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5 de mayo de 2016

Ganó el "Nobel de las matemáticas" por resolver un teorema de más de tres siglos

El problema captó su atención cuando tenía 10 años, y no dejó de estudiarlo hasta dar con la solución.

El 1637, el francés Pierre de Fermat escribió una conjetura matemática en el

márgen de una página de un ejemplar de "Los Elementos" de Euclides.

Dijo que tenía una demostración maravillosa, pero que carecía de espacio suficiente para desarrollarla.

Y nunca lo hizo.

El problema quedó sin resolver y ha hecho que matemáticos se devanaran los sesos durante todo este tiempo.

Hasta que el británico Andrew J. Wiles dio con la solución, después estar estudiando la cuestión durante años.

"El teorema capturó mi imaginación cuando era muy joven. Comprendí perfectamente la fascinación de este problema y nunca la perdí", le contó a la BBC.

Dos décadas después de su hazaña, Wiles acaba de ser reconocido con uno de los premios más importantes para los matemáticos, el premio Abel, dotado con US$700.000 por haber resuelto el acertijo.

Pero ¿por qué era tan importante descifrar el último teorema de Fermat y qué significó este descubrimiento para Wiles?

Aparentemente sencillo

"Es una gran sorpresa y estoy muy emocionado", dijo Wiles tras recibir el premio este martes.

De acuerdo con la Academia Noruega de las Ciencias y las Letras, encargada de entregar el galardón –también llamado el "Nobel de los matemáticos"– el trabajo de Wiles "abrió una nueva era en la teoría numérica".

El artículo competo en:

BBC Mundo

19 de marzo de 2013

Situación de las raíces de la derivada, o “el teorema más maravilloso de las matemáticas”

Decir que un teorema es “el teorema más maravilloso de las matemáticas” es mucho decir teniendo en cuenta la gran cantidad de maravillas en forma de resultado matemático que podemos encontrar a lo largo y ancho del conocimiento de esta ciencia. Pero lo que no se le podrá negar al teorema que os presento en este post es que reúne una gran cantidad de detalles (enunciado simple, conclusión realmente sorprendente e inesperada y demostración relativamente elemental) de esos que convierten un resultado matemático en un teorema maravilloso.

Como puede leerse en el título, la cuestión trata sobre situar las raíces de una derivada. Bien, vamos a especificar un pelín más. Concretamente de la derivada de un polinomio de grado 3. ¿De un polinomio de grado 3 habitual, de esos con coeficientes reales? No solamente de esos, sino de, en general, cualquier polinomio con coeficientes números complejos, y cuya variable también es compleja.

Sabemos que estos polinomios, como todos los polinomios con variable y coeficientes complejos, cumplen que todas sus raíces (raíz de un polinomio: solución de la ecuación polinómica que nos queda al igual a cero dicho polinomio) son números complejos. Por tanto, nuestro polinomio de grado 3 tiene sus tres raíces dentro de los números complejos.

Supongamos que esas tres raíces no están alineadas (única condición que le vamos a poner al polinomio, que sus tres raíces no estén en la misma recta). Entonces con ellas podemos construir un triángulo, uniéndolas dos a dos con segmentos. Calculemos ahora la derivada del polinomio, que será un polinomio de grado 2. ¿Dónde estarán situadas las raíces de esta derivada? ¿Dentro de dicho triángulo? ¿Fuera de él? ¿Una dentro y otra fuera? ¿O tal vez sobre los propios segmentos que forman los lados del polinomio? Y estén donde estén, ¿podemos decir algo sobre su situación en relación con el triángulo o su situación es azarosa?

Bien, pues como muchos de vosotros podréis imaginar la situación de estas raíces de la derivada no es ni muchísimo menos azarosa, de hecho está muy relacionada con el propio triángulo cuyos vértices son las raíces del polinomio inicial. Veamos el enunciado del teorema que relaciona todo esto y después os sigo contando cosas.

Teorema de Marden:
Dado un polinomio $p(z)$ de grado 3 con variable y coeficientes complejos, supongamos que sus raíces no están alineadas. Si consideramos el triángulo T cuyos vértices son dichas raíces, entonces las raíces de $p^\prime (z)$ , la derivada del polinomio, son los focos de la única elipse inscrita en T que es tangente a los tres lados de T exactamente en sus puntos medios.

Es decir, si tomamos los puntos medios de T existe una única elipse inscrita en T que es tangente a esos tres puntos, ¡¡y además los focos de dicha elipse son las raíces de la derivada del polinomio!! Para quedarse con la boca abierta…

Como hemos comentado antes, este teorema puede demostrarse utilizando técnicas y conocimientos relativamente elementales. Pero antes hablemos un poco sobre la historia de este resultado.

¿Por qué teorema de Marden? Pues porque en 2009 el matemático Dan Kalman escribió un interesante artículo (que fue premiado con el Lester R. Ford Award, premio que entrega la Mathematical Association of America) sobre este resultado, dando una demostración completa del mismo, y comentando que él había sabido de su existencia después de leer el libro Geometry of Polynomials, de Morris Marden y publicado en 1966. En realidad parece que fue Jörg Siebeck quien publicó inicialmente este resultado en 1864, o al menos es a él a quien el propio Marden se lo atribuye.

