Demostración visual de la relación entre media aritmética y media geométrica

Es bien sabido que la media aritmética de dos números positivos es siempre mayor o igual que la media geométrica de los mismos, es decir:

Una forma sencilla de demostrarlo consiste en partir de dicha desigualdad y realizarle transformaciones correctas a la misma con el objetivo de llegar a una expresión que sepamos con seguridad que es cierta. Después, por tanto, podemos recorrer el desarrollo obtenido en sentido inverso y tendríamos demostrada la desigualdad. Veámoslo en este caso:

Elevamos al cuadrado a ambos lados:

Desarrollamos la parte derecha:

Multiplicamos por 4 a ambos lados:

Restamos a ambos lados:

Y nos queda a la derecha el desarrollo de :

que al ser el cuadrado de un número es, evidentemente, mayor o igual que cero. Desigualdad demostrada.
Pero hay más formas de demostrar que esta desigualdad es cierta. Aquí os dejo una demostración visual de la misma, en la que representa a la media aritmética de e y a la media geométrica de esos números:

¿Está clara, verdad? Por si acaso no es así vamos a reconstruirla.

Dibujamos una semicircunferencia cuyo diámetro sea la suma de nuestro dos números, Tomamos el punto de la circunferencia (en la imagen en rojo) que está verticalmente encima del punto de separación entre los segmentos de longitudes (en negro) e (en azul) y dibujamos el triángulo que tiene como vértices a este punto y a los extremos del diámetro de la circunferencia:

Como dicho triángulo está inscrito en la semicircunferencia y uno de sus lados es un diámetro de la misma sabemos que en realidad se trata de un triángulo rectángulo (la demostración de este hecho la podéis encontrar al final de esta entrada). Dibujamos ahora el radio de la semicircunferencia que es perpendicular al diámetro ya dibujado (en verde) y el segmento que une el punto rojo con el que tenemos marcado en el diámetro (en rojo):

Al ser un radio de la semicircunferencia, tenemos que el segmento verde mide (la mitad del diámetro). Es decir, la longitud de ese segmento verde, que llamaremos , es exactamente la media aritmética de e Vamos a calcular ahora la longitud del segmento rojo.

Si llamamos a dicho segmento rojo y y a los catetos del triángulo rectángulo, podemos considerar dicho triángulo dividido en otros dos triángulos rectángulos: el de lados y el de lados :

Ahora, utilizando el teorema de Pitágoras en los tres triángulos obtenemos las siguientes igualdades:

Sustituyendo las dos últimas en la primera y desarrollando el término de la derecha de esa primera igualdad obtenemos lo siguiente:

Simplificamos los términos que aparecen en ambos lados:

Dividimos entre 2 y aplicamos raíz cuadrada a ambos lados, obteniendo:

o, lo que es lo mismo, la longitud del segmento rojo, , es la media geométrica de e

Y como es evidente que el segmento rojo siempre tendrá menor o igual longitud que el segmento verde tenemos demostrada la desigualdad comentada inicialmente:

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¿Conocéis alguna otra demostración curiosa y/o interesante de este conocido resultado? Si es así podéis dejarla en los comentarios.

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Vamos a demostrar lo siguiente:

Si inscribimos en una circunferencia un triángulo en el que uno de los lados es un diámetro de la misma, entonces dicho triángulo es rectángulo, y el diámetro es la hipotenusa del mismo.

Se sabe que un ángulo inscrito en una circunferencia mide exactamente la mitad del arco de circunferencia que abarca (podéis intentar demostrar esto, pero si no os sale tenéis una demostración aquí). Si tomamos el ángulo cuyos extremos están en los extremos de un diámetro de la circunferencia y el vértice en otro punto de la misma

tenemos que dicho ángulo abarca exactamente media circunferencia (en línea discontinua en la imagen):

Es decir, nuestro ángulo abarca un arco de . Por tanto, por lo dicho anteriormente sobre el ángulo inscrito, tenemos que y, en consecuencia, el triángulo correspondiente es rectángulo, siendo el diámetro la hipotenusa del mismo.

Fuente:

Gaussianos

¿Cuál es la manera más efectiva de construir un triángulo equilátero en la práctica?

¿Qué es un triángulo equiláterto?

En geometría, un triángulo equilátero, es un triángulo con tres lados iguales. 

