Maravilloso: La belleza de los cuadrados mágicos

Los cuadrados mágicos, inocentes cuadrados con números que esconden propiedades tan interesantes. Pero no todos son iguales, ni mucho menos. Los hay muy simples, que cumplen con las propiedades justas para llamarlos mágicos, y también los hay que tienen características interesantes para dar y tomar.

Por aquí ya hemos hablado sobre cuadrados mágicos. Vimos qué era un cuadrado mágico numérico (la suma de las filas, las columnas y las diagonales es siempre la misma), qué era la constante mágica en cuadrados mágicos con los números del 1 al n² y métodos para construirlos. Hoy vamos a ver muchos cuadrados mágicos, pero no de los habituales, no de los simples. Vamos a ver cuadrados mágicos numéricos que cumplen muchas más propiedades que los habituales; también veremos algunos en los que el producto (en vez de la suma) es la operación protagonista; y hasta alguno que no es numérico.

Espero que después de admirar todas estas maravillas matemáticas la magia que desprenden estos cuadrados haya penetrado en vuestras mentes para quedarse ahí para siempre.


El cuadrado mágico de Durero

De éste ya hemos hablado en Gaussianos:

Aparece en el grabado de Durero Melancolia I. La suma de las filas, las columnas y las diagonales es 34, número que puede encontrarse en muchas otras combinaciones de números del propio cuadrado. No os perdáis el post que le dediqué no hace mucho: El cuadrado mágico del pintor.

El cuadrado mágico de la Sagrada Familia

En la Sagrada Familia de Barcelona tenemos otro cuadrado mágico interesante, que fue diseñado para la llamada Fachada de la Pasión por el escultor Josep María Subirachs. Es éste:

Es del estilo al de Durero, pero se han rebajado algunos números para forzar que la constante mágica del cuadrado sea 33, lo que hace que haya números repetidos. Hay diversas interpretaciones para ello, como que se hizo porque es la edad a la que muere Jesucristo, uno de los personajes principales de la obra literaria “La Biblia”, o que está relacionada con la masonería. Sea como fuere, este cuadrado mágico también es muy interesante, y de él han hablado, por ejemplo, en la trébede y en Microsiervos.

Cuadrados mágicos de productos

Pero no solamente de sumas viven los cuadrados mágicos. También los hay en los que el productos de los elementos de cada fila, columna o diagonal dan el mismo resultado, como éste, donde esos productos dan todos 216.

o el que nos presentó Javier Cilleruelo en el tercer desafío RSME-El País.

Cuadrados alfamágicos

Y no solamente de números viven los cuadrados mágicos, sino también de letras. Bueno, de la cantidad de letras, como ocurre en este cuadrado que nos enseñaron en Futility Closet:

Es un cuadrado mágico habitual con los números que contiene. Pero, además, si sustituimos cada número por la cantidad de letras que tiene su nombre en inglés, el resultado es otro cuadrado mágico. Este problema también se trató en la serie de desafíos RSME-El País por parte de Jose Luis Carlavilla, profesor en la UCLM, en el desafío 22. Y de él también han hablado en este post de Simplemente números.

Un cuadrado mágico con letras

Decíamos que las letras, en lo que se refiere al número de letras del “nombre” de los números, también tienen su hueco en el mundo de los cuadrados mágicos. Pero las letras en sí también tiene su lugar reservado en este apasionante mundo. El caso más conocido es, sin duda alguna, el Cuadrado Sator, en el que aparecen las palabras latinas SATOR, AREPO, TENET, OPERA y ROTAS formando el siguiente cuadrado mágico:

  (Imagen tomada de aquí)   Yo no conozco más casos de este tipo. Si alguien sabe de alguno más que lo comente.

