Por qué es importante que hayan descubierto el número primo más largo de la historia

Un ordenador de la Universidad Central de Misouri da con un número clave para el futuro de la informática.

La cifra tiene más de 22 millones de dígitos. Es larguísima, casi eterna, y por lo tanto cuesta mucho de leer. Este rasgo, unido al hecho de que se trata de un número primo especial, la hace singular: Se prevé que sea clave para encriptar y proteger datos y que, por lo tanto, en un futuro tenga una gran aplicación en los servicios online para operaciones bancarias, compras por internet y mensajería. 

Los números primos solo pueden dividirse por uno o por sí mismos y, como demostró Euclides en el siglo IV a. C., son infinitos. Sin embargo, en el siglo XVII, un monje francés amigo de Descartes y amante de la música descubrió unos números primos especiales a los que se bautizó con su nombre: los primos Mersenne (N=2n-1). Hasta hace poco solo se conocían 48 números Mersenne. La nueva cifra hallada ahora es el 49 y su descubrimiento ha sido posible gracias al proyecto Great Internet Mersenne Prime Search que cuenta con miles de voluntarios. 

Más información en: La Vanguardia

La belleza en el método matemático

Según cuentan, Descartes dijo una vez que la matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles. En Matemáticas, la belleza puede apreciarse desde varios enfoques. Uno de ellos se conoce como la belleza del método, que suele comportar brevedad insual en la demostración, el uso de pocas ayudas previas en forma de hipótesis o resultados, o si aporta una nueva y original visión del problema. Hagamos un repaso por algunas de esas bellas demostraciones, muchas de las cuales hacen uso de la geometría, ya que según dicen, una imagen vale más que mil palabras.

Un clásico entre los clásicos es el Teorema de Pitágoras, el cual afirma que en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Es el teorema que más demostraciones distintas tiene, contabilizando hasta 367, entre otras razones porque en la Edad Media se exigía una nueva demostración del teorema para alcanzar el grado de Magíster matheseos. Entre las distintas formas de probar dicho teorema, encontramos algunas que se agrupan en lo que se conoce como pruebas geométricas, que realizan comparaciones de áreas, implicando todo tipo de polígonos como triángulos, trapecios y cuadrados.

Otro teorema con un resultado sorprendente es el Teorema de Van Aubel, que reza lo siguiente: Dado un cuadrilátero cualquiera en un plano, a partir de cada lado dibujamos un cuadrado apoyado en él. Entonces los segmentos que unen los centros de cuadrados situados en lados opuestos tienen la misma longitud y además son perpendiculares. Lo sorprendente, si observáis la imagen de la derecha, es que los segmentos que unen los centros de los cuadrados en lados opuestos resultan tener la misma longitud y son de igual longitud, sin importar la forma del cuadrilátero, ya que el teorema no especifica restricción alguna respecto al mismo.

Un ejemplar sencillo y realmente bello es el Teorema de Marden. Basado en la elipse de Steiner, una elipse interior a un triángulo que en algunos casos es tangente a los puntos medios de dichos lados, sirve para expresar la relación geométrica entre los ceros de un polinomio de tercer grado con coeficientes complejos y los ceros de su derivada. Como podéis comprobar en la imagen inferior, de esta simple manera se muestra que los focos de la elipse coinciden con los ceros de la derivada del polinomio, cuyos ceros son los vértices del triángulo. Un dato curioso es que la elipse de Steiner se puede aplicar a polígonos de múltiples lados, teniendo algunos de ellos una elipse resultante que es tangente a cada lado en su punto medio.

El Teorema de Napoleon, conectado con el de Van Aubel y atribuido a Napoleón Bonaparte, es otro interesante ejemplo de un resultado sobre triángulos equiláteros, que reza lo siguiente: se construyen tres triángulos equiláteros a partir de los lados de un triángulo cualquiera, todos al interior o todos al exterior, entonces los centros de los triángulos equiláteros forman también un triángulo equilátero.

lo increíble es que la diferencia entre las áreas de los triángulos exterior e interior es igual al área del triángulo original. Este teorema tiene una interesante generalización en el caso de triángulos construidos externamente: Si se construyen externamente triángulos similares de cualquier forma en un triángulo de modo que cada uno se hace girar con relación a sus vecinos y cualquiera de los tres puntos correspondientes de estos triángulos están conectados, el resultado es un triángulo que es similar al triángulo externo.

El Teorema del punto fijo de Brouwer también tiene demostraciones bellas y curiosas. Este teorema establece que si una función f verifica ciertas propiedades, entonces existe un punto x₀ tal que f(x₀) = x₀, es decir, un punto fijo.

La prueba se realizó mediante el juego de Hex. La esbozó el famoso John Forbes Nash, reinventando el juego de Hex y mostrando que el empate es imposible. Eso a su vez demostró que es equivalente al teorema del punto fijo de Brouwer.

