¿Por qué los planetas son esféricos pero los cometas y asteroides no?

 

El cuerpo celeste que aparece en la foto es Haumea, un planeta enano que tiene una curiosa forma oblonga. Gracias a otras misiones especiales, como Rosetta, sabemos también que la forma de cometas como el 67P, mientras que la Tierra es una esfera (casi) perfecta. ¿Por qué ocurre?

Gran parte de la respuesta se encuentra en ese (casi). La Tierra no es una esfera perfecta porque está algo achatada en los polos debido a la rotación sobre sí misma. La forma, como recogen en el Centro Alemán Aeroespacial, es el resultado de una interacción entre su gravedad, la solidez y composición y su órbita. Los asteroides y planetas enanos tienen una gravedad mucho más pequeña que la de un asteroide o un cometa y sus superficies no se someten a las fuerzas que sí sufren un planeta grande o una luna.

 

La progresión y el tamaño de las lunas es una buena manera de compararlo. Ida, por ejemplo, es un asteroide de la familia de Coronis situado en el cinturón principal de asteroides, la foto la tomó la sonda Galileo en 1993. Tiene 58 kilómetros en su punto más ancho y puede verse como su forma alargada ya se asemeja a la Humea, cuyas dimensiones son mucho más grandes, de unos 1000 kilómetros. 

 

Vesta, arriba, es un buen ejemplo intermedio, su tamaño es de 578 kilómetros. Ceres (975 km), otro planeta enano, sí que tiene una forma más próxima a una esfera perfecta.

Generalmente, cuanto más grande es el cuerpo y más rápida es su velocidad de rotación de manera más se “achata”, como probablemente ocurra con Haumea. En el caso de la Tierra, esta es unos 50 kilómetros más estrecha de polo a polo que en el ecuador.

Fuente:

Gizmodo

¿Por qué la bola blanca vuelve a salir?

-¿Bola blanca? ¿qué bola blanca?
 
-Cuál va a ser, la bola blanca del billar.

Cuando en la mesa de billar las bolas se introducen por las troneras ya no vuelven a salir. Pero la bola blanca sí. ¡Siempre vuelve a salir! ¿Cómo lo hace?

Hay varios sistemas. Uno de ellos consiste en que la bola blanca tenga unas dimensiones ligeramente superiores al resto. Según la fuente, las bolas de colores estándar pueden estar en torno a un diámetro de 5,72cm, mientras que la blanca tiene un diámetro de 6cm. 

Gracias a esta diferencia de tamaño se evita que la bola blanca pase por el mismo sitio que el resto, y siga por una rampa diferente que nos devolverá la bola.

Pero hay otro sistema que mantiene la igualdad en el peso y el tamaño entre todas las bolas. Este sistema es mejor ya que así se evitan jugadas con efectos extraños causadas por estas diferencias físicas.
¿Y de qué consta este sistema?

La bola blanca contiene partículas de metal y un imán nos ayuda a separarla del resto. Sencillo, ¿no?

Veamos a continuación un vídeo explicativo. Eso sí… que a nadie se le ocurra hacer lo que hacen estos individuos.


Fuente:

Saber Curioso

Geometría: ¿Cuán grande es un punto?

by samueldalva

NOTA: lo que sigue es un resumen del magnífico artículo: “How Big is a Point?” de Richard J. Trudeau [1].

“Un punto es lo que no tiene partes”.

En el lenguaje de los matemáticos griegos, “parte” viene a significar “dimensión”.

Es decir, Euclides imaginaba un punto como una entidad que no tiene longitud, ni altura, ni anchura.

No sé si lo han notado, pero es un concepto MUY profundo.

De hecho, choca contra nuestra intuición y sentido común.

