Los macacos pueden aprender a sumar

Un experimento realizado durante tres años revela que estos primates son capaces de aprender a sumar, demostrando que no es una habilidad exclusiva de los seres humanos.

Los monos macacos comparten con los seres humanos el 97,5% de sus genes, un porcentaje que baja al 93% si se comparan las secuencias de ADN en común. Un parecido genético bastante similar al que guardan humanos y chimpancés, que hace unos seis millones de años se separaron evolutivamente de nuestros ancestros, frente a los 25 millones de años transcurridos desde que los macacos siguieron una evolución distinta.

La secuenciación de sus genomas ha mostrado científicamente un parecido que etólogos y neurobiólogos comprueban día tras día en sus laboratorios con los variados y cada vez más complejos experimentos de comportamiento a los que someten a estos animales. Cuanto más se observan, más sorprendentes son los resultados, como los obtenidos por un nuevo estudio que muestra habilidades aritméticas de los macacos hasta ahora desconocidas.

Anteriores investigaciones habían sugerido que las operaciones matemáticas no son exclusivas del hombre, sino resultado de los procesos evolutivos. Se comprobó, por ejemplo, que los macacos pueden aprender a contar, descartando así que la comprensión de conceptos numéricos dependa de la adquisición del lenguaje humano.

La nueva investigación, publicada esta semana en la revista Proceedings of the National Academy of Sciences (PNAS), demostró que cuando son entrenados a largo plazo, estos monos son capaces de sumar cifras y realizar cálculos sencillos para estimar qué cantidades son mayores, pues elegir la cifra mayor suponía que su recompensa también lo era.

«Diseñamos este experimento para explorar el papel del aprendizaje en la organización del cerebro. Ellos desarrollan regiones especializadas como hacemos nosotros en el lóbulo temporal», explica a EL MUNDO a través de un correo electrónico Margaret Livingstone, profesora de Neurobiología en la Facultad de Medicina de Harvard (EEUU).

El estudio se realizó con tres ejemplares adultos jóvenes de macacos Rhesus (Macaca mulatta). Estos animales han protagonizado todo tipo de estudios de comportamiento animal, como un experimento que reveló que eran capaces de reconocer su imagen en un espejo, y hasta han participado en misiones espaciales de la NASA y la agencia rusa en los años 50 y 60.

Un mono señala en la pantalla táctil la suma de dos cifras en lugar de un número.

El artículo completo en:

El Mundo Ciencia

Maravilloso: La belleza de los cuadrados mágicos

Los cuadrados mágicos, inocentes cuadrados con números que esconden propiedades tan interesantes. Pero no todos son iguales, ni mucho menos. Los hay muy simples, que cumplen con las propiedades justas para llamarlos mágicos, y también los hay que tienen características interesantes para dar y tomar.

Por aquí ya hemos hablado sobre cuadrados mágicos. Vimos qué era un cuadrado mágico numérico (la suma de las filas, las columnas y las diagonales es siempre la misma), qué era la constante mágica en cuadrados mágicos con los números del 1 al n² y métodos para construirlos. Hoy vamos a ver muchos cuadrados mágicos, pero no de los habituales, no de los simples. Vamos a ver cuadrados mágicos numéricos que cumplen muchas más propiedades que los habituales; también veremos algunos en los que el producto (en vez de la suma) es la operación protagonista; y hasta alguno que no es numérico.

Espero que después de admirar todas estas maravillas matemáticas la magia que desprenden estos cuadrados haya penetrado en vuestras mentes para quedarse ahí para siempre.


El cuadrado mágico de Durero

De éste ya hemos hablado en Gaussianos:

Aparece en el grabado de Durero Melancolia I. La suma de las filas, las columnas y las diagonales es 34, número que puede encontrarse en muchas otras combinaciones de números del propio cuadrado. No os perdáis el post que le dediqué no hace mucho: El cuadrado mágico del pintor.

El cuadrado mágico de la Sagrada Familia

En la Sagrada Familia de Barcelona tenemos otro cuadrado mágico interesante, que fue diseñado para la llamada Fachada de la Pasión por el escultor Josep María Subirachs. Es éste:

Es del estilo al de Durero, pero se han rebajado algunos números para forzar que la constante mágica del cuadrado sea 33, lo que hace que haya números repetidos. Hay diversas interpretaciones para ello, como que se hizo porque es la edad a la que muere Jesucristo, uno de los personajes principales de la obra literaria “La Biblia”, o que está relacionada con la masonería. Sea como fuere, este cuadrado mágico también es muy interesante, y de él han hablado, por ejemplo, en la trébede y en Microsiervos.

Cuadrados mágicos de productos

Pero no solamente de sumas viven los cuadrados mágicos. También los hay en los que el productos de los elementos de cada fila, columna o diagonal dan el mismo resultado, como éste, donde esos productos dan todos 216.

o el que nos presentó Javier Cilleruelo en el tercer desafío RSME-El País.

Cuadrados alfamágicos

Y no solamente de números viven los cuadrados mágicos, sino también de letras. Bueno, de la cantidad de letras, como ocurre en este cuadrado que nos enseñaron en Futility Closet:

Es un cuadrado mágico habitual con los números que contiene. Pero, además, si sustituimos cada número por la cantidad de letras que tiene su nombre en inglés, el resultado es otro cuadrado mágico. Este problema también se trató en la serie de desafíos RSME-El País por parte de Jose Luis Carlavilla, profesor en la UCLM, en el desafío 22. Y de él también han hablado en este post de Simplemente números.

