta forma, el sofá puede girar la esquina sin bloquearse.
5. Una vez superada la esquina, volver a la inclinación original para que el sofá esté de nuevo en paralelo a las escaleras y subir hasta el apartamento.
6. Sentarse en el sofá a disfrutarlo con una cerveza fría. (Opcional: ofrecer una a tus amigos por ayudarte con él).

Fuente: Gizmodo

Trigonometría y telecomunicaciones: la información vista desde el dominio de la frecuencia

En la entrada de “La comunicación a través de ondas” habíamos explicado que el fenómeno físico de las ondas se puede aprovechar como vehículo para transportar información. Decíamos también que la información viaja en la forma de las ondas, poniendo como ejemplo las variaciones de la presión del aire que se producen al tocar una nota Re con un piano y una flauta. Volvemos a poner el dibujo:

Una décima de segundo de un Re con piano (arriba) y con flauta (abajo).

Salta a la vista que son forma de onda claramente distintas, y es precisamente ahí donde está la información que nos permite diferenciar el sonido de los dos instrumentos. Nuestros sentidos de la vista y el oído, a fin de permitirnos reconocer cosas, llevan a cabo un procesamiento muy complejo de formas de onda, de oscilaciones eléctricas que se propagan a través de nervios que llegan al cerebro. Se trata de un procesamiento gestado a lo largo de millones de años de evolución, y que desde que nacemos tarda un tiempo considerable (meses o incluso años) en estar medianamente entrenado y funcional. De igual manera, los sistemas de telecomunicaciones se basan en manipular formas de onda para representar información y conseguir que viaje con éxito a través del medio que sea (un cable, el aire, el mar, etc). Para hacerlo con las prestaciones que tienen los sistemas modernos hemos tenido que desarrollar un aparato matemático fabuloso, cuyo máximo exponente es la herramienta que presentaremos hoy: la transformada de Fourier.

Si buscas por ahí encontrarás muchas explicaciones de la transformada de Fourier que parten de una de las fórmulas que ponemos a continuación, con integrales, exponenciales y otras cosas que a mucha gente le quitan las ganas de seguir leyendo. Nosotros intentaremos hacer ver que en esas fórmulas se esconden apenas un par de conceptos fáciles de entender. Empecemos, como casi siempre, por ver de dónde vienen las cosas.

Las fórmulas de la transformada de Fourier. ¡Tranquilos, que no cunda el pánico! (Crédito del dibujo de los niños: Prawny en FreeDigitalPhotos.net)

Lo que fueron aprendiendo los matemáticos de la Antigüedad.

Las matemáticas de las telecomunicaciones tienen su origen en la trigonometría, una disciplina cuyo nombre significa, literalmente, “medir triángulos“. En ello se ocuparon sabios de todas las civilizaciones antiguas que tuvieron algún interés por la agricultura, la navegación e incluso la medida del tiempo, dada la importancia de determinar con un mínimo de precisión magnitudes tales como superficies de tierras cultivables, ángulos y distancias en el rumbo de los barcos, posiciones de los astros en el cielo, etc. Sumerios, babilonios y nubios pusieron el punto de partida hace más de 4000 años. Luego, empezando hace cosa de 22 siglos, griegos como Tales de Mileto, Euclides, Arquímedes, Pitágoras, Hiparco de Nicea o Apolonio de Pérgamo (nuestro favorito, un crack) dieron forma a los primeros teoremas y procedimientos de cálculo. Más adelante, los hindúes se hicieron eco de todo aquello e introdujeron, entre otras cosas, las nociones de seno y coseno en una especie de enciclopedia universal llamada Surya Siddhanta. Tampoco vayas a pensar que fueran dos definiciones espectaculares. Imagínate en la situación del siguiente dibujo, tumbado en el suelo y mirando hacia un objeto a cierta distancia de ti. Tu mirada define una línea hacia el objeto, y esa línea forma un ángulo ⍺ con la línea del suelo. Pues bien, el seno de ⍺ se define como el resultado de dividir la altura a la que se encuentra el objeto sobre la horizontal a la altura de tus ojos (A) entre la distancia a la que el objeto se encuentra de ti (D), mientras que el coseno de ⍺ se define como la división de lo que tendrías que caminar hasta llegar a estar justo debajo del objeto (B) entre, nuevamente, la distancia D.

Definiciones de seno y coseno sobre un triángulo rectángulo.

