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28 de junio de 2015

La fórmula matemática que se dibuja a sí misma

La fórmula de arriba no es una cualquiera, es una de las más curiosas en matemáticas. Su representación en un gráfico es, básicamente, la propia fórmula. Se la conoce como la fórmula autorreferente de Tupper y su explicación es un genial ejercicio numérico que te hará amar (un poco más) las matemáticas.

Primero partamos de la fórmula en sí mismo. Es esta:

Cómo esta fórmula matemática se dibuja a sí misma (y a cualquier cosa)

Si representáramos esta ecuación en un eje de X e Y, de forma que las coordenadas de X estuvieran entre 0 y 106, y las de Y estuvieran entre K y K+17, siendo K igual a este número enorme:

960939379918958884971672962127852754715004339660129306651505519271702802395266424689642842174350718121267153782770623355993237280874144307891325963941337723487857735749823926629715517173716995165232890538221612403238855866184013235585136048828693337902491454229288667081096184496091705183454067827731551705405381627380967602565625016981482083418783163849115590225610003652351370343874461848378737238198224849863465033159410054974700593138339226497249461751545728366702369745461014655997933798537483143786841806593422227898388722980000748404719

El resultado del dibujo en el gráfico sería la propia fórmula pixelada, es decir, esto:

¿Cómo es posible? Básicamente, las reglas de las coordenadas mencionadas, 0106×17, en el que cada celda podría ser un bit de información, o lo que es lo mismo, 106 x 17 = 1802 bits.

A su vez, el número K contiene 543 cifras que permiten codificar 1810 bits de información binaria. Es decir, el número K es justo el que codifica y dibuja en el gráfico la fórmula, con un 0 asignado a la celda libre y un 1 asignado a la celda coloreada. Esto, automatizado por un programa informático como el que creó Tupper, dibujaría al instante la propia fórmula con el número K mencionado. Por eso se le llama "auto-referente".

Como explica Matt Parker en el vídeo debajo, se podría comprobar de forma manual. Si partes del dibujo de la fórmula y anotas su número binario, asignando un 1 cuando la casilla está coloreada y un 0 cuando no, divides ese número binario final entre 10 y lo multiplicas por 17, obtendrías el número K inicial.

Lo curioso de todo esto es que, solo variando el número K, puedes obtener un dibujo diferente cada vez. Lo que quieras. Por ejemplo, como explican aquí, si K (o N, da igual cómo lo llames) fuera este número:

6064344935827571835614778444061589919313891311

Obtendrías este dibujo final:

Si K fuera este otro número:

11446143048577322873420746886032253602081036176820637725351572728824205319356548595443573778191478330600315648025516347418384227839098139252614970555108049338384907856705947495396329029490965408180552069582726103040

Obtendríamos esta representación:

Puedes echar un vistazo al vídeo completo de Matt Parker debajo. Está en inglés, pero paso a paso muy clarito explicado:

Fuente:

Gizmodo

26 de agosto de 2014

Matemáticas: Encuentran la clave de la felicidad (o "como jugar con nuestras expectativas")

Vista así, de golpe, y para quien no sea muy aficionado a las matemáticas, la fórmula de la imagen puede provocar más de un espasmo cerebral ( reocnozco que a mi si que me lo ha producido). Pero, pasada la impresión inicial e investigando un poco más el asunto, se puede comprobar que se trata de la ecuación de la felicidad, elaborada por un equido de investigadores de la Universidad de Londres, dirigido por Robb Rutledge, y que ha servido de base para desarrollar una aplicación de movil que sirve para medir el grado de felicidad de las personas.

Dicha aplicación se utilizó para un experimento bautizado The Great Brain Experiment, en el que los investigadores pidieron a dieciocho mil voluntarios de todo el mundo que la utilizaran para responder a un test que permitiría evaluar su grado de bienestar y satisfacción personal y vital. Además, veintiséis personas escogidas de entre todos los participantes, fueron utilizadas como cobayas humanas para que los científicos pudieran monitorizar su actividad cerebral mientras relizaban el test.

Puede parecer que todo lo anterior es un juego. Y si, como reconoce el profesor Rutledge: "Hay mucho de ello en nuestro estudio. ¿Qué mejor manera de analizar la felicidad que a través de algo tan placentero como jugar?" Pero, más allá del aparente divertimento, el estudio ha arrojado interesantes datos que deben ser tenido en cuenta a la hora de analizar como funciona algo tan complejo, intangible y difícil de definir como es la felicidad.