Un cuadrado mágico con letras

Decíamos que las letras, en lo que se refiere al número de letras del “nombre” de los números, también tienen su hueco en el mundo de los cuadrados mágicos. Pero las letras en sí también tiene su lugar reservado en este apasionante mundo. El caso más conocido es, sin duda alguna, el Cuadrado Sator, en el que aparecen las palabras latinas SATOR, AREPO, TENET, OPERA y ROTAS formando el siguiente cuadrado mágico:

  (Imagen tomada de aquí)   Yo no conozco más casos de este tipo. Si alguien sabe de alguno más que lo comente.

Mezclando suma y producto en un cuadrado mágico

Hemos visto cuadrados mágicos que lo son usando la suma y otros que lo son usando producto. ¿Y las dos a la vez? Sí amigos, hay cuadrados mágicos que lo son con la suma y también con el producto. Os dejo este ejemplo, sacado del grandioso blog Futility Closet. En él, que podéis ver aquí, la suma de los elementos de cada fila, columna y diagonal es 840, y el producto de los elementos de cada fila, columna y diagonal es 2058068231856000:

Mezclando sumas con potencias

Y también los hay dobles por sumas y potencias, como éste otro que he tomado también de Futility Closet. En él la suma de los elementos de cada fila, columna y diagonal es 260, y a elevar al cuadrado todos los elementos obtenemos otro cuadrado mágico donde la suma de los elementos de toda fila, toda columna y las dos diagonales es 11180:

Maravilloso cuadrado mágico en homenaje a Martin Gardner

Precioso homenaje el que le da Richard Wiseman a nuestro siempre querido y admirado Martin Gardner en forma de cuadrado mágico. Grandioso vídeo:

El cuadrado mágico del 19 y las expresiones decimales
Ni siquiera las expresiones decimales se libran. En este caso le toca a las expresiones decimales de las fracciones , con :

Todas las filas, columnas y diagonales del cuadrado formado por estos números suman 81. No me digáis que no es impresionante. Y, de nuevo, es Futility Closet quien no lo enseña en este post.

Cuadrado mágico con números primos

¿Y si le pedimos a todos los elementos de un cuadrado mágico que sean primos? ¿Obtendremos alguno? ¡Claro! Por ejemplo éste:

En él todos los elementos son números primos y la suma de cada fila, columna y diagonal es 258.
En MathForum han hablado sobre él y también sobre muchísimas otras cosas relacionadas con cuadrados mágicos (enlace muy recomendable).

Construyendo un cuadrado mágico a partir de otro

Curiosísima manera de construir un cuadrado mágico a partir de otro que nos muestran en este post del gran blog Juegos de Ingenio. De éste no digo nada más, os dejo que lo veáis por vosotros mismos.
El monstruo 13×13
Y, cómo no, nuestro gran amigo Tito Eliatron también se ha unido en algún momento a la fiebre de los cuadrados mágicos. Lo hizo con este monstruoso cuadrado mágico 13×13 que esconde una gran cantidad de propiedades interesantes:

Si tomamos el 3×3 central obtenemos un cuadrado mágico, si tomamos el 5×5 central también, y el 7×7, y el 9×9 y el 11×11…y, además, la constante mágica de cada uno de ellos es la del inmediatamente inferior más 10874. Todavía estoy con la boca abierta.

El twist

Y de nuevo Futility Closet aparece en esta serie de cuadrados mágicos. En este caso es para enseñarnos este cuadrado mágico twist, con contante mágica 157, que cumple que al girarlo 90º nos da también un cuadrado mágico con la misma constante:

El cuadrado mágico de Benjamin Franklin
Y aquí tenemos otro de esos cuadrados mágicos que uno no llega a entender cómo se descubren, o cómo se construyen, dada la tremenda cantidad de propiedades que contiene. Es el denominado cuadrado de Franklin:

y también nos lo enseñaron en este post de Futility Closet. Su constante mágica es 260 (aunque las diagonales no suman eso), pero, como decíamos, encierra una gran cantidad de curiosidades dignas de mención. Por ejemplo, cada mitad de una fila y de una columna suma 130, los cuatro números de las esquinas y los cuatro números centrales también suman 130, la suma de los elementos de cada cuadrado 2×2 que tomemos es 130 (¿¿??), los cuatro elementos de una diagonal ascendente junto con los cuatro de la correspondiente descendiente también sman 260…y seguro que hay más propiedaes interesantes ocultas.

Y el remate final: cuadrados mágicos con figuras geométricas

Los hay de números (de todos los tipos habidos y por haber), de letras (tanto de cantidades de letras como de letras en sí)…¿Por qué no de figuras geométricas?

En la galería de Geomagic Squares aparecen muchísimos, como el de la figura superior (en Microsiervos también hablaron sobre ellos). Realmente curiosos, ¿verdad?

Y, para terminar, os dejo uno de estos con figuras geométricas que habría venido muy bien para el día de San Valentín. Un bonito cuadrado mágico de figuras y corazones que pudimos ver el año pasado en SpikedMath:

Creo que no podréis negar que es maravilloso.

Fuente:

Gaussianos