El hex es un juego entre dos personas que van colocando por turnos fichas sobre un tablero romboidal, compuesto de casilleros hexagonales. Las fichas se distinguen por su color, asociándose uno a cada jugador, y gana quien consigue formar una línea de sus fichas que conecte dos laterales opuestos del tablero previamente asignados. Lo que se demostró que si el tablero se encuentra completamente lleno de piezas, no es posible llegar a una situación de empate. Esta propiedad es la que permite demostrar el teorema del punto fijo de Brouwer.

En geometría, el Teorema del Círculo de Monge-D’Alembert destaca tanto por su simplicidad como por su amplio abanico de aplicaciones en distintos problemas. Este teorema establece que los pares de centros externos de similitud, que se obtienen trazando tangentes comunes dos a dos entre los círculos, de los tres círculos están en el mismo plano y en la misma recta (colineales) Se puede resolver usando el Teorema de Desargues, y se puede aplicar en muchos otros problemas, como los círculos de Malfatti.

Por último, veamos el Teorema de la Mariposa que, con cierta inspiración en el lema de Zassenhaus de teoría de grupos, es el resultado clásico de la geometría euclidiana. Este teorema fue demostrado por primera vez por William George Horner además de otros como Coxeter, Shklyarsky y Greitzer. Su nombre, como puede apreciarse en la figura, proviene de la apariencia final que se produce al dibujar cada uno de los elementos que va exigiendo el enunciado. La demostración es bastante complicada, pero lo curioso es que el resultado es independiente de la cuerda elegida, ya que los punto X e Y son equidistantes de M.

Esta entrada participa en la edición 3.1415926 del Carnaval de Matemáticas, alojado en el blog Series divergentes.

Fuentes 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,13,14,15,16. 

Tomado de:

XD Ciencia

Existes, luego piensas

Homo sapiens (ma non troppo) piensa. Al menos para el obsesivo pensador René Descartes esa era la única certeza. Cogito ergo sum. Pienso, por lo tanto existo. Descartes dudaba de todo y necesitaba de alguna certeza primera inamovible sobre la que desarrollar el edificio de una interpretación ajustada de la realidad y sólo encontró esa constatación de saberse compulsiva y obsesivamente, inevitablemente, pensante.

No somos gran cosa como prototipo físico pero suplimos las deficiencias con nuestra facultad pensante. Sobrevivimos, existimos, porque pensamos. La mollera es lo que nos ha librado de la extinción... de momento. Puede que sea también lo que nos lleve a extinguirnos en el futuro.

Pensar es una actividad continua. No existe el no pensamiento como no existe la no respiración, la no circulación de sangre, el no filtrado renal de la sangre. El cerebro rebobina continuamente el material de sus sistemas de memoria para extraer conocimiento. Pasado, presente y futuro se funden en esa actividad rumiante. Uno de los temas fundamentales es el de la supervivencia física. El cerebro construye una teoría sobre probabilidad de supervivencia y funcionalidad del organismo que gestiona. Hace cábalas sobre su estado: cómo están huesos, articulaciones y músculos; qué posibilidad existe de que se produzca un infarto, surja un cáncer, Alzheimer. La duda metódica cartesiana se cierne sobre la salud y el bienestar. Nada nos garantiza estar y sentirnos bien. Sólo tenemos la certeza de que pensamos sobre salud y bienestar, pasados, presentes y futuros...

Pensarse como organismo es inevitable pero el individuo no ve más allá de la piel. No puede monitorizarse conscientemente el interior opaco con los sentidos. Sólo percibe alarmas, síntomas: dolor, hambre, sed, mareo, cansancio, desánimo. Han pitado los monitores. ¿Qué puede estar sucediendo..?

Los padecientes tienden a aplicar una conclusión aparentemente fiable: me siento mal luego no estoy bien. Es una premisa poco recomendable. Tampoco es aconsejable la contraria: me siento bien luego estoy bien.

Estar y sentirse son dos verbos muy distantes en su significado. Podemos estar razonablemente bien y sentirnos fatal y podemos sentirnos estupendos con unas arterias a punto del infarto.

Los profesionales ofrecen sus poderes sensores e interpretativos para dictaminar cómo estamos. Análisis, escáneres, resonancias, el iris o cualquier otro superpoder permiten emitir un diagnóstico.

El ronroneo pensante continuo sobre salud y bienestar incorpora los dictámenes y las propuestas culturales del entorno. El cerebro teje y desteje una idea de organismo socializada, poderosamente influida por cuanto se dice de él en consultas y fuera de ellas.

Curiosamente la idea socializada de organismo no incluye la existencia del órgano pensante, el constructor del organismo virtual, probabilístico. Los pensadores profesionales de organismo no contemplan al pensador interno. No ven más allá de huesos, articulaciones, músculos y contratiempos personales. Si consideran un sujeto pensante como responsable de los síntomas ese sujeto sólo puede ser el individuo, no el órgano, su cerebro.