Mezclando suma y producto en un cuadrado mágico

Hemos visto cuadrados mágicos que lo son usando la suma y otros que lo son usando producto. ¿Y las dos a la vez? Sí amigos, hay cuadrados mágicos que lo son con la suma y también con el producto. Os dejo este ejemplo, sacado del grandioso blog Futility Closet. En él, que podéis ver aquí, la suma de los elementos de cada fila, columna y diagonal es 840, y el producto de los elementos de cada fila, columna y diagonal es 2058068231856000:

Mezclando sumas con potencias

Y también los hay dobles por sumas y potencias, como éste otro que he tomado también de Futility Closet. En él la suma de los elementos de cada fila, columna y diagonal es 260, y a elevar al cuadrado todos los elementos obtenemos otro cuadrado mágico donde la suma de los elementos de toda fila, toda columna y las dos diagonales es 11180:

Maravilloso cuadrado mágico en homenaje a Martin Gardner

Precioso homenaje el que le da Richard Wiseman a nuestro siempre querido y admirado Martin Gardner en forma de cuadrado mágico. Grandioso vídeo:

El cuadrado mágico del 19 y las expresiones decimales
Ni siquiera las expresiones decimales se libran. En este caso le toca a las expresiones decimales de las fracciones , con :

Todas las filas, columnas y diagonales del cuadrado formado por estos números suman 81. No me digáis que no es impresionante. Y, de nuevo, es Futility Closet quien no lo enseña en este post.

Cuadrado mágico con números primos

¿Y si le pedimos a todos los elementos de un cuadrado mágico que sean primos? ¿Obtendremos alguno? ¡Claro! Por ejemplo éste:

En él todos los elementos son números primos y la suma de cada fila, columna y diagonal es 258.
En MathForum han hablado sobre él y también sobre muchísimas otras cosas relacionadas con cuadrados mágicos (enlace muy recomendable).

Construyendo un cuadrado mágico a partir de otro

Curiosísima manera de construir un cuadrado mágico a partir de otro que nos muestran en este post del gran blog Juegos de Ingenio. De éste no digo nada más, os dejo que lo veáis por vosotros mismos.
El monstruo 13×13
Y, cómo no, nuestro gran amigo Tito Eliatron también se ha unido en algún momento a la fiebre de los cuadrados mágicos. Lo hizo con este monstruoso cuadrado mágico 13×13 que esconde una gran cantidad de propiedades interesantes:

Si tomamos el 3×3 central obtenemos un cuadrado mágico, si tomamos el 5×5 central también, y el 7×7, y el 9×9 y el 11×11…y, además, la constante mágica de cada uno de ellos es la del inmediatamente inferior más 10874. Todavía estoy con la boca abierta.

El twist

Y de nuevo Futility Closet aparece en esta serie de cuadrados mágicos. En este caso es para enseñarnos este cuadrado mágico twist, con contante mágica 157, que cumple que al girarlo 90º nos da también un cuadrado mágico con la misma constante:

El cuadrado mágico de Benjamin Franklin
Y aquí tenemos otro de esos cuadrados mágicos que uno no llega a entender cómo se descubren, o cómo se construyen, dada la tremenda cantidad de propiedades que contiene. Es el denominado cuadrado de Franklin:

y también nos lo enseñaron en este post de Futility Closet. Su constante mágica es 260 (aunque las diagonales no suman eso), pero, como decíamos, encierra una gran cantidad de curiosidades dignas de mención. Por ejemplo, cada mitad de una fila y de una columna suma 130, los cuatro números de las esquinas y los cuatro números centrales también suman 130, la suma de los elementos de cada cuadrado 2×2 que tomemos es 130 (¿¿??), los cuatro elementos de una diagonal ascendente junto con los cuatro de la correspondiente descendiente también sman 260…y seguro que hay más propiedaes interesantes ocultas.

Y el remate final: cuadrados mágicos con figuras geométricas

Los hay de números (de todos los tipos habidos y por haber), de letras (tanto de cantidades de letras como de letras en sí)…¿Por qué no de figuras geométricas?

En la galería de Geomagic Squares aparecen muchísimos, como el de la figura superior (en Microsiervos también hablaron sobre ellos). Realmente curiosos, ¿verdad?

Y, para terminar, os dejo uno de estos con figuras geométricas que habría venido muy bien para el día de San Valentín. Un bonito cuadrado mágico de figuras y corazones que pudimos ver el año pasado en SpikedMath:

Creo que no podréis negar que es maravilloso.