El caso es que la demostración que dio Marden de este teorema estaba incompleta. Demostró gran parte del mismo, pero se dejó un detalle: no demostró la unicidad de la elipse. Kalman comenta también que el propio Marden cita nueve trabajos más en los que se habla de este resultado, destacando uno publicado por Maxime Bôcher en 1892 con una demostración que, en cierto modo, también estaba incompleta.
Bien, pues lo que hizo Kalman en su artículo premiado, An Elementary Proof of Marden’s Theorem, es desarrollar una demostración de este teorema de Marden uniendo las ideas de las demostraciones de Bôcher y del propio Marden. Aunque podéis verla completa en su artículo, a continuación comento algunas cosas sobre ella.

Las claves de la demostración que nos propone Kalman son tres lemas previos a la propia demostración del teorema, cuyas demostraciones vamos a obviar en este post (os remito al artículo de Kalman si estáis interesados en verlas). El primero de ellos es quizás el más engorroso de explicar aquí, por lo que no lo vamos a citar aquí (tranquilos, no hay que aplicarlo directamente en la demostración del teorema).
El lema 2 dice lo siguiente

Lema 2:
Sea $p(z)$ un polinomio de grado tres cuyas raíces son no colineales y T el triángulo cuyos vértices son dichas raíces. Si Q es el punto medio de uno de los lados de T, entonces existe una única elipse, cuyos focos son las raíces de $p^\prime (z)$ , que pasa por Q, y de hecho esa elipse es tangente a ese lado de T en el propio punto Q.

Bueno, vamos bien. De hecho podría parecer que esto es el propio teorema de Marden, pero faltan cosas. Por ejemplo, ¿quién me asegura que esa elipse sea tangente también a los otros dos lados? Pues el lema 3:

Lema 3:
Sea $p(z)$ un polinomio de grado tres cuyas raíces son no colineales y T el triángulo cuyos vértices son dichas raíces. Consideramos la elipse con los focos en las raíces de $p^\prime (z)$ y que es tangente a un lado de T en su punto medio. Entonces esa elipse es tangente a los otros dos lados de T.

Ya está, ¿verdad? Con esto concluiríamos la demostración del teorema…Pues no, nos falta algo, concretamente demostrar que esa elipse es tangente a los otros dos lados exactamente en sus puntos medios. Vamos a concluir:

Demostración del teorema de Marden:
Tenemos nuestro polinomios y sus raíces formando T, como antes. Con las raíces de $p^\prime (z)$ como focos dibujamos la elipse E que pasa por el punto medio de uno de los lados de T. El Lema 2 nos dice que E es tangente a ese lado del triángulo en su punto medio, y el Lema 3 dice que entonces E también es tangente a los otros dos lados. Lo que queremos es demostrar que exactamente es tangente a esos dos lados en sus puntos medios.

Si no fuera así, repetimos la construcción sobre otro de los lados del triángulo T, obteniendo así la elipse E’. Tenemos entonces dos elipses, E y E’, que tienen los mismos focos y que son tangentes a las mismas rectas (a las que contienen a los tres lados de T), por lo que E y E’ deben ser, efectivamente, la misma elipse. Pero eso significa que esta elipse es tangente a dos de los lados del triángulo en sus puntos medios. Para ver que también lo es en el punto medio del lado que falta, construimos la elipse que tiene los mismos focos que la anterior y que es tangente al otro lado en su punto medio. Al repetir el proceso anterior vemos que esta elipse debe ser de hecho la propia E. Por tanto, esta elipse es tangente a los tres lados en sus puntos medios, terminando así la demostración.

Para terminar, comentar que esta elipse se conoce con el nombre de inelipse de Steiner, y que las sorpresas no se quedan en la primera derivada. Si calculamos la segunda derivada, la única raíz de la misma está situada exactamente en el punto medio del segmento que une las dos raíces de $p^\prime (z)$ , siendo esta raíz por tanto el baricentro del propio triángulo. Impresionante.

Ah, y como no podía ser de otra manera este resultado se presta a ciertas generalizaciones: una de ellas tomando polinomios de mayor grado pero que sigan conservando exactamente tres raíces distintas y no colineales y otra con polígonos de un número mayor de lados. En la entrada de la Wikipedia inglesa dedicada al teorema de Marden podéis encontrar algo más de información al respecto.

Otro de esos resultados sorprendentes, inesperados, en los que parece que, milagrosamente, todo cuadra a la perfección. Otro de esos resultados por los que dedicarle algo de tiempo a las Matemáticas merece muy mucho la pena.