Ya en tiempos del gran matemático hindú Aryabhata, hacia el siglo V, los humanos teníamos perfectamente estudiadas las relaciones que se dan entre los 3 lados y los 3 ángulos de un triángulo. De este modo, conocidos 3 de esos datos, podíamos calcular con bastante precisión los otros 3 y alguna cosa más: la superficie del triángulo, las posiciones de sus 4 centros, etc. Posteriormente, los matemáticos del mundo árabe recopilaron, tradujeron y ampliaron esos conocimientos durante la Edad Media, destacando las aportaciones de al-Battānī y al-Tusi (otro crack del que hoy no se acuerda ni su p…ersa madre). Como siempre, los chinos llegaron al mismo conocimiento por su propia cuenta, de manos de fueras de serie como Shen Kuo (a quien ya nombramos en “Ciencia, tecnología y putadas tras la invención del telégrafo”) y Guo Shoujing. Y, por supuesto, también hay evidencias sobradas de conocimientos de trigonometría en la América previa a la invasión europea, aunque en medio del expolio nadie se paró a hablar de matemáticas con los nativos.

“Sí, sí… sigue contando, Atahualpa, que ya me traen ahora la regla y el compás”

El artículo completo en:

Telecomunicaciones de andar por casa

¿Qué sombra proyecta un avión a gran altitud?

Antes de ayer, Kent Mentolado hizo una pregunta muy interesante en el foro (aquí tienes el hilo). De hecho, me ha parecido tan interesante y curioso que merece la pena compartirlo con todo el mundo y dedicarle un artículo. La pregunta es: ¿qué le sucede a la sombra de un avión según asciende en el aire? ¿se sigue viendo cuando vuela a gran altitud, o no? ¿aumenta de tamaño, se queda igual o se hace más pequeña?

Contestar a esas preguntas es placentero, entre otras cosas, porque nos llevará a hablar de la umbra y la penumbra, realizar un par de estimaciones trigonométricas curiosas, entre ellas cómo calcular el tamaño angular de un objeto (¿quién ha dicho que la trigonometría es aburrida?) y de paso mostraros un par de fotografías realmente preciosas de un fenómeno óptico relacionado con esto, que se ve con relativa frecuencia desde los aviones. ¿Preparado? Vamos con ello.

Antes de empezar, el aviso de rigor — voy a realizar aproximaciones groseras, porque no me interesa obtener resultados numéricos estrictos, sino una estimación. Así que, cuando dé valores a la distancia Tierra-Sol o el tamaño de un avión, no te eches las manos a la cabeza si redondeo como si me dieran dinero por ello.

Para responder a la pregunta, antes tenemos que tener claros un par de conceptos. El primero de ellos es la diferencia entre umbra (sombra) y penumbra (“casi sombra” en latín). Dicho mal y pronto, cuando un objeto tapa una fuente de luz completamente desde donde estás mirando, te encuentras en su sombra. Cuando el objeto tapa sólo parte de la fuente luminosa, estás en su penumbra.

Esto significa, por supuesto, que si se trata de una fuente de luz puntual, sólo pueden existir sombras: o bien el objeto tapa la fuente luminosa o no lo hace. Sin embargo, si la fuente de luz tiene extensión, hay una zona de sombra y otra de penumbra (la antumbra es simplemente la región en la que un observador vería un eclipse anular):



Umbra, penumbra y antiumbra de la Tierra.

Aunque no sean perfectamente puntuales, las estrellas son fuentes de luz que se comportan prácticamente como si lo fueran: su distancia a nosotros es tan gigantesca comparada con su tamaño que su tamaño angular es minúsculo. Sin embargo, nuestro Sol no está tan lejos de nosotros, y tiene un tamaño angular perfectamente apreciable. Utilizando un poco de trigonometría básica podemos calcular este ángulo. El Sol tiene un diámetro de unos 1.4 millones de kilómetros, y está a unos 150 millones de kilómetros de la Tierra, de modo que su tamaño angular δ es:



Puedes ver cómo hay un triángulo rectángulo (cada una de las dos mitades del triángulo completo) en el que el ángulo desde la Tierra es justo δ/2, el cateto opuesto al ángulo es d/2 y el cateto contiguo es justo la distancia Tierra-Sol, D, con lo que se puede calcular la tangente de δ como el cociente entre cateto opuesto y cateto contiguo (la fórmula está en el triste dibujo).

De modo que, despejando δ,

δ = 2·arctan(d/2D)

Si introduces los datos en la calculadora verás que el tamaño angular del Sol es de unos 0,53°, es decir, 32′. No es una fuente puntual, aunque sea pequeña (hacen falta unos 670 Soles colocados uno al lado del otro para “llenar” una circunferencia de 360°). De modo que, aunque los rayos de una fuente puntual muy alejada son aproximadamente paralelos, esta aproximación no siempre funciona bien en el caso del Sol. Especialmente, por supuesto, cuando una parte del Sol está tapada y otra no, algo que sería totalmente imposible en el caso de una fuente puntual.

