Confusión entre necesario y suficiente: el caso de la diferenciabilidad

Especial: Matemáticas

La distinción entre condición necesaria y condición suficiente es un tema muy costoso de entender para mucha gente, tengan los estudios que tengan. En principio, partiendo de la denominación de cada una de estas condiciones es sencillo distinguirlas, pero en la práctica hay muchas ocasiones en las que la gente se lía bastante con ello. Ante una condición necesaria mucha gente piensa que lo que está viendo es una condición suficiente, y viceversa. Y hasta hay ocasiones en las que teniendo una condición solamente necesaria (o solamente suficiente) se cree que en realidad es de los dos tipos, necesaria y suficiente.

En general esto ocurre con las implicaciones:

Si es cierto A, entonces es cierto B

Que esto ocurra no significa ni Si es cierto B, entonces es cierto A ni Si no es cierto A, entonces no es cierto B, pero en muchos casos se piensa que sí. Voy a poner un sencillo ejemplo, que es el más frecuentemente uso con mis alumnos:

Esta claro que Si llueve, entonces mi patio se moja (Si es cierto A, entonces es cierto B), ¿verdad? ¿Es cierto entonces que Si mi patio se ha mojado, entonces es que ha llovido (Si es cierto B, entonces es cierto A)? Claramente no, ya que mi patio puede estar mojado porque lo he hecho yo con una manguera y no por haber llovido. ¿Y es cierto que Si no llueve, entonces mi patio no se moja (Si no es cierto A, entonces no es cierto B)? Pues tampoco, por lo mismo que en el caso anterior: he podido mojarlo yo sin que haya llovido.

La primera parte de la primera frase, Si llueve,…, es una condición suficiente para que mi patio se moje, pero no una condición necesaria. Es decir, es suficiente que llueva para que se moje mi patio, pero no es necesario que llueva para que ello ocurra.

Como he comentado antes, la confusión entre estos dos tipos de sentencias se produce con mucha frecuencia. Y no solamente entre gente sin estudios, sino también entre estudiantes de instituto, de universidad, y hasta entre profesores. De hecho el ejemplo que voy a poner ahora surgió a partir de una confusión de una persona que da clase en una universidad (doy fe de ello, ya que se puede decir que he asistido en primera persona a dicho error). Vamos a dar alguna idea sobre el concepto de diferenciabilidad y a partir de ahí introduciremos el resultado que puede causar confusión, que después explicaremos.

El caso de la diferenciabilidad

El concepto de diferenciabilidad de funciones de varias variables es uno de los conceptos que más errores provocan entre los estudiantes de cálculo en varias variables. En esencia es análogo al de derivabilidad en funciones de una variable, pero el paso de una variable a más de una variable hace que la cosa se complique.

Aunque el concepto es más general, vamos a hablar solamente de funciones escalares de dos variables, es decir, funciones $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ . En este caso, la definición de diferenciabilidad en un punto es la siguiente:

Definición: (diferenciabilidad en un punto)

Dada $f: A \subset \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ y un punto $(a,b) \in int(A)$ , la función $f(x,y)$ es diferenciable en el punto $(a,b)$ si el límite

$\displaystyle{\lim_{(x,y) \to (a,b)} \cfrac{f(x,y)-f(a,b)-f_x(a,b) \cdot (x-a)-f_y(a,b) \cdot (y-b)}{\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}}}$

vale cero.

Nota: $f_x$ y $f_y$ denotan las derivadas parciales respecto de $x$ y de $y$ respectivamente.

Por comentarlo, esto es equivalente a que la función admita plano tangente único en el punto $(a,b)$ .

Hay varias condiciones necesarias relacionadas con la diferenciabilidad de una función escalar en un punto, como por ejemplo:

Es necesario que $f$ sea continua en $(a,b)$ para que sea diferenciable en ese punto.
Es necesario que existan las derivadas parciales de $f$ en $(a,b)$ para que sea diferenciable en ese punto.
Es necesario que existan las derivadas parciales de $f$ en $(a,b)$ en la dirección de cualquier vector unitario para que sea diferenciable en ese punto.

