Este juego tiene ganancia esperada infinita. ¿Cuánto pagarías por jugar?

Estamos en época navideña y, por tanto, en una época en la que la lotería es protagonista, más protagonista que el resto del año. Principalmente la Lotería de Navidad, rodeada por un montón de mitos infundados, aunque también la Lotería del Niño tiene su lugar en estas fechas. Lotería de Navidad y Lotería del Niño, ambas, al igual que cualquier juego tipo lotería que se precie, con esperanza negativa. Es decir, ambas son juegos en los que el jugador tiene una ganancia esperada negativa, algo así como que el jugador espera perder dinero. Por ejemplo, la de la Lotería de Navidad es -0,3, lo que significa que por cada euro jugado esperamos perder 30 céntimos. Y con todo y con eso jugamos, y en ocasiones demasiado.
Para todos los que jugáis, y también para los que no jugáis, va la siguiente cuestión:

Si os ofrezco un juego con una ganancia esperada muy grande, ¿cuánto estaríais dispuestos a pagar por jugar?

Posiblemente muchos diréis que como máximo un poco menos de esa ganancia esperada. Bueno, es razonable. Ahora, ¿y si la ganancia esperada fuera infinita?
Un momento, ¿ganancia esperada infinita? Sí, infinita. Esto es, esperamos ganar una cantidad infinita de dinero si jugamos a este juego…Creo que ya va siendo hora de que os cuente de qué va el jueguecito:

El juego consiste en lo siguiente:
Tiro una moneda al aire. Si sale cara continúo tirando, hasta que sale la primera cruz (excluimos la posibilidad de que caiga de canto), momento en el que el juego termina. Si esa cruz ha salido en la tirada $n$ yo te pago $2^n$ euros.
La pregunta es: ¿cuánto dinero estarías dispuesto a pagar inicialmente por jugar?

Antes de responder analicemos el juego con algo más de detenimiento. Si la primera cruz sale en la primera tirada el jugador gana $2^1=2$ euros; si sale en la segunda tirada gana $2^2=4$ euros; si es en la tercera $2^3=8$ euros…Y así sucesivamente. Conforme aumenta el número de tiradas realizadas hasta la aparición de la primera cruz la cantidad a pagar sube considerablemente (recordad, no subestiméis el crecimiento exponencial). Por ejemplo, si la primera cara sale en la tirada 10 ya iríamos por $2^{10}=1024$ euros a pagar. Después de estos datos repito la pregunta: ¿cuánto dinero estarías dispuesto a pagar inicialmente por jugar?

La esperanza del juego (es decir, la cantidad que esperamos ganar al jugar) puede ser una buena medida para decidir cuánto estaríamos dispuestos a pagar por jugar, ¿no? Pues vamos a calcularla. Recordemos que la esperanza de una variable aleatoria discreta (como la que tenemos entre manos) se calcula sumando los productos que se obtienen al multiplicar cada valor de la variable por la probabilidad de que se dé dicho valor. En nuestro caso, los valores de la variable son las ganancias obtenidas según la posición en la que salga la primera cruz (2 euros si es en tirada 1, 4 euros si es en la tirada 2, 8 euros si es en la 3,…), y la probabilidad de cada uno de ellos es la probabilidad de que la primera cruz salga en cada posición. Dicha probabilidad es:

$1/2$ para la primera tirada, ya que tenemos dos casos posibles (cara y cruz);
$1/4$ para la segunda tirada, ya que también tenemos dos casos posibles (cara y cruz), por lo que la probabilidad sería $1/2$ , pero para llegar a esta opción debió salir cara en la primera, hecho que tiene también probabilidad $1/2$ de suceder. Como las tiradas son independientes (el resultado de una tirada no influye en el resultado de la siguiente), la probabilidad de que la primera cruz salga en la segunda tirada es $1/2 \cdot 1/2=1/4$ ;
$1/8$ para la tercera, por el mismo razonamiento anterior;
y así sucesivamente. En general, esta probabilidad, $p_n$ , vale $1/2^n$ , siendo n la tirada en la que sale la primera cruz.