Fuente:

Gaussianos

¡Adiós Martin Gardner! (III)

Sábado, 29 de mayo de 2010

¡Adiós Martin Gardner! (III)

Un jardinero en el bosque de los números

Descubrir, en mi adolescencia, su sección de juegos matemáticos en Scientific American fue, más que una revelación, un espaldarazo, la consolidación de una doble vocación de narrador y matemático de la que Martin Gardner es –sin ser oficialmente ni una cosa ni otra– el máximo exponente contemporáneo. Porque aunque Gardner no escribiera relatos propiamente dichos, utilizó magistralmente los recursos narrativos al servicio de la divulgación de la ciencia en general y de la matemática en particular, al igual que sus amigos (los otros dos grandes maestros de este singular género fronterizo) Isaac Asimov y Raymond Smullyan. Y no menos importantes fueron sus aportaciones a la divulgación de la filosofía y a la causa del racionalismo (que en los tiempos que corren se traduce necesariamente en la impugnación de las pseudociencias); libros como Orden y sorpresa, Los porqués de un escriba filósofo o ¿Tenían ombligo Adán y Eva? deberían ser lecturas recomendadas en universidades e institutos.

Nadie expresó –y predicó con el ejemplo– mejor que Gardner la idea de que la ciencia es un juego: “¿Jugamos una partida? Esta es la antigua pregunta que el Universo, o algo detrás del Universo, empezó a hacerles a los desconcertados bípedos implumes que proliferaban en el tercer planeta del Sol, tan pronto como sus simiescos cerebros pudieron comprender el juego de la ciencia. Es un juego curioso. No hay ningún conjunto de reglas definitivas, y parte del juego consiste en tratar de descubrir cuáles son las reglas básicas… El juego nunca ha sido tan apasionante y tan peligroso como ahora”. Así comienza Orden y sorpresa, uno de los libros más bellos y sugerentes que jamás he leído, cuyo título expresa con certera elegancia el binomio –la dialéctica– materia-mente: el cosmos –el orden– se mira en el espejo de su culminación, que es la inteligencia, y se sorprende sin cesar ante su propia armonía. Ya lo dije en su momento, pero es obligado repetir ahora que el título de mi sección en este periódico, El juego de la ciencia, es un homenaje a mi doble maestro Martin Gardner.

Hace unos días, en una entrevista radiofónica que tuve el placer de compartir con Jaime de Ojeda, excelente traductor de Lewis Carroll al castellano, me preguntaron cuál era la mejor manera de acercarse al fascinante universo carrolliano desde una perspectiva actual, y no dudé en recomendar encarecidamente la Alicia anotada de Martin Gardner. No hay mejor tributo a un escritor que dar a conocer sus libros, y el azar me permitió –magro consuelo– rendírselo pocos días antes de su irreparable pérdida al sabio que convirtió el bosque de los números en un jardín.

Fuente:

La Ciencia es la única Noticia

5 claves para identificar a un cientifico chiflado

Miércoles, 27 de mayo de 2010

Cinco claves para identificar a un científico chiflado

Mmmmm... es un artículo inspirador, creo que voy a crear algo similar, algo como claves para detectar aun político corrupto ¿qué les parece la idea?

El fallecido Martin Gardner retrata, en su obra Fad and fallacies in the name of science (Modas y falacias en el nombre de la ciencia. 1952), a "los modernos pseudocientíficos" como personajes que suelen permanecer al margen de los canales en los que se presentan y se someten a prueba las nuevas ideas, no mandan sus trabajos a revistas con revisión por pares, son ignorados por los científicos y sus sociedades, y, por eso, montan sus propias organizaciones y revistas. Y ofrece cinco claves que permiten identificar sin esfuerzo a un auténtico científico chiflado, a alguien que se cree su locura:

1. Se considera a sí mismo un genio.

2. Ve a sus colegas, sin excepción, como zopencos ignorantes. Todo el mundo está desfasado excepto él. Insulta frecuentemente a sus oponentes acusándoles de estupidez, deshonestidad y otros infames motivos. Si le ignoran, interpreta que lo hacen porque no pueden rebatir sus argumentos. Si sufre alguna represalia, ésta refuerza su ilusión de que está luchando contra sinvergüenzas. (...)

