Este es el número más grande jamás citado

Hablamos hoy sobre el mayor número que forma parte de una demostración matemática.

Piensa un número grande, muy grande, el número (con algún nombre o significado) más grande del que hayas visto, leído u oído algo. Quizás te haya venido a la cabeza un billón, que es un 1 seguido de 12 ceros. Sí, es grande, pero seguro que también has escuchado a alguien nombrar al trillón, que es un millón de billones (formado entonces por un 1 seguido de 18 ceros) y que, por tanto, es mayor que un billón.

Pero seguro que muchos habréis pensado en otros más grandes, como el googol (o gúgol). Este número está formado por un 1 seguido de 100 ceros y, según parece, inspira el nombre del buscador más famoso de internet (ya hemos comentado por aquí que los chicos de Google son bastante frikis).

Sí, este número es muy grande, mucho mayor que el número de átomos del Universo conocido, 10⁸⁰. Pero en realidad solamente tiene 101 cifras, por lo que es sencillo de expresar con la notación de exponentes habitual: 10¹⁰⁰.

Antes de seguir, es interesante aclarar que en este artículo hablamos de números naturales conocidos. Está claro que los números naturales son infinitos, por lo que, en teoría, podríamos escribir un número todo lo grande que quisiéramos, y después de escrito podríamos escribir otro mayor sumándole 1, multiplicándolo por 7 o elevándolo al cuadrado. La intención de este artículo es hablar de números de los cuales conozcamos su descripción y que tengan cierta relevancia dentro de las matemáticas.

Aclarado esto, volvamos a los números. Los conocemos mucho más grandes que el googol, y en este blog hemos hablado de ellos: algunos primos de Mersenne. Concretamente, el más grande que conocemos tiene más de 22 millones de dígitos. Como decíamos en ese artículo, un número descomunal…

…pero todavía se puede expresar de manera cómoda con la notación que solemos utilizar para los exponentes:

Este es el mayor número primo conocido hasta la fecha...

Con el protagonista del artículo de hoy no vamos a tener tanta suerte, es tan grande que la notación exponencial que conocemos se nos queda corta, por lo que necesitaremos una forma nueva de escribir las operaciones habituales. Hablamos del número de Graham.

Antes de hablar de él, vamos a hacer algún comentario sobre el contexto en el que apareció, aunque no daremos muchas explicaciones sobre el mismo. Nos situamos en la rama conocida como teoría de Ramsey y nos planteamos el siguiente problema:

Consideramos un hipercubo de dimensión n y conectamos cada pareja de vértices, obteniendo un grafo completo de 2ⁿ vértices. Después, coloreamos cada arista de negro o rojo. ¿Cuál es el menor valor de n para el que toda manera de colorear las aristas necesariamente nos proporciona un subgrafo completo de un solo color con cuatro vértices que forman un plano?

El problema es complicado de entender, y más aún de resolver, pero en este artículo no nos interesa profundizar en él. La cuestión es que Ronald Graham y Bruce Rothschild demostraron que el problema tenía solución, y dieron una cota de la misma. Más adelante, en un artículo no publicado, Graham rectificó esa cota al alza, que a partir de ahí (gracias también a que Martin Gardner habló sobre ella en su famosa columna en Scientific American) se comenzó a llamar número de Graham.
Bien, así que este número es una cota superior de un cierto valor que aparece en una demostración matemática, por lo que en cierto modo es importante. Pero, ¿cuál es exactamente ese número? Vamos a verlo.

Como comentábamos unos párrafos más arriba, la notación que usamos habitualmente para describir número naturales se nos queda corta, por lo que necesitamos una nueva forma de escribir números. Esta nueva operación se denomina notación flecha de Knuth, en honor a su inventor, Donald Knuth. Veamos en qué consiste.

Todos sabemos que cuando escribimos 4³ lo que hacemos es abreviar la operación 4 · 4 · 4. Es decir, multiplicamos la base, 4, el número de veces que dice el exponente, 3. Bien, pues vamos a cambiar la forma de escribir esa operación: ahora es 4↑3.