Naturalmente, si un objeto relativamente grande está muy cerca del suelo (por ejemplo, una sombrilla), entonces tapa el Sol completamente y debajo de él hay una sombra muy buena. Incluso ahí no es una sombra perfecta, puesto que la dispersión de la luz solar por parte de la atmósfera sigue haciendo llegar luz al suelo desde otras direcciones, pero es una sombra oscura y nítida.

Pero si el objeto se aleja del suelo, como un avión cuando despega y se eleva, su tamaño angular va disminuyendo. Al principio, el avión puede tapar el Sol completamente y producir una sombra de gran nitidez en el suelo, pero según se va elevando la cosa cambia. Su sombra, puesto que los rayos son más o menos paralelos, aumenta muy poco a poco –pero aumenta, no es exactamente igual según se eleva– pero lo más importante es que se va haciendo borrosa, pues sus bordes se vuelven penumbra.

Según aumenta la altitud del avión hay más penumbra y menos sombra, hasta que llega un momento, cuando el avión ya no es capaz de tapar el Sol completamente, sin importar dónde estés sobre la superficie terrestre, en el que sólo hay penumbra y no hay sombra. Según el avión sigue ascendiendo, esta penumbra se va haciendo más tenue y sus bordes más difíciles de distinguir, hasta que es imposible percibirla.

De hecho, podemos realizar otra estimación burda para saber cuándo ya no hay sombra propiamente dicha: un Boeing 747 tiene una longitud de unos 70 metros, una envergadura de unos 60 metros y una altura de unos 20 metros. Pongamos que, más o menos, el tamaño del aparato en lo que a tapar el Sol se refiere es, redondeando, de 30 metros (pues aunque lo tape “a lo largo” puede dejar ver parte del Sol “a lo ancho” o “a lo alto”).

La pregunta trigonométrica entonces es, ¿a qué distancia de nosotros un objeto de 30 metros tiene el tamaño angular del Sol? Existen dos maneras de estimarlo. La primera es trigonométrica una vez más:
La distancia es, despejando D de la fórmula de arriba (como si el avión fuera el Sol), con δ = 32′ y d = 30 m,

D = d / 2[tan(δ/2)]

Si introduces esos datos en la calculadora verás que D resulta ser de unos 3 kilómetros.

La segunda manera es hacer una regla de tres: si el Sol y el avión tienen el mismo tamaño angular, la relación entre las distancias respectivas al observador (150 Mkm y D) debe ser proporcional a la relación entre sus tamaños (1.4 Mkm y 30 m). El resultado vuelve a ser, por supuesto, de unos 3 km.

Con lo que, en una primera aproximación, la sombra de un Jumbo como tal deja de existir a unos 3 km de altitud. Sigue habiendo penumbra, y supongo que puede ser posible vislumbrar algo tenue y borroso, pero un poco más arriba deja de ser visible. Puesto que la altura de crucero de un avión comercial es de unos 10 km, excepto en el aterrizaje y despegue (o si miras una nube desde el avión, claro), no hay sombra que valga.

Desde luego, esto es una aproximación burda: para empezar, el avión no puede estar justo encima de tu cabeza y tapar el Sol, pues el Astro Rey está a un mínimo de 23° respecto a la vertical, con lo que los 3 km serían de distancia entre el avión y tú, y la altitud sería algo menor; pero he redondeado tanto que el error (más o menos de un 8%) no es relevante en este caso.

Naturalmente, esta altitud es proporcional al tamaño del avión, de modo que una avioneta con 10 metros de “tamaño eficaz” para tapar el Sol sólo tiene que volar a 1 km de altura para que su sombra deje de existir como tal, sólo es penumbra. Puesto que muchas avionetas no vuelan demasiado alto, me imagino que es más probable ver la sombra de una que la de un avión comercial.

Independientemente de esto, si observas la sombra del avión desde el propio avión es posible que veas otro fenómeno precioso, denominado gloria, que se produce también en otras situaciones pero es de una gran belleza visto desde un avión. La próxima vez que vueles, si puedes ver la sombra del avión, échale un ojo de vez en cuando por si las condiciones son las adecuadas y puedes ver algo como esto:

Crédito: Wikipedia/GPL.

La gloria es algo similar al arco iris, sólo que con un tamaño angular mucho más pequeño (unos 5°-20°), y se ve especialmente bien cuando el avión sobrevuela nubes. Tres fenómenos ópticos (la refracción, la reflexión y la difracción) están involucrados, cuando los rayos solares se encuentran con minúsculas gotículas, y aún no entendemos perfectamente el proceso físico por el que se forman –sí, a pesar de ser parecido al arco iris–, aunque existen teorías, como la de Mie, que producen modelos matemáticos que las simulan bastante bien.

La gloria, igual que el arco iris, se ve simplemente por la posición del observador respecto al Sol: en la foto de arriba, está alrededor de la sombra porque el centro de la gloria (como el centro del arco iris) se encuentra justo en la posición antisolar –opuesta al Sol– vista desde el observador… ¡y ahí es justo donde está la sombra del avión! Pero son fenómenos totalmente independientes: la gloria no se produce porque el avión esté interfiriendo de algún modo con la luz solar.

