El sorprendente cuadrado mágico del maravilloso pintor Durero

Desde siempre, el mundo del arte ha sabido aprovechar y sacar partido a lo que las matemáticas le brindaban, repercutiendo por tanto en nuestro propio beneficio. El buen uso de la perspectiva y de las proporciones o la utilización de la razón áurea son algunos buenos ejemplos.

Pero también encontramos casos en los que lo reseñable no es la utilización de las matemáticas en el arte, sino que las matemáticas están plasmadas en el propio arte. Tenemos ejemplos de arte matemático “vanguardista”, como los que os mostraba ayer en esta entrada, y también hay casos que tienen más tiempo. Hoy os traigo uno donde el protagonista es un cuadrado mágico.

El cuadrado mágico de Durero

Alberto Durero fue un pintor alemán (nacido en Nuremberg) de los siglox XV y XVI con una producción artística muy amplia y de gran calidad. Además de ejercer una gran influencia en sus contemporáneos, fue uno de esos artistas que consiguieron utilizar de forma magistral la geometría y las proporciones matemáticas en su arte. Además fabricó algunos dispositivos mecánicos para facilitar el dibujo en perspectiva, que representó en algunos de sus grabados, como El dibujante del laúd, La mujer desnuda o El dibujante en la jarra. También se preocupó bastante del trazado de las secciones cónicas, llegando a escribir tratados donde explicaba métodos para ello.

Entre sus obras se encuentran cuadros, varios de ellos autorretratos (como el que puede verse a la derecha, que está en el Museo del Prado de Madrid), dibujos y grabados. Vamos a detenernos en uno de ellos, Melancolía I:

Este grabado compone las “Estampas Maestras” junto con otro dos grabados: “El caballero, la Muerte y el Diablo” y “San jerónimo en su gabinete”. Es, posiblemente, la obra más misteriosa de Durero.
¿Os habéis fijado en lo que hay en la parte superior derecha? Vaya, un cuadrado con números…No será…¡¡Sí, un cuadrado mágico!!:

Como podéis ver, en el grabado aparecen más detalles relacionados con las matemáticas, como una esfera o un poliedro truncado. Pero, como decía, detengámonos en el cuadrado. ¿Es un cuadrado mágico? Sí, es un cuadrado mágico de los más habituales, ya que la suma de los elementos de sus filas, de los de sus columnas y de los de sus diagonales es siempre la misma, 34, que es por tanto la “constante mágica” del cuadrado:

Pero este cuadrado mágico es mucho más especial de lo que parece. Sumemos los números de las esquinas:

¿Cuánto suman? Sí, 34.
Sumemos ahora los números centrales:

¿Y ahora cuánto suman? Otra vez 34.
Veamos ahora qué ocurre con los números centrales de las filas superior e inferior:

Exacto, 34.
¿Y con los centrales de la primera y la última columna?

También 34.
Si dividimos el cuadrado por la mitad tanto horizontal como verticalmente, nos quedan cuatro cuadrados más pequeños con cuatro números cada uno:

¿Qué ocurre si sumamos los números que hay en cada uno de esos cuadrado? Pues sí amigos, 34 en todos los casos.

¿Y si saltamos una posición tanto en filas como en columnas (primero y tercero de primera y tercera fila, segundo y cuarto de primera y tercera fila, etc)? ¿Y agrupando con salto de caballo los números exteriores? ¿Y si sumamos por parejas saltando una fila (primero y segundo de primera y tercera fila, tercero y cuarto de primera y segunda fila, etc)?


Todas 34
¿Y agrupando por parejas saltando una columna? ¿Y formando esas dos cruces? ¿Y éstas otras?


De nuevo, cómo no, 34.
Y todavía hay más:

Y seguro que hay más agrupaciones interesantes y curiosas de elementos de este cuadrado cuya suma vuelve a ser este misterioso y enigmático, a la par que cansino, número 34.

Además si elevamos al cuadrado y al cubo sus elementos, nos quedan cuadrado que aunque no son mágicos sí que tienen propiedades interesantes. Os invito a explorarlos y a que comentéis las regularidades que encontréis en ellos:

- El de los cuadrados:

- El de los cubos:

Y para terminar, ¿sabéis de que año es Melancolía I? Sí, efectivamente, de 1514 (los números centrales de la última fila). Y, por rizar el rizo, los números de las esquinas de la última fila, el 4 y el 1, corresponden en nuestro alfabeto a las letras D y A, esto es:
Durero, Alberto

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La foto de Durero la he tomado de aquí y la de Melancolía I de aquí.