Comencemos a generalizar. Si con una flecha multiplicamos la base el número de veces que diga el exponente, ¿cómo definiríamos la operación que quedaría al poner dos flechas? Pues muy sencillo: dos flechas implican operar “flecha” el número de la izquierda la cantidad de veces que indique el número de la derecha. Es decir, lo siguiente:

4↑↑3 = 4↑(4↑4)

Es decir, operamos flecha el número 4 (izquierda) tres veces (derecha). ¿Y tres flechas? Pues, siguiendo el razonamiento anterior, tres flechas significan operar “dos flechas” el número de la izquierda la cantidad de veces que diga el de la derecha, que luego a su vez se pueden desglosar cada una de ellas en una sola flecha:

4↑↑↑3 = 4↑↑(4↑↑4) = 4↑↑(4↑(4↑(4↑4))) = …

Y así podríamos seguir poniendo flechas y definiendo cada una de las operaciones en función de la anterior: cuatro flechas se desglosarían en varias tres flechas, cinco flechas en varias cuatro flechas, y así sucesivamente.

Estas “operaciones flecha” hacen que los números que vamos obteniendo con cada una de ellas crezcan de una manera bestial conforme añadimos flechas. Para intentar que os hagáis una pequeña idea, aquí os dejo los valores de algunas de ellas. Tened en cuenta que he usado números muy pequeños, imaginad los resultados que podrían salir con números más grandes:

¡Qué bestia!

 
Bien, vayamos ya (por fin) a nuestro número de Graham, que llamaremos G. Graham lo describió de la siguiente forma:

· Construimos 3↑↑↑↑3, y lo llamamos g₁. Teniendo en cuenta que 3↑↑↑3 es una torre de exponentes que contiene 7625597484987 treses, no os digo nada sobre cuántos treses tiene este número g₁.

· Ahora, llamamos g₂ al número 3↑↑…(g₁ flechas)… ↑↑3. Como g₁ es enorme, colocar g₁ flechas es una barbaridad. Para calcularlo, habría que quitar una flecha y colocar tres treses con una flecha menos; después quitar otra flecha de cada una de las que han quedado y hacer las operaciones necesarias con una flecha menos, y así sucesivamente hasta que lleguemos a una flecha. Vamos, un número DESCOMUNAL.

· En el siguiente paso, llamamos g₃ al número 3↑↑…(g₂ flechas)… ↑↑3. Si g₂ era ya algo realmente grande, meter g₂ flechas da un número que no podemos ni imaginar.

· Continuamos así hasta g₆₄. Es decir, g₆₄=3↑↑…(g₆₃ flechas)… ↑↑3. Pues éste es G, el número de Graham. Si los anteriores eran grandes, enormes, descomunales, inimaginables…imaginad cómo puede ser éste…

…o mejor no, mejor no intentéis imaginarlo, es absolutamente imposible hacerse una mínima idea de la auténticamente bestial magnitud de este número de Graham.

¿Cuál fue el razonamiento que llevó a Ronald Graham a obtener semejante monstruosidad de número? Pues la verdad es que no lo sé, y sinceramente no me importa. Saber de la existencia de este número me llevó a conocer una nueva curiosidad matemática y también a descubrir una nueva manera de representar números muy muy grandes. Para mí, eso es suficiente.

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Fuente:

El PAÍS (ESPAÑA)

Por qué es importante el número primo con 9,3 millones de dígitos que se acaba de descubrir

Para los matemáticos, esta es una noticia enorme. Para los mortales, también es importante porque los números primos de millones de dígitos son vitales para la tecnología de cifrar datos y poner a prueba la capacidad de una computadora.

En el caso que aquí compete, el número encontrado es de 9.383.761 dígitos. Es decir: 10.223 *2^31172165 + 1.

Dicho de otra manera: 10.223 por 2 elevado a la potencia 31172165 más 1.

No sólo se trata de uno de los 10 números primos más grandes conocidos hasta ahora: con este hallazgo además se ha descifrado uno de los seis posibles números del famosoproblema de Sierpinski.

• ¿Por qué los números primos son tan importantes?

Pero vamos por partes.

