Pioneras de la ciencia (06/08): Maria Gaetana Agnesi (1718-1799) y el primer libro de Cálculo

En épocas pasadas, quienes dedicaban su vida a las ciencias solían partir de un entorno familiar acomodado. Pero a la italiana Maria Gaetana Agnesi le cayeron todos los regalos de la vida: nació en una familia acaudalada de Milán, fue muy bella a decir de sus contemporáneos, y tenía un cerebro sin parangón: a los 11 años hablaba siete idiomas, y con pocos más discutía enrevesados problemas de filosofía con los invitados que congregaba su padre, profesor de matemáticas de la Universidad de Bolonia.

Agnesi cultivó también esta disciplina, al tiempo que educaba a sus 20 hermanos y hermanastros que los tres matrimonios de su padre llegaron a reunir bajo un mismo techo.

Su principal obra

Su obra más sobresaliente fue Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana (Instituciones analíticas para el uso de la juventud italiana), un volumen publicado en 1748 en el que trataba el cálculo diferencial e integral. Las 1.000 páginas de texto y las 50 de ilustraciones resultan sin embargo muy familiares al lector moderno, reflejando el mayor mérito de Agnesi: crear el primer texto completo de Cálculo, desde el álgebra hasta las ecuaciones diferenciales. Superando además tentativas anteriores, singularmente la de L'Hopital en su libro Analyse des infiniment petits.

Entre 1750 y 1752 consta que era catedrática de matemáticas en la Universidad de Bolonia, aunque puede que de forma honorífica. En 1775 la Academia de Ciencias publica en París la edición francesa, y en 1801, dos años después de la muerte de María, se publica la inglesa.

El libro contiene su contribución más conocida, la curva llamada Bruja de Agnesi. El nombre es producto de un error de traducción: el matemático Guido Grandi había llamado a esta curva versoria, nombre en latín de la escota, un cabo empleado en las embarcaciones. Su versión en italiano era versiera, palabra que se empleaba también como apócope de avversiera, diablesa o bruja. En la edición inglesa del libro se tradujo como witch, bruja, y así ha perdurado.

La bruja de Agnesi

Hoy en día, María Gaetana es también recordada por su curva “embrujada”, pero que no se trata de ningún hechizo, ni María era una bruja.

La historia por la que la curva recibió este nombre surge de la mala traducción del término versiera, del latín vertere, que es un término naval, que identifica la cuerda o cabo que hace girar la vela. John Colson, el traductor inglés, la confundió con la palabra avversiera, que significa diablesa o bruja.

La ecuación de su curva hechizada es la siguiente

 

donde a es un parámetro (de hecho, el radio de la circunferencia inicial con la que se construye la curva). Para a = 1/2, resulta

y esta es su representación gráfica

La magia de esta curva es que aunque su contorno sea infinito, el área encerrada bajo la curva es finita y proporcional al área de un círculo; además, el volumen engendrado por la revolución de esta curva alrededor de su asíntota es cuatro veces su hipotético volumen.

La curva tiene interesantes aplicaciones en física y en estadística. Desde el punto de vista de la estadística, la distribución de Cauchy de una variable aleatoria se expresa como una curva de Agnesi. Así mismo, en la física, pueden explicarse fenómenos de resonancia atómica cuando incide radiación monocromática sobre un electrón. La intensidad de esta radiación dependerá de la longitud de onda con que incide esta luz, y la relación entre estos dos parámetros puede modelizarse mediante la bruja de Agnesi.

Últimos días

Pero a pesar de sus muchos dones, triunfos y títulos, incluido el de primera mujer catedrática de matemáticas de la historia, Agnesi no se conformó con una vida regalada. Profundamente católica, trocó su éxito por una pobreza voluntaria y una vida entregada al servicio de los pobres y los enfermos, al tiempo que estudiaba teología. Sus últimos años los pasó enclaustrada y sirviendo a los ancianos en un hospicio milanés, donde murió como una monja más, o una indigente más.

Tomado de: Open Mind 

Foro Histórico

Matemática y sus Fronteras

Geometría: ¿Cuán grande es un punto?

by samueldalva

NOTA: lo que sigue es un resumen del magnífico artículo: “How Big is a Point?” de Richard J. Trudeau [1].

“Un punto es lo que no tiene partes”.

