Diagramas de Leibniz, Euler, Venn y Luetich (el razonamiento diagramático)

El razonamiento diagramático (también llamado razonamiento gráfico o conceptografía) es el que se lleva adelante haciendo uso de representaciones visuales de los conceptos. En esta técnica, los diagramas y los gráficos son más importantes que las palabras y las expresiones matemáticas. A estos diagramas también se les conoce como diagramas ontológicos; en un lñenguaje más preciso los diagramas ontol+ogicos son aquellos diagramas que muestran entes ("elementos") y las definiciones que a ellos se les ha aplicado ("conjuntos").

El origen de esta forma de razonamiento debe buscarse en los grafos de Llul y Leibniz, las líneas de Leibniz y los diagramas de Euler. Sin embargo, una expresión equivalente a "razonamiento diagramático" —aunque aplicada específicamente a una notación de dos dimensiones— recién aparece en 1879 con la publicación del libro Begriffsschrift de Gottlob Frege, que ha sido traducido al castellano como Conceptografía. La historia del razonamiento diagramático incluye también la creación por parte de Peirce del sistema de gráficos existenciales, una notación geométrica-topológica-lógica que Gardner consideraba "el más ambicioso sistema de lógica geométrica que se haya construido jamás".

En síntesis podemos decir que el razonamiento diagramático tiene tres campos: a) los diagramas ontológicos, b) los diagramas topológicos y c) los grafos.

a) Diagramas ontológicos

Los diagramas ontológicos son los que muestran las definiciones de los conjuntos por enumeración. En ellos, además de la relación entre las definiciones, se ve a los elementos (entes). De ahí su nombre.¹

Los diagramas de Leibniz son líneas abiertas que indican la posición relativa de los conjuntos.

diagrama de Leibniz

Las regiones de superposición corresponden a las intersecciones.

Los diagramas de Euler son construcciones gráficas con líneas cerradas (circunferencias, elipses) que delimitan colecciones de elementos y muestran su posición relativa. (Leibniz también usó círculos, pero prefería las líneas abiertas porque encontró que los primeros requerían en ciertos casos símbolos complementarios.)

diagrama de Euler

Cada región del diagrama contiene al menos un elemento. Los elementos pueden pertenecer a una sola colección o ser comunes a dos o más.

En los diagramas de Venn, todas las regiones posibles para una cantidad de definiciones dada aparecen representadas. Las regiones pueden estar vacías y en tal caso se las distingue sombreándolas.

diagrama de Venn

Todos los conjuntos están incluidos en otro (el universo U, marco de referencia).

En los diagramas de Luetich se representa otra región, la del Todo, cuya interpretación se dio en el "Glosario de ontología". En el Todo excepto U se encuentran los elementos no definidos o no considerados, es decir, aquellos que están escondidos en la oscuridad. El todo no es un conjunto.

diagrama de Luetich (2D)

Los diagramas de Luetich sirven para resolver problemas como el que Humpty Dumpty le planteó a Alicia en la obra "A través del espejo" de Lewis Carroll.

Estos cuatro tipos de diagramas de conjuntos corresponden a la categoría "diagramas ontológicos".

¹ "Diagramas ontológicos: de Leibniz a Luetich", Actas Acad. Luventicus, Editoriales.

² "Diagrama de Venn". Wikipedia, la enciclopedia libre.

³ "Glosario de ontología", Actas Acad. Luventicus, Sup. 1, Vol. I, No. 2.

⁴ "El no cumpleaños de Humpty Dumpty", Actas Acad. Luventicus, Editoriales.

⁵ "Razonamiento diagramático", "Razonamiento gráfico" o "Conceptografía". Wikipedia, la enciclopedia libre.

b) Diagramas topológicos

Son los diagramas que muestran la posición relativa de los conjuntos, pero no los elementos. La forma, el tamaño y la posición de las líneas cerradas no tienen importancia.

