Esfera, cilindro... ¡y una constante inesperada!

Las matemáticas nunca dejarán de sorprendernos. Independientemente de la cantidad de matemáticas que uno sea capaz de aprender, siempre habrá resultados que por singulares le seguirán sorprendiendo.

Esto mismo fue lo que me ocurrió a mí cuando tuve conocimiento de lo que os traigo en el artículo de hoy. Los elementos protagonistas son cilindros, esferas y trocitos de estas últimas, y la relación entre todos ellos.

Imaginemos que tenemos una esfera en tres dimensiones, centrada en (podría ser cualquier otro punto) y de radio y le cortamos una rebanada en vertical. Es decir, cortamos la esfera por dos planos paralelos a cierta anchura y nos quedamos con la parte que queda entre ellos, la rebanada, como se ve en la figura:

Calculamos el área del trozo de esfera correspondiente a esa rebanada y dejamos ahí el resultado.

Tomemos ahora otra rebanada de la misma anchura. Dependiendo de si está más cerca del ecuador de la esfera o de alguno de sus polos tendrá una forma u otra, pero que sea de la misma anchura. Calculemos ahora el área de esa rebanada. ¿Qué creéis que pasará?

Efectivamente, las áreas son iguales. No importa de dónde tomemos la rebanada, ya que si la anchura es igual el área siempre será la misma.

¿No os lo creéis? Vamos a calcular el área de una de estas rebanadas.

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Gaussianos

¿Se puede construir una caja con todas sus caras distintas?

Vamos a realizar un pequeño “experimento”. Echa un vistazo por tu casa, ahora mismo si quieres, y busca una caja que tenga todas sus caras distintas. No, no te vale una caja de zapatos, ya que sus caras son (habitualmente) iguales por parejas. ¿Encuentras alguna?

Posiblemente no, ya que normalmente las cajas que tenemos a mano suelen tener todas forma de cuboide (la de zapatos). Aunque bueno, puede que alguno de vosotros tenga por ahí alguna con una forma extraña que nos pueda servir como ejemplo de caja con todas sus caras distintas, ya que en realidad sí pueden encontrarse cajas con esta característica. Por ejemplo, podemos tomar un cuboide y cortarle un trocito de la siguiente forma:

Evidentemente, cuando hablamos de “caja” en este contexto queremos decir poliedro (es decir, una figura geométrica en tres dimensiones cuyas caras son planas (polígonos) y el volumen interior es finito) convexo (es decir, que cumple que todo segmento que une dos puntos del poliedro está contenido en el interior del propio poliedro). Pero en lo relativo a que sus caras sean todas distintas vamos a afinar un poco más.

Hemos visto que hay poliedros que tienen todas sus caras distintas, pero ¿habrá poliedros cuyas caras sean todas polígonos con un número distinto de lados? Es decir, buscamos un poliedro donde no se repita ningún polígono en lo que a número de lados se refiere: que no haya dos o más triángulos, ni dos o más pentágonos, etc. ¿Podremos encontrar ahora algún poliedro con esta característica?

Antes de responder intentad que no os influya la idea de regularidad poliédrica que solemos tener en la cabeza (lo que comenté antes de que habitualmente las cajas que tenemos cerca son esencialmente iguales) y pensad en la tremenda variedad que podemos encontrar en el mundo de los poliedros, y también en la barbaridad de polígonos que pueden hacer de cara de un poliedro…

…¿lo habéis pensado ya? Bien, pues ahí va la respuesta: no se puede encontrar ningún poliedro cuyas caras sean todas polígonos con números distintos de lados. ¿Os lo creéis? ¿Así, sin más? ¿Tan fácil ha sido? Hombre, quizás sería necesaria una demostración, ¿verdad? Bien, pues vamos a ver una que aparece en el libro Mapas del metro y redes neuronales, de Claudi Alsina.

Supongamos que tenemos un poliedro convexo que tiene un número de caras igual a Vamos a llamar a la cantidad de números naturales para los cuales el poliedro tiene al menos una cara con aristas. Por ejemplo, un cubo tiene , ya que solamente hay un número natural para el cual el cubo tiene caras con esa cantidad de aristas: el 4. Y llamemos ahora al número de aristas que tiene la cara de con más aristas. En el cubo tendremos que , ya que ésa es la mayor cantidad de aristas que tiene una cara de un cubo.

Veamos otro ejemplo para aclarar un poco más el asunto. Si es el prisma de base hexagonal que podemos ver a la derecha, se tiene que , ya que hay dos números naturales para los cuales este prisma tiene al menos una cara con esas cantidades de aristas: el 4 y el 6. Por otro lado, en este prisma, que es el mayor número de aristas que tiene una cara del mismo.