En el lenguaje de los matemáticos griegos, “parte” viene a significar “dimensión”.

Es decir, Euclides imaginaba un punto como una entidad que no tiene longitud, ni altura, ni anchura.

No sé si lo han notado, pero es un concepto MUY profundo.

De hecho, choca contra nuestra intuición y sentido común.

Normalmente, cuando se introduce el concepto de punto, se suele poner como ejemplo el pensar en un círculo (aunque sería más conveniente pensar en una esfera) cuyo diámetro es muy, muy, muy, muy pequeño en relación al resto de elementos que lo rodean. Es una aproximación muy empleada en Física: la luna es un punto, en comparación al sol. El sol es un punto, en comparación con la galaxia. Yo soy un punto, en comparación con la Tierra.

De este modo, nuestra intuición cede un poco y estamos algo más cómodos, ya que tenemos un modo de “visualizar” este objeto tan extraño que carece de dimensiones.

El problema viene cuando uno se topa con un segmento. Es decir, un trozo de línea con una longitud determinada (p. ej., 1 cm.).

Un segmento está compuesto por puntos.

Entonces, ¿cómo diablos adquiere LONGITUD un segmento? ¿Cómo es posible que “poniendo un punto al lado del otro” APAREZCA de repente una nueva dimensión? ¡La “suma” (finita o infinita) de longitudes CERO no puede dar lugar a una longitud FINITA!

La respuesta es que dichas objecciones no responden a la LÓGICA, sino a la INTUICIÓN.

Veamos.

La frase “poner un punto al lado del otro” CARECE DE SENTIDO. ¿Cómo vamos a poner un punto “AL LADO DE” otro, si un punto NO TIENE DIMENSIONES?

En general, ése es uno de los mayores problemas de las analogías. Al hacer la analogía de un punto como una canica muy pequeña, uno OLVIDA el concepto original. Y lo que es peor, si APLICAMOS dicha analogía a otros conceptos basados en el concepto de punto, podemos llegar a CONCLUSIONES ERRÓNEAS.

Vale. Ya hemos aceptado que una línea está formada DE ALGÚN MODO QUE NO SOMOS CAPACES DE IMAGINAR por puntos.

Ahora bien, ¿cómo APARECE la nueva DIMENSIÓN? ¿Cómo aparece la LONGITUD a partir de algo que CARECE DE LONGITUD?

La respuesta es que la objección anterior sigue BASADA en la INTUICIÓN, no en la LÓGICA.
Pensamos que la LONGITUD de un segmento viene dada DE ALGÚN MODO por la “SUMA” de LONGITUDES más pequeñas, y que dichas longitudes más pequeñas tienen que provenir de las longitudes de los puntos. Pero como los puntos NO TIENEN LONGITUD, llegamos a una contradicción. Y por tanto, creemos que NO ES POSIBLE crear un segmento a partir de puntos.

Fijémonos en la palabra “SUMA” del párrafo anterior.

De forma implícita estamos empleando el concepto “SUMA” desde un punto de vista ARITMÉTICO.
Además, nuestro concepto INTUITIVO de “SUMA” (cardinal de la unión de conjuntos) sólo es aplicable a SUMAS FINITAS.

Es decir, nuestra INTUICIÓN no es capaz de “visualizar” una “SUMA” DE INFINITOS ELEMENTOS.
Bueno, quizás a las personas que hayan estudiado series, les sea más fácil aceptar que se pueden “SUMAR” infinitos elementos. Sin embargo, el meollo de la cuestión es que la suma de series que uno suele tener en mente está formada por una cantidad INFINITO NUMERABLE de elementos. Y aquí estamos hablando de una “SUMA” NO CONTABLE de elementos. Estamos en el ámbito CONTINUO, no en el discreto. 

No hablamos de SUMATORIOS sino de INTEGRALES.

Ajá. Ya casi estamos llegando al final.

El modo en que se suele introducir la INTEGRAL es como una SUMA INFINITA DE TÉRMINOS INCONTABLES. Algo así como una generalización del SUMATORIO.

Pero esto es otra vez una INTERPRETACIÓN INTUITIVA del CONCEPTO de INTEGRAL.

Así que abandonemos de una vez la INTUICIÓN y empleemos la LÓGICA.

Olvidemos el concepto INTUITIVO de SUMA.