3. Cree que está siendo injustamente perseguido y discriminado. Las sociedades científicas no permiten que dé conferencias en ellas. Las revistas rechazan sus artículos e ignoran sus libros o encargan las recensiones a enemigos. Es todo parte de un miserable complot. Al chiflado nunca se le ocurre pensar que esa oposición puede deberse a errores en su trabajo. Está convencido de que la razón es el prejuicio ciego de la jerarquía establecida, los sumos sacerdotes de la ciencia que temen que se derrumbe la ortodoxia.

Se considera una víctima constante de graves calumnias y ataques no provocados. Se compara a sí mismo con Bruno, Galileo, Copérnico, Pasteur y otros grandes hombres perseguidos por sus herejías. (...) Llama repetidamente la atención sobre importantes descubrimientos científicos hechos por legos.

4. Suele centrar sus ataques en los científicos más importantes y las teorías más firmemente establecidas. Cuando Newton era el nombre de referencia en la física, los trabajos excéntricos de esa disciplina eran violentamente antinewtonianos. (...)

5. Tiene tendencia a escribir en una jerga compleja, en muchos casos usando términos y expresiones que él mismo ha acuñado. (...)"

Fuente:

Magonia

Seis libros de Martin Gardner

¡Adiós Matin Gardner! (II)

Seis libros de Martin Gardner

El matemático y divulgador Martin Gardner, columnista de juegos matemático de Scientific American durante 25 años, fundador en 1976 de lo que ahora es el Comité para la Investigación Escéptica (CSI), estudioso de Lewis Carroll y amigo de Isaac Asimov, acaba de fallecer a los 95 años de edad. Escribió más de setenta libros a lo largo de su vida. En Muy Interesante hemos seleccionado seis de sus obras para rendirle homenaje.

ACERTIJOS DIVERTIDOS Y SORPRENDENTES

"Una isla está habitada por dos tribus. Los miembros de una tribu siempre dicen la verdad, los miembros de la otra tribu mienten siempre." Así empieza uno de los muchos acertijos creados por Martin Gardner. En concreto en este libro el divulgador reúne una entretenida colección de acertijos, adivinanzas, ilusiones ópticas y problemas de deducción y observación. Una recopilación ideal para que los más jóvenes se inicien en los juegos de ingenio y los mayores se vean en intentando resolver historias sorprendentes.

¡AJÁ! INSPIRACIÓN

Martin Gardner profundiza en este libro en el concepto de la inspiración creativa. Lo que él llama “inspiración ajá”, ese chispazo mental imaginativo, repentino e intuitivo, es lo que ha empujado a muchos genios de la humanidad a realizar sus descubrimientos y a repetir en voz alta el famoso “¡Eureka!” (¡Lo encontré!), de Arquímedes.

MATEMATICAS PARA DIVERTIRSE

Las matemáticas, especialmente las matemáticas recreativas (planteadas como problemas de ingenio o directamente como juegos) son una fuente de diversión y de creatividad, individualmente o en grupo. Por suerte, escritores como Martin Gardner han dedicado impagables esfuerzos a hacérnoslo comprender, y de la mejor manera posible: ofreciéndonos pequeñas joyas como este libro, lleno de acertijos fáciles y difíciles, cuya única condición para enfrentarlos es no rendirse nunca, pensar que siempre se puede hallar la solución.

¡AJA!: PARADOJAS QUE HACIAN PENSAR

Al igual que los buenos trucos de ilusionismo, las paradojas nos causan tanto asombro que inmediatamente queremos saber cómo se han hecho. Los ilusionistas no revelan jamás cómo hacen lo que hacen, pero los matemáticos no tienen necesidad de guardar el secreto. Las matemáticas no solo pueden ser divertidas, sino que encierran una fabulosa mezcla de sorpresa y de aprendizaje. Nunca se olvidará de ello si se asoma a los asombrosos juegos de Martin Gardner.