Normalmente, cuando se introduce el concepto de punto, se suele poner como ejemplo el pensar en un círculo (aunque sería más conveniente pensar en una esfera) cuyo diámetro es muy, muy, muy, muy pequeño en relación al resto de elementos que lo rodean. Es una aproximación muy empleada en Física: la luna es un punto, en comparación al sol. El sol es un punto, en comparación con la galaxia. Yo soy un punto, en comparación con la Tierra.

De este modo, nuestra intuición cede un poco y estamos algo más cómodos, ya que tenemos un modo de “visualizar” este objeto tan extraño que carece de dimensiones.

El problema viene cuando uno se topa con un segmento. Es decir, un trozo de línea con una longitud determinada (p. ej., 1 cm.).

Un segmento está compuesto por puntos.

Entonces, ¿cómo diablos adquiere LONGITUD un segmento? ¿Cómo es posible que “poniendo un punto al lado del otro” APAREZCA de repente una nueva dimensión? ¡La “suma” (finita o infinita) de longitudes CERO no puede dar lugar a una longitud FINITA!

La respuesta es que dichas objecciones no responden a la LÓGICA, sino a la INTUICIÓN.

Veamos.

La frase “poner un punto al lado del otro” CARECE DE SENTIDO. ¿Cómo vamos a poner un punto “AL LADO DE” otro, si un punto NO TIENE DIMENSIONES?

En general, ése es uno de los mayores problemas de las analogías. Al hacer la analogía de un punto como una canica muy pequeña, uno OLVIDA el concepto original. Y lo que es peor, si APLICAMOS dicha analogía a otros conceptos basados en el concepto de punto, podemos llegar a CONCLUSIONES ERRÓNEAS.

Vale. Ya hemos aceptado que una línea está formada DE ALGÚN MODO QUE NO SOMOS CAPACES DE IMAGINAR por puntos.

Ahora bien, ¿cómo APARECE la nueva DIMENSIÓN? ¿Cómo aparece la LONGITUD a partir de algo que CARECE DE LONGITUD?

La respuesta es que la objección anterior sigue BASADA en la INTUICIÓN, no en la LÓGICA.
Pensamos que la LONGITUD de un segmento viene dada DE ALGÚN MODO por la “SUMA” de LONGITUDES más pequeñas, y que dichas longitudes más pequeñas tienen que provenir de las longitudes de los puntos. Pero como los puntos NO TIENEN LONGITUD, llegamos a una contradicción. Y por tanto, creemos que NO ES POSIBLE crear un segmento a partir de puntos.

Fijémonos en la palabra “SUMA” del párrafo anterior.

De forma implícita estamos empleando el concepto “SUMA” desde un punto de vista ARITMÉTICO.
Además, nuestro concepto INTUITIVO de “SUMA” (cardinal de la unión de conjuntos) sólo es aplicable a SUMAS FINITAS.

Es decir, nuestra INTUICIÓN no es capaz de “visualizar” una “SUMA” DE INFINITOS ELEMENTOS.
Bueno, quizás a las personas que hayan estudiado series, les sea más fácil aceptar que se pueden “SUMAR” infinitos elementos. Sin embargo, el meollo de la cuestión es que la suma de series que uno suele tener en mente está formada por una cantidad INFINITO NUMERABLE de elementos. Y aquí estamos hablando de una “SUMA” NO CONTABLE de elementos. Estamos en el ámbito CONTINUO, no en el discreto. 

No hablamos de SUMATORIOS sino de INTEGRALES.

Ajá. Ya casi estamos llegando al final.

El modo en que se suele introducir la INTEGRAL es como una SUMA INFINITA DE TÉRMINOS INCONTABLES. Algo así como una generalización del SUMATORIO.

Pero esto es otra vez una INTERPRETACIÓN INTUITIVA del CONCEPTO de INTEGRAL.

Así que abandonemos de una vez la INTUICIÓN y empleemos la LÓGICA.

Olvidemos el concepto INTUITIVO de SUMA.

