¿Qué sombra proyecta un avión a gran altitud?

Antes de ayer, Kent Mentolado hizo una pregunta muy interesante en el foro (aquí tienes el hilo). De hecho, me ha parecido tan interesante y curioso que merece la pena compartirlo con todo el mundo y dedicarle un artículo. La pregunta es: ¿qué le sucede a la sombra de un avión según asciende en el aire? ¿se sigue viendo cuando vuela a gran altitud, o no? ¿aumenta de tamaño, se queda igual o se hace más pequeña?

Contestar a esas preguntas es placentero, entre otras cosas, porque nos llevará a hablar de la umbra y la penumbra, realizar un par de estimaciones trigonométricas curiosas, entre ellas cómo calcular el tamaño angular de un objeto (¿quién ha dicho que la trigonometría es aburrida?) y de paso mostraros un par de fotografías realmente preciosas de un fenómeno óptico relacionado con esto, que se ve con relativa frecuencia desde los aviones. ¿Preparado? Vamos con ello.

Antes de empezar, el aviso de rigor — voy a realizar aproximaciones groseras, porque no me interesa obtener resultados numéricos estrictos, sino una estimación. Así que, cuando dé valores a la distancia Tierra-Sol o el tamaño de un avión, no te eches las manos a la cabeza si redondeo como si me dieran dinero por ello.

Para responder a la pregunta, antes tenemos que tener claros un par de conceptos. El primero de ellos es la diferencia entre umbra (sombra) y penumbra (“casi sombra” en latín). Dicho mal y pronto, cuando un objeto tapa una fuente de luz completamente desde donde estás mirando, te encuentras en su sombra. Cuando el objeto tapa sólo parte de la fuente luminosa, estás en su penumbra.

Esto significa, por supuesto, que si se trata de una fuente de luz puntual, sólo pueden existir sombras: o bien el objeto tapa la fuente luminosa o no lo hace. Sin embargo, si la fuente de luz tiene extensión, hay una zona de sombra y otra de penumbra (la antumbra es simplemente la región en la que un observador vería un eclipse anular):



Umbra, penumbra y antiumbra de la Tierra.

Aunque no sean perfectamente puntuales, las estrellas son fuentes de luz que se comportan prácticamente como si lo fueran: su distancia a nosotros es tan gigantesca comparada con su tamaño que su tamaño angular es minúsculo. Sin embargo, nuestro Sol no está tan lejos de nosotros, y tiene un tamaño angular perfectamente apreciable. Utilizando un poco de trigonometría básica podemos calcular este ángulo. El Sol tiene un diámetro de unos 1.4 millones de kilómetros, y está a unos 150 millones de kilómetros de la Tierra, de modo que su tamaño angular δ es:



Puedes ver cómo hay un triángulo rectángulo (cada una de las dos mitades del triángulo completo) en el que el ángulo desde la Tierra es justo δ/2, el cateto opuesto al ángulo es d/2 y el cateto contiguo es justo la distancia Tierra-Sol, D, con lo que se puede calcular la tangente de δ como el cociente entre cateto opuesto y cateto contiguo (la fórmula está en el triste dibujo).

De modo que, despejando δ,

δ = 2·arctan(d/2D)

Si introduces los datos en la calculadora verás que el tamaño angular del Sol es de unos 0,53°, es decir, 32′. No es una fuente puntual, aunque sea pequeña (hacen falta unos 670 Soles colocados uno al lado del otro para “llenar” una circunferencia de 360°). De modo que, aunque los rayos de una fuente puntual muy alejada son aproximadamente paralelos, esta aproximación no siempre funciona bien en el caso del Sol. Especialmente, por supuesto, cuando una parte del Sol está tapada y otra no, algo que sería totalmente imposible en el caso de una fuente puntual.

Naturalmente, si un objeto relativamente grande está muy cerca del suelo (por ejemplo, una sombrilla), entonces tapa el Sol completamente y debajo de él hay una sombra muy buena. Incluso ahí no es una sombra perfecta, puesto que la dispersión de la luz solar por parte de la atmósfera sigue haciendo llegar luz al suelo desde otras direcciones, pero es una sombra oscura y nítida.

