La ley de la selva siempre sigue las mismas reglas matemáticas

Los grandes ecosistemas del planeta repiten el mismo patrón que relaciona la biomasa de depredadores y presas.

Las matemáticas son una abstracción humana, pero gobiernan la vida salvaje del planeta. Ya sea en la sabana o en las profundidades del mar, los ecosistemas muestran siempre los mismos patrones matemáticos que relacionan la biomasa de depredadores con el de presas. Un monumental estudio con miles de especies demuestra cómo el aumento de comida disponible (presas) no lleva aparejado un aumento igual del número de depredadores. Y el patrón se reproduce casi de manera universal.

En la Tierra hay una gran variedad de ecosistemas marinos, terrestres, lacustres, de montaña, selváticos o desérticos. Unos están integrados por unas pocas especies, como en las cumbres alpinas o las fumarolas de las simas atlánticas. Otros son exuberantes, como la Amazonia brasileña o la reserva del Ngorongoro, en Tanzania. A pesar de tanta diversidad, todos pueden representarse en forma de pirámide, con una base, generalmente biomasa vegetal, y sucesivas capas que se alimentan de la precedente, como los herbívoros de aquella base y los grandes depredadores felinos de estos últimos.

La lógica y buena parte de las investigaciones en ecología dicen que a más biomasa en la base, más cantidad de energía en forma de comida para los de arriba: si hay más pasto en la sabana, habrá más gacelas y ñus, y si hay más gacelas y ñus, habrá más leones. Es decir, el tamaño de la pirámide puede aumentar, pero no cambia su forma. Sin embargo, no es así. La relación no es lineal, sigue en realidad una ley de potencia que es sublineal: a más gacelas y ñus, habrá 0,74 (o 3/4) más de leones. Y se ha comprobado en todos los ecosistemas donde ambos conviven. Desde el secarral del desierto del Kalahari hasta el rico cráter del Ngorongoro, pasando por el delta del Okavango o la reserva Kruger, siempre se repite esa ley de potencia.

"Una ley de potencia es una función matemática simple", dice el investigador de la Universidad McGill (Canadá) y principal autor del estudio, Ian Hatton. En ecología, se asumía que el exponente de esa ley de potencia era 1, lo que significa que cuando se dobla las presas [en número o densidad], también se dobla el de los depredadores. "Sin embargo, hemos comprobado un exponente cercano a los 3/4, lo que es menos que 1", añade el científico canadiense. Esto supone que si aumentan las gacelas, también lo harán los leones pero no en la misma proporción.

Lo que han descubierto Hatton y sus colegas es que esta ratio no es solo cosa de los leones. En el caso de las hienas y sus presas es de 0,74. En el de los tigres del sudeste asiático, también del 0,74. De los lobos de norteamericana, del 0,72... y así hasta una treintena de grandes depredadores y los centenares de especies de las que se alimentan. Tal y como muestran en un artículo publicado en Science, allí donde aumenta la biomasa de presas, la ratio depredador-presas disminuye.

El fenómeno, además, no es exclusivo de los grandes depredadores. Los investigadores repasaron más de 1.000 estudios sobre poblaciones ecológicas, densidad de especies, número de ejemplares, relaciones entre depredadores y presas... En total obtuvieron datos de 2.260 ecosistemas y unas 1.500 áreas geográficas. Hay estudios sobre grandes mamíferos, invertebrados, zooplancton que depreda el fitoplancton, invertebrados y plantas... En la práctica totalidad, a excepción de algunas comunidades de peces y protistas, la relación entre depredadores y presas siempre sigue esa ley de potencia elevado a 3/4.

"Estamos impresionados. Se trata de un patrón asombroso", dice en una nota el investigador de la Universidad de Guelph, Kevin McCanny, coautor del artículo. Sea el ecosistema que sea el observado, la cantidad relativa de biomasa de presas y depredadores puede ser predicha "por una simple función matemática", comenta.

Pero aquí no acaba la relación de la naturaleza con las matemáticas.
El artículo completo en:

El País 

Usain Bolt desarrolla más potencia que las primeras Harley-Davidson

Un estudio describe con parámetros físicos el desempeño sobre la pista del hombre más rápido del mundo el día que corrió los 100 metros en 9,58 segundos.

De Usain Bolt se han dicho muchas cosas, casi tantas como sus innumerables triunfos en mundiales y Juegos Olímpicos. Y en el caso de las estrellas de la velocidad, al periodismo deportivo le fascina el recurso a las fuerzas de la naturaleza: de aquel hijo del viento a rayos y huracanes con el jamaicano. Ahora, unos investigadores mexicanos nos aportan nuevos recursos para hacer comparaciones bien ancladas en la realidad física. Por ejemplo, que la potencia del plusmarquista es superior a la de las primeras motocicletas de Harley-Davidson: tres caballos de potencia.

