Por qué el 1 dejó de ser un número primo

Viernes, 19 de febrero de 2010

Por qué el 1 dejó de ser un número primo

Supongamos que tenemos que enviar un mensaje en el interior de un pequeño baúl. Afortunadamente podemos comprar un candado inviolable marca ACME. Así que se lo ponemos a nuestro baúl y enviamos el mensaje a nuestro destinatario, quien naturalmente no puede abrir el baúl, a menos que le enviemos la llave. Pero claro, si le enviamos la llave, y ésta y el baúl son interceptados, el secreto dejaría de secreto. Parece que estamos en un buen lío. ¿Alguna idea?

Cinco minutos para pensar

Solución: Cuando el destinatario reciba el baúl, le pone otro candado inviolable marca ACME y nos devuelve la caja con los dos candados. Al recibirlo, le quitamos nuestro candado y se lo devolvemos. Cuando él lo vuelva a recibir, lo único que tiene que hacer es quitarle su candado y leer el mensaje. Si durante el proceso, el baúl es interceptado, el mensaje estará a salvo ya que el ladrón no ha tenido acceso a las llaves.

Como vemos la clave de todo este proceso es que los usuarios legítimos tengan un procedimiento sencillo para abrir o cerrar el baúl -la llave-, pero los ladrones lo tengan crudo.

Pues así es, más o menos, como se codifican y transmiten hoy en día los mensajes secretos. Para hacerlo, se utilizan unas funciones, que en matemáticas se las conoce con el nombre de funciones trampa, que no son más que funciones cuyo cálculo directo es sencillo (por ejemplo, la multiplicación), pero en la que el cálculo de la función inversa es muy complejo, es decir, involucra un número muy elevado de operaciones. (Por ejemplo, la descomposición en factores primos)

Ejemplo: Con lápiz y papel multiplicad 1756 x 5673. Tratad ahora de descomponer ahora en factores primos el número 357462.

Así pues los pasos a seguir son:

1. El mensaje se convierte en un número (n). Este procedimiento puede ser público (i.e. conocido por todo el mundo). Por ejemplo, asignamos a la A el número 11, a la B el 12, y así sucesivamente.
2. A continuación el emisor multiplica el número resultante (n) por un número primo (p) gigantesco (y cuando hablo de gigantescos me refiero a números de más de 100 cifras) y envía el producto (np) al receptor.
3. El receptor multiplica el número recibido (np) por su propio número primo, también gigantesco, (q) y devuelve el resultado (npq) al emisor.
4. El emisor lo divide por su número primo (p) y devuelve el resultado (nq) al receptor
5. El receptor solo tiene que dividir por su propio número primo (q) para obtener el número original (n).
6. Como el procedimiento utilizado para convertir el mensaje en el número es público, el receptor no tiene ninguna dificultad en recuperar el mensaje.

Naturalmente la clave de todo este procedimiento se basa en ser capaces de obtener números primos gigantescos, lo que no es tarea fácil. También es evidente que el método será seguro mientras no seamos capaces de factorizar un número grande de forma rápida.

Y para estar seguros de que todo funciona, hay que dotar a todo el proceso del correspondiente armazón que nos asegure que no se va a ir todo al garete a la mínima de cambio. De ello se ocupa una rama de las matemáticas que se denomina teoría de números y los tipos (y tipas) que se han dedicado a este campo utilizan para generar y para probar si un número es o no primo una serie de funciones, como por ejemplo la función de Euler, que tienen la particularidad de que algunas de las propiedades que presentan al aplicarse a los números primos, no se cumplen con el número 1. Así que los matemáticos tuvieron las siguientes opciones:

• Opción (a). Añadir la coletilla 'salvo para el número 1' a todas las propiedades que verificasen los números primeros, salvo el 1.
• Opción (b). Declarar solemnemente que el número 1 ya no es un número primo.

Y como los matemáticos son unos fanáticos del principio de economía, pues su elección fue fácil.

Fuente:

Universitas Universitatis