El problema de Sierpinski fue presentado en 1960 por el matemático polaco Wacław Franciszek Sierpiński, a quien se le ocurrió preguntar cuál era el menor número natural posible, que fuera impar y que, al ser multiplicado por 2 elevado a la n + 1, su resultado no fuera un número primo.

(Recordemos que los números primos son aquellos mayores de 1 que sólo se pueden dividir por ellos mismos y por 1).

Hasta ahora sabemos -bueno, se sabe- que 78.557 es un número de Sierpinskiporque en 1962 el matemático estadounidense John Selfridge probó que al multiplicarlos por 2 elevado a la n + 1 nunca daba un número primo.

Eran seis, quedan cinco

Pero es el único comprobado hasta ahora. Los otros seis candidatos a pertenecer a este selecto grupo (10.223, 21.181, 22.699, 24.737, 55.459 y 67.607) no habían podido ser comprobados.

• Lo que quizás no sabías de los números

Esto se debe a que se necesita un ejército de personas armadas con potentes computadoras para resolver el problema. Si se utiliza una sola máquina, la solución puede demorar varios siglos.

Con la ayuda de miles de voluntarios el grupo PrimeGrid, un proyecto lanzado en 2010 para resolver el problema matemático, acaba de sacar de la contienda el menor posible hasta ahora: 10.223

Es decir, al multiplicar 10.223 por 2 elevado a la n + 1 dio un número primo.

Y no cualquier número, sino el gigantesco que anunciamos más arriba.

El voluntario húngaro Szabolcs Peter es el dueño de la computadora que realizó esta prueba, con lo cual es el descubridor del séptimo número primo más grande encontrado hasta ahora, con 9,3 millones de dígitos.

• Harald Helfgott, el matemático peruano que resolvió un problema de 271 años de antigüedad

Así que ahora quedan cinco en la contienda para resolver el problema de Sierpinski.

El artículo completo en la BBC.

Por qué es importante que hayan descubierto el número primo más largo de la historia

Un ordenador de la Universidad Central de Misouri da con un número clave para el futuro de la informática.

La cifra tiene más de 22 millones de dígitos. Es larguísima, casi eterna, y por lo tanto cuesta mucho de leer. Este rasgo, unido al hecho de que se trata de un número primo especial, la hace singular: Se prevé que sea clave para encriptar y proteger datos y que, por lo tanto, en un futuro tenga una gran aplicación en los servicios online para operaciones bancarias, compras por internet y mensajería. 

Los números primos solo pueden dividirse por uno o por sí mismos y, como demostró Euclides en el siglo IV a. C., son infinitos. Sin embargo, en el siglo XVII, un monje francés amigo de Descartes y amante de la música descubrió unos números primos especiales a los que se bautizó con su nombre: los primos Mersenne (N=2n-1). Hasta hace poco solo se conocían 48 números Mersenne. La nueva cifra hallada ahora es el 49 y su descubrimiento ha sido posible gracias al proyecto Great Internet Mersenne Prime Search que cuenta con miles de voluntarios. 

Más información en: La Vanguardia

Se encuentra el número primo con más dígitos del mundo: más de 17 millones

Los números primos de Marsenne, que llevan el nombre del monje francés Marin Mersenne, se definen por la ecuación N = 2n-1, donde N y n son ambos números primos. Se sabe que 48 números cumplen con esta ecuación. Y se sabe gracias a un proyecto colaborativo internacional que se llama Gran Búsqueda en Internet de los Primos Mersenne (GIMPS). Fundado en 1996, GIMPS ha encontrado los últimos 14 primos de Mersenne. En el proyecto están participando unas 360.000 computadoras que, juntas, son capaces de realizar hasta 150 billones de cálculos por segundo. 


Curtis Cooper, de la University of Central Missouri, ha confirmado el descubrimiento de un nuevo primo de Mersenne, que hace el número 48 de la lista actual de este tipo de números primos. Tiene 17425170 cifras (sobrepasando así en casi 5 millones el número de cifras del primo de Mersenne número 47 de la lista).