Fuente:

Gaussianos

12 de noviembre de 2012

La belleza en el método matemático

Según cuentan, Descartes dijo una vez que la matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles. En Matemáticas, la belleza puede apreciarse desde varios enfoques. Uno de ellos se conoce como la belleza del método, que suele comportar brevedad insual en la demostración, el uso de pocas ayudas previas en forma de hipótesis o resultados, o si aporta una nueva y original visión del problema. Hagamos un repaso por algunas de esas bellas demostraciones, muchas de las cuales hacen uso de la geometría, ya que según dicen, una imagen vale más que mil palabras.

Un clásico entre los clásicos es el Teorema de Pitágoras, el cual afirma que en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Es el teorema que más demostraciones distintas tiene, contabilizando hasta 367, entre otras razones porque en la Edad Media se exigía una nueva demostración del teorema para alcanzar el grado de Magíster matheseos. Entre las distintas formas de probar dicho teorema, encontramos algunas que se agrupan en lo que se conoce como pruebas geométricas, que realizan comparaciones de áreas, implicando todo tipo de polígonos como triángulos, trapecios y cuadrados.

Otro teorema con un resultado sorprendente es el Teorema de Van Aubel, que reza lo siguiente: Dado un cuadrilátero cualquiera en un plano, a partir de cada lado dibujamos un cuadrado apoyado en él. Entonces los segmentos que unen los centros de cuadrados situados en lados opuestos tienen la misma longitud y además son perpendiculares. Lo sorprendente, si observáis la imagen de la derecha, es que los segmentos que unen los centros de los cuadrados en lados opuestos resultan tener la misma longitud y son de igual longitud, sin importar la forma del cuadrilátero, ya que el teorema no especifica restricción alguna respecto al mismo.

Un ejemplar sencillo y realmente bello es el Teorema de Marden. Basado en la elipse de Steiner, una elipse interior a un triángulo que en algunos casos es tangente a los puntos medios de dichos lados, sirve para expresar la relación geométrica entre los ceros de un polinomio de tercer grado con coeficientes complejos y los ceros de su derivada. Como podéis comprobar en la imagen inferior, de esta simple manera se muestra que los focos de la elipse coinciden con los ceros de la derivada del polinomio, cuyos ceros son los vértices del triángulo. Un dato curioso es que la elipse de Steiner se puede aplicar a polígonos de múltiples lados, teniendo algunos de ellos una elipse resultante que es tangente a cada lado en su punto medio.

El Teorema de Napoleon, conectado con el de Van Aubel y atribuido a Napoleón Bonaparte, es otro interesante ejemplo de un resultado sobre triángulos equiláteros, que reza lo siguiente: se construyen tres triángulos equiláteros a partir de los lados de un triángulo cualquiera, todos al interior o todos al exterior, entonces los centros de los triángulos equiláteros forman también un triángulo equilátero.

lo increíble es que la diferencia entre las áreas de los triángulos exterior e interior es igual al área del triángulo original. Este teorema tiene una interesante generalización en el caso de triángulos construidos externamente: Si se construyen externamente triángulos similares de cualquier forma en un triángulo de modo que cada uno se hace girar con relación a sus vecinos y cualquiera de los tres puntos correspondientes de estos triángulos están conectados, el resultado es un triángulo que es similar al triángulo externo.

El Teorema del punto fijo de Brouwer también tiene demostraciones bellas y curiosas. Este teorema establece que si una función f verifica ciertas propiedades, entonces existe un punto x₀ tal que f(x₀) = x₀, es decir, un punto fijo.

La prueba se realizó mediante el juego de Hex. La esbozó el famoso John Forbes Nash, reinventando el juego de Hex y mostrando que el empate es imposible. Eso a su vez demostró que es equivalente al teorema del punto fijo de Brouwer.

El hex es un juego entre dos personas que van colocando por turnos fichas sobre un tablero romboidal, compuesto de casilleros hexagonales. Las fichas se distinguen por su color, asociándose uno a cada jugador, y gana quien consigue formar una línea de sus fichas que conecte dos laterales opuestos del tablero previamente asignados. Lo que se demostró que si el tablero se encuentra completamente lleno de piezas, no es posible llegar a una situación de empate. Esta propiedad es la que permite demostrar el teorema del punto fijo de Brouwer.

En geometría, el Teorema del Círculo de Monge-D’Alembert destaca tanto por su simplicidad como por su amplio abanico de aplicaciones en distintos problemas. Este teorema establece que los pares de centros externos de similitud, que se obtienen trazando tangentes comunes dos a dos entre los círculos, de los tres círculos están en el mismo plano y en la misma recta (colineales) Se puede resolver usando el Teorema de Desargues, y se puede aplicar en muchos otros problemas, como los círculos de Malfatti.

Por último, veamos el Teorema de la Mariposa que, con cierta inspiración en el lema de Zassenhaus de teoría de grupos, es el resultado clásico de la geometría euclidiana. Este teorema fue demostrado por primera vez por William George Horner además de otros como Coxeter, Shklyarsky y Greitzer. Su nombre, como puede apreciarse en la figura, proviene de la apariencia final que se produce al dibujar cada uno de los elementos que va exigiendo el enunciado. La demostración es bastante complicada, pero lo curioso es que el resultado es independiente de la cuerda elegida, ya que los punto X e Y son equidistantes de M.