¿TENIAN OMBLIGO ADAN Y EVA?: LA FALSEDAD DE LA SEUDOCIENCIA AL DESCUBIERTO

¿Se pueden curar las enfermedades bebiendo la propia orina? Cuestiones risibles como estas parecen ocupar las mentes de millones de personas día tras día, como si la gente estuviera hambrienta de cualquier migaja de conocimiento que se dé aires de ciencia, dispuesta a adoptar teorías traídas por los pelos que sólo provocan miedo y asombro. Gardner, posiblemente el desenmascarador de fraudes científicos más inteligente de nuestra época, hace uso de sus décadas de experiencia para desbaratar las proclamaciones de la Nueva Era y las dudosas investigaciones de eminentes científicos. “Durante más de medio siglo, Martín Gardner ha sido el faro más luminoso en la defensa de la racionalidad y la auténtica ciencia” dijo de él Stephen Jay Gould tras leer el libro.

ALICIA ANOTADA

Este libro es una edición comentada por Martin Gardner de las dos Alicias de Carrol –Alicia en el país de las maravillas y Alicia a través del espejo-. En él se desvelan los numerosos acertijos, juegos y símbolos matemáticos que incluyó en su obra Charles Dogson (Lewis Carroll).

Fuente:

Muy Interesante

Adiós a Martin Gadner (I)

Lunes, 24 de mayo de 2010

¡Adiós a Martin Gardner! (I)

Adiós a Martin Gardner, el hombre que nos enseñó ciencia descubriendo en qué yerran los chiflados

Martin Gardner, uno de los maestros de la divulgación científica y del escepticismo, acaba de morir a los 95 años. Fundador en 1976 de lo que ahora es el Comité para la Investigación Escéptica (CSI) junto con sus amigos Paul Kurtz y James Randi, entre otros, hace unos años se jubiló tras una prolífica vida como ensayista y articulista, y se trasladó a vivir a una residencia.

El retiro no fue, por fortuna, total y Gardner, que entre 1983 y 2002 mantuvo una columna dedicada al mundo del misterio en The Skeptical Inquirer, volvió en 2006 a la actividad para dar su visión de la polémica recuperación de recuerdos reprimidos que hizo, a finales de los años 80 y principios de los 90, que salieran a la luz numerosos falsos casos de abusos sexuales infantiles en Estados Unidos.

Fue entre 1956 y 1981 columnista de juegos matemático de Scientific American y es autor de más de setenta libros, muchos de ellos dedicados a desenmascarar charlatanes. Dejó dicho, en Extravagancias y disparates -y yo humildemente lo suscribo-, que "una de las mejores maneras de aprender algo sobre cualquier rama de la ciencia es descubrir en qué se equivocan sus chiflados".

Léanle porque ése es, como bien dice Fernando L. Frías, el mejor homenaje a un brillante y comprometido intelectual como Martin Gardner.

Fuente:

El Correo

Martin Gardner cumple 95 años

Lunes, 08 de marzo de 2010

Martin Gardner cumple 95 años

Un ejemplo estraido de "Circo Matemático" de M. Gradner:

El número 142.857, que los numerólogos y aficionados a la aritmética recreativa sin duda habrán reconocido en el acto, es uno de los enteros más curiosos. Pues, aparte del número 1, donde la propiedad es trivial, es el mínimo de los «números cíclicos». Un número cíclico es un entero de n cifras que presenta la insólita característica de que al multiplicarlo por cualquiera de los números comprendidos entre 1 y n , ambos inclusive, el producto tiene n cifras, las mismas que el multiplicando primitivo, y en el mismo orden cíclico. Imaginemos un collar, cuyas cuentas fuesen los números 142.857. Podemos abrir el collar por seis sitios; al estirarlo formaremos seis números de seis cifras, que son las seis permutaciones cíclicas del número escrito:

1 x 142.857 = 142.857
2 x 142.857 = 285.714
3 x 142.857 = 428.571
4 x 142.857 = 571.428
5 x 142.857 = 714.285
6 x 142.857 = 857.142

La naturaleza cíclica de estos seis productos ha venido intrigando desde hace mucho a los ilusionistas. Siga leyend0 en Circo Matemático...