Cooper recibirá 3.000 dólares por su hallazgo. Pero premios mucho mayores están a la espera del que encuentre un primo con cien millones de dígitos o con mil millones de dígitos (150.000 y 250.000 euros, respectivamente).

¿Por qué son tan importantes los números primos de Marsenne? Porque son muy raros, porque suponen un gran desafío. Y también se emplean últimamente en criptografía.

Vía | ABC


Tomado de:

Xakata Ciencia

Factorizando números visualmente

Esta preciosa e ingeniosísima forma de visualizar los factores de los diferentes números es una auténtica maravilla: Animated Factorization Diagrams. ¡Warning! Podrías pasarte horas mirándolo.

Los números del 1 al 25, factorizados

¿Y qué sucede con los números primos? Como no se pueden descomponer nada más que en sí mismos y la unidad, la forma más simétrica de visualizarlos es formando un círculo.

De este modo se pueden distinguir los primos de los no-primos con solo mirar las imágenes, sin saber de qué número se trata. (En el dibujo de arriba, 7, 13, 19…)

Fuente:

Microsiervos

¿Desea ganar un millón de dólares? Números primos, Riemann y los mensajes cifrados...

Desde que a muy temprana edad en el colegio, entramos en contacto con las matemáticas, escuchamos a los profesores hablar de los números primos. Muchos de nosotros, seguramente nos recordemos a nosotros mismos, bastante pequeños, obteniendo los factores primos de un número (es decir, factorizando el número).

Factorización numérica

Recordemos que los números primos son los números naturales mayores que 1, cuyos únicos divisores son él mismo y el 1. Números primos son, por lo tanto, 2, 3, 5, 7, 11, etc. (la comunidad matemática suele excluir de la lista el numero 1). Adentrándonos poco a poco en esta selecta secuencia, nos topamos con la propia teoría de números y descubrimos propiedades de los números primos que se estudiaron hace más de 2000 años.

En el año 300 antes de Cristo, Euclides demuestra que hay infinitos números primos. Posteriormente, en el año 236 antes de Cristo, Eratóstenes descubre una criba que lleva su nombre, la cual nos proporciona un algoritmo para determinar los números primos menores a un número natural dado. Ya en el siglo XVIII, los estudios de ilustres matemáticos como Gauss y Legendre, conducen al teorema de los números primos, el cual nos da la cantidad de números primos menores a un número dado. Un poco más tarde, Leonard Euler relaciona los primos con los números enteros en una fórmula maravillosa. Entonces, sale a colación el nombre de un matemático: Bernhard Riemann.

En 1896, en una pequeña aldea de Alemania, nace Bernhard Riemann. Después de estudiar filosofía, teología y fundar una nueva geometría (la geometría de Riemann), formula por primera vez uno de los problemas más importantes de las matemáticas puras, la llamada “hipótesis de Riemann”.

A partir del trabajo de Euler, Riemann establece una conexión entre la función compleja Zeta de Riemann y el producto de Euler. Sea s > 1 un número complejo y p un número primo. Tenemos:

Hipótesis de Riemann

Si nos fijamos atentamente en esta fórmula, veremos que no es tan difícil de entender como pueda parecer a simple vista. Nos dice, que una determinada suma infinita es igual a una determinada multiplicación infinita. La suma infinita es la función Zeta de Riemann y la multiplicación infinita es el producto de Euler. Son los ceros no evidentes de esta función los que, en teoría, tienen la clave de cómo se distribuyen los números primos en la recta real, la clave para descubrir el patrón de estos misteriosos números, en definitiva, la clave para comprender algunos de los sistemas para el envío de mensajes secretos cifrados.

Los números primos son usados en algunos sistemas de cifrado de mensajes, como el RSA (Rivest, Shamir, Adleman). Este es un sistema de cifrado de los llamados de clave pública y funcionan de la siguiente forma: supongamos que usted quiere enviarme un mensaje secreto, un mensaje que únicamente yo pueda leer. Entonces yo le envío a usted un cofre con una cerradura, pero se lo envío abierto. Usted recibe el cofre, escribe el mensaje, lo mete dentro del cofre, lo cierra con la cerradura (ahora ni usted mismo puede leer el mensaje que ha escrito) y me envía el cofre a mi. Cuando me llega, lo abro con mi llave y leo el mensaje. La clave pública es el cofre con la cerradura abierta y la clave privada es la llave para abrir el cofre.