Y aceptemos el hecho de que un segmento está formado por puntos. Y que la LONGITUD de un segmento APARECE por la COMBINACIÓN DE UN CONJUNTO INFINITO NO NUMERABLE de PUNTOS.

Es decir, olvidemos los conceptos ARITMÉTICOS y vayamos a conceptos GEOMÉTRICOS.

Si formamos un triángulo rectángulo con catetos de longitud 1, la hipotenusa ha de
tener longitud .

Es decir un número IRRACIONAL.

Algo que produjo una “conmoción” en la forma de pensar al trabajar con los números hasta entonces.
Algo que parecía ILÓGICO y por tanto NO RACIONAL.

Porque durante mucho tiempo se creía que uno podía formar figuras geométricas con
materiales REALES y que las longitudes guardaban relaciones enteras entre sí.

Y así, se pensaba que se podía formar un triángulo con “canicas”, y que habría un número CONTABLE de canicas formando el triángulo. Y que las proporciones entre número de canicas eran relaciones RACIONALES.

El descubrimiento de la IRRACIONALIDAD de  significaba que, en CONTRA de lo que siempre se había dado por hecho, EXISTEN pares de segmentos que NO TIENEN UNA MEDIDA COMÚN. No existe una “canica”, por muy pequeña que sea, que mida ambas longitudes.

Por lo que concluyeron (agárrense y asómbrense de la capacidad matemática y lógica
de los griegos) que la EXISTENCIA del número  SIGNIFICABA que los PUNTOS NO PUEDEN TENER DIMENSIÓN.

La posterior evolución de las Matemáticas y de los conceptos de integral y de las forma de “operar” con conjuntos infinito no numerables nos ha dado una mayor comprensión del significado de la palabra “MEDIDA”.

En todo caso, hay que reconocer el enorme genio LÓGICO y GEOMÉTRICO de los matemáticos de la antigua Grecia.

LEAN Y DISFRUTEN DEL ARTÍCULO DE Richard J. Trudeau. ¡YA!

[1] Richard J. Trudeau. “How Big is a Point?“. The College Mathematics Journal, Vol. 14 (1983), pp. 295-300.

Fuente:

Divergiendo

Esfera, cilindro... ¡y una constante inesperada!

Las matemáticas nunca dejarán de sorprendernos. Independientemente de la cantidad de matemáticas que uno sea capaz de aprender, siempre habrá resultados que por singulares le seguirán sorprendiendo.

Esto mismo fue lo que me ocurrió a mí cuando tuve conocimiento de lo que os traigo en el artículo de hoy. Los elementos protagonistas son cilindros, esferas y trocitos de estas últimas, y la relación entre todos ellos.

Imaginemos que tenemos una esfera en tres dimensiones, centrada en (podría ser cualquier otro punto) y de radio y le cortamos una rebanada en vertical. Es decir, cortamos la esfera por dos planos paralelos a cierta anchura y nos quedamos con la parte que queda entre ellos, la rebanada, como se ve en la figura:

Calculamos el área del trozo de esfera correspondiente a esa rebanada y dejamos ahí el resultado.

Tomemos ahora otra rebanada de la misma anchura. Dependiendo de si está más cerca del ecuador de la esfera o de alguno de sus polos tendrá una forma u otra, pero que sea de la misma anchura. Calculemos ahora el área de esa rebanada. ¿Qué creéis que pasará?

Efectivamente, las áreas son iguales. No importa de dónde tomemos la rebanada, ya que si la anchura es igual el área siempre será la misma.

¿No os lo creéis? Vamos a calcular el área de una de estas rebanadas.

Lea el artículo completo en:

Gaussianos

Una bola de discoteca para intentar probar la Teoría de la Relatividad de Einstein

Una esfera de discoteca, no muy diferente a la que iluminaba los contoneos de Adriano Celentano en los 70, fue lanzada por la Agencia Espacial Europea (ESA) desde la Guayana francesa el pasado lunes para probar la Teoría de la Relatividad de Einstein. Se trata de LARES (Laser Relativity Satellite), un proyecto de bajo coste (apenas 8 millones de euros) diseñado por un equipo de la Universidad de Salento.