Martin Gardner (a la izquierda) con su madre y hermanos pequeños.

Jugando a matemáticas

Martin Gardner acaba de cumplir 95 años (nació en 1914). Sus juegos y acertijos han convertido a muchos niños en matemáticos y a muchos matemáticos en niños.

Durante más de 25 años, Gardner escribió una columna mensual en la revista Scientific American. Ofrecía fantásticos Juegos Matemáticos que tuvieron un gran éxito en el público. Había dejado su trabajo en una revista infantil, Humpty Dumpty, para dedicarse a esas columnas. No es que Gardner fuese matemático. De hecho, la última clase que había recibido de esa materia fue en el instituto, y ya pasaba de los 40 años cuando Gerry Piel, director del Scientific American, le llamó para pedirle la columna mensual. A Piel le había gustado mucho un artículo de Gardner sobre Hexaflexagonos que acababan de publicar, por eso le propuso que siguiera con ellos.

«Desde niño había estado interesado en las matemáticas recreativas, desde que mi padre me regaló la Enciclopedia de Puzzles de Sam Loyd», dijo en una entrevista concedida a Don Alberts en 2004. «En cuanto Piel me propuso hacer la columna, corrí a los libros de viejo de Manhattan para comprar todos los libros que encontrara sobre matemáticas recreativas».

Gardner ha escrito más de 70 libros e infinidad de artículos, muchos de ellos con más acertijos y recreación matemática, y otros dedicados a sus otros intereses. Es un gran polemicista, empeñado en desenmascarar fraudes científicos y en poner en tela de juicio cualquier tipo de religión organizada.

Coincidiendo con su 95º aniversario, acaba de publicar otro libro (When You Were a Tadpole and I Was a Fish: And Other Speculations About This and That) en el que hace un repaso a todas sus obsesiones: religión, filosofía, matemáticas, ciencia y pseudociencia,...

Infancia

Su padre era geólogo y su madre profesora de preescolar, aunque lo dejó para dedicarse a sus tres hijos.

Gardner aprendió a leer antes de ir al colegio. Su madre solía leerle El Mago de Oz cuando era muy pequeño y él miraba sobre su hombro lo que iba leyendo. «Era muy embarazoso cuando estaba en primero, en el colegio, y el profesor sostenía tarjetas en las que ponía "gato" o "perro" y yo era el primero en leer las palabras. La profesora me decía que me callara para que los otros niños pudiesen aprender a leer», dijo Gardner.

Cuando iba a secundaria, las matemáticas y la física eran las únicas asignaturas en las que sacaba buenas notas: «Me moría de aburrimiento en las otras».

Lea el artículo completo en:

Kind Sein

Psicología XI - Chomsky y Gardner

Psicología XI - Noam Chomsky y Howard Gardner.

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Noam Chomsky no es psicólogo, pero es una figura decisiva en la historia de la psicología ¿sabe usted por qué?

Un niño que nace en Italia aprende a hablar italiano con mucha facilidad, un niño que nace en España aprende el español con gran rápidez ¿por qué sucede esto? Dejemos que Chomsky nos lo explique...

Gardner, de la Universidad de Harvard, sostiene que tenemos ocho tipos distintos de inteligencias ¿sabe cuál la inteligencia que predomina en usted? Conozca las inteligencias múltiples en este episodio de Conocer Ciencia...

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Contenido:

Noam Chomsky
Crítica al conductismo
El lenguaje
Jerry Fodor
Los módulos
Howard Gardner
Proyecto Zero
Las inteligencias múltiples
Críticas a los sistemas escolares

Los dejo con dos videos de este programa:

Muchas gracias por su visita y por sus comentarios.

Estamos, de lunes a viernes, a las 7:00 p.m., en canal 23 (EconoCable) de Barranca.


Leonardo Sánchez Coello
Profesor de Educación Primaria