Pero si el objeto se aleja del suelo, como un avión cuando despega y se eleva, su tamaño angular va disminuyendo. Al principio, el avión puede tapar el Sol completamente y producir una sombra de gran nitidez en el suelo, pero según se va elevando la cosa cambia. Su sombra, puesto que los rayos son más o menos paralelos, aumenta muy poco a poco –pero aumenta, no es exactamente igual según se eleva– pero lo más importante es que se va haciendo borrosa, pues sus bordes se vuelven penumbra.

Según aumenta la altitud del avión hay más penumbra y menos sombra, hasta que llega un momento, cuando el avión ya no es capaz de tapar el Sol completamente, sin importar dónde estés sobre la superficie terrestre, en el que sólo hay penumbra y no hay sombra. Según el avión sigue ascendiendo, esta penumbra se va haciendo más tenue y sus bordes más difíciles de distinguir, hasta que es imposible percibirla.

De hecho, podemos realizar otra estimación burda para saber cuándo ya no hay sombra propiamente dicha: un Boeing 747 tiene una longitud de unos 70 metros, una envergadura de unos 60 metros y una altura de unos 20 metros. Pongamos que, más o menos, el tamaño del aparato en lo que a tapar el Sol se refiere es, redondeando, de 30 metros (pues aunque lo tape “a lo largo” puede dejar ver parte del Sol “a lo ancho” o “a lo alto”).

La pregunta trigonométrica entonces es, ¿a qué distancia de nosotros un objeto de 30 metros tiene el tamaño angular del Sol? Existen dos maneras de estimarlo. La primera es trigonométrica una vez más:
La distancia es, despejando D de la fórmula de arriba (como si el avión fuera el Sol), con δ = 32′ y d = 30 m,

D = d / 2[tan(δ/2)]

Si introduces esos datos en la calculadora verás que D resulta ser de unos 3 kilómetros.

La segunda manera es hacer una regla de tres: si el Sol y el avión tienen el mismo tamaño angular, la relación entre las distancias respectivas al observador (150 Mkm y D) debe ser proporcional a la relación entre sus tamaños (1.4 Mkm y 30 m). El resultado vuelve a ser, por supuesto, de unos 3 km.

Con lo que, en una primera aproximación, la sombra de un Jumbo como tal deja de existir a unos 3 km de altitud. Sigue habiendo penumbra, y supongo que puede ser posible vislumbrar algo tenue y borroso, pero un poco más arriba deja de ser visible. Puesto que la altura de crucero de un avión comercial es de unos 10 km, excepto en el aterrizaje y despegue (o si miras una nube desde el avión, claro), no hay sombra que valga.

Desde luego, esto es una aproximación burda: para empezar, el avión no puede estar justo encima de tu cabeza y tapar el Sol, pues el Astro Rey está a un mínimo de 23° respecto a la vertical, con lo que los 3 km serían de distancia entre el avión y tú, y la altitud sería algo menor; pero he redondeado tanto que el error (más o menos de un 8%) no es relevante en este caso.

Naturalmente, esta altitud es proporcional al tamaño del avión, de modo que una avioneta con 10 metros de “tamaño eficaz” para tapar el Sol sólo tiene que volar a 1 km de altura para que su sombra deje de existir como tal, sólo es penumbra. Puesto que muchas avionetas no vuelan demasiado alto, me imagino que es más probable ver la sombra de una que la de un avión comercial.

Independientemente de esto, si observas la sombra del avión desde el propio avión es posible que veas otro fenómeno precioso, denominado gloria, que se produce también en otras situaciones pero es de una gran belleza visto desde un avión. La próxima vez que vueles, si puedes ver la sombra del avión, échale un ojo de vez en cuando por si las condiciones son las adecuadas y puedes ver algo como esto:

Crédito: Wikipedia/GPL.