Esta entrada participa en la edición 3.1415926 del Carnaval de Matemáticas, alojado en el blog Series divergentes.

Fuentes 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,13,14,15,16.

Tomado de:

XD Ciencia

5 de noviembre de 2012

No exageramos: El teorema más maravilloso de las matemáticas

Decir que un teorema es “el teorema más maravilloso de las matemáticas” es mucho decir teniendo en cuenta la gran cantidad de maravillas en forma de resultado matemático que podemos encontrar a lo largo y ancho del conocimiento de esta ciencia. Pero lo que no se le podrá negar al teorema que os presento en este post es que reúne una gran cantidad de detalles (enunciado simple, conclusión realmente sorprendente e inesperada y demostración relativamente elemental) de esos que convierten un resultado matemático en un teorema maravilloso.

Como puede leerse en el título, la cuestión trata sobre situar las raíces de una derivada. Bien, vamos a especificar un pelín más. Concretamente de la derivada de un polinomio de grado 3. ¿De un polinomio de grado 3 habitual, de esos con coeficientes reales? No solamente de esos, sino de, en general, cualquier polinomio con coeficientes números complejos, y cuya variable también es compleja.

Sabemos que estos polinomios, como todos los polinomios con variable y coeficientes complejos, cumplen que todas sus raíces (raíz de un polinomio: solución de la ecuación polinómica que nos queda al igual a cero dicho polinomio) son números complejos. Por tanto, nuestro polinomio de grado 3 tiene sus tres raíces dentro de los números complejos.

Supongamos que esas tres raíces no están alineadas (única condición que le vamos a poner al polinomio, que sus tres raíces no estén en la misma recta). Entonces con ellas podemos construir un triángulo, uniéndolas dos a dos con segmentos. Calculemos ahora la derivada del polinomio, que será un polinomio de grado 2. ¿Dónde estarán situadas las raíces de esta derivada? ¿Dentro de dicho triángulo? ¿Fuera de él? ¿Una dentro y otra fuera? ¿O tal vez sobre los propios segmentos que forman los lados del polinomio? Y estén donde estén, ¿podemos decir algo sobre su situación en relación con el triángulo o su situación es azarosa?

Bien, pues como muchos de vosotros podréis imaginar la situación de estas raíces de la derivada no es ni muchísimo menos azarosa, de hecho está muy relacionada con el propio triángulo cuyos vértices son las raíces del polinomio inicial. Veamos el enunciado del teorema que relaciona todo esto y después os sigo contando cosas.

Teorema de Marden:
Dado un polinomio $p(z)$ de grado 3 con variable y coeficientes complejos, supongamos que sus raíces no están alineadas. Si consideramos el triángulo T cuyos vértices son dichas raíces, entonces las raíces de $p^\prime (z)$ , la derivada del polinomio, son los focos de la única elipse inscrita en T que es tangente a los tres lados de T exactamente en sus puntos medios.

Es decir, si tomamos los puntos medios de T existe una única elipse inscrita en T que es tangente a esos tres puntos, ¡¡y además los focos de dicha elipse son las raíces de la derivada del polinomio!! Para quedarse con la boca abierta…

Como hemos comentado antes, este teorema puede demostrarse utilizando técnicas y conocimientos relativamente elementales. Pero antes hablemos un poco sobre la historia de este resultado.

¿Por qué teorema de Marden? Pues porque en 2009 el matemático Dan Kalman escribió un interesante artículo (que fue premiado con el Lester R. Ford Award, premio que entrega la Mathematical Association of America) sobre este resultado, dando una demostración completa del mismo, y comentando que él había sabido de su existencia después de leer el libro Geometry of Polynomials, de Morris Marden y publicado en 1966. En realidad parece que fue Jörg Siebeck quien publicó inicialmente este resultado en 1864, o al menos es a él a quien el propio Marden se lo atribuye.

El caso es que la demostración que dio Marden de este teorema estaba incompleta. Demostró gran parte del mismo, pero se dejó un detalle: no demostró la unicidad de la elipse. Kalman comenta también que el propio Marden cita nueve trabajos más en los que se habla de este resultado, destacando uno publicado por Maxime Bôcher en 1892 con una demostración que, en cierto modo, también estaba incompleta.

Bien, pues lo que hizo Kalman en su artículo premiado, An Elementary Proof of Marden’s Theorem, es desarrollar una demostración de este teorema de Marden uniendo las ideas de las demostraciones de Bôcher y del propio Marden. Aunque podéis verla completa en su artículo, a continuación comento algunas cosas sobre ella.

Las claves de la demostración que nos propone Kalman son tres lemas previos a la propia demostración del teorema, cuyas demostraciones vamos a obviar en este post (os remito al artículo de Kalman si estáis interesados en verlas). El primero de ellos es quizás el más engorroso de explicar aquí, por lo que no lo vamos a citar aquí (tranquilos, no hay que aplicarlo directamente en la demostración del teorema).