A veces se ven alrededor de la sombra de tu cabeza si hay niebla, y es probable que hayas visto alguna a lo largo de tu vida, de una u otra forma. De hecho, en China se llama la luz de Buda, y a veces era considerada una muestra de la iluminación interior de una persona el hecho de que pudiera verse. Como es más fácil ver la tuya que la de los demás, me pregunto si todo el mundo pensaría que ellos eran los iluminados y los demás no.

Un par de glorias más, simplemente por el placer de verlas:

Gloria alrededor de la sombra de una cabeza.

Gloria desde el Golden Gate Bridge de San Francisco.

Para saber más:

• Gloria (en inglés — desgraciadamente no lo he encontrado en la Wikipedia en español).
• FUENTE: El Tamiz

¿A qué profundidad se frena una bala?

Todos lo hemos visto en muchas películas: el héroe de turno se zambulle en el agua y los malos malosos se dedican a dispararle desde la orilla. El héroe bucea rodeado de una lluvia de balas.

¿Peligroso? Ciertamente, per no tanto como a primera vista parece.

Las armas de fuego han sido diseñadas para dispararse al aire libre y no bajo el agua. En el medio acuático funcionan mal principalmente por tres razones:

-el agua es mucho más densa y ofrece mayor resistencia al movimiento.

-los cañones de las armas de fuego dotan de giro al proyectil y este giro aumenta el rozamiento y facilita el frenado.

-el diseño de las balas está determinado por el medio aéreo.

Una vez puntualizado esto… ¿a qué profundidad debe bucear nuestro héroe para que las balas no sean letales?

Para conocer este dato se ha de considerar el calibre del proyectil, la densidad del agua y el coeficiente de frenado, pero de manera general se puede decir que una bala común disparada con un arma ligera (una 9mm por ejemplo) deja de ser letal a una profundidad entre 2,5 y 3 metros.

Esto teniendo en cuenta que la bala penetrara en el agua según una trayectoria perpendicular a la superficie. Pero cuando los malos disparan desde un muelle o un embarcadero, la trayectoria no es perpendicular, sino que forma un ángulo de unos 20º, o puede que 30º.

Es decir, que entrando en diagonal y para llegar a la misma profundidad, el camino a recorrer por el proyectil es mucho mayor. Un cálculo trigonométrico concluye que zambulléndose a un metro de profundidad, las balas dejan de amenazar la vida de nuestro héroe.

Tomado de:

Saber Curioso

Ingenio egipcio (o cómo adelantarse a Pitágoras atando 12 nudos)

triangulo pitagorico from angel on Vimeo.

¡Imagínate la lata! Tienes todos los lindes bien marcaditos con unos palitos o unas piedras, para lo cual tuviste que dibujar ángulos rectos con los que delimitar las fértiles propiedades ribereñas del Nilo. Y en estas que va el río (con su exactitud anual) y provoca una crecida que manda al Mediterráneo todas tus sesudas medidas, con sus estacas y sus piedrecillas. Además el faraón anda azuzándote para que crees estructuras geométicas perfectas como las pirámides. Estás en el año 2.000 a.C. y por lo tanto a Pitágoras le falta casi milenio y medio por nacer y regalarnos su archiconocido teorema. Lo único que tienes para rehacer tus cálculos es una larga cuerda. ¿Qué haces?

Cuerda de 12 nudos estirada

Pues no pasa nada, tomas una medida estándar “n” y haces un nudo en la cuerda cuando llegas a ella. Luego repites la operación atando otro nudo cada vez que recorres la distancia “n” elegida. Cuando llegas al nudo número 12 atas los extremos de la cuerda y cortas lo que sobra. Tras eso la cosa es sencillísima. Fijas un nudo al suelo, haces que alguien cuente tres nudos a partir de tu posición y estire la cuerda hasta que quede tensa, y mandas a un tercero que coja la cuerda restante y tire de ella hasta que quede perfectamente tensa por ambos lados a una distancia de cuatro nudos de ti y cinco de tu primer ayudante.

El resultado, como veis en la imagen lateral, es un triángulo rectángulo en el que la hipotenusa mide 5 nudos y cada uno de los catetos 3 y 4 nudos respectivamente (se cumple el famoso teorema porque 5^2 = 4^2 + 3^2).

Así que si te pones a pensar, con la cuerda en la mano y a río pasado deducir el teorema no parecía demasiado complicado, sin restarle méritos al viejo Pitágoras por supuesto. (Por cierto, los chinos tampoco eran mancos).

El vídeo lo encontré en galería de Ángel en Vimeo.

Tomado de:

Amazings