Algorítmo RSA

La seguridad de estos sistemas se basa en el problema de hallar los factores primos de un número entero muy grande. Básicamente, se escogen dos números primos muy grandes y se multiplican entre si, algo que es muy fácil para cualquier computador. Después de algunas operaciones sencillas, se obtiene una clave pública y otra privada para descifrar el mensaje. Lo que no es tan sencillo es hallar los dos factores primos originales que hemos multiplicado, es decir, factorizar el número. El ordenador podrá hacerlo, pero puede tardar miles de años en conseguirlo.

Por este motivo (y otros) son tan importantes los números primos, porque en ellos se basan de los sistemas de cifrado actuales. Demostrar que la hipótesis de Riemann es correcta, apenas influye en la práctica, ya que los sistemas suponen que la hipótesis es cierta y actúan en consecuencia, pero su demostración puede crear potentes demostraciones y herramientas matemáticas nuevas.

Sin embargo, el Instituto Clay de Matemáticas ofrece un millón de dólares a quien consiga demostrar la validez o no de la hipótesis de Riemann.

Sin darnos cuenta, hemos pasado de factorizar números en la escuela, a sistemas para enviar mensajes secretos, y hemos terminado en la posibilidad de ganar un millón de dólares, haciéndonos un hueco en la historia demostrando la hipótesis de Riemann, un problema que algunos consideran el mayor reto matemático al que se enfrenta el pensamiento humano.

¿Alguno de ustedes se anima a intentarlo?.

Fuente:

Hablando de Ciencia

Números Primos: El código oculto de la naturaleza

Especial: Matemáticas

Nadie ha sido capaz de encontrar dos números primos que dividan el siguiente número de 617 dígitos:

25.195.908.475.657.893.494.027.183.240.048.398.
571.429.282.126.204.032.027.777.137.836.043.662.
020.707.595.556.264.018.525.880.784.406.918.290.
641.249.515.082.189.298.559.149.176.184.502.808.
489.120.072.844.992.687.392.807.287.776.735.971.
418.347.270.261.896.375.014.971.824.691.165.077.
613.379.859.095.700.097.330.459.748.808.428.401.
797.429.100.642.458.691.817.195.118.746.121.515.
172.654.632.282.216.869.987.549.182.422.433.637.
259.085.141.865.462.043.576.798.423.387.184.774.
447.920.739.934.236.584.823.824.281.198.163.815.
010.674.810.451.660.377.306.056.201.619.676.256.
133.844.143.603.833.904.414.952.634.432.190.114.
657.544.454.178.424.020.924.616.515.723.350.778.
707.749.817.125.772.467.962.926.386.356.373.289.
912.154.831.438.167.899.885.040.445.364.023.527.
381.951.378.636.564.391.212.010.397.122.822.120.

720.357

Los números primos están escondidos en la naturaleza, pero los humanos los han usado de una manera espectacular, le dice a la BBC el matemático Marcus du Sautoy.

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Desde que los humanos evolucionamos en este planeta, hemos estado tratando de comprender el mundo que nos rodea.

Hemos intentado explicar la razón de que el mundo se vea y se comporte de la manera en que lo hace, para predecir que nos espera en el futuro. Y, al buscar las respuestas, hemos descubierto un código que le da sentido a la enorme complejidad que nos confronta: las matemáticas.

Al traducir la naturaleza a un código de números, hemos revelado estructuras y patrones subyacentes que controlan nuestro medio ambiente.

Pero no sólo eso. Al aplicar el código de la naturaleza, hemos podido cambiar nuestro entorno, hemos construido ciudades extraordinarias y desarrollado una tecnología asombrosa que ha dado como resultado el mundo moderno.

Zumbando discretamente en el planeta que habitamos hay un mundo invisible de números, patrones y geometría. Las matemáticas son el código que le da sentido a nuestro universo.

Entre los árboles

Desde siempre, la humanidad ha tratado de decifrar el código de la naturaleza.