La gloria es algo similar al arco iris, sólo que con un tamaño angular mucho más pequeño (unos 5°-20°), y se ve especialmente bien cuando el avión sobrevuela nubes. Tres fenómenos ópticos (la refracción, la reflexión y la difracción) están involucrados, cuando los rayos solares se encuentran con minúsculas gotículas, y aún no entendemos perfectamente el proceso físico por el que se forman –sí, a pesar de ser parecido al arco iris–, aunque existen teorías, como la de Mie, que producen modelos matemáticos que las simulan bastante bien.

La gloria, igual que el arco iris, se ve simplemente por la posición del observador respecto al Sol: en la foto de arriba, está alrededor de la sombra porque el centro de la gloria (como el centro del arco iris) se encuentra justo en la posición antisolar –opuesta al Sol– vista desde el observador… ¡y ahí es justo donde está la sombra del avión! Pero son fenómenos totalmente independientes: la gloria no se produce porque el avión esté interfiriendo de algún modo con la luz solar.

A veces se ven alrededor de la sombra de tu cabeza si hay niebla, y es probable que hayas visto alguna a lo largo de tu vida, de una u otra forma. De hecho, en China se llama la luz de Buda, y a veces era considerada una muestra de la iluminación interior de una persona el hecho de que pudiera verse. Como es más fácil ver la tuya que la de los demás, me pregunto si todo el mundo pensaría que ellos eran los iluminados y los demás no.

Un par de glorias más, simplemente por el placer de verlas:

Gloria alrededor de la sombra de una cabeza.

Gloria desde el Golden Gate Bridge de San Francisco.

Para saber más:

• Gloria (en inglés — desgraciadamente no lo he encontrado en la Wikipedia en español).
• FUENTE: El Tamiz

¿Tienen que ser paralelas las sombras con luz del sol?

¿Habéis visto alguna vez una foto de la que se diga que es un montaje ya que las sombras proyectadas por el sol no son paralelas? Seguro que sí, de hecho es uno de los principales argumentos que los cospiranóicos usan para argumentas que el hombre no pisó nunca la luna y que las fotografías que se tiene de ello son falsas... Pues bien, os voy a hablar aquí de cómo hay que analizar realmente dichas sombras, a ver si es cierto o no que el hombre llegó a la luna o que un águila casi captura a un bebé.

Para empezar tenemos que decir que todo esto de las sombras paralelas se produciría cuando el foco de luz está en el infinito. El sol no va a estar en el infinito, pero está tan lejos que es casi como si lo estuviera, ya que la desviación de dirección entra la sombra de un objeto y otro va a ser tan pequeña que no vamos a ser capaces de diferenciarla, al menos a simple vista.

También tenemos que tener en cuenta que para que las sombras sean paralelas, tienen que incidir sobre una superficie plana que tenga la misma inclinación para ambas sombras. Si tenemos dos palos colocados sobre el suelo de forma vertical, pero cada uno proyecta su sombra sobre una superficie de distinta inclinación, pues sus sombras no son paralelas. Es más, puede pasar incluso que la sombra de dichos palos ni sea una línea recta, como podemos ver en la siguiente sugerente imagen:



En dicha foto se ve claramente que las sombras no son paralelas. Veamos otro en el campo:

Imágen obtenida de www.clavius.org

Como podéis ver, a la izquierda de la última imagen el terreno está inclinado, y eso hace que las sombras proyectadas ahí no sean paralelas a las otras. Y luego una obviedad que increíblemente a mucha gente se le escapa, si dos objetos no están colocados en posiciones paralelas, sus sombras no tienen por qué ser paralelas.

