Por qué es importante que hayan descubierto el número primo más largo de la historia

Un ordenador de la Universidad Central de Misouri da con un número clave para el futuro de la informática.

La cifra tiene más de 22 millones de dígitos. Es larguísima, casi eterna, y por lo tanto cuesta mucho de leer. Este rasgo, unido al hecho de que se trata de un número primo especial, la hace singular: Se prevé que sea clave para encriptar y proteger datos y que, por lo tanto, en un futuro tenga una gran aplicación en los servicios online para operaciones bancarias, compras por internet y mensajería. 

Los números primos solo pueden dividirse por uno o por sí mismos y, como demostró Euclides en el siglo IV a. C., son infinitos. Sin embargo, en el siglo XVII, un monje francés amigo de Descartes y amante de la música descubrió unos números primos especiales a los que se bautizó con su nombre: los primos Mersenne (N=2n-1). Hasta hace poco solo se conocían 48 números Mersenne. La nueva cifra hallada ahora es el 49 y su descubrimiento ha sido posible gracias al proyecto Great Internet Mersenne Prime Search que cuenta con miles de voluntarios. 

Más información en: La Vanguardia

Geometría: ¿Cuán grande es un punto?

by samueldalva

NOTA: lo que sigue es un resumen del magnífico artículo: “How Big is a Point?” de Richard J. Trudeau [1].

“Un punto es lo que no tiene partes”.

En el lenguaje de los matemáticos griegos, “parte” viene a significar “dimensión”.

Es decir, Euclides imaginaba un punto como una entidad que no tiene longitud, ni altura, ni anchura.

No sé si lo han notado, pero es un concepto MUY profundo.

De hecho, choca contra nuestra intuición y sentido común.

Normalmente, cuando se introduce el concepto de punto, se suele poner como ejemplo el pensar en un círculo (aunque sería más conveniente pensar en una esfera) cuyo diámetro es muy, muy, muy, muy pequeño en relación al resto de elementos que lo rodean. Es una aproximación muy empleada en Física: la luna es un punto, en comparación al sol. El sol es un punto, en comparación con la galaxia. Yo soy un punto, en comparación con la Tierra.

De este modo, nuestra intuición cede un poco y estamos algo más cómodos, ya que tenemos un modo de “visualizar” este objeto tan extraño que carece de dimensiones.

El problema viene cuando uno se topa con un segmento. Es decir, un trozo de línea con una longitud determinada (p. ej., 1 cm.).

Un segmento está compuesto por puntos.

Entonces, ¿cómo diablos adquiere LONGITUD un segmento? ¿Cómo es posible que “poniendo un punto al lado del otro” APAREZCA de repente una nueva dimensión? ¡La “suma” (finita o infinita) de longitudes CERO no puede dar lugar a una longitud FINITA!

La respuesta es que dichas objecciones no responden a la LÓGICA, sino a la INTUICIÓN.

Veamos.

La frase “poner un punto al lado del otro” CARECE DE SENTIDO. ¿Cómo vamos a poner un punto “AL LADO DE” otro, si un punto NO TIENE DIMENSIONES?

En general, ése es uno de los mayores problemas de las analogías. Al hacer la analogía de un punto como una canica muy pequeña, uno OLVIDA el concepto original. Y lo que es peor, si APLICAMOS dicha analogía a otros conceptos basados en el concepto de punto, podemos llegar a CONCLUSIONES ERRÓNEAS.

Vale. Ya hemos aceptado que una línea está formada DE ALGÚN MODO QUE NO SOMOS CAPACES DE IMAGINAR por puntos.

Ahora bien, ¿cómo APARECE la nueva DIMENSIÓN? ¿Cómo aparece la LONGITUD a partir de algo que CARECE DE LONGITUD?

La respuesta es que la objección anterior sigue BASADA en la INTUICIÓN, no en la LÓGICA.
Pensamos que la LONGITUD de un segmento viene dada DE ALGÚN MODO por la “SUMA” de LONGITUDES más pequeñas, y que dichas longitudes más pequeñas tienen que provenir de las longitudes de los puntos. Pero como los puntos NO TIENEN LONGITUD, llegamos a una contradicción. Y por tanto, creemos que NO ES POSIBLE crear un segmento a partir de puntos.

Fijémonos en la palabra “SUMA” del párrafo anterior.

De forma implícita estamos empleando el concepto “SUMA” desde un punto de vista ARITMÉTICO.
Además, nuestro concepto INTUITIVO de “SUMA” (cardinal de la unión de conjuntos) sólo es aplicable a SUMAS FINITAS.