El lema 2 dice lo siguiente

Lema 2:
Sea $p(z)$ un polinomio de grado tres cuyas raíces son no colineales y T el triángulo cuyos vértices son dichas raíces. Si Q es el punto medio de uno de los lados de T, entonces existe una única elipse, cuyos focos son las raíces de $p^\prime (z)$ , que pasa por Q, y de hecho esa elipse es tangente a ese lado de T en el propio punto Q.

Lema 3:
Sea $p(z)$ un polinomio de grado tres cuyas raíces son no colineales y T el triángulo cuyos vértices son dichas raíces. Consideramos la elipse con los focos en las raíces de $p^\prime (z)$ y que es tangente a un lado de T en su punto medio. Entonces esa elipse es tangente a los otros dos lados de T.

Demostración del teorema de Marden:
Tenemos nuestro polinomios y sus raíces formando T, como antes. Con las raíces de $p^\prime (z)$ como focos dibujamos la elipse E que pasa por el punto medio de uno de los lados de T. El Lema 2 nos dice que E es tangente a ese lado del triángulo en su punto medio, y el Lema 3 dice que entonces E también es tangente a los otros dos lados. Lo que queremos es demostrar que exactamente es tangente a esos dos lados en sus puntos medios.
Si no fuera así, repetimos la construcción sobre otro de los lados del triángulo T, obteniendo así la elipse E’. Tenemos entonces dos elipses, E y E’, que tienen los mismos focos y que son tangentes a las mismas rectas (a las que contienen a los tres lados de T), por lo que E y E’ deben ser, efectivamente, la misma elipse. Pero eso significa que esta elipse es tangente a dos de los lados del triángulo en sus puntos medios. Para ver que también lo es en el punto medio del lado que falta, construimos la elipse que tiene los mismos focos que la anterior y que es tangente al otro lado en su punto medio. Al repetir el proceso anterior vemos que esta elipse debe ser de hecho la propia E. Por tanto, esta elipse es tangente a los tres lados en sus puntos medios, terminando así la demostración.

Para terminar, comentar que esta elipse se conoce con el nombre de inelipse de Steiner, y que las sorpresas no se quedan en la primera derivada. Si calculamos la segunda derivada, la única raíz de la misma está situada exactamente en el punto medio del segmento que une las dos raíces de $p^\prime (z)$ , siendo esta raíz por tanto el baricentro del propio triángulo. Impresionante.

Ah, y como no podía ser de otra manera este resultado se presta a ciertas generalizaciones: una de ellas tomando polinomios de mayor grado pero que sigan conservando exactamente tres raíces distintas y no colineales y otra con polígonos de un número mayor de lados. En la entrada de la Wikipedia inglesa dedicada al teorema de Marden podéis encontrar algo más de información al respecto.

Fuente:

Gauussianos

29 de mayo de 2012

Napoleón Bonaparte y el Teorema del Emperador

En estos momentos en los que la inversión en ciencia en España tiene pinta de seguir la gráfica de una exponencial de exponente negativo es posible que sea interesante recordar que a lo largo de la historia podemos encontrar muchos ejemplos de personajes de las altas esferas de la aristocracia o del gobierno de algún país que han mantenido relaciones muy estrechas con la ciencia en todas sus variantes. Hasta se conocen jefes de gobierno con conocimientos matemáticos interesantes, como James Gardfield, presidente de los Estados Unidos que desarrolló una demostración del teorema de Pitágoras. Pero quizás uno de los más representativos de esta categoría de gobernantes sea Napoleón Bonaparte.

Napoleón Bonaparte, el Emperador de los Franceses, gustaba de relacionarse con lo más granado de las matemáticas de su época. Es bastante conocida su amistad con matemáticos de la talla de Gaspard Monge, Pierre Simon Laplace y Joseph Louis Lagrange, que de hecho llegaron a recibir títulos nobiliarios de Napoleón. Sobre la relación con ellos hay un par de anécdotas relativamente conocidas que vamos a contar.

La primera de ellas tiene que ver con la obra de Laplace Traité de Mécanique céleste. Estaba el matemático francés presentando dicho libro al emperador cuando éste le espetó:

Napoleón: Monsieur Laplace, me cuentan que ha escrito usted este gran libro sobre el sistema del universo sin haber mencionado ni una sola vez a su creador.

A lo que Laplace respondió:

Laplace: Sire, nunca he necesitado esa hipótesis.

Se cuenta también que cuando Lagrange supo de dicha conversación comentó:

Lagrange: Pues es una bella hipótesis, explica muchas cosas.

La segunda tiene que ver con otro matemático amigo de Napoleón: Lorenzo Mascheroni. Al parecer la amistad entre Napoleón y Mascheroni era muy fuerte. Ello, junto con el gusto del emperador por las matemáticas, propició que Napoleón conociera algunos de los resultados de Mascheroni con cierta profundidad. La anécdota viene a raíz de una conversación de Napoleón con Lagrange y Laplace donde el dirigente francés les estaba hablando sobre algunas construcciones de Mascheroni que ellos no conocían. Al parecer Laplace comentó lo siguiente:

General, esperábamos de vos cualquier cosa excepto lecciones de geometría.