En los bosques de Tennessee este verano, parte de este código literalmente brota de la tierra. El sonido de Nashville es usualmente la música country.

Pero cada 13 años, un coro de unos insectos que me han fascinado desde que me convertí en matemático ahoga las melodías de los banyos y los bajos por seis semanas.

La supervivencia de las cigarras o chicharras (cicadidae o cícadas-en su etapa ninfal) depende de explotar las extrañas propiedades de unos de los números más fundamentales de las matemáticas: los primos, números que son sólo divisibles por sí mismos y por 1.

Las cigarras, que en América del Norte sólo se encuentran en el este, aparecen periódicamente pero sólo emergen después de un número primo de años: 13, en el caso de la nidada de este año en Nashville.

Los bosques han estado en silencio durante 12 años desde la última invasión de estos bichos matemáticos en 1998, y los vecinos no serán molestados de nuevo hasta 2024.

Entre más primo...

La elección de un ciclo de 13 años no parece muy arbitraria. Hay otras dos nidadas en América del norte que tienen el mismo ciclo de vida, apareciendo en diferentes regiones en años distintos.

Además, hay otras 12 nidadas que aparecen cada 17 años.

Escoger el número correcto en el ciclo de vida es ventajoso.

Uno podría sencillamente descartar estas cifras calificándolas de aleatorias. No
obstante, es muy curioso que no haya cigarras con ciclos de vida de 12, 14, 15, 16 o 18 años.

Si uno las mira con ojos de matemático, emerge un patrón.

13 y 17 son indivisibles y eso le da a las cigarras una ventaja evolutiva, pues los números primos ayudan a evitar a otros animales con conductas periódicas.

Suponga, por ejemplo, que un depredador aparece cada seis años en el bosque. Una cigarra con un ciclo de ocho o nueve años coincidiría con el depredador mucho más a menudo que una con un ciclo de siete años.

La ventaja del primo

Estos insectos están aprovechando el código matemático para sobrevivir.
Las cigarras, sin darse cuenta, descubrieron los números primos usando tácticas evolucionistas, pero los humanos han llegado a entender que estos números no sólo son la clave de la supervivencia sino que son nada menos que las piedras angulares del código de las matemáticas.

Cada número se hace multiplicando números primos y de los números salen las matemáticas y de las matemáticas sale toda la ciencia.

Pero los humanos no se han limitado simplemente a observar la importancia de esos números para la naturaleza. Al entender su carácter fundamental y explorar sus propiedades, los humanos los han puesto literalmente en el corazón de los códigos que protegen en la actualidad los cibersecretos del mundo.

De compras
 
La criptografía que asegura nuestras tarjetas de crédito cuando compramos cosas en línea explota los mismos números que protegen a las cigarras de América del Norte: los primos.

Cada vez que usted envía su número de tarjeta de crédito a un sitio de internet, depende de los números primos para mantener sus detalles en secreto. Para codificar su número de tarjeta, su computadora recibe un número público N de la página web, el cual usa para hacer un cálculo con el número de su tarjeta de crédito.

Eso torna a sus datos en un mensaje cifrado que pueda viajar por el mundo virtual. Para decodificar el mensaje, el sitio web usa los números primos que dividen a N. A pesar de que N es público, los números primos que dividen a N son las claves desconocidas que revelan el secreto.

La razón de que sea tan seguro es que, a pesar de que es fácil multiplicar dos números primos, es casi imposible separarlos.

Enigma

Los números primos son los átomos de la aritmética. El hidrógeno y oxígeno del mundo de los números.

Al mismo tiempo, a pesar de su carácter fundamental, también son una de las mayores incognitas de las matemáticas.

Eso debido a que, aunque sabemos que los números primos siguen hasta el infinito, en el universo de los números, es casi imposible encontrar patrones que ayuden a predecir dónde encontrar el próximo número primo.

Hay una oferta de una recompensa de un millón de dólares para la persona que pueda revelar el secreto de estos números.

