Infinitos primos

Jueves, 13 de mayo de 2010

Infinitos primos

De vez en cuando es bueno releer a los clásicos, porque, parafraseando a Newton, si vemos más lejos es debido a estar sentados sobre los hombros de gigantes. Al grano, he releido una demostración de Euler sobre la infinitud del conjunto de los números primos, y, aunque es bien conocida, nos resultará provechoso refrescar nuestra memoria.

La demostración partió de sus estudios sobre la serie armónica, más bien de las consideraciones sobre su divergencia. Había probado que

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots$

no estaba acotada. Entonces, supuso que el número de primos era finito, pongamos p₁,p₂,p₃,…,p_k. Si esto era así cualquier numero n>1 se podía escribir como producto de potencias estos primos

$n=p_1^{a_1}\cdot p_1^{a_1}\cdot p_2^{a_2}\cdot\cdot\cdot p_k^{a_k}$

Por tanto, si a es el mayor de todos los exponentes, resulta

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}\leq (1+\frac{1}{p_1}+\ldots+\frac{1}{p_1^a})\cdot$

$\cdot(1+\frac{1}{p_2}+\ldots+ \frac{1}{p_2^a})\cdot\cdot\cdot(1+\frac{1}{p_k}+ \ldots+\frac{1}{p_k^a})$

Pero cada suma entre paréntesis es una suma parcial de una serie geométrica de razón menor que uno, luego

$(1+\frac{1}{p_i}+\ldots+ \frac{1}{p_i^a})< \frac{1}{1-1/p_i},\forall i=1,...,k.$

Así que podemos acotar aún más la suma parcial del principio

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}< \frac{1}{1-1/p_1}\cdot\frac{1}{1-1/p_2}\cdot\cdot\cdot\frac{1}{1-1/p_k}$

Euler acababa de encontrar una conclusión extraña, la suposición de que el número de primos fuese finito implicaba que la serie armónica estaba acotada. Contradición. Al igual que Euclides había demostrado que suponer un numero finito de primos no llevaba a nada bueno.

Esta demostración conduce al problema en la actualidad más famoso de las matemáticas, pero eso es otra historia.

Fuente:

La Aventura de las Matemáticas

Conocer Ciencia

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13 de mayo de 2010

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