LARES es, en esencia, una bola de discoteca fabricada con una aleación de tunsgteno y cubierta con reflectores, de modo que, a medida que gire en torno a la Tierra, una red internacional de estaciones de láser puedan comprobar su posición con precisión milimétrica. Los físicos esperan que la alta sensibilidad del satélite sirva para confirmar la Teoría de la Relatividad de Einstein.

En realidad, el satélite italiano viene a completar la tarea que inició un satélite mucho más caro, lanzado en 2004 por la Nasa, según explica National Geographic. Se trata del Gravity Probe B, una misión liderada por la Universidad de Stanford que tardó en gestarse 40 años y que costó 800 millones de dólares. Aunque el proyecto consideró probadas las proyecciones de Einstein, un fallo técnico introdujo un margen de error del 20%, un porcentaje que el satélite italiano pretende reducir al 1%.

El satélite girará en torno a la Tierra en un determinado ángulo respecto a su ecuador. Según prevén los cálculos de Einstein el plano orbital de LARES irá rotando lentamente en torno al planeta, a medida que la sonda sea arrastrada por la distorsión espacio-temporal del planeta. Aunque el efecto acumulado durante un año no supondrá más que una millonésima de grado, el desplazamiento de la sonda puede suponer unos 4 metros, algo perfectamente mesurable.

El pequeño y denso satélite -de apenas 40 centímetros de diámetro y 380 kilos de peso- formó parte del vuelo inaugural del primer cohete Vega de la Agencia Espacial, un cohete pequeño pensado para lanzar varios satélites simultáneamente. Además de LARES, el primer Vega lanzó al espacio siete nanosatélites de otras tantas universidades europeas, incluyendo el Xatcobeo, un desarrollo de la Universidad de Vigo.

Visto en National Geographic, RTVE y Galatina.

Tomado de:

La Información Ciencia

Una pamtalla esférica que muestra como se ve la Tierra desde el espacio

Especial: Astronomía

En Japón, el Museo Nacional de Ciencias Emergentes e Innovación, cuenta con una pantalla esférica de unos seis metros de diámetro y compuesta por más de 10.000 paneles OLED, en la que se se puede ver como "se ve nuestro bello planeta desde el espacio".

Las imágenes proceden de satélites provistos de cámaras de alta resolución y otros tipo de sensores que permiten reproducir el aspecto visual de la Tierra, así como simulaciones sobre los cambios de temperaturas, la fertilidad de los océanos o la influencia de la actividad humana.

(Vía PopSci, vía TokyoTek.)

Tomado de:

Microsiervos

¿Cómo se construyen los mapas terrestres?

Martes, 13 de octubre de 2009

¿Cómpo se construyen los mapas terrestres?

Introducción

En el artículo sobre la proyección estereográfica de hace unos días vimos una forma de proyectar una esfera menos un punto (el que llamamos polo Norte) sobre un plano. Tomando la Tierra como la esfera con esta proyección habríamos construido un mapa plano de nuestro planeta de forma bastante sencilla. Pero esta construcción plantea dos preguntas principales:

1. ¿Es ésta la única proyección útil para la construcción de mapas?

   La respuesta es no. Hay otros muchos tipos de proyecciones que se utilizan con este fin. En este artículo veremos algunas de ellas.

2. ¿Es ésta la proyección que se utiliza en la actualidad para la construcción de mapas?

   En este caso la respuesta también es no. Lo veremos en el transcurso del artículo.