En realidad, Bolt llega más lejos, con sus 2.619,5 vatios de potencia máxima (3,5 caballos), alcanzada cuando aún no había alcanzado la mayor velocidad de su carrera más histórica, la que le llevó a establecer el récord mundial de los 100 metros en 9,58 segundos. Los investigadores de la facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Autónoma de México aprovecharon las mediciones con láser de la posición del velocista en el Estadio Olímpico el 16 de agosto de 2009. Aquel día llegó a correr a 44 kilómetros por hora.

Hace unas horas, Bolt aseguraba que está “limpio”, después de varios positivos por dopaje detectados entre colegas y compatriotas. Y que sólo toma “vitaminas”, como todos los deportistas de élite. Y parece natural que lo haga, dado que tiene que luchar contra sí mismo cada vez que salta a la pista. Sus propias condiciones físicas, sus 195 centímetros de altura y 86 kilos de peso, son también su mayor lastre: tiene un coficiente de resistencia de 1,2, muy superior al del resto de las personas, según este estudio publicado en el European Journal of Physics.

Por este motivo, más del 92% de la energía generada por el atleta en su desempeño —desarrolló 81,5 kilojulios de energía en la carrera— se dedicó a hacer frente a la resistencia, mientras que sólo el 7,8% de la energía la empleó en el movimiento. “El coeficiente de resistencia destaca la extraordinaria capacidad de Bolt. Ha sido capaz de romper varios récords a pesar de no ser tan aerodinámico como un cualquier otro hombre. La enorme cantidad de esfuerzo que Bolt desarrolló en 2009, y la cantidad que fue absorbida por la fricción, es verdaderamente extraordinaria”, asegura en una nota Jorge Hernández, coautor del estudio.

“Todo esto es debido a la barrera física impuesta por las condiciones en la Tierra. “Si Bolt corriera en un planeta con una atmósfera mucho menos densa, podría alcanzar registros de proporciones fantásticas”, aventura Hernández. Además, los investigadores creen que, aunque no hubiera contado con viento a favor aquel día (+0,9 metros por segundo), también habría obtenido una marca de escándalo: 9,68 segundos.

Fuentes:

Materia 

Terra Noticias

"Energía y Potencia" para dummies

Energía y potencia son dos conceptos que hemos utilizado infinidad de veces en Nergiza, aunque parecen dos definiciones sencillas, nos hemos dado cuenta que incluso los medios de comunicación las confunden, así que vamos a tratar de explicarlos de forma que todo el mundo los pueda entender.

Lea el artículo completo en:

Nergiza

La escala de Richter y un error habitual

En los últimos tiempos muchos han sido los terremotos que han sacudido de forma más o menos violenta ciertas zonas de nuestro planeta. Seísmos como el de Lorca, Haití, Japón o el de Jaén y Granada de hace unos días (y muchos otros que se producen diariamente) han provocado múltiples destrozos y, lo que es peor, multitud de víctimas en muchos casos.

Los medios de comunicación se han encargado de darnos información sobre estos sucesos, pero prácticamente todos ellos (al menos todos los que he podido consultar) han cometido el mismo error: meter la palabra grados cuando hablan de la escala de Richter. Y no solamente son ellos quienes se confunden, sino que prácticamente todos lo hacemos con relativa frecuencia. Vamos a ver qué tipo de escala es esta escala de Richter, y también la llamada escala sismológica de magnitud de momento, y por qué esto de los grados es un error, y ya aprovecharemos para dar una idea de la gravedad de un terremoto en función del valor que tenga asociado en dichas escalas.

(Único edificio que colapso durante el terremoto de Lorca de 2011.
Fuente: Materia Ciencia.)

Comencemos por el principio: cuando hablamos de la magnitud de un terremoto es incorrecto hablar de “grados”. Es decir, no es correcto decir “un terremoto de magnitud 5,2 grados en la escala de Richter”, lo correcto sería “un terremoto de magnitud 5,2 en la escala de Richter”.

La razón es muy sencilla: la escala de Richter no es una escala graduada, por lo que es incorrecto asignarle la palabra “grados” a sus valores. Una escala graduada es una escala en la que se toman dos valores, elegidos de manera arbitraria, y se divide en 100 una cierta cantidad de partes la distancia entre ellos, tomando cada una de esas partes como “un grado”.

Ése es el caso, por ejemplo, de los grados Celsius. Un grado Celsius es la centésima parte de la distancia entre la temperatura del punto de fusión del agua a 1 atmósfera y la temperatura del punto de ebullición del agua a 1 atmósfera. Es decir, se toman esos dos valores (totalmente arbitrarios, se podrían haber tomado otras temperaturas relacionadas con el agua, o con cualquier otra sustancia), se divide entre 100 la distancia entre ellos y se tomo el resultado como “1 grado”. Por contra, no es el caso de los Kelvin, que tampoco deben llevar con ellos la palabra “grado”, al ser una escala de temperatura absoluta, no relativa a dos valores arbitrarios como la Celsius.

