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4 de junio de 2018

Combinatorio, dados y probabilidades

¿Cómo se puede hacer un calendario perpetuo con dos dados de seis caras?

Los datos del acertijo final de la semana pasada parecen muy insuficientes para sacar cualquier conclusión; sin embargo, hay pocos desarrollos del torneo de ajedrez imaginario que den lugar a un descenso del 5% en el porcentaje de victorias de Kaspárov. Reproduzco la acertada respuesta de nuestro “usuario destacado” Manuel Amorós:

Teniendo en cuenta que el 5% es 1/20, tendríamos que hallar dos fracciones propias que restadas dieran como resultado 1/20. Seguramente, el primer par de fracciones que cumplen son 1/4 y 1/5, ya que 1/4 – 1/5 = 1/20. Pero estas proporciones no se ajustan al hecho de que Kaspárov tenía ventaja inicial sobre su rival. El siguiente par de fracciones serían 4/5 y 6/8: 4/5 – 6/8 = 1/20
Es decir, que una posible respuesta es que Kaspárov empezó ganando 4 de 5 partidas (descontadas las tablas) y después ganó dos partidas y perdió una, reduciéndose de ese modo su porcentaje de triunfos en un 5% exacto.

El problema de las tres tarjetas (una con dos caras rojas, una con dos caras blancas y una con una cara roja y otra blanca) sigue propiciando un animado debate (ver comentarios de la semana pasada). Como señalé en el artículo anterior, es fácil pensar que si nos muestran una cara roja, la probabilidad de que la otra cara también sea roja es 1/2; pero en realidad hay tres posibilidades equiprobables: que nos muestren una cara de la tarjeta RR, que nos muestren la otra cara de RR o que nos muestren la cara roja de la tarjeta RB; en dos de estos tres casos la otra cara es roja, por tanto la probabilidad pedida es 2/3.

La combinatoria de los dados

La probabilidad de un suceso expresa la relación entre los casos favorables y los casos posibles. Decimos que la probabilidad de sacar un 5 al lanzar un dado es 1/6 porque el dado tiene seis caras (casos posibles) y solo en una de esas caras hay un 5 (casos favorables). Este es un ejemplo trivial, pero a menudo el cálculo de probabilidades implica la resolución previa de problemas combinatorios no siempre sencillos para determinar el número de casos posibles y de casos favorables.

La probabilística de un solo dado es trivial, pero con dos dados la cosa empieza a complicarse y es fácil incurrir en errores de apreciación. Al lanzar dos dados y sumar sus puntos podemos obtener las puntuaciones comprendidas entre 2 y 12: once posibilidades, por lo que podría parecer que la probabilidad de sacar una puntuación concreta, por ejemplo 7, es 1/11; pero este razonamiento es erróneo, pues las once posibilidades no son equiprobables; hay una sola forma de obtener 12 puntos (6-6) y seis formas de obtener 7 (6-1, 5-2, 4-3, 3-4, 2-5, 1-6). Cada una de las seis caras de un dado puede emparejarse con cada una de las seis caras del otro, por lo que hay 6 x 6 = 36 parejas posibles, de la que solo una da 12 puntos y seis dan 7 puntos; por tanto, la probabilidad de obtener 12 puntos es 1/36 y la de sacar 7 puntos es 6/36 = 1/6.

Si en vez de puntos en las caras de los dos dados figuraran los dígitos del 1 al 6, adosándolos podríamos formar los números 11 a 16, 21 a 26, 31 a 36…, 61 a 66. ¿Podemos numerar las caras de dos dados de manera que adosándolos convenientemente se puedan formar todos los días del mes? Hay que usar siempre los dos dados, expresando los números de una sola cifra de la forma 01, 02, etc.
Naturalmente, la cosa se complica a medida que aumenta el número de dados. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un póquer a la primera con los dados de póquer (valga la redundancia)? ¿Y la de sacar un repóquer?

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