Distintos tipos de proyecciones

Podemos decir que una proyección cartográfica (o proyección geográfica) es una forma de representar los puntos de la Tierra (superficie curva) sobre un mapa (superficie plana). Para obtener una aproximación plana perfecta de nuestro planeta dicha proyección debería cumplir dos características: conservar áreas y conservar ángulos (es decir, que las áreas y los ángulos que se dan en la realidad se mantuvieran en nuestro mapa). Por desgracia esto es imposible, no podemos encontrar una proyección que cumpla las dos características en su totalidad. Por ello, en la práctica suelen utilizarse soluciones intermedias.

Aunque tengamos este problema es interesante enumerar y analizar los distintos tipos de proyecciones que podemos construir. Una clasificación es la siguiente:

• Proyección cilíndrica
  
  Esta construcción consiste en proyectar la superficie de la esfera terrestre sobre un cilindro que es tangente a ella en el ecuador. Algo así como meter la Tierra en un cilindro cuyo radio es el mismo que el de ésta e inflarla hasta que ocupe toda la superficie interior del mismo. Después se corta longitudinalmente el cilindro, obteniendo así nuestro mapa.

  Este tipo de proyección conserva los ángulos, pero no conserva las áreas. En concreto aumenta las áreas conforme nos alejamos del ecuador hacia cualquiera de los dos polos. La más conocida es la proyección de Mercator.

• Proyección cónica
  
  Esta construcción se realiza proyectando la superficie terrestre sobre uno o varios conos tangentes a la misma situando el/los vértice(s) del cono en la recta que une los dos polos de la Tierra. Como acabamos de decir en algunas de ellas se utiliza un cono y en otras se utilizan varios. Además estas proyecciones también se distinguen por utilizar uno o dos paralelos secantes (entre la esfera y el cono). No suelen conservar las áreas, aunque algunas sí conservan los ángulos.

  La más importante es la proyección cónica de Lambert.

• Proyección azimutal o cenital
  
  Este tipo de proyecciones consisten en proyectar la superficie terrestre sobre un plano tangente a ella tomando como base un punto interior o exterior al globo terráqueo. Hay distintos tipos según se tome el punto dentro o fuera de la esfera terrestre. Por otra parte, no tenemos asegurado ni que conserve las áreas ni que mantenga los ángulos, aunque en algunas sí ocurre esto último.

  A este grupo es al que pertenece la proyección estereográfica.

• Proyecciones modificadas

  En la práctica suelen utilizar modificaciones de algunas de las proyecciones comentadas o combinaciones de las mismas para intentar corregir en la medida de lo posible los errores introducidos por cada una de ellas. En este artículo de la Wikipedia podéis ver algunas de ellas.

Proyecciones geográficas más habituales

En esta parte del artículo vamos a comentar algunas de las proyecciones geográficas que se utilizan más comúnmente a la hora de construir mapas terrestres.

• Proyección de Mercator
  
  La proyección de Mercator posiblemente sea la más conocida de todas las proyecciones cartográficas. Toma su nombre de su creador, Gerardus Mercator, quien la ideó en 1569. La construcción de esta proyección supuso una auténtica revolución en el mundo de la cartografía, pasando a ser muy utilizada en la navegación marítima. De hecho en la actualidad todavía se usa dada la facilidad con la que se pueden calcular rutas marítimas con ella.

  Su principal problema es que al ser una proyección cilíndrica distorsiona mucho las áreas y las formas conforme nos acercamos a los polos (por ejemplos, Groenlandia parece tener el mismo tamaño que África, cuando en realidad ésta es 14 veces mayor que aquélla).

• Proyección cilíndrica equidistante
  
  Esta proyección representa los paralelos como rectas horizontales y los meridianos como rectas verticales. Al no conservar ni las áreas ni los ángulos no suele utilizarse en cartografía, aunque es muy utilizada en aplicaciones informáticas al presentar una interesante correspondencia entre píxeles y posición geográfica.
• Proyección estereográfica
  
  Como hemos comentado, sobre esta proyección ya nos habló fede hace un par de días. Su principal utilidad es representar zonas polares. En ella los meridianos son líneas rectas (que salen del mismo punto, azimut) y los paralelos son arcos de círculo.