Bien, ¿y por qué la de Richter no es una escala graduada? Pues porque mide la magnitud de la energía liberada en un terremoto, por lo que sus valores no están asociados a dos puntos elegidos arbitrariamente, sino que son, por decirlo de alguna manera, absolutos.

Por todo ello es erróneo incluir la palabra “grados” junto a la magnitud de un terremoto en la escala de Richter…pero es que también debería considerarse erróneo decir “…en la escala de Richter” en la gran mayoría de los casos. La escala de Richter se creó para medir la magnitud de los terremotos que ocurrían exclusivamente en la falla de San Andrés, en California. La escala que se usa para el resto de zonas del planeta se llama escala sismológica de magnitud de momento, que es una escala de estilo a la de Richter pero mucho mejor para valores altos (la de Richter, en muchas ocasiones, daba resultados erróneos por encima de 6,9; la de magnitud de momento arregla ese problema). Por cierto, hasta esos valores, sobre 6,8-6,9, las dos escalas coinciden.

¿Y qué tipo de escalas son ésta de Richter y de magnitud de momento? Pues son escalas logarítmicas. Eso significa que en esas escala un valor 6 no es el doble que 3, sino 1000 veces más. Sería algo así (no exactamente, pero nos sirve para hacernos una idea):

• Un terremoto de magnitud 1 libera una cantidad de energía igual a de energía.
• Un terremoto de magnitud 2 libera una cantidad de energía igual a de energía.
• Un terremoto de magnitud 3 libera una cantidad de energía igual a de energía.
• …
• Un terremoto de magnitud 6 libera una cantidad de energía igual a de energía.

y así sucesivamente.

Por tanto, la próxima vez que veáis una noticia relacionada con un terremoto debéis saber que si hablan de grados estarán cometiendo un error, si nombran la escala de Richter posiblemente también y, lo más importante, que en este caso 4 no es el doble de 2, sino mucho más grande.

---

Fuentes y enlaces para saber más:

• Los inexistentes grados Kelvin y grados Richter en el blog de MiGUi.
• Porque 8 no es siempre el doble de cuatro en Mati y sus Mateaventuras.
• Escala sismológica de Richter en la Wikipedia en español.
• Escala sismológica de magnitud de momento en la Wikipedia en español.
• Sobre la intensidad y la magnitud de los terremotos en Microsiervos.
• Terremotos en grado 361.

Fuente:

Gaussianos

Fibonacci, la representación de Zeckendorf y la conversión entre kilómetros y millas

La sucesión de Fibonacci, llamada así por el matemático italiano Leonardo de Pisa, Fibonacci (que la presentó en su obra Liber Abaci), es posiblemente una de las sucesiones numéricas más conocidas por los matemáticos y los no matemáticos. Y no es para menos, dada la gran cantidad de propiedades interesantes que posee y la manía que tiene de aparecer en los lugares más insospechados, además de por su relación con , el número áureo. Pero es posible que un objeto matemático como éste nunca sea totalmente conocido, siempre esconda algo. Hoy vamos a hablar de una interesante propiedad de esta sucesión que es poco conocida y que está relacionada con representaciones de números enteros positivos.

Sabemos que todo entero positivo puede representarse de forma única como suma de potencias de 2. De hecho es en esta propiedad en la que se basa el sistema de numeración binario, en el que cada número entero positivo se representa de una única forma con una sucesión de ceros y unos, correspondiendo un 1 a cada potencia de 2 que aparece en la representación y un 0 a cada potencia de 2 que no aparece. Por ejemplo, el 46 se representa de forma única como suma de potencias de 2 de la forma

por lo que 46 en binario es:

 
¿Qué tiene que ver esto de las representaciones de números enteros con los números de Fibonacci? Para responder a esta pregunta primero tenemos que introducir en esta historia al médico y matemático belga Edouard Zeckendorf, que además fue miembro del ejército belga y prisionero de guerra de 1940 a 1945. Él fue quien demostró el siguiente resultado, conocido como teorema de Zeckendorf:

Teorema de Zeckendorf:
Todo número entero positivo puede representarse de forma única como suma de números de Fibonacci (esto es, elementos de la sucesión de Fibonacci) distintos, de tal forma que dicha representación no contiene dos números de Fibonacci consecutivos.

Esta representación se denomina representación de Zeckendorf del número entero positivo en cuestión.