Tomado de:

Gaussianos

La raíz cuadrada de dos: El terror de los Pitagóricos

El primer intento serio de “hacer ciencia”, o por lo menos algo que nosotros, dudosos habitantes del siglo XXI, podamos considerar como ciencia, ocurrió en Mileto, una próspera colonia griega del Asia Menor, donde vivió Tales (de Mileto, obviamente) en el siglo VI a.C., del que cuentan que, basado en viejos datos babilónicos, predijo el eclipse total del 28 de mayo de 585 a.C. Verdadero o no, a veces la fecha de ese eclipse se pone como punto de arranque de la ciencia occidental.

Tales de Mileto y su escuela introdujeron una innovación absoluta en el pensamiento griego: separar lo natural de lo sobrenatural y establecer que los fenómenos naturales deben explicarse mediante causas naturales. Es la escuela de la physis. La escuela de Mileto dejó planteado un problema difícil: ¿por qué se debe aceptar tal o cual explicación (desde ya, los milesios estaban muy lejos de la idea de experimento)? Y ¿cómo podemos basar una teoría en la observación, sabiendo lo poco fiables que son los sentidos, y la empiria en general?

Problemas que fueron enfrentados por la escuela eleática (por Parménides de Elea, 540-470 a.C.), que frente al testimonio dudoso de los sentidos, opone un Ser permanente, inmóvil, continuo, eterno y sin atributos, al que sólo se puede acceder por la vía de la razón, olvidando los fenómenos, puramente contingentes (como quiere demostrar Zenón de Elea, discípulo de Parménides con la célebre paradoja de Aquiles y la tortuga). Pero un Ser sin atributos no puede darnos demasiado; el camino de Parménides no produce ciencia sino metafísica: en realidad, la escuela eleática lleva a la incipiente ciencia griega a un callejón sin salida. ¿Cómo salir del atolladero?

Los filósofos griegos siguieron: algunos tomaron un camino radical, como los atomistas (Demócrito y Leucipo), que fracturaron el ser en pequeñas partículas indestructibles y eternas: los átomos, infinitos, “increados”, tienen distintas formas y que se mueven permanentemente en el vacío. Y hubo, si se quiere, otra solución: las matemáticas, en las que la razón no tiene que discutir ni ocuparse de fenómenos, sino de relaciones puras. Ese es el camino que suscribió una escuela muy importante que se desarrolló a partir del siglo V en el sur de Italia, la escuela pitagórica. Los pitagóricos establecieron que la fuente de la realidad son los números. A la pregunta ¿cuál es el origen de las cosas?, respondieron: los números.

Es posible que esta idea haya partido del estudio de la música: descubrieron que hay relaciones numéricas precisas entre los sonidos; y estas relaciones, para nada evidentes, pudieron impulsarlos a dar el paso audaz de generalizar y proclamar que todas las cosas consisten en números. 

Así, la escuela pitagórica opta por el pensar y resuelve el problema milesio. Y fueron tal vez un poco más lejos de lo aconsejable: identificaron a la Justicia con el número 4 por tratarse del primer número cuadrado; al matrimonio con el 5, que representaba la unión del macho (3) con la hembra (2). Además, creían que todo el cielo era una escala musical, analizaron muchas propiedades de los números, trabajaron sobre los poliedros regulares, las medias aritméticas, geométricas y armónicas, acústica y astronomía, que era algo así como geometría aplicada. Desde ellos viene esa ligazón entre aritmética, música, astronomía y geometría que constituirá el quadrivium medieval. Propusieron un sistema, integrado por un fuego central alrededor del cual giraban veinte cuerpos envueltos en niebla, y dieron numerosas demostraciones; la más famosa es, desde ya, el teorema de Pitágoras).

Pero he aquí que el teorema de Pitágoras llevó a una conclusión asombrosa, que puso en jaque todo el sistema pitagórico. Al fin y al cabo, si uno construye un cuadrado de lado 1, se puede ver fácilmente que, como el cuadrado de la diagonal es la suma de los cuadrados de los catetos, es 1 al cuadrado + 1 al cuadrado = 2. Y entonces la diagonal mide la raíz cuadrada de 2.

Resulta que los pitagóricos descubrieron también que la raíz cuadrada de 2 no es un número, que no hay ninguna fracción que la represente: la raíz de 2 es “a-logos”, es inexpresable: es irracional. Y sin embargo, la diagonal de un cuadrado de lado 1 está ahí, de manera neta y tan evidente; tiene una longitud real y extremos fijos, puede construirse una varilla de esa longitud concreta, pero esa longitud concreta no parece ser nada, no parece pertenecer a la esfera de lo posible... y sin embargo, está allí. Pero además, es imposible negar la existencia de la raíz cuadrada de 2, que no se produce en el terreno de la empiria, sino en el mundo puro de los números.