Todo síntoma, toda percepción somática es un producto del órgano pensante, evaluativo, el cerebro. Debiéramos saber y creer que es así. Los tejidos no segregan percepción. No duelen ni rezuman cansancio. Se limitan a exteriorizar señales moleculares que deben ser interpretadas, valoradas en el órgano pensante continuo, en el integrador de señales actuales, de aquí y ahora con predicciones teóricas probabilísticas también referidas al mismo momento y lugar.

¿Qué proporción hay de suceso real y de imaginado? Nunca sabemos. Hay que indagar siempre sobre la base de que son inevitables ambos compartimentos: el de las señales somáticas del cuerpo real y las predicciones del también real órgano virtual, el cerebro.

Cuando pensamos sobre interioridades de organismo debemos saber que lo que pensamos proviene del órgano pensante y no dar por cierto lo que únicamente lo parece.

Es ergo cogita. Existes luego ¡Piensa! Piensa que hay algo que piensa el organismo en el que existes...

Fuente:

Arturo Goicochea

200 años después Darwin sigue luchando (I)

La Herencia de Darwin

Análisis breve, pero necesario en un mundo que empieza a salir del estancamiento mental que nos legara el neoliberalismo y su desprecio a las ciencias sociales. Intento recordales que las ideas científicas están ligadas a las ideas filosóficas y viceversa.

Para John Locke (1632 - 1704) las ideas provenían solamente de la experiencia. Rechazó así las ideas innatas de Descartes. Afirmaba que antes de la experiencia, el entendimiento se encuentra vacío como una hoja en blanco o como una tabla rasa.

Desde tiempos preevolutivos, o incluso prebiológicos, la biología lleva dividida en dos bandos. En el siglo XVII, los contendientes vinieron representados por René Descartes -que explicaba el conocimiento humano por la existencia de ideas innatas- y John Locke, para quien la mente absorbía toda su estructura del entorno. La versión evolutiva de Locke es el darwinismo: los seres vivos absorben su estructura del entorno, puesto que todos sus dispositivos y funciones especializadas son adaptaciones al medio, y es el medio quien decide qué individuos sobreviven y dejan descendencia. Ésta es la teoría de la evolución por selección natural, publicada por Darwin en 1859.

La versión evolutiva de Descartes es el formalismo, o estructuralismo, representado ante todo por la gran tradición de la morfología alemana, que admite los efectos del entorno sobre las adaptaciones locales, pero no los considera una explicación satisfactoria del funcionamiento de los seres vivos, de su lógica interna más profunda.

Para esta escuela, los procesos evolutivos a gran escala ocurren en buena medida promovidos desde dentro, como consecuencia de cambios en los procesos fundamentales del desarrollo; en términos actuales, valdría decir que la evolución está en parte codificada en el genoma; que está impulsada, facilitada o canalizada por algún tipo de motor interno del cambio.

Por todo lo que sabemos hoy, ambas ideas son fructíferas. Y hay que decir en honor de Darwin que su mecanismo evolutivo, la selección natural, tiene una profunda relación con ambos.

La gran percepción de Darwin fue que lo que hacía especiales a las entidades biológicas era su capacidad para sacar copias de sí mismas. Porque esa propiedad puede hacer que un pequeño sesgo colonice una población entera en unas cuantas generaciones. Ésta es la esencia de la selección natural. Quienes compiten pueden ser los individuos dentro de una especie, como en la selección darwiniana clásica, o los genes dentro de un genoma, como en algunos de los más recientes modelos de generación de nuevas especies. Lejos de refutar a Darwin, todo este conocimiento es la prolongación natural de su obra.


Fuente:

El País

Introducción a la Psicología (II)
Serie_ Ciencias Sociales_2 (b)

En esta oportunidad veremos como chocan dos corrientes filosóficas: el racionalismo y el empirismo. Tal vez usted se pregunte ¿y eso qué tiene que ver con la psicología? Pues, mucho. O mejor dicho casi todo.

Recordemos que, en sus inicios, la psicología y la filosofía iban unidas. También lo invito a disfrutar algunas ilusiones ópticas que Wundt hacía ver a diversos individuos con el fin de medir sus reacciones, estamos hablando del primer laboratorio de psicología, y, este fue el primer paso para que la psicología se separará de la filosofía y empieze a adquirir caracter de ciencia.

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Contenido:
El Renacimiento
René Descartes
Racionalismo
El "genio maligno"
Matrix
John Locke
Empirismo
Asociacionismo
Ideas simples y complejas
Hume
Weber
Fechner
Wundt
El primer laboratorio de psicología


Los abraza con cariño:

Leonardo Sánchez Coello
Profesor de educación primaria