"Parte del test consistía en una serie de pruebas que, si se resolvían positivamente, acarreaban una reconpensa o gratificación", explica Robb Rutledge. "Evidentemente, el premio activaba los circuitos de recompensa del cerebro haciendo que als persoans afirmaran sentirse dichosas. Pero, lo más sorprendeten, fue descubir que los mayores índices de felicidad que sentían los voluntarios no s eproducían al recibir o saborear el premio, sino en la etapa en la que acariciaban la posibilidad de recibirlo. Es decir... La expectativa de ser premiados o de experimentar algo agradable, resultaba mucho más placentera que el premio o la experiencia en si misma".

Este hallazgo abre interesantes conclusiones que funcionan en dos direcciones. "Por un lado", explica el investigador, "parece confirmar esa creencia popular que dice que cuanto más bajas sean tus expectativas sobre algo, más placentera o positiva resultará una experiencia. Por ejemplo, si vamos a comer a un restaurante del que no esperamos gran cosa, y la comida resulta ser buena, nos acabará pareciendo mucho mejor que si hubieramos acudido al local con unas expectativas más altas".

Pero, por otro lado: "Si estamos esperando a que llegue el día de la semana en que hemos quedado para ir a cenar a un gran restaurante con una persona muy especial, las expectativas que desarrollamos durante el tiempo que pasa antes de que se produzca ese momento tan importante , nos producen un bienestar tan enorme que, en muchas ocasiones es superior al que al final acaba produciendo la propia cita".

Tal y como reconoce el profesor Rutledge, las situaciones de la vida cotidiana son demasiado complejas como que pueda medirlas una simple aplicación, pero: "El estudio nos demuestra que la felicidad depende en gran parte de las expectativas que tengamos de la vida en cada momento. Aprender a jugar con ellas en cada situación concreta, y a manejarlas y graduarlas de la manera adecuada, podría ayudarnos a ser más dichosos".

Fuente:

QUO

8 de agosto de 2014

¿Las matemáticas se inventan o se descubren?

Las matemáticas se descubren. La labor del matemático es parecida a la del explorador de una nueva tierra. Su misión es descubrir nuevos entes para su estudio detallado mediante nuevas herramientas. Así contesté a la #Pregunta102 de los amigos del podcast la @buhardilla. Hay quien piensa que los entes matemáticos se descubren y que las herramientas matemáticas se inventan. En mi opinión no hay distinción profunda entre entes y herramientas.

El famoso matemático Michael Atiyah, contestó la #Pregunta102 en 2006 en la Universidad de Santiago de Compostela. El vídeo de su charla ”Mathematics: Discovery or invention?” merece la pena. ¿Se inventaron o se descubrieron los números naturales? ¿Y los reales? ¿Y el número pi? La posibilidad de patentar (herramientas) matemáticas es la gran diferencia entre que sean inventadas o descubiertas.

Mi postura al respecto es propia de un practicante de las matemáticas aplicadas que no considera patentables sus propios descubrimientos. Pero supongo que muchos lectores opinarán que los suyos sí lo son. Para ilustrar mi postura usaré la función zeta de Riemann. Me he basado en Guilherme França, André LeClair, “A theory for the zeros of Riemann ζ and other L-functions,” arXiv:1407.4358 [math.NT], 16 Jul 2014.

Dibujo20140725 riemann - critical line zeta function - euler

No hay que saber muchas matemáticas para que uno se pregunte cuestiones sobre series infinitas como el problema de Basilea, que Pietro Mengoli propuso en 1644, ¿cuánto vale la siguiente serie infinita?

$\displaystyle\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{1}{1^2} +\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots,$

¿Se inventó Mengoli esta serie? ¿La descubrió? Euler logró calcular la solución en 1735 (con 28 años de edad), aunque lo demostró en 1741. Su resultado le hizo famoso,

$\displaystyle\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$ .

¿Por qué aparece el número pi en esta serie? La herramienta “inventada” por Euler permitía calcular

$\displaystyle\zeta(4)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^4}=\frac{\pi^4}{90}$ ,

y en general el valor de todas las series $\zeta(2n)$ (en función de los llamados números de Bernoulli). ¿Este resultado fue inventado o descubierto por Euler? ¿Tiene sentido que Euler patente la “invención” del método que le llevó a este resultado?

La pregunta obvia es ¿cuánto vale la serie para potencias impares, es decir, $\zeta(2n+1)$ ? El método de Euler no funciona. ¿Tiene sentido patentar un método para calcular estos valores de la función zeta? ¿Se inventa o se descubre un método para calcularlos? Mi experiencia personal es más próxima a que se descubre un método explorando las propiedades de estos objetos matemáticos. Sin embargo, reconozco que el esfuerzo a veces es tan grande que a uno le gustaría patentar la herramienta “inventada” en el proceso.