Ahora, ¡hay que imaginar el efecto que este descubrimiento tuvo que tener en algunos de los primeros pitagóricos! Ellos suponían que todo consiste en números y que el conocimiento expresa relaciones entre números (enteros o fraccionarios). Pero he aquí que una entidad, que ciertamente pertenece a la ciencia, la diagonal de un cuadrado, no puede ser expresada con números enteros, no puede existir. Es decir, tenemos algo concreto y ese segmento, que está ahí no es un número, no es nada. Y la medida de la diagonal de un cuadrado de lado 1 tampoco es nada. ¡Pero la diagonal de ese cuadrado está ahí! ¿Cómo puede ser que a un segmento no corresponda ninguna longitud?

Un ejemplo del terror que produjo ver que algo tan simple como la raíz cuadrada de 2 era un irracional es la leyenda según la cual un pitagórico, Hipaso, divulgó el secreto y pereció ahogado como castigo divino por su acción. Y es que la escuela pitagórica se había embarcado en un callejón sin salida. Construyeron todo un edificio científico, místico, que les parecía muy sólido, y de repente aparece este asunto que amenaza con precipitar toda la escuela en el abismo. Los pitagóricos se enfrentan a este dilema y no lo pueden resolver. Han fracasado en su teoría de que todo está constituido por números, aunque la influencia que ejercieron siguió resonando a través de los siglos, y la encontramos aún en Kepler.

Y es que el problema con que se enfrentaron no es fácil de resolver, la raíz de 2, como descubrieron los pitagóricos, desde ya no es una fracción: no hay número entero ni fraccionario alguno que multiplicado por sí mismo nos reproduzca exactamente al 2. Actualmente escribimos raíz cuadrada de 2 como 1,14142135624 y agregamos una serie de puntos suspensivos que significan que la fracción decimal no tiene fin, que el número de decimales (no periódicos) es infinito. Es lo que ahora llamamos (quizás en homenaje a Pitágoras) un número irracional.

El terror de los pitagóricos ante la raíz de 2 es fácil de entender, porque nosotros, hoy, en el fondo, seguimos siendo pitagóricos. No creemos, como Pitágoras, que todo es número, pero sí que las matemáticas subyacen al mundo empírico; que de un modo misterioso organizan la empiria, que aquello que es matemáticamente posible es y que aquello que no es matemáticamente posible, no es.

Tomado de:

Página 12 

Bonus:

La biografía de Pitágoras, y detalles curiosos de los pitagóricos, en esta presentación:

Conocer Ciencia - Pitágoras y el número from Leonardo Sanchez Coello

¿Quién dijo que la cuadratura del círculo era imposible?

Estamos ya hartos de leer/escuchar que la cuadratura del círculo es algo imposible, que no se puede “cuadrar” un círculo, que es una construcción que no se puede realizar. Lo tenemos tan oído que hasta como frase ha pasado a formar parte de nuestro lenguaje habitual (la propia RAE recoge dentro de “cuadratura” que la cuadratura del círculo se usa para indicar la imposibilidad de algo).

Y así es. Como ya sabemos, Lindemann demostró que es un número trascendente, hecho que implica que la cuadratura del círculo es una construcción imposible…¿Seguro? Sí, siempre que añadamos la coletilla con regla y compás, que en realidad significa utilizando solamente una regla y un compás con las normas para construcciones marcadas en la antigua Grecia (aquí tenéis esas condiciones y también algunas construcciones sencillas con regla y compás). Es decir, la cuadratura del círculo es imposible si como únicas herramientas tenemos una regla y un compás y solamente podemos utilizar las normas que se establecieron en la antigua Grecia. Bien, ¿y qué ocurre si no imponemos esa restricción? ¿Qué pasa con esta construcción si abrimos un poco el campo, si no somos tan restrictivos? Pues…
…que la cuadratura del círculo sí es posible. Y no me refiero a aproximaciones más o menos buenas, sino a la construcción exacta. Es decir:

Si eliminamos la restricción de utilizar solamente regla y compás y las normas establecidas en la antigua Grecia, se puede realizar la cuadratura del círculo. Esto es, partiendo de un círculo de área A se puede construir un cuadrado de área A.

Vamos a ver cómo hacerlo.

Partimos de una círculo de radio (cuya área sera, entonces, )que podamos girar, por ejemplo un rodillo para pintar. Marcamos un punto en él y hacemos girar sobre un papel el rodillo hasta realizar un giro completo. El punto habrá marcado un segmento de longitud .