Y aceptemos el hecho de que un segmento está formado por puntos. Y que la LONGITUD de un segmento APARECE por la COMBINACIÓN DE UN CONJUNTO INFINITO NO NUMERABLE de PUNTOS.

Es decir, olvidemos los conceptos ARITMÉTICOS y vayamos a conceptos GEOMÉTRICOS.

Si formamos un triángulo rectángulo con catetos de longitud 1, la hipotenusa ha de
tener longitud .

Es decir un número IRRACIONAL.

Algo que produjo una “conmoción” en la forma de pensar al trabajar con los números hasta entonces.
Algo que parecía ILÓGICO y por tanto NO RACIONAL.

Porque durante mucho tiempo se creía que uno podía formar figuras geométricas con
materiales REALES y que las longitudes guardaban relaciones enteras entre sí.

Y así, se pensaba que se podía formar un triángulo con “canicas”, y que habría un número CONTABLE de canicas formando el triángulo. Y que las proporciones entre número de canicas eran relaciones RACIONALES.

El descubrimiento de la IRRACIONALIDAD de  significaba que, en CONTRA de lo que siempre se había dado por hecho, EXISTEN pares de segmentos que NO TIENEN UNA MEDIDA COMÚN. No existe una “canica”, por muy pequeña que sea, que mida ambas longitudes.

Por lo que concluyeron (agárrense y asómbrense de la capacidad matemática y lógica
de los griegos) que la EXISTENCIA del número  SIGNIFICABA que los PUNTOS NO PUEDEN TENER DIMENSIÓN.

La posterior evolución de las Matemáticas y de los conceptos de integral y de las forma de “operar” con conjuntos infinito no numerables nos ha dado una mayor comprensión del significado de la palabra “MEDIDA”.

En todo caso, hay que reconocer el enorme genio LÓGICO y GEOMÉTRICO de los matemáticos de la antigua Grecia.

LEAN Y DISFRUTEN DEL ARTÍCULO DE Richard J. Trudeau. ¡YA!

[1] Richard J. Trudeau. “How Big is a Point?“. The College Mathematics Journal, Vol. 14 (1983), pp. 295-300.

Fuente:

Divergiendo

Calcular la derivada de una integral

Calcular la derivada de una integral…¿estás de broma? La derivada de una integral…¿Eso existe? Y si existe, ¿eso no daría de resultado la función inicial?

Pues sí, existe. Y bueno, en cierto modo tienes razón, ya que la integral y la derivada son procesos inversos, por lo que si realizamos primero un proceso y luego el otro obtendríamos la función inicial. Vamos, digamos que nos quedaríamos igual. Pero la cosa no es siempre así, depende de varios detalles de la propia integral y de la función inicial.

Vale, supongamos que se puede hacer esto. ¿Qué importancia podría tener? ¿Para qué podría servir? ¿Es útil?

Pues…sí, claro que tiene importancia. Así, a bote pronto, se me ocurre la siguiente utilidad: estudio del crecimiento y decrecimiento de una función definida mediante una integral. Como sabemos, el crecimiento y decrecimiento de una función derivable en un intervalo puede conocerse mediante el estudio del signo de la primera derivada en dicho intervalo, por lo que si nuestra función está definida mediante una integral tendremos que derivarla para ver dónde crece y dónde decrece.

Bueno, no está mal, pero no me imagino de dónde puede salir una función definida mediante una integral. Vamos, que no lo veo natural.

Ahí va un ejemplo que me pasa ahora mismo por la cabeza. En muchas ocasiones las soluciones de una ecuación diferencial (no nos hace falta saber qué es eso, aunque muchos seguro que lo sabéis) deben dejarse en forma integral, por lo que para estudiar su crecimiento y decrecimiento debemos derivar esa integral y estudiar el signo de esa derivada. Y bueno, teniendo en cuenta que gran cantidad de procesos de la naturaleza están regidos por ecuaciones diferenciales (¿hay alguno que no lo esté?) parece buena idea saber hacer esto, ¿verdad?

Por todo esto, en este post vamos a ver cómo calcular la derivada de una una función definida mediante una integral.