Bien, aclarado esto vamos a jugar un poco con estos números. Evidentemente tiene al menos una cara con aristas (ya que era el número máximo de aristas que tenía una cara de ). Pero cada arista de dicha cara es también arista de otra cara de , lo que nos da caras más. Por tanto, el número de caras de es, al menos, (la que tiene aristas más las caras correspondientes a dichas aristas). Con esto llegamos a la primera expresión interesante:

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Gaussianos

La entropía no es desorden: La ordenación espontánea de poliedros

Hay ocasiones en las que un artículo científico, independientemente del interés intrínseco del hallazgo o comprobación que describe, pone de manifiesto cómo las simplificaciones que se hacen, incluidas las de los libros de texto, al intentar hacer comprensibles las ideas científicas tienen el efecto de que después sea mucho más difícil entender nuevos desarrollos. A éstos se les suele llamar contraintuitivos. Una de los conceptos más recurrentes entre los afectados es el de entropía y, por extensión, el de orden.

Un artículo publicado en Science por el equipo encabezado por Pablo Damasceno, de la Universidad de Michigan en Ann Arbor (EE.UU.), nos recuerda que ni la entropía, ni los procesos termodinámicos espontáneos, están relacionados per se con lo que intuitivamente entendemos por desorden. La entropía está relacionada con el número de “posibilidades” para un sistema, lo que muchas veces se traduce en “desorden” pero, como muestra esta investigación, no siempre.

Y es que la naturaleza no entiende de orden o desorden, que son conceptos puramente de la mente humana en su afán por hacer inteligible el entorno. La naturaleza entiende de minimización de la energía y maximización de posibilidades.

Pero vayamos por partes.

La organización espontánea de distintas unidades elementales en estructuras ordenadas se encuentra en todas las escalas. Ejemplos evidentes son los cristales a nivel atómico, los cristales plásticos y líquidos a nivel molecular o las superceldillas de nanopartículas o los coloides. En ciencia de materiales es crítico conocer la relación entre las ordenaciones y sus constituyentes ya que las propiedades físicas de aquellas dependen en gran manera de la estructura.

Lo que han conseguido Damasceno et al. mediante simulaciones por ordenador es poder predecir las estructuras que formarán partículas de distintas formas, en concreto 145 poliedros convexos distintos. De hecho, los autores demuestran que la forma en que se orientan depende sólo de su forma anisótropa. Pero, y esto es lo que consideramos interesante resaltar, este estudio demuestra también que existe una llamativa tendencia a la auto-organización y a la diversidad estructural. Es decir, que haciendo mediciones simples de la forma de la partícula y el orden local (orden a corto) en un fluido se puede predecir si esa forma se organizará espontáneamente como un cristal líquido, como un cristal plástico, como un cristal en sentido estricto o si no se organizarán en absoluto.

Pero, ¿cómo se forman estructuras ordenadas espontáneamente? Muy fácil, diréis algunos, el sistema se enfría, formándose las estructuras ordenadas y la entropía del universo aumenta aunque la del sistema disminuya. Pero, no. No existe variación de temperatura. Tal y como están planteadas las simulaciones, partículas sólidas que no interactúan más allá de su geometría, no existe variación energética, tan sólo maximización entrópica. Nos explicamos.

Sabemos por la segunda ley de la termodinámica que, todo lo demás constante, el sistema evolucionará espontáneamente hacia la configuración que consiga el máximo incremento en la entropía. Habitualmente, como decíamos más arriba, esto coincide con el máximo desorden. Así, un libro de texto puede decir que “los sistemas evolucionan espontáneamente en el sentido en el que aumenta el desorden”, en abierta contradicción con lo que vemos aquí.

La clave está en el espacio disponible. Si las partículas tuviesen todo el espacio del mundo no cabe duda de que se dispersarían tomando posiciones al azar. Pero si el espacio es muy limitado la cosa cambia. En estas circunstancias las posibilidades distintas de acoplamiento aumentan si las partículas se orientan cara a cara, lo que nosotros interpretamos como orden.

Dado que la eficiencia en el empaquetamiento aumenta con el área de contacto, la ordenación puede ser interpretada como el resultado de una fuerza entrópica efectiva, direccional y multicuerpo. Esta fuerza aparece a partir del mayor número de configuraciones disponibles para el conjunto del sistema, lo que trae como consecuencia que los poliedros con un número adecuado de caras se ordenen de determinada manera. Esta idea de fuerza entrópica direccional es la que sugiere que la forma de las partículas puede usarse para predecir las estructuras.