Aparte de estas anécdotas, hay un detalle que relaciona a Napoleón con las matemáticas que quizás mucha gente desconozca: Napoleón da nombre a un teorema. Sí, amigos, el denominado teorema de Napoleón existe y es un resultado de geometría plana totalmente serio, aunque quizás su procedencia real no corresponda a su denominación.

El denominado teorema de Napoléon dice lo siguiente:

Teorema de Napoleón
Dado un triángulo plano cualquiera, dibujemos triángulos equiláteros apoyados en cada uno de sus lados y representemos el baricentro de cada uno de ellos. Entonces el triángulo que tiene como vértices a esos baricentros es un triángulo equilátero, sea como sea el triángulo inicial.

Interesante, ¿verdad? Pues más interesante es saber que el teorema también se cumple si tomamos los triángulos equiláteros internos del triángulo inicial, es decir, si los dibujamos hacia adentro.

Y como colofón, tenemos también relación entre las áreas de los triángulos. Concretamente, el área del triángulo inicial es igual al área del equilátero que se forma con los exteriores menos el área del equilátero que se forma con los interiores.

La situación sería algo así como lo que se puede ver en el applet de GeoGebra que mostramos a continuación. Podéis mover los vértices del triángulo inicial (en negro) y veréis cómo los ángulos del triángulo que se forma (en rojo) siempre miden 60º, esto es, que el triángulo es equilátero independientemente de la forma del triángulo inicial. Además, marcando “Triángulos interiores” podemos ver la situación interior, y marcando “Relación entre áreas” podemos ver que que la resta de las áreas del equilátero externo y la del interno da como resultado el área del inicial:

El applet Java de GeoGebra no ha podido ejecutarse.

En esta página podéis ver demostraciones tanto de la versión “externa” como de la “interna”, así como también de la relación entre las áreas de los triángulos. Y en Cut the Knot tenéis más información y algunas otras demostraciones de este resultado.

Pero no todo podía ser tan perfecto. En realidad el teorema de Napoleón no es de Napoleón, sino del citado Lorenzo Mascheroni, que según la historia es quien lo enunció y lo demostró. La razón por la que ha pasado a la historia con esta atribución parece ser que es la gran afición de Napoleón por las matemáticas y su gran amistad con Mascheroni (llegó a dedicar a Napoleón su obra Geometria del compasso), que le llevaron a estudiar sus libros y a popularizar sus resultados con tanto éxito que, incomprensiblemente, en algún momento se atribuyó este teorema a Napoleón.

Hoy en día todavía sigue habiendo gente que piensa que realmente fue Napoleón el responsable de este teorema, pero la opinión generalizada de los expertos es que, aunque la demostración no es demasiado complicada, el emperador no tenía conocimientos matemáticos suficientes para realizar la pertinente demostración. Lo que no se le puede negar a Napoleón es su preocupación por la ciencia y la educación (por ejemplo, instituyó la educación superior). Bien haría más de uno de los que nos gobierna en tomar ejemplo de él en lo que a estos temas se refiere…

Fuente:

Amazings

31 de julio de 2011

Confusión entre necesario y suficiente: el caso de la diferenciabilidad

Especial: Matemáticas

La distinción entre condición necesaria y condición suficiente es un tema muy costoso de entender para mucha gente, tengan los estudios que tengan. En principio, partiendo de la denominación de cada una de estas condiciones es sencillo distinguirlas, pero en la práctica hay muchas ocasiones en las que la gente se lía bastante con ello. Ante una condición necesaria mucha gente piensa que lo que está viendo es una condición suficiente, y viceversa. Y hasta hay ocasiones en las que teniendo una condición solamente necesaria (o solamente suficiente) se cree que en realidad es de los dos tipos, necesaria y suficiente.

En general esto ocurre con las implicaciones:

Si es cierto A, entonces es cierto B

Que esto ocurra no significa ni Si es cierto B, entonces es cierto A ni Si no es cierto A, entonces no es cierto B, pero en muchos casos se piensa que sí. Voy a poner un sencillo ejemplo, que es el más frecuentemente uso con mis alumnos:

Esta claro que Si llueve, entonces mi patio se moja (Si es cierto A, entonces es cierto B), ¿verdad? ¿Es cierto entonces que Si mi patio se ha mojado, entonces es que ha llovido (Si es cierto B, entonces es cierto A)? Claramente no, ya que mi patio puede estar mojado porque lo he hecho yo con una manguera y no por haber llovido. ¿Y es cierto que Si no llueve, entonces mi patio no se moja (Si no es cierto A, entonces no es cierto B)? Pues tampoco, por lo mismo que en el caso anterior: he podido mojarlo yo sin que haya llovido.

La primera parte de la primera frase, Si llueve,…, es una condición suficiente para que mi patio se moje, pero no una condición necesaria. Es decir, es suficiente que llueva para que se moje mi patio, pero no es necesario que llueva para que ello ocurra.

