La relación entre el mundo Físico y el "mundo de las Matemáticas"
es enormemente sutil. Las matemáticas nos permiten acceder a las leyes más profundas del Universo y son la clave del enorme
éxito de la Física para describir el mundo que nos rodea. En este artículo mostraremos esta intrincada relación
analizando uno de los conceptos más ajenos al sentido común pero a la vez más útiles de las matemáticas:
el infinito.
Para ello utilizaremos la serie infinita: S= 1 + 2 + 3 + 4 +...
Aparentemente, nadie en su sano juicio se atrevería a asignar un valor
finito a la infinita suma de los números naturales: S= 1 + 2 + 3 + 4 +...
Sin embargo, el que ha sido uno de los mayores
matemáticos de todos los tiempos, Leonhard Euler, fue capaz, ya en 1749 de asignar un valor finito a esta suma
infinita. Este valor es:
¡ -1/12 !
Pero, ¿Como es esto posible? ¿Como puede ser que la suma de infinitos
números enteros positivos sea una fracción y que además tenga un valor negativo? Además, como veremos, la deducción
de Euler es enormemente sencilla.
En los años posteriores, cálculos más sofisticados realizados con nuevas
herramientas matemáticas arrojaron el mismo resultado.
Hasta hace poco, todo esto no era más que una especie de juego matemático
sin más relevancia, sin embargo, en tiempos recientes, esta suma infinita ha aparecido en varios cálculos
de Física de partículas y de Teoría de Cuerdas.
Las predicciones de estos cálculos teóricos se han medido con
extraordinaria precisión en los experimentos y el resultado es increíble: el resultado de las medidas
implica que la suma infinita
de los números naturales tiene que ser -1/12.
Edward Frenkel, profesor de matemáticas en la Universidad de Berkeley
(California) dijo recientemente que este cálculo es uno de los secretos mejor guardados de la matemática.
A continuación veremos porque esto es así y las pruebas experimentales que sostienen este increíble
resultado.
La suma de los infinitos números naturales
Consideremos la suma S= 1 + 2 + 3 + 4+ ... a continuación multiplicamos
esta suma por 4 para obtener la suma 4S= 4 + 8 + 12 + 16 + ... seguidamente restamos a la primera suma la segunda
para obtener S - 4S= -3S:
S= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ...
4S= 4+ +8
+ 12 + ...
-3S= 1 + (2-4) + 3 + (4-8) + 5 + (6-12) + ... =
1 -2 +3 -4 + 5 -6
+...
Hemos obtenido la misma suma pero con los números pares cambiados de
signo, pero además hemos obtenido algo mucho más impresionante: la suma -3S es convergente (aunque no lo parezca)
y por tanto podemos asignar un valor finito a su suma. Para ver esto, tomamos la función 1/(1+x)
2
y la desarrollamos en serie de potencias (serie de Taylor):
1/(1+x)2= 1-2x+3x2-4x3+5x4-, si
asignamos a x el valor 1 entonces obtenemos exactamente la serie -3S anterior.
Entonces tenemos que
1/(1+1)2= -3S, por lo tanto tenemos
que
S = -1/12.
En este momento deberíamos sentir una suma infinita de perplejidad,
incredulidad y asombro.
Pasados unos instantes y después de reflexionar un poco a uno se le queda después
de leer esto la impresión de que este cálculo solo se trata de un truco matemático, una maniobra ingeniosa pero incorrecta
puesto que no debe de ser posible tratar con series divergentes que contienen infinitos números de forma
tan alegre. Sin embargo, cálculos más sofisticados realizados con herramientas matemáticas más modernas
como
el
método del exponencial regulador o
usando la función zeta de Riemann han llegado exactamente al mismo
resultado.
Además, aunque parezca increíble, este resultado ha sido constatado experimentalmente en varios
experimentos basados en la mecánica cuántica, como sabemos y constataremos a continuación, el mundo
de la Física y el de las Matemáticas están profundamente entrelazados.
El efecto Casimir y la suma de los infinitos números naturales
Se denomina Efecto Casimir a la minúscula fuerza de atracción
que experimentan dos placas metálicas cuando se las separa una distancia muy pequeña. Este efecto es una predicción
de la mecánica cuántica y recientemente experimentos de gran precisión han confirmado su existencia y han medido
su valor. Primero veamos que es lo que predice la teoría.