Regiones posibles

En los diagramas de conjuntos de Euler y de Venn se pone énfasis en indicar las regiones posibles. En los diagramas de Euler, solamente son representadas las regiones en las que puede haber elementos. En los diagramas de Venn, a las regiones que no contienen elementos se las anula sombreándolas.

diagrama de Euler	diagrama de Venn

En estos ejemplos se muestra que no hay elementos que pertenezcan a A y C que no sean también de B, ni tampoco elementos que pertenezcan exclusivamente a C. En el diagrama de Venn de conjuntos cada región sombreada es —para usar una expresión de Leibniz— una combinatio impossibilis. Se trata entonces de diagramas topológicos.²⁸

Topología flexible

En un intento por flexibilizar la topología de los sistemas, Peirce introdujo en los diagramas de Venn la notación lógica correspondiente a la disyunción. Con ello creó los diagramas de topología flexible. A esta extensión de Peirce siguieron otras dos (Venn-I y Venn-II), propuestas por Shin.²⁹

Extensión de Peirce

Charles Sanders Peirce (1839–1914), lógico americano considerado el padre de la semiótica moderna

La extensión de Peirce de los diagramas de Euler-Venn introduce tres símbolos:

• "o" para reemplazar al sombreado,
• "x" para indicar importación existencial, y
• "–" (línea) para unir los dos anteriores e indicar disyunción.²⁹

Así, por ejemplo, el siguiente diagrama representa la proposición: «Todo elemento de B es de A o algunos elementos de B son de A».

extensión de Peirce

Esta proposición topológica no se podría representar con un diagrama de Euler: sería necesario usar dos y buscar alguna manera de indicar la disyunción.

«Todo elemento de B es de A»	«Algunos elementos de B son de A»

Las ventajas de la notación de Peirce, en este caso, son grandes. Sin embargo, cuando las proposiciones son más complejas, la lectura del diagrama se torna dificultosa.²⁹

Primera extensión de Shin (Venn-I)

Esta extensión tiene las siguientes características:

• vuelve al sombreado de regiones para indicar que éstas no pueden ser ocupadas,
• usa el símbolo "x" de Peirce, y
• usa el símbolo "–", introducido por Peirce.

diagrama de Shin (Venn-I)	diagrama de Peirce

En estos diagramas (equivalentes), las dos premisas son:

• «Ningún elemento es sólo de B», y
• «B tiene algún elemento».

La conclusión, por lo tanto, es: «Algún elemento pertenece simultáneamente a B y A».

Segunda extensión de Shin (Venn-II)

Esta extensión tiene las mismas características que el anterior, pero agrega la posibilidad de conectar dos diagramas —que en este caso tienen representado el conjunto universal— con una línea de disyunción^.

diagrama de Shin (Venn-II)	diagrama de Peirce

La proposición, en este caso, es: «O todo elemento de A es elemento de B y algún elemento de A es de B, o ningún elemento de A es de B y algún elemento de B no es de A». El diagrama simple de Peirce es de lectura más difícil que el correspondiente diagrama doble de Shin.
 

Arañas

 Los diagramas con arañas son una extensión de los diagramas de Euler, y por lo tanto en ellos hay información topológica. Se los obtiene introduciendo restricciones de dos tipos: agregando "arañas" (secuencias x de Peirce generalizadas) y sombreando regiones. La presencia de una araña indica la existencia de un elemento en su "hábitat" (la región donde se encuentra). Una región sombreada es la que no contiene más elementos que los que indican las arañas correspondientes. Si una región sombreada no tiene arañas, está vacía. Dos arañas unidas por una línea indican la existencia de por lo menos un elemento en las regiones involucradas. El nombre "araña" se ha elegido porque en diagramas complejos muchas líneas pueden salir de cada punto, como los hilos de un nodo de una telaraña.

diagrama con arañas

El diagrama de la figura indica que:

• C está contenido en B;
• A – B tiene exactamente dos elementos;
• hay al menos un elemento en B – A.