Tomamos un segmento de la mitad de longitud que éste, , lo unimos a otro segmento de longitud igual al radio del círculo inicial, , y trazamos una semicircunferencia que tenga a ese segmento de longitud como diámetro. Quedaría algo así:

Trazamos ahora desde el punto de unión de los dos segmentos un segmento perpendicular a este diámetro que corte a la semicircunferencia. Se tiene entonces que el triángulo formado por los dos extremos del diámetro y ese punto de corte con la semicircunferencia es un triángulo rectángulo (precisamente en el ángulo que forma en la semicircunferencia en dicho punto de corte):

¿Cuál es la longitud de este segmento? Es sencillo calcularla. 

Lea el artículo compleo en:

Gaussianos

Maravilloso: La belleza de los cuadrados mágicos

Los cuadrados mágicos, inocentes cuadrados con números que esconden propiedades tan interesantes. Pero no todos son iguales, ni mucho menos. Los hay muy simples, que cumplen con las propiedades justas para llamarlos mágicos, y también los hay que tienen características interesantes para dar y tomar.

Por aquí ya hemos hablado sobre cuadrados mágicos. Vimos qué era un cuadrado mágico numérico (la suma de las filas, las columnas y las diagonales es siempre la misma), qué era la constante mágica en cuadrados mágicos con los números del 1 al n² y métodos para construirlos. Hoy vamos a ver muchos cuadrados mágicos, pero no de los habituales, no de los simples. Vamos a ver cuadrados mágicos numéricos que cumplen muchas más propiedades que los habituales; también veremos algunos en los que el producto (en vez de la suma) es la operación protagonista; y hasta alguno que no es numérico.

Espero que después de admirar todas estas maravillas matemáticas la magia que desprenden estos cuadrados haya penetrado en vuestras mentes para quedarse ahí para siempre.


El cuadrado mágico de Durero

De éste ya hemos hablado en Gaussianos:

Aparece en el grabado de Durero Melancolia I. La suma de las filas, las columnas y las diagonales es 34, número que puede encontrarse en muchas otras combinaciones de números del propio cuadrado. No os perdáis el post que le dediqué no hace mucho: El cuadrado mágico del pintor.

El cuadrado mágico de la Sagrada Familia

En la Sagrada Familia de Barcelona tenemos otro cuadrado mágico interesante, que fue diseñado para la llamada Fachada de la Pasión por el escultor Josep María Subirachs. Es éste:

Es del estilo al de Durero, pero se han rebajado algunos números para forzar que la constante mágica del cuadrado sea 33, lo que hace que haya números repetidos. Hay diversas interpretaciones para ello, como que se hizo porque es la edad a la que muere Jesucristo, uno de los personajes principales de la obra literaria “La Biblia”, o que está relacionada con la masonería. Sea como fuere, este cuadrado mágico también es muy interesante, y de él han hablado, por ejemplo, en la trébede y en Microsiervos.

Cuadrados mágicos de productos

Pero no solamente de sumas viven los cuadrados mágicos. También los hay en los que el productos de los elementos de cada fila, columna o diagonal dan el mismo resultado, como éste, donde esos productos dan todos 216.

o el que nos presentó Javier Cilleruelo en el tercer desafío RSME-El País.

Cuadrados alfamágicos

Y no solamente de números viven los cuadrados mágicos, sino también de letras. Bueno, de la cantidad de letras, como ocurre en este cuadrado que nos enseñaron en Futility Closet:

Es un cuadrado mágico habitual con los números que contiene. Pero, además, si sustituimos cada número por la cantidad de letras que tiene su nombre en inglés, el resultado es otro cuadrado mágico. Este problema también se trató en la serie de desafíos RSME-El País por parte de Jose Luis Carlavilla, profesor en la UCLM, en el desafío 22. Y de él también han hablado en este post de Simplemente números.

Un cuadrado mágico con letras

Decíamos que las letras, en lo que se refiere al número de letras del “nombre” de los números, también tienen su hueco en el mundo de los cuadrados mágicos. Pero las letras en sí también tiene su lugar reservado en este apasionante mundo. El caso más conocido es, sin duda alguna, el Cuadrado Sator, en el que aparecen las palabras latinas SATOR, AREPO, TENET, OPERA y ROTAS formando el siguiente cuadrado mágico:

  (Imagen tomada de aquí)   Yo no conozco más casos de este tipo. Si alguien sabe de alguno más que lo comente.