Como he comentado antes, la confusión entre estos dos tipos de sentencias se produce con mucha frecuencia. Y no solamente entre gente sin estudios, sino también entre estudiantes de instituto, de universidad, y hasta entre profesores. De hecho el ejemplo que voy a poner ahora surgió a partir de una confusión de una persona que da clase en una universidad (doy fe de ello, ya que se puede decir que he asistido en primera persona a dicho error). Vamos a dar alguna idea sobre el concepto de diferenciabilidad y a partir de ahí introduciremos el resultado que puede causar confusión, que después explicaremos.

El caso de la diferenciabilidad

El concepto de diferenciabilidad de funciones de varias variables es uno de los conceptos que más errores provocan entre los estudiantes de cálculo en varias variables. En esencia es análogo al de derivabilidad en funciones de una variable, pero el paso de una variable a más de una variable hace que la cosa se complique.

Aunque el concepto es más general, vamos a hablar solamente de funciones escalares de dos variables, es decir, funciones $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ . En este caso, la definición de diferenciabilidad en un punto es la siguiente:

Definición: (diferenciabilidad en un punto)

Dada $f: A \subset \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ y un punto $(a,b) \in int(A)$ , la función $f(x,y)$ es diferenciable en el punto $(a,b)$ si el límite

$\displaystyle{\lim_{(x,y) \to (a,b)} \cfrac{f(x,y)-f(a,b)-f_x(a,b) \cdot (x-a)-f_y(a,b) \cdot (y-b)}{\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}}}$

vale cero.

Nota: $f_x$ y $f_y$ denotan las derivadas parciales respecto de $x$ y de $y$ respectivamente.

Por comentarlo, esto es equivalente a que la función admita plano tangente único en el punto $(a,b)$ .

Hay varias condiciones necesarias relacionadas con la diferenciabilidad de una función escalar en un punto, como por ejemplo:

Es necesario que $f$ sea continua en $(a,b)$ para que sea diferenciable en ese punto.
Es necesario que existan las derivadas parciales de $f$ en $(a,b)$ para que sea diferenciable en ese punto.
Es necesario que existan las derivadas parciales de $f$ en $(a,b)$ en la dirección de cualquier vector unitario para que sea diferenciable en ese punto.

Que estas sean condiciones necesarias significa que si alguna de ellas no se cumple, entonces la función no es diferenciable en $(a,b)$ . Ahora, ninguna de ellas es condición suficiente, ya que ninguna de ellas implica que la función sea diferenciable en $(a,b)$ .

El resultado estrella de este artículo se conoce como condición suficiente de diferenciabilidad, y su enunciado es el siguiente:

Teorema: (condición suficiente de diferenciabilidad)

Si $f: A \subset \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ es continua en un punto $(a,b) \in int(A)$ y las derivadas parciales de $f$ , $f_x, \; f_y$ , existen y son continuas en $(a,b)$ , entonces $f$ es diferenciable en $(a,b)$ .

No nos vamos a detener en demostrar este teorema. Dicha demostración aparece, por ejemplo, en este post del blog The Unapologetic Mathematician o en la página 168 del libro de Análisis Matemático de Carlos Ivorra (Teorema 4.11)^|1|.

Como se aprecia en la denominación de este resultado, ésta es una condición suficiente para que la función sea diferenciable en ese punto. Es decir, basta que se cumplan estas condiciones para asegurar que la función es diferenciable en el punto. Pero, como ya podréis saber, no es una condición necesaria, es decir, no es necesario que se cumplan todas las condiciones que plantea el enunciado para que una función sea diferenciable en un punto.

Esto significa que hay funciones que son diferenciables en un punto, pero que no cumplen todas las hipótesis de ese enunciado. Concretamente no cumplen que las derivadas parciales sean funciones continuas en el punto en cuestión (ya que la continuidad de la función y la existencia de las derivadas parciales en ese punto sí son condiciones necesarias para la diferenciabilidad).

Y además no es demasiado complicado encontrar ejemplos de funciones de este estilo. Una de ellas es:

$f(x,y)=\begin{cases} (x^2+y^2) \sin{ \left ( \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} \right )} & \mbox{, si } (x,y) \ne (0,0) \\ 0 & \mbox{, si } (x,y)=(0,0) \end{cases}$

Vamos a analizar qué ocurre con esta función en el punto $(0,0)$ en relación a lo comentado anteriormente:

$f(x,y)$ es claramente continua en $(0,0)$ , ya que
$\displaystyle{\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y)=0 \cdot \mbox{acotada}=0}$

y $f(0,0)=0$ .
Sus dos derivadas parciales existen en $(0,0)$ . Calculemos una de ellas:
$\cfrac{\partial f}{\partial x} (0,0)=\displaystyle{\lim_{h \to 0} \cfrac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h \to 0} \cfrac{h^2 \cdot \sin{(\frac{1}{h})}-0}{h}=} \displaystyle{\lim_{h \to 0} h \cdot \sin{\left ( \frac{1}{h} \right )}=0 \cdot \mbox{acotada}=0}$