En 1737 Euler descubrió otra propiedad realmente sorprendente e inesperada, el llamado producto de Euler,

$\displaystyle\zeta(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^z}=\prod_{i=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{p_i^z}\right)^{-1},$
donde $p_i$ es el número primo $i$ -ésimo ( $p_1=2, p_2=3, p_3=5$ , etc.). Se puede demostrar fácilmente que si la variable $z$ es un número complejo $z=\mbox{Re}(z)+\mbox{i}\,\mbox{Im}(z)$ , con $\mbox{i}^2=-1$ , estas series convergen para $\mbox{Re}(z)>1$ (de hecho, es muy fácil demostrar que estas series divergen para $z=1$ ).

Tenemos una serie infinita que describe una función $\zeta(z)$ de variable compleja para $\mbox{Re}(z)>1$ . Una pregunta obvia es ¿se puede extender de forma única la función $\zeta(z)$ a valores con $\mbox{Re}(z)<1$ ? ¿Piensas que se descubre esta extensión o que se inventa un método para calcularla? Ya te digo, yo prefiero decir que se descubre la extensión y que se descubre la herramienta para calcularla.

La función $\eta(z)$ de Dirichlet corresponde a la versión alternada de la serie, es decir,

$\displaystyle\eta(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^z},$

no siendo difícil demostrar que converge para $\mbox{Re}(z)>0$ y que permite escribir

$\displaystyle\zeta(z)=\frac{1}{1-2^{1-z}}\,\eta(z),$

expresión que define la función $\zeta(z)$ para $\mbox{Re}(z)>0$ .

De nuevo, la pregunta obvia es ¿se puede extender esta función a todo el plano complejo? El genial Riemann demostró que existe la continuación analítica única de la función $\zeta(z)$ a todo el plano complejo, excepto en el polo $z=1$ . Riemann descubrió (yo no diría que inventó) que está dada por

$\displaystyle\zeta(z)=\Gamma(1-z)\,{\cal J}(z),$

donde

$\displaystyle\Gamma(z)=\int_{0}^{\infty}u^{z-1}e^{-u}\,du,$ y
$\displaystyle{\cal{J}}(z)=\frac{1}{2\pi\mbox{i}}\int_{\cal{C}}\frac{u^{z}}{e^{-u} - 1}\frac{du}{u},$

ambas bien definidas en todo el plano complejo (para un contorno ${\cal C}$ adecuado).

Explorar las propiedades de la función $\zeta(z)$ es un viaje por terra incognita emprendido por Riemann y que todavía muchos matemáticos siguen disfrutando (y sufriendo). Riemann demostró la llamada ecuación funcional

$\displaystyle\chi(z)=\chi(1-z),\qquad\chi(z)\equiv\pi^{-z/2}\,\Gamma(z/2)\zeta(z),$

válida en todo el plano complejo, excepto en el polo simple $z=1$ . Esta ecuación funcional es compañera de viaje de todo explorador del universo de la función zeta de Riemann.

$\zeta(-2n) = 0$

Por ejemplo, se puede demostrar que son los ceros triviales (basta sustituir $z\to 1+2n$ para $n=1,2,\dotsc$ en la ecuación funcional). Además, la función $\zeta(z)$ no tiene ceros para $\mbox{Re}(z) > 1$ , luego los ceros triviales son los únicos para $\mbox{Re}(z)<0$ .

Parece obvio explorar ¿cuántos ceros (no triviales) hay en la banda crítica $0\le\mbox{Re}(z)\le 1$ ? Todos estos ceros son simétricos respecto a la línea crítica $\mbox{Re}(z) = 1/2$ . Más aún, si $\rho$ es un cero complejo, también lo son $\rho^*$ , $1-\rho$ y $1-\rho^*$ . La excepción son los ceros en la línea crítica $\mbox{Re}(z) = 1/2$ , para los que $\rho$ y $1-\rho^*$ coinciden. ¿Cuántos ceros hay en la línea crítica? Hardy demostró que hay infinitos. ¿Cuántos ceros hay en la banda crítica que no estén en la línea critíca? La hipótesis de Riemann afirma que ninguno. Nadie lo ha demostrado. Un millón de dólares espera a quien lo logre…

¿Se inventan las propiedades de la función zeta de Riemann o se descubren? ¿Se inventarán las herramientas para demostrar la hipótesis de Riemann o se descubrirán? Mi opinión es que la sensación que tiene el matemático es que se descubren, pero que le gustaría que se inventaran para poder patentarlas.

Fuente:

La Mula Francis