Es decir, nuestra INTUICIÓN no es capaz de “visualizar” una “SUMA” DE INFINITOS ELEMENTOS.
Bueno, quizás a las personas que hayan estudiado series, les sea más fácil aceptar que se pueden “SUMAR” infinitos elementos. Sin embargo, el meollo de la cuestión es que la suma de series que uno suele tener en mente está formada por una cantidad INFINITO NUMERABLE de elementos. Y aquí estamos hablando de una “SUMA” NO CONTABLE de elementos. Estamos en el ámbito CONTINUO, no en el discreto. 

No hablamos de SUMATORIOS sino de INTEGRALES.

Ajá. Ya casi estamos llegando al final.

El modo en que se suele introducir la INTEGRAL es como una SUMA INFINITA DE TÉRMINOS INCONTABLES. Algo así como una generalización del SUMATORIO.

Pero esto es otra vez una INTERPRETACIÓN INTUITIVA del CONCEPTO de INTEGRAL.

Así que abandonemos de una vez la INTUICIÓN y empleemos la LÓGICA.

Olvidemos el concepto INTUITIVO de SUMA.

Y aceptemos el hecho de que un segmento está formado por puntos. Y que la LONGITUD de un segmento APARECE por la COMBINACIÓN DE UN CONJUNTO INFINITO NO NUMERABLE de PUNTOS.

Es decir, olvidemos los conceptos ARITMÉTICOS y vayamos a conceptos GEOMÉTRICOS.

Si formamos un triángulo rectángulo con catetos de longitud 1, la hipotenusa ha de
tener longitud .

Es decir un número IRRACIONAL.

Algo que produjo una “conmoción” en la forma de pensar al trabajar con los números hasta entonces.
Algo que parecía ILÓGICO y por tanto NO RACIONAL.

Porque durante mucho tiempo se creía que uno podía formar figuras geométricas con
materiales REALES y que las longitudes guardaban relaciones enteras entre sí.

Y así, se pensaba que se podía formar un triángulo con “canicas”, y que habría un número CONTABLE de canicas formando el triángulo. Y que las proporciones entre número de canicas eran relaciones RACIONALES.

El descubrimiento de la IRRACIONALIDAD de  significaba que, en CONTRA de lo que siempre se había dado por hecho, EXISTEN pares de segmentos que NO TIENEN UNA MEDIDA COMÚN. No existe una “canica”, por muy pequeña que sea, que mida ambas longitudes.

Por lo que concluyeron (agárrense y asómbrense de la capacidad matemática y lógica
de los griegos) que la EXISTENCIA del número  SIGNIFICABA que los PUNTOS NO PUEDEN TENER DIMENSIÓN.

La posterior evolución de las Matemáticas y de los conceptos de integral y de las forma de “operar” con conjuntos infinito no numerables nos ha dado una mayor comprensión del significado de la palabra “MEDIDA”.

En todo caso, hay que reconocer el enorme genio LÓGICO y GEOMÉTRICO de los matemáticos de la antigua Grecia.

LEAN Y DISFRUTEN DEL ARTÍCULO DE Richard J. Trudeau. ¡YA!

[1] Richard J. Trudeau. “How Big is a Point?“. The College Mathematics Journal, Vol. 14 (1983), pp. 295-300.

Fuente:

Divergiendo

Hey: Pi no siempre vale 3,1416

Si buscamos en el diccionario de la RAE la definición matemática de π (Pi), obtenemos lo siguiente (segunda acepción):

2. f. Mat. Símbolo de la razón de la circunferencia a la del diámetro (aquí).

¿Es esta definición correcta? Sí…pero no. En realidad es incompleta, falta información. bueno, más bien presupone cierta información.

Antes de explicar esto, veamos qué pone nuestra amiga la Wikipedia:

π (Pi) es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, en geometría euclídea (aquí).

Ah, amigo, en geometría euclídea…¿Es necesario dar ese dato?
Pongamos otro ejemplo. ¿Cuánto es 1+1? Seguro que si nos hacen esta pregunta todos diríamos 2, porque presuponemos que nos están preguntando por la suma habitual dentro del conjunto de los números reales. Pero esa suma podría hacerse en el conjunto de los números binarios, y en ese caso el resultado sería 10, o dentro de los enteros módulo 2, en cuyo caso la suma daría 0.

Pues con ocurre lo mismo. El valor que conocemos para está calculado de la forma anteriormente descrita, longitud de una circunferencia dividida entre el diámetro de la misma, dentro de la geometría euclídea. ¿Cómo es esta relación en otras geometrías?