Derivada de una integral I: El TFC

El resultado que nos permite derivar una función definida mediante una integral y nos dice cuánto vale dicha derivada es el teorema fundamental del cálculo (TFC). El primero que publicó una demostración relacionada con el TFC fue James Gregory, aunque lo que demostró fue una versión restringida de este resultado. Fue Isaac Barrow el primer que demostró este teorema. Isaac Newton terminó el trabajo con el desarrollo de la teoría matemática subyacente.

¿Qué dice el TFC? Pues muy sencillo: básicamente dice que la derivación y la integración son procesos inversos. Pero además nos da una manera de calcular integrales definidas.

El TFC se suele dividir en dos resultados distintos: el primer TFC y el segundo TFC. Sin entrar en algunos detalles, el enunciado del primero podría ser algo así:

Primer Teorema Fundamental del Cálculo

Dada una función ,

1. La función es continua.
2. Si además es una función continua, entonces es derivable, y:

   

Obviando los detalles sobre dónde es continua y/o derivable cada una de las funciones que aparecen en el enunciado, se ve que este TFC1 dice que si tengo una función continua, entonces su integral se puede derivar, y además esa derivada da como resultado la propia .

El enunciado del TFC2 es algo así:

Segundo Teorema Fundamental del Cálculo

Si es una función continua y es una función tal que , entonces:

Es decir, el TFC2 nos da una manera de calcular la integral de una función en un intervalo: calculamos (lo que se denomina una primitiva de ) y restamos los valores de en los extremos del intervalo.

Este teorema, con sus dos apartados, es muy importante y muy útil, sobre todo teniendo en cuenta la gran cantidad de aplicaciones que tienen las integrales.

Supongamos que ahora queremos calcular la derivada de la siguiente función , definida mediante una integral:

La situación no es exactamente igual que antes, ya que los límites de integración no son de la misma naturaleza que los que aparecen en el TFC1. Por ello, para calcular necesitamos algo más. Este algo más es una generalización del TFC1, que combina este resultado con la regla de la cadena (que se utiliza para derivar de forma sencilla una composición de funciones). Ahí va:

Generalización del TFC1

Si la función está definida mediante la siguiente integral

entonces su función derivada se calcula de la siguiente forma:

Con esta fórmula podemos calcular la derivada de la función anterior:

Esta generalización del TFC1 es muy útil a la hora de manejar funciones definidas mediante integrales cuyos límites de integración son funciones con cierta complejidad, ya sea para estudiar monotonía y/o curvatura de esa función, para comprobar si es solución de cierta ecuación diferencial, para utilizar la regla de L’Hopital en un límite donde aparezca dicha función, etc.

Derivada de una integral II: La fórmula de Leibniz

Vamos a darle al tema una vuelta de tuerca más. Dada una función definida mediante una integral, ¿qué ocurre si la función que aparece dentro de la integral depende ? Es decir, si nuestra tiene esta forma:

donde la función depende de (que es la variable de ) además de depender de , ¿cómo calculamos su derivada?

Para este caso necesitamos utilizar la conocida como Fórmula de Leibniz, que nos dice cómo calcular dicha derivada. Ahí va:

Fórmula de Leibniz

Dada la función

podemos calcular su derivada utilizando la siguiente fórmula:

Como podéis ver, la fórmula de Leibniz es la generalización del TFC1 que vimos antes junto a un término más, que es la integral de la derivada parcial de respecto de .

Con esta fórmula podemos, por ejemplo, hacer este ejercicio que aparece en una relación de ejercicios de uno de los grupos de alumnos que he tenido este curso:

Dado el problema de valores iniciales siguiente:

comprobar que la función

es solución del mismo.

Pero esto os lo dejo como ejercicio. Intentadlo, que es sencillo.

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Espero que os haya quedado claro el tema y que este post os sirva de ayuda cuando necesitéis realizar esta operación.

Fuente:

Gaussianos

Poema: Derivadas e Integrales

Martes, 16 de marzo de 2010

Poema: Derivadas e Integrales

Tito Eliatron, Profesor de Análisis Matemático de la Universidad de Sevilla, compuso los primeros cuatro versos de este poema y le pidió a Espinelete que rematara con seis versos.

Este es el resultado...

Derivadas e integrales
son espíritu y esencia,
matemática presencia
de las Ciencias Naturales,

causa antigua de mis males
y motivo de pavor.
Quién iba a decirme por
entonces que suspendía
que un día remataría
una décima en su honor.

Tomado de De Cimas y Subsuelos