  Como nos demostró fede en el artículo citado anteriormente, esta proyección conserva los ángulos.

• Proyección azimutal de Lambert
  
  Debemos esta proyección cartográfica al matemático Johann Heinrich Lambert, quien la publicó en 1759, mejorando la misma en una edición posterior, concretamente en 1774.

  Esta proyección no conserva los ángulos, pero en ella las distancias si son proporcionales a las reales, por lo que se suele utilizar para realizar mapas de países, continentes…

  La distorsión es cero en el centro de la proyección y va aumentando conforme nos alejamos de éste. Los mapas creados con la proyección azimutal de Lambert carecen de perspectiva.

• Proyección azimutal equidistante
  
  En esta proyección las distancias y las direcciones medidas desde el centro del mapa son verdaderas, pero el resto de distancias son todas erróneas. La distorsión de las áreas y las formas crece enormemente conforme nos alejamos del centro.
• Proyección ortográfica
  
  Esta proyección consiste en representar parte de la superficie terrestre en un plano mediante proyección ortogonal. Suele utilizarse para representar uno de los hemisferios (es lo máximo a lo que podemos aspirar) y representa la imagen de la Tierra desde un punto muy lejano. Algo así como una fotografía de nuestro planeta desde el espacio.

  Esta proyección no mantiene ni áreas ni ángulos.

Bonus

Para rematar el artículo os dejo un enlace en el que nos encontramos un applet de java con el que podemos jugar con distintas proyecciones (las comentadas en este artículos y algunas otras) y ver qué mapas terrestres se obtienen con cada una de ellas. Ahí va:

• Java World Map Projections

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Fuentes:

• Proyección cartográfica en la Wikipedia (en español).
• Mapas con diferentes proyecciones.

Tomado de Gaussianos

La proyección estereográfica

Martes, 13 de octubre de 2009

La proyección estereográfica

Sea un punto , que llamaremos centro de proyección, en la superficie de una esfera y sea un plano, que llamaremos plano de proyección, paralelo al plano tangente a la esfera en .

La proyección estereográfica hace corresponder a cada punto de la esfera, distinto de , el punto que es intersección de la recta con el plano.

Recíprocamente a cada punto del plano le corresponde el único punto , distinto de , que es la intersección de la esfera con la recta .

La proyección estereográfica es usada en el “Planisferio” de Ptolomeo para proyectar en el plano la esfera celeste, y en ella está basado el astrolabio.

La proyección estereográfica tiene las siguientes propiedades:

• Las circunferencias sobre la superficie de la esfera que pasan por el centro de la proyección se proyectan sobre rectas en el plano de proyección y viceversa.
• Las circunferencias sobre la superficie de la esfera que no pasan por el centro de la proyección se proyectan sobre circunferencias en el plano de proyección y viceversa.
• Es conforme, lo que quiere decir que si dos curvas sobre la superficie de la esfera se cortan en un determinado ángulo, sus proyecciones se cortan en el mismo ángulo.

El funcionamiento del astrolabio se basa en la segunda propiedad, que era seguramente conocida por Apolonio, aunque la demostración más antigua que se conserva está en el tratado Sobre el Astrolabio de Al-Farghani (Alfraganus), hacia el 856 d.C.

La tercera propiedad no era aparentemente conocida en la antigüedad, y la primera demostración publicada (en 1696) se debe a Halley.

A continuación demostramos esas propiedades.

Secciones circulares del cono oblicuo

Un cono oblicuo es la figura generada por las rectas trazadas desde un punto (vértice del cono) a una circunferencia (base del cono), donde el vértice no está en el plano de la circunferencia ni en la perpendicular a ese plano por el centro de la circunferencia.

Llamamos triángulo axial del cono oblicuo a la intersección del cono con el plano perpendicular a la base que pasa por el centro de la base y el vértice del cono (es decir, es la intersección del cono con el plano de simetría de la figura).

