Martes, 13 de octubre de 2009
La proyección estereográfica
Sea un punto 
, que llamaremos centro de proyección, en la superficie de una esfera y sea un plano, que llamaremos plano de proyección, paralelo al plano tangente a la esfera en .
La proyección estereográfica hace corresponder a cada punto 
de la esfera, distinto de , el punto 
que es intersección de la recta 
con el plano.
Recíprocamente a cada punto del plano le corresponde el único punto , distinto de , que es la intersección de la esfera con la recta 
.
La proyección estereográfica es usada en el “Planisferio” de Ptolomeo para proyectar en el plano la esfera celeste, y en ella está basado el astrolabio.
La proyección estereográfica tiene las siguientes propiedades:
- Las circunferencias sobre la superficie de la esfera que pasan por el centro de la proyección se proyectan sobre rectas en el plano de proyección y viceversa.
- Las circunferencias sobre la superficie de la esfera que no pasan por el centro de la proyección se proyectan sobre circunferencias en el plano de proyección y viceversa.
- Es conforme, lo que quiere decir que si dos curvas sobre la superficie de la esfera se cortan en un determinado ángulo, sus proyecciones se cortan en el mismo ángulo.
El funcionamiento del astrolabio se basa en la segunda propiedad, que era seguramente conocida por Apolonio, aunque la demostración más antigua que se conserva está en el tratado Sobre el Astrolabio de Al-Farghani (Alfraganus), hacia el 856 d.C.
La tercera propiedad no era aparentemente conocida en la antigüedad, y la primera demostración publicada (en 1696) se debe a Halley.
A continuación demostramos esas propiedades.
Secciones circulares del cono oblicuo
Un cono oblicuo es la figura generada por las rectas trazadas desde un punto (vértice del cono) a una circunferencia (base del cono), donde el vértice no está en el plano de la circunferencia ni en la perpendicular a ese plano por el centro de la circunferencia.
Llamamos triángulo axial del cono oblicuo a la intersección del cono con el plano perpendicular a la base que pasa por el centro de la base y el vértice del cono (es decir, es la intersección del cono con el plano de simetría de la figura).
La proposición 5 del libro I de las Cónicas de Apolonio de Perga dice:
Si un cono oblicuo es cortado por un plano perpendicular al triángulo axial 
, cortando en éste del lado del vértice un triángulo 
semejante al tríángulo axial, pero dispuesto de forma contraria, la sección 
que ese plano corta en el cono es un círculo.
Por dispuesto de forma contraria debemos entender que, en la figura, 
y 
. Hoy diríamos que el plano corta en el triángulo axial una recta 
antiparalela al diámetro 
de la base.
Sea 
un punto cualquiera de la sección . El plano paralelo a la base que pasa por corta al triángulo axial en un segmento 
y al cono en un círculo 
, por la proposición I.4 de las Cónicas.
Si 
es la intersección de 
, entonces 
es perpendicular al triángulo axial, y como es un círculo de diámetro , por Euclides II.14 tenemos 
.
Como 
, 
es semejante a 
, y 
.
Pero entonces 
y por Euclides II.14, está en una circunferencia de diámetro .
Por tanto la sección es un círculo, como queríamos demostrar.
En la proposición I.9, Apolonio demuestra que las únicas secciones del cono oblicuo que producen círculos son las descritas en las proposiciones I.4 (las parelelas a la base) y I.5 (las antiparalelas).
La proyección de una circunferencia
Supongamos que, en una proyección estereográfica, el plano de proyección es tangente a la esfera en el punto 
opuesto al centro de la proyección.
Una circunferencia 
en la esfera que no pase por forma con el centro de la proyección un cono oblicuo, cuya base es la circunferencia y cuyo vértice es .
El plano del triángulo axial de ese cono corta a la esfera en un círculo máximo 
, a la circunferencia en 
y 
, y a la proyección de esa circunferencia en 
y 
.
Como está en el plano tangente a la esfera en , 
es recto, y como 
es un diámetro de la circunferencia , 
es recto.
Entonces 
es semejante a 
y 
.
Pero 
, porque los dos subtienden el mismo arco en la circunferencia , y por tanto 
y los segmentos y son antiparalelos respecto a 
.
Entonces, por la proposición I.5 de las Cónicas, la circunferencia en la esfera se proyecta en una circunferencia en el plano de proyección.
Usando este resultado no es difícil demostrar el recíproco, es decir, que a una circunferencia en el plano le corresponde en la proyección estereográfica una circunferencia en la esfera.
Por otro lado, las circunferencias sobre la superficie de la esfera que pasan por se proyectan sobre rectas en el plano de proyección, que son la intersección de ese plano con los planos en que están esas circunferencias. Y a cada recta en el plano de proyección le corresponde la circunferencia en la esfera que es el resultado de cortar la esfera con el plano que contiene al punto y a la recta.
La proyección estereográfica conserva los ángulos
Sea el centro de proyección, 
un punto en la esfera y 
dos tangentes a la esfera en .
El plano 
, que contiene al punto y a la recta 
, corta en la esfera una circunferencia que pasa por y por .
La tangente a esa circunferencia en es la recta , pues toca a la circunferencia y está en el mismo plano, y, por lo mismo la tangente 
a esa circunferencia en es la intersección del plano con el plano tangente a la esfera en .
La proyección desde de la recta es la intersección 
del plano y del plano de proyección, y será paralela a , porque el plano de proyección es paralelo al plano tangente a la esfera en .
De la misma forma el plano 
corta una circunferencia en la esfera, una tangente 
a esa circunferencia en el plano tangente en , y una recta 
en el plano de proyección.
El ángulo que forman en es el mismo que el que forman las tangentes y en , pues esas rectas son tangentes a las circunferencias en los puntos 
de intersección de las circunferencias y el ángulo de intersección es el mismo en los dos puntos.
Y como 
son paralelas a 
el ángulo entre y en la proyección de es el mismo que el ángulo en entre y 
.
Si es tangente en a una una curva sobre la esfera, es tangente en a la proyección de esa curva porque el plano es tangente a la curva sobre la esfera en el punto .
Por tanto en la proyección estereográfica se conservan los ángulos.
Fuente:
Gaussianos