Por tanto la derivada parcial de $f$ respecto de $x$ en el punto $(0,0)$ existe y vale cero. Si calculamos la derivada de $f$ respecto de $y$ en $(0,0)$ vemos que también existe y, en este caso, también vale cero.
Estudiemos ahora la continuidad de las derivadas parciales. Bueno, en realidad solamente lo haremos con la de $x$ . Si calculamos esta derivada parcial para $(x,y) \ne (0,0)$ obtenemos lo siguiente:
$\cfrac{\partial f}{\partial x} (x,y)= \ldots =2x \; \sin{\left ( \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} \right )}-\cfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \; \cos{\left ( \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2} } \right )}$

Si unimos esta información con el valor de dicha derivada parcial en $(0,0)$ obtenemos la función derivada parcial de $f$ respecto de $x$ como función a trozos:

$\cfrac{\partial f}{\partial x} (x,y)=\begin{cases} 2x \; \sin{\left ( \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} \right )}-\cfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \; \cos{\left ( \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2} } \right )} & \mbox{, si } (x,y) \ne (0,0) \\ 0 & \mbox{, si } (x,y)=(0,0) \end{cases}$

Para que esta función sea continua en $(0,0)$ debe existir

$\displaystyle{\lim_{(x,y) \to (0,0)} \cfrac{\partial f}{\partial x} (x,y)}$

y además debe valer cero. Calculando ese límite pasando a coordenadas polares obtenemos:

$\displaystyle{\lim_{r \to 0} \left ( 2r \; \cos{(\theta)} \; \sin{\left (\frac{1}{r} \right )}- \cos{(\theta)} \; \cos{\left ( \frac{1}{r} \right )} \right )}$

donde podemos ver que el valor del segundo término depende de $\theta$ , por lo que el límite no existe. En consecuencia:

$\cfrac{\partial f}{\partial x} (x,y)$ no es continua en $(0,0)$ .

De forma análoga puede verse que la otra función derivada parcial tampoco es continua en $(0,0)$ .
Interpretando mal la condición suficiente de diferenciabilidad podríamos pensar que esto asegura que la propia función $f(x,y)$ no es diferenciable en $(0,0)$ , pero en realidad sí lo es. Lo vemos con la definición que dimos unos párrafos antes:
$\displaystyle{\lim_{(x,y) \to (0,0)} \cfrac{f(x,y)-f(0,0)-f_x(0,0) \cdot x-f_y(0,0) \cdot y}{\sqrt{x^2+y^2}}=\lim_{(x,y) \to (0,0)} \cfrac{(x^2+y^2) \; \sin{ \left (\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} \right )}}{\sqrt{x^2+y^2}}=}$

de donde, operando, llegamos a:

$\displaystyle{=\lim_{(x,y) \to (0,0)} \sqrt{x^2+y^2} \; \sin{ \left (\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} \right )}=0 \cdot \mbox{acotada}=0}$

Como el límite de la definición es cero, la función $f(x,y)$ es diferenciable en el punto $(0,0)$ , aunque las derivadas parciales no son continuas en ese punto.

En consecuencia, si tenemos una función continua en un punto, cuyas derivadas parciales existen en dicho punto, pero las funciones derivada parcial no son continuas en él, no podremos afirmar con total seguridad que la función no es diferenciable en ese punto, ya que hay funciones para las que esto es cierto, las funciones polinómicas por poner un ejemplo, y funciones para las que no, como la que hemos estudiado anteriormente o esta otra que me proporcionó Tito Eliatron:

$f(x,y)=\begin{cases} x^2 \sin{ \left ( \frac{1}{x} \right )}+y^2 \sin{ \left ( \frac{1}{y} \right )} & \mbox{, si } x \ne 0,y \ne 0 \\ 0 & \mbox{, si } x=0 \mbox{ o } y=0 \end{cases}$

Y sí, una persona que da clase de cálculo en varias variables (entre otras cosas) cometió este error: interpretar como condición necesaria este teorema, que en realidad solamente es condición suficiente. Comentó a sus alumnos que si alguna de las funciones derivada parcial no era continua en un punto, entonces la función no era diferenciable en ese punto (hecho que hemos visto que es falso), provocando en ellos una gran confusión al chocar frontalmente esto con los conocimientos que se les había proporcionado en las clases de apoyo. Menos mal que al final conseguimos encauzar esta situación. Y hasta aquí puedo leer…

|1|: Un comentario sobre la condición suficiente de diferenciabilidad en el libro de Ivorra y en muchos otros textos. En el enunciado que yo he propuesto se dice que $f$ debe ser continua en $(a,b)$ , pero en el libro de Ivorra (y, como digo, en muchos otros) no se pide explícitamente esta hipótesis. Pero, por otra parte, hemos comentado que la continuidad de $f$ en el punto en cuestión es necesaria (ya que si no es continua en un punto, entonces no es diferenciable en ese punto). ¿Quién nos explica todo esto?

¿Conocéis más casos de este tipo que merezca la pena reseñar?

Fuente:

Gaussianos

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