Aunque han sido la llave para descifrar tanto del código de la naturaleza, los números primos son un enigma tan grande en la actualidad como lo eran el día en que las cigarras de los bosques de Tennessee empezaron a aprovecharlos para poder sobrevivir.

Fuente:

El Mundo Ciencia

La regla del 37

Especial: Matemáticas

¿Se os ocurre un número más extraño que el 37? Pues resulta que este número tiene unas ciertas características que lo hacen realmente especial. En concreto me refiero a la regla de divisibilidad del 37.

En primer lugar, los números 111, 222, 333, 444, 555, 666, 777, 888 y 999 son todos divisibles por 37. No sólo eso, sino que si el número es de la forma AAA, se cumple que:

Esto se debe a que

Además, entre cada uno de estos números, tan sólo hay otros dos que sean divisibles por 37, es decir, para saber si un número es divisible por 37, nos bastaría con sumarle o restarle 37 y comprobar si el resultado es de la forma AAA. Por ejemplo, el 542 no puede se divisible por 37 ya que está demasiado cerca del 555, pero el 518 si lo es ya que

Por otra parte, entre los números de dos cifras sólo son divisibles por 37 el propio 37 y el 74 .

Otra característica, es que si un número ABC es múltiplo de 37, también lo serán los que obtengamos rotando sus cifras, es decir, el BCA y el CAB. Por ejemplo, son múltiplos de 37 tanto el 740, como el 407 y el 074.

Otra posibilidad para comprobar si un número de tres cifras (ABC) es divisible por 37 es realizar la resta y verificar si el resultado es múltiplo de 37. Por ejemplo, para el 592: , con lo que comprobamos que es múltiplo de 37.

¿Y para los números de cuatro?

Sabemos que el 999 es múltiplo de 37, lo que quiere decir que también lo es el 1036. Si sumamos la cifra de los millares, obtendríamos el 37 que buscamos. En resumen, para los números de cuatro cifras, podemos aplicar las reglas originales siempre que antes sumemos el primer dígito (el de los millares) a los otros tres. Por ejemplo, el 4662 es múltiplo de 37 porque (compruébalo y verás que )

¿¡Y para los de cinco o más cifras!?

Simplemente (¿he dicho simplemente?) se trata de generalizar la idea. Tan sólo hay que sumarlos en bloques de tres en tres, de izquierda a derecha, hasta que quede un número de tres cifras.

Supongamos que estoy tan aburrido que me apetece comprobar sin calculadora si el 1.978.834 es múltiplo de 37.

1. Lo descompondría en bloques de tres cifras (rellenando con cifras a la izquierda si hace falta): 001, 978 y 834.
2. Sumaría los bloques:
3. Repetiría el proceso: http://www.blogger.com/post-create.g?blogID=32487857
4. Aplicaría alguna de las reglas anteriores ó

¡Pero lo que realmente tiene mérito es atreverse a aplicarlo y explicarlo en Cifras y Letras!

Fuente:

Errante Gris

Infinitos primos

Jueves, 13 de mayo de 2010

Infinitos primos

De vez en cuando es bueno releer a los clásicos, porque, parafraseando a Newton, si vemos más lejos es debido a estar sentados sobre los hombros de gigantes. Al grano, he releido una demostración de Euler sobre la infinitud del conjunto de los números primos, y, aunque es bien conocida, nos resultará provechoso refrescar nuestra memoria.

La demostración partió de sus estudios sobre la serie armónica, más bien de las consideraciones sobre su divergencia. Había probado que

no estaba acotada. Entonces, supuso que el número de primos era finito, pongamos p₁,p₂,p₃,…,p_k. Si esto era así cualquier numero n>1 se podía escribir como producto de potencias estos primos

Por tanto, si a es el mayor de todos los exponentes, resulta

Pero cada suma entre paréntesis es una suma parcial de una serie geométrica de razón menor que uno, luego

Así que podemos acotar aún más la suma parcial del principio

Euler acababa de encontrar una conclusión extraña, la suposición de que el número de primos fuese finito implicaba que la serie armónica estaba acotada. Contradición. Al igual que Euclides había demostrado que suponer un numero finito de primos no llevaba a nada bueno.