Ya podemos calcular la ganancia esperada al jugar a este juego:

$E=2 \cdot \cfrac{1}{2} + 4 \cdot \cfrac{1}{4} + 8 \cdot \cfrac{1}{8} + \ldots=1+1+1+ \ldots \; (infinitas \; veces)= \infty$

¡¡Ganancia esperada infinita!! ¡¡Esperamos ganar infinitos euros si jugamos!! Estaréis de acuerdo conmigo en que con estas condiciones deberíamos estar dispuestos a pagar cualquier cantidad de dinero, por grande que sea. Qué digo yo, ¿100000 euros por ejemplo? ¿No? ¿Os parece mucho?

Veamos…¿10000? Sigue siendo demasiado…¿1000 euros quizás?

Estoy convencido de que la mayoría de vosotros seguirá pensando que todavía es demasiado dinero, aun teniendo una ganancia esperada de infinitos euros. Esta aparente paradoja es la razón por la que este juego es conocido como paradoja de San Petersburgo. Bueno, esto y la relación que en sus inicios tuvo con esta ciudad rusa. Parece ser que este problema fue planteado por primera vez por Nicolaus Bernoulli en 1713. Nicolaus pasó un tiempo reflexionando sobre él, pero en 1715, al ver que no obtenía resultados concluyentes, se lo pasó a su primo Daniel Bernoulli, que para Nicolaus tenía mayor capacidad matemática que él mismo. Éste, después de unos años de estudio y reflexión, publicó su análisis y su propuesta de solución en las Actas de la Academia de Ciencias de San Petersburgo en 1738. De aquí que esta paradoja lleve ese nombre.

Volvamos a nuestro juego-paradoja. ¿Cómo solucionamos el tema? Por un lado tenemos ganancia esperada infinita, pero por otro parece una locura pagar una cantidad muy grande (de hecho hasta lo parece con una cantidad relativamente grande) por jugar, ya que es bastante probable que la primera cruz salga bien pronto. Pues parece que no hay lo que podríamos llamar una solución de esta paradoja, aunque es cierto que sí se han realizado muchos estudios sobre ella y hay propuestas interesantes.

Posiblemente la idea más interesante sea la que tuvo el propio Daniel Bernoulli, que fue considerar que una cantidad concreta de dinero no tiene el mismo valor para todo el mundo. Me explico: 1000 euros es algo extremadamente valioso para alguien que no tiene ningún tipo de recurso, pero no lo es tanto para alguien que sea millonario. Esto es, la utilidad del dinero es subjetiva, depende de la persona, por lo que el jugador decidirá qué cantidad máxima estaría dispuesto a jugar en función de la utilidad que para él tenga dicha cantidad de dinero. Este argumento puede parecer muy obvio y sin mucho interés, pero en la práctica ha derivado en lo que actualmente se conoce como teoría de la utilidad, introducida por Von Neumann y Morgenstern a mediados del siglo XX. De todas formas es cierto que argumentos como éste se adentran en muchas ocasiones en cuestiones de índole psicológica y abandonan en parte las matemáticas.

Hay otras ideas de estudio y propuestas de solución del juego, principalmente relacionadas con la imposibilidad de que puedan darse los infinitos resultados posibles del mismo o de que pueda existir una banca que pueda cubrir un posible premio descomunal. En los enlaces que podéis encontrar al final del texto podréis encontrar información sobre todo esto.

Y ahora os toca a vosotros: ¿qué os parece este juego? ¿Jugaríais? ¿Cuánto? Todas vuestras opiniones serán bienvenidas.

Fuentes y enlaces relacionados:

Sortis in Ludis: De la paradoja de San Petersburgo a la teoría de la utilidad (pdf), de Juan M. R. Parrondo. En este enlace (pdf) tenéis una especie de resumen del mismo.
La paradoja de San petersburgo en XatakaCiencia.
Paradoja de San Petersburgo en la Wikipedia en español.
En la entrevista que Bernardo Marín me hizo para El País hace unos días cito esta paradoja.
Imagen de Daniel Bernoulli tomada de aquí.

Fuente:

Gaussianos

Conocer Ciencia

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7 de enero de 2013

Este juego tiene ganancia esperada infinita. ¿Cuánto pagarías por jugar?