Vamos, que podríamos representar cada número entero positivo de una forma parecida a como lo hacemos con las potencias de 2 pero con números de la sucesión de Fibonacci, que, por cierto, no está de más recordar

asignando un 1 a una posición si el número de Fibonacci correspondiente aparece en la representación (como , para evitar problemas nos quedamos uno de ellos nada más, , para las representaciones) y un 0 a una posición si el número de Fibonacci correspondiente no está en ella. En el ejemplo que aparece un poco más adelante se verá más claro todo eso.

Zeckendorf publicó su resultado en The Fibonacci Quarterly en 1972, aunque al parecer lo conocía desde 1939. Puede accederse gratuitamente a su artículo en A generalized fibonacci numeration (aquí podéis ver las correcciones de algunas erratas que contenía dicho artículo).

¿Cómo encontramos la representación de Zeckendorf de un número entero positivo ? Pues, a priori es muy sencillo:

Tomamos el número de Fibonacci más grande de entre los que son menores que y se lo restamos a . Si queda cero es que el propio era un número de Fibonacci, y si no es así repetimos el proceso las veces que sea necesario hasta que una de las restas dé cero.

Vamos a hacerlo también con el 46, del que hace un rato calculamos la expresión en binario:

• Como 46 no está en la sucesión de Fibonacci, su representación de Zeckendorf no es él mismo. Tomamos el número de Fibonacci más grande que sea menor que 46, que es el 34, que por tanto estará en la representación.
• Restamos: 46-34=12. Como 12 no es un número de Fibonacci buscamos el mayor elemento de la sucesión que sea menor que él, que es el 8. Entonces este 8 también estará en la representación.
• Restamos: 12-8=4. Como 4 no está en la sucesión, buscamos el mayor número de Fibonacci que sea menor que él, que es el 3, que por tanto también estará en la representación.
• Restamos: 4-3=1, que sí es un número de Fibonacci, por lo que también hay que tomarlo.
• La representación queda como sigue:
• 
  
  

Cuanto menos curioso.
 
Esta representación de Zeckendorf también puede servir para definir una operación poco conocida: la denominada multiplicación de Fibonacci. Se define de la siguiente forma:

Dados dos números enteros positivos cuyas representaciones de Zeckendorf son las siguientes:

con , definimos la multiplicación de Fibonacci de y , que denotaremos , así:

Veamos un ejemplo. Vamos a hacer la multiplicación de Fibonacci de 7 y 14, esto es, . Para ello, calculamos las representaciones de Zeckendorf de cada uno de ellos:

y

Entonces:

Es fácil comprobar que esta operación es conmutativa (reordenando las sumas). Lo que es sorprendente es que también sea asociativa, hecho que probó Donald Knuth (parece que este señor tiene que estar siempre relacionado con cosas raras, como la notación de Knuth).

Y también podemos extender la sucesión de Fibonacci a índices negativos, consiguiendo así una forma de representar todo número entero (sea positivo y negativo) de forma única. Echadle un ojo a los trabajos de Zeckendorf y a los enlaces y podréis encontrar más información.

Para terminar, vamos a ver una manera de pasar de kilómetros a millas, y viceversa, usando esta representación. La clave está en el hecho de que la sucesión de los cocientes de cada número de Fibonacci entre el justo anterior converge al número áureo y que una milla son aproximadamente kilómetros.

¿Cómo podemos usar esto para nuestro objetivo? Muy sencillo. Supongamos que queremos expresar 72 millas en kilómetros. Lo que tenemos que hacer es encontrar la representación de Zeckendorf de 72 y después sustituir cada número de Fibonacci que aparezca en ella por el inmediatamente superior. La representación de Zeckendorf de 72 es

Según lo anterior, esto nos dice que 72 millas serán, aproximadamente

   kilómetros.

Si queremos pasar de kilómetros a millas hacemos lo mismo, pero en este caso sustituimos cada número de Fibonacci por el anterior.

Tomado de:

Gaussianos 

Sorprendente: El inverso de 998

Este número parece poseer una gran peculiaridad en sus decimales.
 

A simple vista es un número “normal” (cada uno que entienda por normal lo que quiera), pero nos quedaremos asombrados si nos fijamos en su siguiente representación:

¡¿Qué es esto?! Son las potencias de dos: 1,2,4,8,16,32,64… que se van poniendo cada 3 cifras decimales hasta tal momento (cuando llega al 512 -> 1024) que se superponen y rompen el patrón.

¿Por qué pasa esto? Bien, tengamos en cuenta que 998 = 1000 – 2, que indican respectivamente que las potencias del 2 se intercalan cada tres lugares (de ahí el 1000).

Póngase el ejemplo de 1/997 y verás que ocurre lo mismo (y con el 999, el 996, el 995…).

***EDITO***

En esta siguiente entrada, el inverso de un natural  se explica esta curiosidad.

Fuente:

Eulerianos