El diagrama tiene 3 líneas limite de conjuntos (definiciones), indicadas con los rótulos A, B y C, y 6 regiones, por ejemplo la región cuyo contorno es B pero que no contiene elementos ni de A ni de C. Una zonas está sombreada y contiene sólo 2 elementos. El diagrama contiene 3 arañas: 2 de un pie cuyo hábitat es la zona de los elementos de A que no pertenecen a B y 1 "articulada", en la región de los elementos que son de B pero no de A.

 

c) Los grafos 

 

Los grafos son construcciones que surgen de representar elementos y sus conexiones.³² La teoría de grafos, como la teoría de conjuntos, está íntimamente ligada a la topología.^{33 34}

Cuadrado de oposición

Aristóteles (384 a.C.–322 a.C.), filósofo griego fundador de la lógica clásica

Aristóteles, al fundar la lógica, puso su atención en algunos cuantificadores usados en el lenguaje natural: todo, algún, ningún, no todo. Éstos pueden ser expresados usando la notación de Peirce de predicados (gráficos existenciales "beta"). El clásico "cuadrado de oposición de juicios" de Aristóteles quedaría entonces representado como se muestra en la figura.

El "cuadrado de oposición" de Aristóteles en la notación de Peirce

Diamante de Leibniz

Una muestra de razonamiento diagramático: grabado del libro de Leibniz De Arte Combinatoria de 1666

En el grabado de la portada del libro De Arte Combinatoria de 1666, Leibniz habría dado otra muestra de su lenguaje universal^. En él se representa la idea de los antiguos de que todas las cosas materiales están hechas de tierra, agua, aire y fuego, "elementos" que combinan las cualidades de: frío, húmedo, caliente y seco. Entre elementos, entre cualidades, y entre elementos y cualidades, han sido dibujadas líneas, cada una con un rótulo. Así, por ejemplo, a los nodos SICCITAS y HVMIDITAS ("sequedad" y "humedad") se los ha conectado con una línea rotulada Combinatio impossibilis ("combinación imposible"). En otros términos, de los elementos de estos dos conjuntos, el grabado muestra las conexiones, objeto de estudio de la topología. La characteristica es, en este caso, una notación topológica.³⁷ El siguiente grafo es una variante del Diamante de Leibniz, que muestra la relación entre elementos y cualidades a la manera de un grafo bipartido.

Cuando dos cualidades concurren en un elemento es porque su combinación es posible. Por ejemplo, CALIDITAS y HVMIDITAS concurren en AER. Cuando dos cualidades no se encuentran en ningún elemento, su combinación es imposible. Tal es el caso de HVMIDITAS y SICCITAS. Con estos elementos y cualidades, sujetas a las restricciones mencionadas, se puede deducir la cantidad de combinaciones posibles.

El diamante de Leibniz puede ser representado sin recurrir a un grafo partido, simplemente usando cuatro conjuntos. En este caso, a menos que a los conjuntos se los dibuje como rectángulos, quedarían regiones vacías. Para indicar esa situación se puede hacer uso de un diagrama con arañas.

diagrama de conjuntos	diagrama con arañas

Estas representaciones actuales del tema que Leibniz tomó de los antiguos para ilustrar su libro de análisis combinatorio muestran lo que ha sido la historia del razonamiento diagramático, un área de trabajo en la que se ha vuelto siempre sobre los mismos complejos problemas, desde la perspectiva de especialistas en las materias más diversas.³⁷

Árboles

Los árboles son unos grafos especiales con estructura jerárquica, que pueden ser usados para dar la misma información topológica que los diagramas de Euler y de Venn.