Que estas sean condiciones necesarias significa que si alguna de ellas no se cumple, entonces la función no es diferenciable en $(a,b)$ . Ahora, ninguna de ellas es condición suficiente, ya que ninguna de ellas implica que la función sea diferenciable en $(a,b)$ .

El resultado estrella de este artículo se conoce como condición suficiente de diferenciabilidad, y su enunciado es el siguiente:

Teorema: (condición suficiente de diferenciabilidad)

Si $f: A \subset \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ es continua en un punto $(a,b) \in int(A)$ y las derivadas parciales de $f$ , $f_x, \; f_y$ , existen y son continuas en $(a,b)$ , entonces $f$ es diferenciable en $(a,b)$ .

No nos vamos a detener en demostrar este teorema. Dicha demostración aparece, por ejemplo, en este post del blog The Unapologetic Mathematician o en la página 168 del libro de Análisis Matemático de Carlos Ivorra (Teorema 4.11)^|1|.

Como se aprecia en la denominación de este resultado, ésta es una condición suficiente para que la función sea diferenciable en ese punto. Es decir, basta que se cumplan estas condiciones para asegurar que la función es diferenciable en el punto. Pero, como ya podréis saber, no es una condición necesaria, es decir, no es necesario que se cumplan todas las condiciones que plantea el enunciado para que una función sea diferenciable en un punto.

Esto significa que hay funciones que son diferenciables en un punto, pero que no cumplen todas las hipótesis de ese enunciado. Concretamente no cumplen que las derivadas parciales sean funciones continuas en el punto en cuestión (ya que la continuidad de la función y la existencia de las derivadas parciales en ese punto sí son condiciones necesarias para la diferenciabilidad).

Y además no es demasiado complicado encontrar ejemplos de funciones de este estilo. Una de ellas es:

$f(x,y)=\begin{cases} (x^2+y^2) \sin{ \left ( \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} \right )} & \mbox{, si } (x,y) \ne (0,0) \\ 0 & \mbox{, si } (x,y)=(0,0) \end{cases}$

Vamos a analizar qué ocurre con esta función en el punto $(0,0)$ en relación a lo comentado anteriormente:

$f(x,y)$ es claramente continua en $(0,0)$ , ya que
$\displaystyle{\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y)=0 \cdot \mbox{acotada}=0}$

y $f(0,0)=0$ .
Sus dos derivadas parciales existen en $(0,0)$ . Calculemos una de ellas:
$\cfrac{\partial f}{\partial x} (0,0)=\displaystyle{\lim_{h \to 0} \cfrac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h \to 0} \cfrac{h^2 \cdot \sin{(\frac{1}{h})}-0}{h}=} \displaystyle{\lim_{h \to 0} h \cdot \sin{\left ( \frac{1}{h} \right )}=0 \cdot \mbox{acotada}=0}$

Por tanto la derivada parcial de $f$ respecto de $x$ en el punto $(0,0)$ existe y vale cero. Si calculamos la derivada de $f$ respecto de $y$ en $(0,0)$ vemos que también existe y, en este caso, también vale cero.
Estudiemos ahora la continuidad de las derivadas parciales. Bueno, en realidad solamente lo haremos con la de $x$ . Si calculamos esta derivada parcial para $(x,y) \ne (0,0)$ obtenemos lo siguiente:
$\cfrac{\partial f}{\partial x} (x,y)= \ldots =2x \; \sin{\left ( \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} \right )}-\cfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \; \cos{\left ( \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2} } \right )}$

Si unimos esta información con el valor de dicha derivada parcial en $(0,0)$ obtenemos la función derivada parcial de $f$ respecto de $x$ como función a trozos:

$\cfrac{\partial f}{\partial x} (x,y)=\begin{cases} 2x \; \sin{\left ( \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} \right )}-\cfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \; \cos{\left ( \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2} } \right )} & \mbox{, si } (x,y) \ne (0,0) \\ 0 & \mbox{, si } (x,y)=(0,0) \end{cases}$