De la geometría euclídea a las no euclídeas

En este post sobre el quinto postulado ya hablamos sobre la geometría euclídea, pero no está mal recordar en qué se basa. Euclides estableció en su obra Elementos (compendio de los conocimientos geométricos de la época) estos cinco postulados:

1. Por dos puntos distintos sólo se puede trazar una línea recta.
2. Todo segmento rectilíneo se puede prolongar indefinidamente.
3. Con un centro y un radio sólo se puede trazar una circunferencia.
4. Todos los ángulos rectos son iguales.
5. Si dos rectas intersecan con una tercera de forma que la suma de sus ángulos interiores a un lado es menor que dos ángulos rectos, entonces las dos rectas individualmente se cortan en el mismo lado si se alargan suficientemente.

Una forma alternativa para este quinto postulado es:

Por un punto exterior a una recta se puede trazar una única paralela a la recta dada.

También en el post sobre el quinto postulado comentamos algo sobre los intentos de demostración de ese postulado a partir de los demás, y del cambio de enfoque del asunto provocado por los continuos fracasos de dichas demostraciones.

Ese cambio de enfoque consistió, como muchos sabréis, en considerar la negación de este quinto postulado, que resulta dar dos posibilidades:

• Por un punto exterior a una recta no pasa ninguna paralela a la recta dada (geometría elíptica).
• Por un punto exterior a una recta pasan infinitas paralelas a la recta dada (geometría hiperbólica).

El caso particular más característico de geometría elíptica es la geometría sobre la esfera (esférica), donde las “rectas”, que se denominan geodésicas, son las circunferencias sobre la esfera que tenga el mismo radio que la propia esfera.

Veamos cuánto valdría (es decir, el cociente entre la longitud de una circunferencia y su diámetro) en este caso.

Tomamos una circunferencia de diámetro situada sobre la esfera de radio (con ). Sean el centro de la circunferencia visto en la geometría esférica, el centro de la esfera, un punto de la circunferencia, el centro de la circunferencia visto en la geometría euclídea, el radio de la circunferencia visto en el espacio euclídeo y el ángulo , como se puede ver en la figura de la derecha.

En este caso se tiene que:

y

siendo la longitud de la circunferencia. Por tanto:


 

Si ahora denotamos como al cociente entre la longitud de la circunferencia sobre su diámetro (que es ) obtendremos la siguiente expresión dependiente de :

Es decir:

El valor de en una esfera depende del ángulo formado por el centro de la circunferencia (visto en la esfera), el centro de la esfera y un punto de la circunferencia.

Vamos a ver un caso concreto: el ecuador de la esfera. Para esta circunferencia de la esfera se tiene que , por lo que

Es decir, para el ecuador se tiene que . ¿Cuadra esto con la realidad? Veamos:

El diámetro del ecuador visto en la esfera sería la curva que sale de un punto del ecuador y llega, por la superficie de la esfera, al punto diametralmente opuesto (según la geometría euclídea) pasando por el polo norte (o el polo sur).
Como el ecuador divide a la esfera en dos partes iguales, esta curva es una semicircunferencia, que resulta ser exactamente igual a medio ecuador. Esto significa que la longitud de la circunferencia del ecuador es el doble que la de su diámetro. Por tanto el cociente, que es , vale 2.

Vamos, que cuadra a la perfección.

En la imagen siguiente podéis ver la gráfica de la misma, que por tanto representa todos los valores de sobre la esfera:

Como curiosidad, podemos obtener el valor máximo y el mínimo de esta función mediante las herramientas habituales de cálculo en una variable. Derivamos dicha función:

Igualando a cero nos queda la ecuación , y resolviéndola obtenemos un máximo en , que nos da y un mínimo en , que nos da el valor (¡¡un valor negativo de !!). De esta manera, podemos concluir que , la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro en geometría esférica, cumple lo siguiente:

De manera similar podemos encontrar una función que me dé los valores de en geometría hiperbólica (en un paraboloide hiperbólico). En este caso llegaríamos a la siguiente expresión:

 
Echando un vistazo a la gráfica de esta función, que como hemos comentado representa los valores posibles de en un paraboloide hiperbólico (imagen de la derecha), vemos que estos valores varían desde hasta , por lo que en este caso , la razón entre la longitud de una circunferencia en un paraboloide hiperbólico y su diámetro, vale al menos , pero no tiene valor máximo (esto es, ¡¡ puede tomar cualquier valor real positivo!!).

¿Qué podemos sacar con conclusión de todo esto? Pues que es muy importante especificar en qué geometría estamos realzando nuestras afirmaciones, no vaya a ser que Pi sea negativo o que tienda a infinito.

Fuente:

Gaussianos