árbol del diagrama de Euler	diagrama de Euler
árbol del diagrama de Venn	diagrama de Venn

Cada árbol muestra las regiones posibles del diagrama que está a su derecha. Las primeras 2 ramas corresponden al conjunto A; las restantes 4, al conjunto B. En el diagrama de Euler, la rama de no pertenencia (∉) a A aparece de color gris, ya que no es una región posible. En consecuencia, también están de ese color las ramas derivadas. En el diagrama de Venn, dado que se define un conjunto universal, la no pertenencia a A es posible, exceptuando el caso de pertenencia (∈) simultánea a B.³¹

Notación bidimensional

Friedrich Ludwig Gottlob Frege (1848–1925), matemático alemán considerado por muchos el fundador de la lógica moderna

La notación bidimensional de Frege permite representar las operaciones lógicas con conexiones.³⁹

notación bidimensional de Frege

Este esquema representa la disyunción lógica A ∨ B, o mejor, ¬A → B.⁴⁰
En su trabajo sobre los axiomas del cálculo proposicional, Frege recurría sólo a las operaciones negación e implicación.

Obsérvese que la notación de los diagramas "beta" de Peirce —con recortes abreviados o no— también es bidimensional, como se puede ver claramente en la lista de reglas de inferencia.
 

 

Fuentes:

 

Luventicus

 

Wikipedia

¿Cúal es la diferencia entre los diagramas de Venn y los diagramas de Euler?

Por lo general, entre los estudiantes de matemáticas, se observa confusión entre los diagramas de Venn y los diagramas de John Euler, pero, como probablemente ya dedució usted amable lector, se trata de diagramas diferentes... parecidos sí, pero diferentes... Son tan parecidos que inclusive en muchos textos de matemática y páginas web se les llma diagramas de Venn-Euler... En fin, en esta ocasión les vamos a describir las diferencias entre los diagramas de John Venn y los de Leonhard Euler (y todo gracias a la Wikipedia):

Un diagrama de Euler o esquema de Euler es una manera diagramática de representar a los conjuntos y sus relaciones. Son una representación moderna de los círculos de Euler, los cuales deben su nombre a su creador, Leonhard Euler.

Los diagramas de Euler normalmente consisten de simples curvas cerradas en el plano que son usadas para describir conjuntos. Las relaciones espaciales entre las curvas (superposición, contención o ninguno) corresponden, respectivamente, a relaciones de intersección, subconjunto y disjuntes, de la teoría de conjuntos.

Estos diagramas son una generalización del bien conocido diagrama de Venn, el cual representa todas las posibles intersecciones entre los conjuntos presentes dados.

A la intersección del interior de una colección de curvas con el exterior del resto de curvas se le llama zona. Así, dado un conjunto de curvas, en los diagramas de Venn todas las zonas deben estar presentes, pero no así en un diagrama de Euler, donde algunas zonas podrían no estar.

En el sentido de la lógica, uno puede usar la semántica de un modelo teórico para interpretar los diagramas de Euler dentro de un dominio de discurso. En el ejemplo de la figura, el diagrama de Euler representa que los conjuntos Animal y Mineral son disjuntos, porque las curvas correspondientes son disjuntas, y también que el conjunto Four Legs es un subconjunto del conjunto Animal. 

El diagrama de Venn que usa las mismas categorías Animal, Mineral y Four Legs no encapsula esta información. Tradicionalmente, este vacío de un conjunto en los diagramas de Venn es descrito por un sombreado o achurado de la región. Los diagramas de Euler, en cambio, representan vacío ya sea por el sombreado o por la omisión de una de las zonas.

A menudo se impone un conjunto de condiciones bien formadas, que corresponden a restricciones topológicas o geométricas impuestas a la estructura del diagrama. Por ejemplo, se puede forzar la conectitud de las zonas, o prohibir la concurrencia de curvas o puntos múltiples como forma de representar intersecciones tangenciales de curvas. 