Pero no nos quedemos solo ahí, es que todavía nos surgen más problemas: el punto de fuga. El punto de fuga es aquel en el que líneas paralelas parecen converger. Es decir, si observas por ejemplo una carretera o una vía de tren, de forma que su trayectoria es recta hasta donde te alcanza la vista, si te sitúas sobre ella e intentas ver donde acaba, lo que te va a pasar es que los laterales de dicha carretera o vía (que son rectas paralelas) a lo lejos parece que se van a unir. Pues esto es el punto de fuga, el punto en el que según nuestra visión, rectas paralelas van a unirse, véase por ejemplo la siguiente foto:

Foto de la cuenta de Flickr de leo.prie.to

Así que tenemos varios problemas, primero tenemos que saber si los objetos están paralelos, luego si el terreno tiene siempre la misma inclinación, y por último tener en cuenta que las rectas paralelas tienden a converger a lo que se llama punto de fuga. Hasta aquí he resumido lo que sería la típica pelea con un cospiranoico lunar, dándole argumentos que invalidan sus razonamientos sobre sombras no paralelas, pero hay que reconocer que nuestra defensa puede parecer una serie de simples excusas, ya que tampoco estaríamos probando que las sombras se comportan bien. Entonces, ¿cómo podemos comprobar realmente si estamos ante un montaje?

Pues bien, lo que pasa es que en realidad tenemos que olvidarnos de la dirección en la que van las sombras, lo que tenemos que observar realmente es la dirección en la que se están proyectando dichas sombras. No te fijes en la sombra de un objeto, fíjate en un punto de ese objeto, ¿dónde está la sombra de ese punto? Pues si unimos ese punto con su sombra con una línea recta, dicha recta es la que nos da la dirección de la proyección. Y ahí sí, estas direcciones son las que van a ser paralelas, y como estamos mirando puntos, nos da igual la forma y dirección que tenga el objeto que crea la sombra, e incluso nos da igual si el terreno está inclinado o no, porque dichas proyecciones van a seguir siendo paralelas:



Observad la imagen. La sombra tiene una dirección, pero olvidémosnos de ella, he marcado de amarillo un punto y su sombra, y la línea recta que he puesto de rojo nos dará la dirección en la que se proyecta la sombra. Y en eso es en lo que nos tenemos que fijar, en esa dirección y no en la de la sombra en sí. Claro está que en ocasiones puede ser difícil detectar un punto y su sombra, pero podremos al menos conseguir algo aproximado.

Bueno, hay todavía un problema. Vale, podemos mirar las proyecciones, pero como hemos dicho antes, las rectas paralelas no nos lo parecerá porque habrá un punto de fuga en el que parecerá que se cortarán. Pues bien, lo único que tendremos que hacer entonces es si todas las direcciones en las que se proyectan las sombras convergen al mismo punto de fuga. ¿Y si por lo que sea solo podemos comparar 2 proyecciones? 

Claro, en este caso si no sabemos de antemano dónde va a estar el punto de fuga, pues no podríamos decir nada... Pero... ¡sí conocemos el punto de fuga! Bueno, al menos que tengamos el sol a nuestras espaldas. 

Pero si no es así, ¡el punto de fuga va a estar exactamente en el sol! Así que si tenemos la suerte de que el sol sale en la fotografía que sospechamos que puede ser un montaje, habría que ver si el punto de fuga de dichas proyecciones es efectivamente el sol. ¿Por qué es el sol el punto de fuga? Pues sencillo, solo hay que pensar que las sombras se crean porque un objeto no deja pasar la luz del sol, pero es que esta luz proviene de un rayo de luz que sale del sol, así que la sombra se proyectará en la dirección proveniente del sol. 

Veamos algunos ejemplos con fotos tomadas en la Luna. Observad esta foto que circula mucho por internet:



Como veis, algún conspiranoico de turno está comparando la dirección de la sombra del módulo lunar con la sombra de las piedras de la esquina inferior derecha. Además incluso está marcando cuál sería un posible punto de fuga, que como no está allá en el infinito demostraría que dichas líneas amarillas no son paralelas. 

Pero es que efectivamente no lo son. Vamos a intentar ver aproximadamente las dirección de las proyecciones de las sombras en vez de las sombras en sí. Hacemos un pequeño zoom y obtenemos aproximadamente esto:



Se observa que ambas proyecciones son casi paralelas, no son paralelas porque deben de unirse en el sol que está fuera de la foto, pero claramente arriba a la izquierda. Por cierto, no estoy seguro de si la sombra del módulo lunar es más larga de lo que se ve en la imagen, pero si lo fuera no supondría ningún problema. 