Consideremos dos placas metálicas separadas una pequeña distancia
"a", según la mecánica cuántica, dentro de las placas solo puede haber ondas electromagnéticas cuya longitud de
onda sea un múltiplo de a, es decir, ondas de frecuencia w=Π/a*n, donde n va desde 1 hasta infinito. Este hecho,
produce que en el interior de las placas la cantidad de ondas electromagnéticas es menor que en el exterior, lo
que debería producir una pequeña fuerza atractiva que tendiese a juntar las placas. Para calcular el valor de esta
fuerza, consideremos 2 pares de placas una dentro de la otra como se indica en la figura:
La energía total en las placas E(r) será la suma de la energía
en el lado derecho r= (L-a) más la del lado izquierdo r=a: Etot(a)= E(a) + E (L-a) = (1/a+1/(L-a))Π/2*n donde n va
desde 1 hasta infinito. La fuerza Casimir será entonces:
F(a)=-dEtot/da= (1/a
2+1/(L-a)
2)Π/2*n, por tanto tenemos
que para L tendiendo a infinito nos queda:
F(a)=Π/2*1/a
2*(1+2+3+4+...)
Es decir, esta fuerza es proporcional a la suma de los infinitos números
naturales, por tanto, deberíamos esperar una "infinita" fuerza repulsiva entre las placas, lo cual, evidentemente
no coincide con el resultado experimental.
Pero entonces, ¿Que estamos haciendo mal? ¿Como podemos lidiar
con una suma infinita?
Es ahora cuando la magia casi "mística" de la relación
entre Física y Matemáticas emerge con todo su esplendor y nos ofrece una respuesta tan ajena a nuestro sentido común que raya
lo inverosímil:
el resultado medido para la fuerza de Casimir es exactamente el que mediaríamos si la suma
de los infinitos números naturales es -1/12.
Intentando desvelar el misterio
En primer lugar hay que decir que las matemáticas solo pueden tratar
con sumas infinitas teniendo en cuenta el concepto de límite. La definición de suma de los infinitos
términos de una sucesión implica calcular (si es que existe) el límite al que tienden las sumas parciales.
En segundo lugar, el método del exponencial que antes hemos citado y
que se utiliza para normalizar series divergentes, nos indica que esta serie divergente se puede descomponer en 3
partes: una parte divergente que tiende a infinito, otra que tiende a 0 y otra que tiende a un valor finito:
-1/12. Existen métodos que utilizan los matemáticos profesionales que justifican el eliminar la parte divergente
y quedarse solo con el término finito.
En tercer lugar, en el caso que hemos tratado de la fuerza Casimir, existe
un efecto muy importante que no hemos tenido en cuenta en nuestro cálculo anterior: a medida que n crece,
la frecuencia de las ondas implicadas se hace muy grande, estas ondas con altas frecuencias atravesarían
las placas fácilmente por lo que no estarían contenidas en el interior de las mismas, es decir,
las ondas con altas
frecuencias no deben ser tenidas en cuenta en el cálculo del efecto Casimir. De hecho, en el
cálculo
teórico completo de la fuerza Casimir se establece una frecuencia de corte máxima cuya longitud de onda es del
orden del tamaño de los átomos que forman las placas metálicas. Realizando esto y promediando la fuerza
oscilante resultante a lo largo de todo el intervalo definido obtenemos el resultado correcto para la fuerza en 1 dimensión:
F(a)= -Πhc/24a2
Es decir, descartando las contribuciones de alta frecuencia llegamos a una
predicción teórica finita que concuerda con los resultados experimentales y no es otra que aquella en la
que la infinita suma de los números naturales es exactamente -1/12.
Entonces, ¿Es realmente la suma de los infinitos números
naturales igual a -1/12?
El famoso matemático Noruego Niels Henrik Abel, que fue un experto en
analizar series infinitas dijo una vez: "The divergent series are the invention of the devil, and it is a shame
to base on them any demonstration whatsoever", "Las series divergentes son una invención del demonio y es una
vergüenza que cualquier demostración independiente se base en ellas".