En la geometría euclídea tradicional, los triángulos equiláteros también son equiangulares, es decir, los tres ángulos internos también son congruentes entre sí, cada ángulo vale 60°, y la suma de los tres ángulos da como resultado 180° 

Un triángulo equilátero es un polígono regular; es un caso especial de triángulo isósceles.

Ahora veamos una manera sencilla de dibujar un triángulo equilátero.

En los últimos días hemos estado hablando sobre construcciones con regla y compás como en la Grecia clásica y sobre trisección suavizando un poco las reglas de aquella época.

Uno de los desafíos de la aplicación de la que os hablé el domingo pasado era dibujar con regla y compás un triángulo equilátero, construcción que es muy fácil de hacer:

Partimos de dos puntos distintos, A y B, cuya distancia será el lado del triángulo equilátero. Trazamos una circunferencia con centro en A que pase por B y otra con centro B que pase por A. Esas dos circunferencias se cortan en dos puntos, C y D. Tomando uno de ellos, por ejemplo C, tenemos que el triángulo cuyos vértices son A, B y C es un triángulo equilátero:

Imaginemos ahora que tuviéramos que construirlo de verdad. ¿Sería ésta la manera más efectiva de hacerlo?

Vamos a poner un caso real: la plantación a tresbolillo. Según la RAE, la definición de este tipo de plantación es la siguiente:

Tresbolillo: Dicho de colocar plantas: En filas paralelas, de modo que las de cada fila correspondan al medio de los huecos de la fila inmediata, de suerte que formen triángulos equiláteros.

  (Imagen tomada de la cuenta de Flickr de suma sumay.)
Bien, la cuestión está clara: ¿cómo construimos esos triángulos equiláteros para situar los árboles en sus vértices? Usando la construcción comentada anteriormente, tomamos una cuerda cuya longitud sea la distancia que queremos dejar entre cada dos árboles consecutivos (la longitud del lado de cada triángulo equilátero), que hará de compás, y fijamos un extremo en uno de los puntos donde queramos poner un árbol. Después estiramos la cuerda todo lo que nos deje y la movemos trazando una circunferencia. Marcamos un punto en dicha circunferencia y ya tenemos dos de los lugares donde habrá árboles:

Ahora, usando como centro este último punto, trazamos una nueva circunferencia, que evidentemente pasará por el punto inicial. Marcando en dicha circunferencia un punto que esté alineado con los dos primeros tenemos un nuevo punto donde situar un árbol:

Haciendo esto las veces que queramos obtenemos la situación de todos los árboles de una hilera:

Ahora, tomando las intersecciones de cada dos circunferencias consecutivas obtenemos los lugares donde debemos situar los árboles en las hileras paralelas a la primera:

Con estos puntos de intersección obtenidos trabajamos de la misma forma que con los primeros, consiguiendo así que todos los árboles estén colocados formando triángulos equiláteros:

¿Es ésta la manera más efectiva?. En el libro La creatividad de matemáticas, de Miquel Albertí (que es donde vi todo esto de la plantación a tresbolillo) comentan que, según Gil-Albert, el horticultor lo haría de otra forma. La explicamos:

Situamos un extremo de la cuerda en el primer punto donde queremos plantar un árbol y la desplegamos la distancia que queremos dejar entre árboles consecutivos (digamos, por ejemplo, 1 metro), fijando este punto como zona donde plantar árbol y haciendo una marca en la cuerda (para guardar la distancia de 1 metro). Ahora, desde el primer punto tiramos de la cuerda una distancia igual al doble de la distancia que queremos dejar entre árboles consecutivos (2 metros en este caso), situamos el final de esos 2 metros en el segundo punto fijado y tensamos la cuerda tirando de la marca de 1 metro que hicimos antes. Obtenemos así el tercer vértice de un triángulo equilátero de lado 1 metro.
Realizando este proceso las veces que sea necesario obtenemos todos los puntos donde debemos plantar en nuestra plantación a tresbolillo.

Entendido, ¿verdad? Y, además, parece una forma de construir nuestro “campo de triángulos equiláteros” más sencilla que la primera, ¿verdad? ¿Qué pensáis vosotros? ¿Se os ocurre alguna otra forma?

Fuente:

Gaussianos