No es que el desorden (entropía) cree orden. Es una cuestión de opciones disponibles: en este caso las disposiciones ordenadas son las que producen el máximo número de posibilidades. Pero no hay que circunscribirse al mundo nanoscópico. Este fenómeno es conocido para cualquiera que haya trasladado una caja de naranjas (de esferas en general): si se agita tiende a ordenarse.

Por ello esta sería una buena ocasión para abandonar esa aproximación a la entropía como desorden y empezar a asimilar la definición estadística de la entropía, mucho más útil a la larga aunque menos intuitiva para algunos al principio: la entropía de un sistema es proporcional* al número de estados posibles en los que puede estar.

Volviendo a los resultados de Damasceno et al., de los 145 poliedros estudiados el 70 por ciento produjeron estructuras cristalinas de algún tipo. Algunas de estas estructuras eran realmente complejas, con hasta 52 partículas en el patrón que se repetía.

Como siempre con un hallazgo interesante, estos resultados nos sugieren muchas más preguntas. La más inmediata es ¿por qué el 30 por ciento no forma estructuras ordenadas quedándose con estructura vítrea (de vidrio)? ¿Por qué se resisten al orden? Un hilo misterioso del que tirar.

Fuente:

Experiencia Docet

Teoría de la Cuarta Dimensión: El Hipercubo

Martes, 16 de marzo de 2010

Teoría de la Cuarta Dimensión: El Hipercubo

Hipercubo o teseracto

Si para los físicos la cuarta dimensión está representada por el tiempo, en el mundo de las matemáticas esas dos palabras tienen una connotación muy distinta. La geometría euclidiana prevé una o más dimensiones por encima de nuestro mundo en 3D en forma de teoría matemática. Esto es, aparte de las tres dimensiones conocidas (altura, anchura y profundidad), se supone como mínimo otra dimensión más, la cuarta en discordia, que cumpliría perfectamente las propiedades cartesianas, es decir, sería perpendicular a las otras tres y partiría de un origen de coordenadas común.

Nosotros no podemos siquiera imaginar cómo sería el mundo en 4D, porque estamos recluidos en un universo de sólo tres dimensiones. Si partimos de un sistema de coordenadas en el espacio 3D, tenemos un eje X que representa la anchura, un eje Y que es la altura y un eje Z que representa la profundidad. La cuarta dimensión vendría simbolizada por un hipotético eje W que, como decíamos antes, sería perpendicular a X, Y y Z. Algo que con nuestra mente es imposible comprenderlo porque pensamos y vemos en tres dimensiones. Pero ello no quiere decir que no exista una cuarta dimensión, sino simplemente que no podemos verla.

Imagina por un momento que no eres una persona, eres un cuadrado habitante de Planilandia, la genial novela de Edwin A. Abbott. Los cuadrados viven en el plano y sólo tienen dos dimensiones (ancho y largo), no conocen nada más. Un día, aparece volando por el espacio 3D (que tú no comprendes) un cubo y te saluda. Como él está por encima de ti y no concibes el concepto de altura, prácticamente creerás que te estás volviendo majareta.

Para hacerse visible, el cubo decide posarse sobre tu plano 2D. En ese momento tú verás surgir de repente un cuadrado a tu lado y te darás un susto inmenso, pues no sabes por dónde ni de dónde ha aparecido. Después de hablar unos minutos con él, le preguntas a ver por qué demonios se llama a sí mismo cubo, cuando lo que ves es un simple cuadrado como tú. Él te intentará explicar que lo que estás visualizando es una proyección de su figura 3D sobre tu mundo en dos dimensiones, e intentará proyectarse de manera inclinada, atravesando tu suelo, para ver si te haces una idea de su forma real. La imagen que tú verás en ese momento será la siguiente.

Cubo proyectado en un plano

No comprendes nada. Lo que antes era un cuadrado ahora se ha transformado en dos cuadrados que se cruzan y que tienen líneas inclinadas que unen sus vértices. No sabes mirar más allá del plano.

Vuelve al mundo real; eres una persona otra vez. De la misma forma que el cuadrado nunca podría imaginarse cómo es un cubo porque desconoce lo que es la tercera dimensión, nosotros no podemos comprender los elementos que componen la cuarta. Sabemos perfectamente que la proyección de un cubo sobre un plano genera una figura como la anterior, con unas líneas más largas y otras más cortas y ángulos diferentes. Sin embargo, podemos afirmar con total seguridad que en un cubo todas sus aristas son de igual longitud y todos sus ángulos son rectos (90º) porque vivimos en un mundo tridimensional y podemos palpar un cubo.