Para que esta función sea continua en $(0,0)$ debe existir

$\displaystyle{\lim_{(x,y) \to (0,0)} \cfrac{\partial f}{\partial x} (x,y)}$

y además debe valer cero. Calculando ese límite pasando a coordenadas polares obtenemos:

$\displaystyle{\lim_{r \to 0} \left ( 2r \; \cos{(\theta)} \; \sin{\left (\frac{1}{r} \right )}- \cos{(\theta)} \; \cos{\left ( \frac{1}{r} \right )} \right )}$

donde podemos ver que el valor del segundo término depende de $\theta$ , por lo que el límite no existe. En consecuencia:

$\cfrac{\partial f}{\partial x} (x,y)$ no es continua en $(0,0)$ .

De forma análoga puede verse que la otra función derivada parcial tampoco es continua en $(0,0)$ .
Interpretando mal la condición suficiente de diferenciabilidad podríamos pensar que esto asegura que la propia función $f(x,y)$ no es diferenciable en $(0,0)$ , pero en realidad sí lo es. Lo vemos con la definición que dimos unos párrafos antes:
$\displaystyle{\lim_{(x,y) \to (0,0)} \cfrac{f(x,y)-f(0,0)-f_x(0,0) \cdot x-f_y(0,0) \cdot y}{\sqrt{x^2+y^2}}=\lim_{(x,y) \to (0,0)} \cfrac{(x^2+y^2) \; \sin{ \left (\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} \right )}}{\sqrt{x^2+y^2}}=}$

de donde, operando, llegamos a:

$\displaystyle{=\lim_{(x,y) \to (0,0)} \sqrt{x^2+y^2} \; \sin{ \left (\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} \right )}=0 \cdot \mbox{acotada}=0}$

Como el límite de la definición es cero, la función $f(x,y)$ es diferenciable en el punto $(0,0)$ , aunque las derivadas parciales no son continuas en ese punto.

En consecuencia, si tenemos una función continua en un punto, cuyas derivadas parciales existen en dicho punto, pero las funciones derivada parcial no son continuas en él, no podremos afirmar con total seguridad que la función no es diferenciable en ese punto, ya que hay funciones para las que esto es cierto, las funciones polinómicas por poner un ejemplo, y funciones para las que no, como la que hemos estudiado anteriormente o esta otra que me proporcionó Tito Eliatron:

$f(x,y)=\begin{cases} x^2 \sin{ \left ( \frac{1}{x} \right )}+y^2 \sin{ \left ( \frac{1}{y} \right )} & \mbox{, si } x \ne 0,y \ne 0 \\ 0 & \mbox{, si } x=0 \mbox{ o } y=0 \end{cases}$

Y sí, una persona que da clase de cálculo en varias variables (entre otras cosas) cometió este error: interpretar como condición necesaria este teorema, que en realidad solamente es condición suficiente. Comentó a sus alumnos que si alguna de las funciones derivada parcial no era continua en un punto, entonces la función no era diferenciable en ese punto (hecho que hemos visto que es falso), provocando en ellos una gran confusión al chocar frontalmente esto con los conocimientos que se les había proporcionado en las clases de apoyo. Menos mal que al final conseguimos encauzar esta situación. Y hasta aquí puedo leer…

|1|: Un comentario sobre la condición suficiente de diferenciabilidad en el libro de Ivorra y en muchos otros textos. En el enunciado que yo he propuesto se dice que $f$ debe ser continua en $(a,b)$ , pero en el libro de Ivorra (y, como digo, en muchos otros) no se pide explícitamente esta hipótesis. Pero, por otra parte, hemos comentado que la continuidad de $f$ en el punto en cuestión es necesaria (ya que si no es continua en un punto, entonces no es diferenciable en ese punto). ¿Quién nos explica todo esto?

¿Conocéis más casos de este tipo que merezca la pena reseñar?

Fuente:

Gaussianos

Conocer Ciencia

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31 de julio de 2011

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