La proposición 5 del libro I de las Cónicas de Apolonio de Perga dice:

Si un cono oblicuo es cortado por un plano perpendicular al triángulo axial , cortando en éste del lado del vértice un triángulo semejante al tríángulo axial, pero dispuesto de forma contraria, la sección que ese plano corta en el cono es un círculo.

Por dispuesto de forma contraria debemos entender que, en la figura, y . Hoy diríamos que el plano corta en el triángulo axial una recta antiparalela al diámetro de la base.

Sea un punto cualquiera de la sección . El plano paralelo a la base que pasa por corta al triángulo axial en un segmento y al cono en un círculo , por la proposición I.4 de las Cónicas.

Si es la intersección de , entonces es perpendicular al triángulo axial, y como es un círculo de diámetro , por Euclides II.14 tenemos .

Como , es semejante a , y .

Pero entonces y por Euclides II.14, está en una circunferencia de diámetro .

Por tanto la sección es un círculo, como queríamos demostrar.

En la proposición I.9, Apolonio demuestra que las únicas secciones del cono oblicuo que producen círculos son las descritas en las proposiciones I.4 (las parelelas a la base) y I.5 (las antiparalelas).

La proyección de una circunferencia

Supongamos que, en una proyección estereográfica, el plano de proyección es tangente a la esfera en el punto opuesto al centro de la proyección.

Una circunferencia en la esfera que no pase por forma con el centro de la proyección un cono oblicuo, cuya base es la circunferencia y cuyo vértice es .

El plano del triángulo axial de ese cono corta a la esfera en un círculo máximo , a la circunferencia en y , y a la proyección de esa circunferencia en y .

Como está en el plano tangente a la esfera en , es recto, y como es un diámetro de la circunferencia , es recto.

Entonces es semejante a y .

Pero , porque los dos subtienden el mismo arco en la circunferencia , y por tanto y los segmentos y son antiparalelos respecto a .

Entonces, por la proposición I.5 de las Cónicas, la circunferencia en la esfera se proyecta en una circunferencia en el plano de proyección.

Usando este resultado no es difícil demostrar el recíproco, es decir, que a una circunferencia en el plano le corresponde en la proyección estereográfica una circunferencia en la esfera.

Por otro lado, las circunferencias sobre la superficie de la esfera que pasan por se proyectan sobre rectas en el plano de proyección, que son la intersección de ese plano con los planos en que están esas circunferencias. Y a cada recta en el plano de proyección le corresponde la circunferencia en la esfera que es el resultado de cortar la esfera con el plano que contiene al punto y a la recta.

La proyección estereográfica conserva los ángulos

Sea el centro de proyección, un punto en la esfera y dos tangentes a la esfera en .

El plano , que contiene al punto y a la recta , corta en la esfera una circunferencia que pasa por y por .

La tangente a esa circunferencia en es la recta , pues toca a la circunferencia y está en el mismo plano, y, por lo mismo la tangente a esa circunferencia en es la intersección del plano con el plano tangente a la esfera en .

La proyección desde de la recta es la intersección del plano y del plano de proyección, y será paralela a , porque el plano de proyección es paralelo al plano tangente a la esfera en .

De la misma forma el plano corta una circunferencia en la esfera, una tangente a esa circunferencia en el plano tangente en , y una recta en el plano de proyección.

El ángulo que forman en es el mismo que el que forman las tangentes y en , pues esas rectas son tangentes a las circunferencias en los puntos de intersección de las circunferencias y el ángulo de intersección es el mismo en los dos puntos.

Y como son paralelas a el ángulo entre y en la proyección de es el mismo que el ángulo en entre y .

Si es tangente en a una una curva sobre la esfera, es tangente en a la proyección de esa curva porque el plano es tangente a la curva sobre la esfera en el punto .

Por tanto en la proyección estereográfica se conservan los ángulos.

Fuente:

Gaussianos