De la misma manera, geométricamente se puede demostrar la existencia de los llamados hipercubos (o teseractos) en cuatro dimensiones. Desde que vi, hace ya años, la segunda parte de la película Cube (Cube 2: Hypercube), los hipercubos se han metido en mi cabeza y ya no los puedo sacar de ahí. Es, probablemente, la figura más hermosa desde el punto de vista matemático y más quimérica desde el de la vida real. Por cierto, la primera de Cube es una de mis obras maestras cinematográficas de culto; no así tanto la segunda y la tercera.

La imagen que encabeza este post es la de un hipercubo. Bueno, técnicamente es la proyección de un hipercubo sobre nuestro espacio tridimensional. Aunque si queremos rizar más el rizo, como lo estás viendo en una imagen plana en la pantalla de tu ordenador, diríamos que es la proyección plana 2D de la proyección espacial 3D de un hipercubo en 4D. Vaya lío, madre mía.

Si cogemos un cuadrado y lo proyectamos en el espacio, dándole altura, conseguimos un cubo. Si proyectamos un cubo hacia el espacio de cuatro dimensiones conseguimos un hipercubo. El teseracto se considera un cubo desfasado en el tiempo, es decir, cada instante de tiempo por el cual se movió pero todos ellos juntos. Por supuesto no podemos ver un teseracto en la cuarta dimensión, porque vivimos solo en tres con la limitación mental de nuestros cerebros.

Al igual que le pasaba al cuadrado de Planilandia, vemos unas líneas más largas que otras y ángulos diversos en su proyección, sin embargo el hibercubo tiene todas sus aristas iguales y todos sus ángulos rectos. Además lo que hay entre el cubo interior y el cubo exterior son más cubos, todos ellos tan rectos y cúbicos como los tridimensionales. El teseracto tiene 16 vértices, 32 aristas, 24 caras y 8 células (éstas serían el equivalente a los cubos tridimensionales).

Lo que sí podemos hacer es desdoblar el teseracto tetradimensional para trasladarlo a nuestro espacio tridimensional. De la misma manera que somos capaces de cortar las aristas de un cubo y desdoblarlo en un plano bidimensional obteniendo una suerte de cruz latina formada por seis cuadrados, si hacemos lo mismo con un hipercubo el resultado es una cruz 3D de ocho cubos (células).

Cubo e hipercubo desdoblados

Lo que ya no podemos imaginar es ese engendro doblado sobre sí mismo, por la incapacidad ya comentada de comprender un espacio en cuatro dimensiones. Si tienes la mente muy abierta y necesitas un buen dolor de cabeza, la siguiente figura muestra el orden en el que deben coincidir las caras de los distintos cubos para conseguir el teseracto. Por supuesto, teniendo en cuenta que todas las aristas deben medir lo mismo y que todos los ángulos deben ser rectos. Algo imposible para nuestras cabezas de chorlito tridimensional.

Orden para doblar un hipercubo

De la misma forma en que existen figuras geométricas en un supuesto mundo de cuatro dimensiones, ¿quién nos puede a nosotros asegurar que no existan otro tipo de manifestaciones “inteligentes” en él? Llámalo ente, alma, energía, mente o como quieras. Es posible que en un espacio tetradimensional haya entidades que sólo algunos de entre nosotros podemos ver bajo determinadas circunstancias y cuando se proyectan sobre nuestro espacio 3D. Es posible que los llamados fantasmas no sean más que seres 4D que están siempre ahí pero que no podemos ver más que cuando invaden nuestro espacio y que nos pegan terribles sustos como al pobre cuadrado cuando el cubo aparece de sopetón en su plano.

En fin, ese tema se lo dejamos a Iker Jiménez y a su parienta y nosotros nos quedamos con la versión matemática y geométrica del asunto que es mucho más factible.

Hasta el propio Dalí, que estaba un poco zumbado del bolo (sólo hay que ver sus cuadros), dibujó un hipercubo en una de sus obras, Corpus hipercubicus.

Corpus hipercubicus (Dalí)

Para terminar, os dejo un vídeo en el que el conocido astrónomo y divulgador científico Carl Sagan explica todo lo anterior de una forma más gráfica que un servidor. Vale la pena echarle un vistazo e invertir 7 minutos de nuestro tiempo para intentar comprender un poco mejor lo que la cuarta dimensión representa podría representar.

Fuente:

Tekno Plof!