Esta demostración conduce al problema en la actualidad más famoso de las matemáticas, pero eso es otra historia.

Fuente:

La Aventura de las Matemáticas

Por qué el 1 dejó de ser un número primo

Viernes, 19 de febrero de 2010

Por qué el 1 dejó de ser un número primo

Supongamos que tenemos que enviar un mensaje en el interior de un pequeño baúl. Afortunadamente podemos comprar un candado inviolable marca ACME. Así que se lo ponemos a nuestro baúl y enviamos el mensaje a nuestro destinatario, quien naturalmente no puede abrir el baúl, a menos que le enviemos la llave. Pero claro, si le enviamos la llave, y ésta y el baúl son interceptados, el secreto dejaría de secreto. Parece que estamos en un buen lío. ¿Alguna idea?

Cinco minutos para pensar

Solución: Cuando el destinatario reciba el baúl, le pone otro candado inviolable marca ACME y nos devuelve la caja con los dos candados. Al recibirlo, le quitamos nuestro candado y se lo devolvemos. Cuando él lo vuelva a recibir, lo único que tiene que hacer es quitarle su candado y leer el mensaje. Si durante el proceso, el baúl es interceptado, el mensaje estará a salvo ya que el ladrón no ha tenido acceso a las llaves.

Como vemos la clave de todo este proceso es que los usuarios legítimos tengan un procedimiento sencillo para abrir o cerrar el baúl -la llave-, pero los ladrones lo tengan crudo.

Pues así es, más o menos, como se codifican y transmiten hoy en día los mensajes secretos. Para hacerlo, se utilizan unas funciones, que en matemáticas se las conoce con el nombre de funciones trampa, que no son más que funciones cuyo cálculo directo es sencillo (por ejemplo, la multiplicación), pero en la que el cálculo de la función inversa es muy complejo, es decir, involucra un número muy elevado de operaciones. (Por ejemplo, la descomposición en factores primos)

Ejemplo: Con lápiz y papel multiplicad 1756 x 5673. Tratad ahora de descomponer ahora en factores primos el número 357462.

Así pues los pasos a seguir son:

1. El mensaje se convierte en un número (n). Este procedimiento puede ser público (i.e. conocido por todo el mundo). Por ejemplo, asignamos a la A el número 11, a la B el 12, y así sucesivamente.
2. A continuación el emisor multiplica el número resultante (n) por un número primo (p) gigantesco (y cuando hablo de gigantescos me refiero a números de más de 100 cifras) y envía el producto (np) al receptor.
3. El receptor multiplica el número recibido (np) por su propio número primo, también gigantesco, (q) y devuelve el resultado (npq) al emisor.
4. El emisor lo divide por su número primo (p) y devuelve el resultado (nq) al receptor
5. El receptor solo tiene que dividir por su propio número primo (q) para obtener el número original (n).
6. Como el procedimiento utilizado para convertir el mensaje en el número es público, el receptor no tiene ninguna dificultad en recuperar el mensaje.

Naturalmente la clave de todo este procedimiento se basa en ser capaces de obtener números primos gigantescos, lo que no es tarea fácil. También es evidente que el método será seguro mientras no seamos capaces de factorizar un número grande de forma rápida.

Y para estar seguros de que todo funciona, hay que dotar a todo el proceso del correspondiente armazón que nos asegure que no se va a ir todo al garete a la mínima de cambio. De ello se ocupa una rama de las matemáticas que se denomina teoría de números y los tipos (y tipas) que se han dedicado a este campo utilizan para generar y para probar si un número es o no primo una serie de funciones, como por ejemplo la función de Euler, que tienen la particularidad de que algunas de las propiedades que presentan al aplicarse a los números primos, no se cumplen con el número 1. Así que los matemáticos tuvieron las siguientes opciones:

• Opción (a). Añadir la coletilla 'salvo para el número 1' a todas las propiedades que verificasen los números primeros, salvo el 1.
• Opción (b). Declarar solemnemente que el número 1 ya no es un número primo.

Y como los matemáticos son unos fanáticos del principio de economía, pues su elección fue fácil.

Fuente:

Universitas Universitatis