Vamos ahora con otra imagen, ahora alguien que sabe que el punto de fuga debe de ser el sol ha marcado las siguientes líneas, aunque parece que no tenía muy claro lo que hacer:



Pero se equivoca, porque claro, la dirección de las sombras no tienen nada que ver con el punto de fuga de las proyecciones. Además lo que se ve en la imagen no tiene pinta de ser el sol sino un reflejo que pilla la foto, ¿o quizá la Tierra? Bueno, el sol claramente no es ya que debería de ser totalmente redondo. Voy a marcar en esta foto las proyecciones reales, las marco en amarillo para no confundirlas con las que ya hay. 

Marco una desde el astronauta, otra desde la parte de arriba de la antena y otra desde la parte de arriba del aparato que hay a la izquierda:



Pues bien, las 3 líneas amarillas tienen pinta de ser paralelas. Por supuesto que en la foto no lo son porque deben de cortarse en el punto de fuga que sería el sol, y efectivamente parece que convergen hacia el mismo punto y que desde luego no es el supuesto sol que se ve en la imagen. Y ni se os ocurra comparar las direcciones marcadas en amarillo con las direcciones de las sombras, eso no serviría para nada.

En fin, si cogéis cualquier otra foto del alunizaje podréis comprobar que en un principio no hay ningún problema con las sombras. Vamos ahora a buscar otro ejemplo. Recientemente apareció un vídeo por internet en el que un águila casi caza a un bebé:

Dicho vídeo es un montaje, hasta está reconocido por sus creadores y hay varios detalles que lo demuestran. Antes de que se hiciera oficial si era un montaje o no, pues hubo bastantes discusiones sobre ello. Algunos decían que era un montaje y daban pruebas como que las sombras no eran paralelas, como se ve en la siguiente imagen:


Efectivamente las sombras del padre y del águila no son paralelas, pero claro, ni sus posiciones son paralelas y además es posible que el terreno tenga distintas inclinaciones. ¿Cómo tendríamos que analizar las sombras? Pues mirando la dirección en la que se proyectan:


Como lo que podría haber sido insertado en el paisaje es al bebé y al águila, marcamos las sombras proyectadas por estos en rojo y el resto en amarillo. Como se puede ver, todas estas proyecciones no terminan en el mismo punto de fuga, sino que las proyecciones de las sombras del bebé y el águila tienen un punto de fuga que entra casi en la imagen, y sin embargo el resto de proyecciones parecen tener el punto de fuga mucho más lejos. Y con esto se determinaría que efectivamente el vídeo es un montaje, como se podría haber comprobado de muchas otras formas.

Con todo lo explicado, es fácil darse cuenta de que podemos hacer lo mismo cuando el foco de luz no es el sol sino alguno más cercano, y solo tenemos un foco. Podemos igualmente estudiar las distintas direcciones de las proyecciones de sombras de distintos objeto, y lo que tendría que pasar es que todas estas direcciones deberían de apuntar hacia el foco de luz, salvo que está detrás de la cámara, claro.

Y con esto termino, como veis en realidad no es nada complicado estudiar las sombras, pero a pesar de ello se pueden encontrar multitud de razonamientos erróneos en internet, como acabos de comprobar aquí.

Nota: si nos ponemos quisquillosos podríamos decir que en realidad los rayos de sol no vienen en línea recta desde él, ya que según la teoría de la relatividad en realidad van tomando las curvas que crean en el espacio los objetos con masa (planetas, luna, etcétera), pero bueno, en general estas alteraciones de la trayectoria de la luz va a ser tan pequeña que tampoco vamos a poder notar la diferencia en las trayectorias. 

Es más, como realmente lo que vemos proviene de la luz, digamos que nuestra visión a lo lejos también iría curvándose por lo que las posibles curvas que pudiese tomar la luz, en realidad la veríamos como rectas.

Tomado de:

Zurditorium