Desde el rigor matemático, es evidente que una serie infinita divergente
no es un número y no se puede sumar o multiplicar como si lo fuese. Realmente, considerando la suma en el sentido
habitual, estas series no tienen ningún significado. Sin embargo, la definición de suma que aparece en estas
series no es la habitual, la definición de suma ha sido alterada de forma que ahora se considera la suma de los límites
de las sumas parciales. Aunque en una serie divergente estos límites no existen, en algunas series como la que hemos
analizado es posible reorganizar la suma y obtener una combinación lineal de la misma que es convergente. Esto
es lo que hizo Euler en su momento.
Nadie sabe exactamente el porque, parece que, como en el efecto Casimir, los
términos de "alta frecuencia" se cancelan unos a otros y el resultado al que tienden las sumas parciales es
un número finito. Podemos decir que de alguna forma y en algún sentido la suma infinita de los números
naturales no carece de sentido, podemos asignarla un valor y ese valor no puede ser otro que -1/12. Por si esto fuera poco asombroso,
este valor está profundamente relacionado con las leyes de la Naturaleza ya que aparece siempre que tratamos
de hacer cálculos con la "energía del vacío" o con las contribuciones de la energía del vacío
a la energía de las partículas en Mecánica Cuántica.
Fuentes: Sum
of integers and oversold common sense, In
the End, It All Adds Up to – 1/12, Casimir
Effect
Fuente:
Revoluciuòn Cientìfica
David Hilbert fue un matemático de finales
del S.XIX y principios del XX nacido en Königsberg, la famosa ciudad
del problema de los puentes. Su fama es motivada principalmente por su lista propuesta en 1900 de los 23 problemas sin resolver más importantes de su época, que fueron los que marcaron el rumbo de la investigación matemática durante buena parte del S.XX.
yo te pago 
euros.
euros; si sale en la segunda tirada gana 
euros; si es en la tercera 
euros…Y así sucesivamente. Conforme aumenta el número de tiradas
realizadas hasta la aparición de la primera cruz la cantidad a pagar
sube considerablemente (recordad, 
euros a pagar. Después de estos datos repito la pregunta: ¿cuánto dinero estarías dispuesto a pagar inicialmente por jugar?
para la primera tirada, ya que tenemos dos casos posibles (cara y cruz);
para la segunda tirada, ya que también tenemos dos casos posibles (cara y cruz), por lo que la probabilidad sería 
;
para la tercera, por el mismo razonamiento anterior;
, vale 
, siendo n la tirada en la que sale la primera cruz.
Posiblemente la idea más interesante sea la que tuvo el propio Daniel Bernoulli, que fue considerar que una cantidad concreta de dinero no tiene el mismo valor para todo el mundo.
Me explico: 1000 euros es algo extremadamente valioso para alguien que
no tiene ningún tipo de recurso, pero no lo es tanto para alguien que
sea millonario. Esto es, la utilidad del dinero es subjetiva, depende de la persona,
por lo que el jugador decidirá qué cantidad máxima estaría dispuesto a
jugar en función de la utilidad que para él tenga dicha cantidad de
dinero. Este argumento puede parecer muy obvio y sin mucho interés, pero
en la práctica ha derivado en lo que actualmente se conoce como teoría de la utilidad, introducida por Von Neumann y Morgenstern
a mediados del siglo XX. De todas formas es cierto que argumentos como
éste se adentran en muchas ocasiones en cuestiones de índole psicológica
y abandonan en parte las matemáticas.
.
ocurre lo mismo. El valor que conocemos para 
Tomamos una circunferencia 
de diámetro 
situada sobre la esfera de radio 
(con 
). Sean 
el centro de la circunferencia visto en la geometría esférica, 
el centro de la esfera, 
un punto de la circunferencia, 
el centro de la circunferencia visto en la geometría euclídea, 
el radio de la circunferencia visto en el espacio euclídeo y 
el ángulo 
, como se puede ver en la figura de la derecha.
y 
al cociente entre la longitud de la circunferencia sobre su diámetro (que es 
, por lo que
. ¿Cuadra esto con la realidad? Veamos:
, y resolviéndola obtenemos un máximo en 
, que nos da 
y un mínimo en 
, que nos da el valor 
(¡¡un valor negativo de 
, por lo que en este caso