Mezclando suma y producto en un cuadrado mágico

Hemos visto cuadrados mágicos que lo son usando la suma y otros que lo son usando producto. ¿Y las dos a la vez? Sí amigos, hay cuadrados mágicos que lo son con la suma y también con el producto. Os dejo este ejemplo, sacado del grandioso blog Futility Closet. En él, que podéis ver aquí, la suma de los elementos de cada fila, columna y diagonal es 840, y el producto de los elementos de cada fila, columna y diagonal es 2058068231856000:

Mezclando sumas con potencias

Y también los hay dobles por sumas y potencias, como éste otro que he tomado también de Futility Closet. En él la suma de los elementos de cada fila, columna y diagonal es 260, y a elevar al cuadrado todos los elementos obtenemos otro cuadrado mágico donde la suma de los elementos de toda fila, toda columna y las dos diagonales es 11180:

Maravilloso cuadrado mágico en homenaje a Martin Gardner

Precioso homenaje el que le da Richard Wiseman a nuestro siempre querido y admirado Martin Gardner en forma de cuadrado mágico. Grandioso vídeo:

El cuadrado mágico del 19 y las expresiones decimales
Ni siquiera las expresiones decimales se libran. En este caso le toca a las expresiones decimales de las fracciones , con :

Todas las filas, columnas y diagonales del cuadrado formado por estos números suman 81. No me digáis que no es impresionante. Y, de nuevo, es Futility Closet quien no lo enseña en este post.

Cuadrado mágico con números primos

¿Y si le pedimos a todos los elementos de un cuadrado mágico que sean primos? ¿Obtendremos alguno? ¡Claro! Por ejemplo éste:

En él todos los elementos son números primos y la suma de cada fila, columna y diagonal es 258.
En MathForum han hablado sobre él y también sobre muchísimas otras cosas relacionadas con cuadrados mágicos (enlace muy recomendable).

Construyendo un cuadrado mágico a partir de otro

Curiosísima manera de construir un cuadrado mágico a partir de otro que nos muestran en este post del gran blog Juegos de Ingenio. De éste no digo nada más, os dejo que lo veáis por vosotros mismos.
El monstruo 13×13
Y, cómo no, nuestro gran amigo Tito Eliatron también se ha unido en algún momento a la fiebre de los cuadrados mágicos. Lo hizo con este monstruoso cuadrado mágico 13×13 que esconde una gran cantidad de propiedades interesantes:

Si tomamos el 3×3 central obtenemos un cuadrado mágico, si tomamos el 5×5 central también, y el 7×7, y el 9×9 y el 11×11…y, además, la constante mágica de cada uno de ellos es la del inmediatamente inferior más 10874. Todavía estoy con la boca abierta.

El twist

Y de nuevo Futility Closet aparece en esta serie de cuadrados mágicos. En este caso es para enseñarnos este cuadrado mágico twist, con contante mágica 157, que cumple que al girarlo 90º nos da también un cuadrado mágico con la misma constante:

El cuadrado mágico de Benjamin Franklin
Y aquí tenemos otro de esos cuadrados mágicos que uno no llega a entender cómo se descubren, o cómo se construyen, dada la tremenda cantidad de propiedades que contiene. Es el denominado cuadrado de Franklin:

y también nos lo enseñaron en este post de Futility Closet. Su constante mágica es 260 (aunque las diagonales no suman eso), pero, como decíamos, encierra una gran cantidad de curiosidades dignas de mención. Por ejemplo, cada mitad de una fila y de una columna suma 130, los cuatro números de las esquinas y los cuatro números centrales también suman 130, la suma de los elementos de cada cuadrado 2×2 que tomemos es 130 (¿¿??), los cuatro elementos de una diagonal ascendente junto con los cuatro de la correspondiente descendiente también sman 260…y seguro que hay más propiedaes interesantes ocultas.

Y el remate final: cuadrados mágicos con figuras geométricas

Los hay de números (de todos los tipos habidos y por haber), de letras (tanto de cantidades de letras como de letras en sí)…¿Por qué no de figuras geométricas?

En la galería de Geomagic Squares aparecen muchísimos, como el de la figura superior (en Microsiervos también hablaron sobre ellos). Realmente curiosos, ¿verdad?

Y, para terminar, os dejo uno de estos con figuras geométricas que habría venido muy bien para el día de San Valentín. Un bonito cuadrado mágico de figuras y corazones que pudimos ver el año pasado en SpikedMath:

Creo que no podréis negar que es maravilloso.

Fuente:

Gaussianos

Cómo transformar un triángulo en un cuadrado de igual área.

How to transform a triangle in a square of the same area.

Cómo transformar un triángulo en un cuadrado de igual área.

Tomado de:

Curiosidades No Geométricas

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