En el diagrama de abajo, se observa la transformación secuencial de pequeños diagramas de Venn en diagramas de Euler; algunos de los diagramas intermedios tienen concurrencia de curvas. Sin embargo, esta secuencia de transformaciones desde un diagrama de Venn con sombreado hasta un diagrama de Euler sin sombreado, no es siempre posible. En efecto, existen ejemplos de diagramas de Euler con 9 conjuntos que no son diagramables usando curvas cerradas simples y sin la creación de zonas no deseadas, puesto que ellos tendrían que tener grafos duales no planares.

Texto e imágenes de;

Wikipedia

John Venn y los diagramas de Venn

John Venn (1835) fue criado en el seno de una familia que jugó un papel destacado en el movimiento evangélico. De él se esperaba que siguiese la tradición familiar y que, al igual que su padre, se convirtiese en ministro cristiano. Aunque en 1859 llegó a ordenarse como sacerdote, la vida de John Venn siempre estuvo ligada a las ciencias, tanto en el seno de la moral como del empirismo, al considerar incompatible el anglicanismo con sus creencias filosóficas.

El área de mayor interés para John Venn fue sin duda la de la lógica. De ahí que todas sus obras versasen sobre esa materia. Su primera publicación salió a la luz en 1866 bajo el nombre de La lógica del azar y con ella introdujo la teoría de frecuencia de la probabilidad.

Las siguientes publicaciones de John Venn se centraron en el estudio de una lógica matemática mucho más pura. En 1881 publicó Lógica simbólica con la que dio a conocer sus diagramas y ocho años después presentó Los principios de la lógica empírica.

A pesar de su dedicación hacia este campo de estudio, John Venn pasó sus últimos días a estudiar la historia del colegio en el que se formó, la de la Universidad de Cambridge y la de su propia familia. En una de las vidrieras del Colegio de Gonville y Gaius puede verse un diagrama de Venn en conmemoración a su creador. John Venn falleció en 1923, a la edad de 88 años.

Fuente:

La Voz de Galicia

Ideal

La gráfica de la fórmula matemática más bella del mundo

Al parecer la conocida Fórmula de Euler, para muchos la «fórmula matemática más bella del mundo»

e^{i π} + 1 = 0

puede visualizarse gráficamente así (click en la imagen para visualizar mejor):

lo cual, como dicen en IAmNotMakingThisUp: Math, que es donde lo vi, «da para una bonita camiseta». No había visto nunca esa representación, pero hay que reconocer que tiene su encanto.

Esa página tiene algunas otras curiosidades matemáticas interesantes y divertidas, algunas bien conocidas pero tambien alguna que otra más rebuscada.

Fuente:

Microsiervos

Tricentenario de Euler

Escrito por Redacción Matematicalia

Publicado: sábado, 14 abril 2007

III CENTENARIO DEL NACIMIENTO DE LEONHARD EULER. El domingo 15 de abril se cumplen 300 años del nacimiento en Basilea (Suiza) de Leonhard Euler, uno de los matemáticos más importantes que han existido, y sin duda el más prolífico. Su trabajo contribuyó a fundamentar casi todas las áreas de las matemáticas, incluyendo teoría de números, geometría y matemática aplicada, aunque sus mayores aportaciones se encuentran en el análisis matemático. Esta efemérides justifica considerar 2007 como Año Euler, y así se va a conmemorar en todo el mundo. Las celebraciones serán especialmente brillantes en las tres ciudades más ligadas a este insigne matemático: Basilea, San Petersburgo y Berlín. También en España se han llevado a cabo ya algunas celebraciones notables en su honor. EL “MOZART” DE LAS MATEMÁTICAS Beauty (Justin Mullins) [100x70 cm, 1998] Leonhard Euler nació el 15 de abril de 1707 en Basilea (Suiza) y murió el 18 de septiembre de 1783 en San Petersburgo (Rusia). Pasó la mayor parte de su vida en Alemania y Rusia, y realizó importantes descubrimientos en los campos matemáticos más diversos. Introdujo y, gracias a su extensísima producción escrita (un promedio de 800 páginas por año desde los 20 de edad), que se popularizó rápidamente, contribuyó de forma decisiva a asentar gran parte de la notación y terminología matemáticas que utilizamos hoy en día. A Euler debemos, por ejemplo, la notación “e” para la base del sistema de logaritmos naturales, sugerido quizá por la primera letra de la palabra “exponencial”; y también, en buena medida, la universalización del empleo de la letra griega “π” para denotar la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro (aunque no fue él quien lo propuso). Hacia finales de su vida, Euler comenzó a utilizar la letra “i” para la raíz cuadrada de –1. Los números representados por estos tres importantes símbolos se relacionan con los dos enteros principales, 0 y 1, por medio de la igualdad eiπ + 1= 0, en la que figuran además las operaciones más relevantes de toda la matemática. Esta hermosa igualdad también es debida a Euler: aparece en el más famoso de sus textos, Introductio in analysin infinitorum, publicado en 1748. Cabe mencionar que esta obra puede ser considerada como el nacimiento oficial de las funciones matemáticas; en ella se utiliza por vez primera la notación f(x) para una función de x. En geometría, en álgebra, en trigonometría y en análisis nos encontramos continuamente con otros símbolos, terminología e ideas debidas a Euler. El uso de las letras minúsculas a, b, c, para los lados de un triángulo y de las correspondientes letras mayúsculas A, B, C, para los ángulos respectivamente opuestos a ellos, proviene de Euler, como así también la notación lx para el logaritmo de x, y el uso de la letra griega Σ para representar una suma. Con el fin de resolver problemas de series, Euler definió las funciones Gamma y Beta y demostró algunas de sus propiedades. Obtuvo varias pruebas del llamado pequeño teorema de Fermat. Se ocupó de la teoría clásica de números y demostró la infinitud de los números primos por un procedimiento muy original, que eventualmente dio origen a la teoría analítica de números. Despejó el camino para justificar la existencia y el cálculo de logaritmos naturales de números imaginarios, con lo cual dotó definitivamente de carta de naturaleza a los números complejos, explicando cómo operar con ellos. Introdujo los factores integrantes en la resolución de ecuaciones diferenciales. Resolvió un famoso problema abierto en su época, el llamado problema de Basilea, que no es otro que el cálculo de la suma de los inversos de los cuadrados de los números naturales. Resolvió también problemas populares, como el de los puentes de Königsberg, fundamento de la teoría de grafos y de la topología. Formuló la curiosa relación V+C=A+2 entre el número de vértices, caras y aristas de un poliedro cuya superficie puede ser deformada con continuidad hasta transformarse en la superficie de una esfera... Sello suizo conmemorativo del tricentenario 2007, AÑO EULER La celebración, el 15 de abril de 2007, del tricentenario del nacimiento de Leonhard Euler es una buena ocasión para reflexionar sobre su vida y su obra en su contexto histórico y sobre sus implicaciones en nuestros días. Durante todo el año del tricentenario, el público en general tendrá oportunidad de encontrarse con las matemáticas y su historia a través de diversas actividades patrocinadas por la Academia Suiza de Ciencias. Además de la Academia Suiza, muchas otras organizaciones han planificado su propia conmemoración del tricentenario. Sin pretensiones de exhaustividad, podemos citar las siguientes: La Academia Rusa de Ciencias. La Academia de Ciencias de Berlín-Brandenburgo. El Hermann von Helmholtz-Zentrum für Kulturtechnik de la Humboldt Universität zu Berlin. La Euler Society estadounidense. En España se ha celebrado ya una Jornada Euler en la Universidad Politécnica de Cataluña, y con toda seguridad habrá más conmemoraciones de la efemérides a lo largo del año.

Tomado de:

MateMateCalia

Biografía de Leonhard Euler

Euler 2007