¿Por qué no existen los logaritmos de números negativos?

Los logaritmos son funciones matemáticas creadas por John Napier en el siglo XVII, y que son muy útiles tanto en investigación matemática como en otras ciencias.

Dado un número real x, un logaritmo de x es una función matemática cuyo resultado es el valor al que hay que elevar una cierta base para obtener ese x.

Los logaritmos tienen la siguiente estructura:
donde log es logaritmo, b es la base, x el valor al que aplicamos el logaritmo y n el resultado. Para que un logaritmo sea válido, por definición debe de cumplirse que su base, b en nuestro caso, tiene que ser siempre positiva y distinta de 1.

A mí personalmente, el logaritmo es una función que me gusta mucho, puesto que cada vez que realizamos uno, en cierto modo, estamos haciendo una pequeña ecuación que tiene la siguiente estructura:


Los logaritmos tienen muchas propiedades, pero hay una que es la protagonista de este post:

No existen los logaritmos de números negativos ni del 0. Pero, ¿por qué?

Si nos fijamos en su definición, vemos que la base tiene que ser siempre un número mayor estrictamente de 0. Entonces, nos podemos preguntar, ¿existe algún exponente de una potencia con base positiva que al realizar la operación dé como resultado un valor negativo?

La respuesta es no, ese valor no existe. En una potencia, si la base es positiva, al elevarla a cualquier número el resultado es positivo porque hay tres opciones:

• Si el exponente es positivo, un número positivo elevado a otro positivo es trivialmente positivo.
• Si el exponente es negativo, es equivalente a hacer la operación como 1 partido de la potencia pero con exponente positivo, que es una división de números positivos y por tanto, positivo.
• Y por último, que el exponente sea 0, que como vimos en el blog hace tiempo, un número elevado a 0 siempre vale 1.

Por lo tanto, discutidos todos los casos, vemos que una base positiva al elevarla a un exponente cualquiera siempre resulta un valor positivo. Entonces, eso implica que no se pueden realizar logaritmos de números negativos porque no existen.

Ejemplos del uso de logaritmos en la vida diaria son la Escala de Richter (para medir la intensidad de terremotos) que es una escala logarítmica; para equilibrar reacciones químicas; o para medir el tamaño de una estrella lejana. Pero como hemos dicho, son solo algunos ejemplos, y sus aplicaciones son múltiples.

Todo lo que hemos visto tiene sentido en el campo de los números reales. Como curiosidad, es interesante saber que en los números complejos sí existen los logaritmos de números negativos, pero ese concepto merecerá un artículo otro día.

Fuente:

Matemàticas Digitales

El logaritmo neperiano no usaba la base e

Si no recuerdas lo que es un logaritmo, aquí podrás recordarlo, saber para qué se inventaron y conocer su historia. Si ya sabes lo que es, podrás descubrir que la definición original de logaritmo neperiano no usaba la base e. Y que después la definición se simplificó y pasó a usar la base 10. Y que en realidad la base e sólo estaba escondida en una de las tablas de un apéndice a una traducción del original... y que no parece que esa tabla la escribiera Neper. Después de todo, a lo mejor empiezas a llamarlo logaritmo natural.


Puede que no haga falta recordarte lo que es un logaritmo, pero quizá no te acuerdes y te apetezca recordarlo. Veamos un ejemplo: ¿Qué exponente tienes que ponerle a la base 10 para obtener como resultado 1000? La respuesta es 3, porque 103=1000.

Por eso se dice que el logaritmo en base 10 de 1000 es 3, y se escribe

log101000=3.

Cuando usas la base 10, como en este ejemplo, estás trabajando con el logaritmo decimal. Pero tu base puede ser cualquier otro número.

Por ejemplo, también es muy habitual usar como base el número e, porque los logaritmos con esta base tienen propiedades útiles cuando se trabaja con límites, derivadas, integrales y series. Al logaritmo en base e se le suele llamar logaritmo natural o logaritmo neperiano... aunque quizá este último nombre no sea tan apropiado.

Lo de "neperiano" viene de John Napier (o Neper), un matemático escocés que vivió entre 1550 y 1617 y está considerado el inventor de los logaritmos (puede que el relojero suizo Joost Bürgi lo hiciera antes, pero no lo publicó).

Retrato de John Napier

Por aquel entonces (sin calculadoras ni ordenadores) multiplicar números grandes requería bastante esfuerzo, así que los científicos (sobre todo los astrónomos) suspiraban por una herramienta que permitiera hacer esas operaciones más rápidamente... Y eso es precisamente lo que hacen los logaritmos, que tienen el "superpoder" de convertir un producto en una suma

log(x⋅y)=log(x)+log(y)

y esto facilita mucho las cosas; si te dan a elegir entre hacer una suma o una multiplicación, seguro que eliges la suma.

En realidad el bueno de Napier no definió su logaritmo usando bases y exponentes, como en nuestros ejemplos (esa notación se hizo estándar años más tarde). Su definición usaba dos partículas moviéndose por líneas paralelas para relacionar una progresión aritmética con una progresión geométrica. De ahí viene el nombre de logaritmo, por logos (proporción) y arithmos (números), que acuñó al publicar sus trabajos en 1614.

Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio

En notación moderna, usando bases y exponentes como en nuestros ejemplos, el logaritmo definido por Napier sería

log1−1107(x107)

Por un lado, al tener x dividido entre 107 no tenía el "superpoder" de convertir productos en sumas (aunque para conseguirlo sólo le hacía falta un poco de ayuda).

Por otro lado, la base de este logaritmo original de Napier era 1−1107=0.9999999 ¡¡y no el número e≈2.718281828…!!

El primer problema se resolvió un año más tarde, cuando el matemático británico Henry Briggs convenció a Napier para modificar sus logaritmos y usar lo que ahora sería log10(x). Pero este nuevo logaritmo tampoco usaba la base e...

La historia sigue; como la mayoría de los trabajos científicos de la época, Napier había publicado sus resultados en latín. Fue otro británico, el matemático y cartógrafo Edward Wright, quien se encargó después de traducirlo al inglés. De esta traducción se publicaron dos ediciones, una en 1616 y otra en 1618.

A Description of the Admirable Table of Logarithmes (edición de 1618

Si algunas palabras o números no se distinguen con claridad puedes acceder a loa versión original AQUÍ.

Hasta la introducción de los logaritmos, para multiplicar números rápidamente se usaba un método llamado prostaféresis, que se basaba en el uso de funciones trigonométricas.

Si quieres saber más sobre la historia de los logaritmos, puedes leer Logarithms: The Early History of a Familiar Function, también en la página de la Mathematical Association of America.

Si prefieres algo en español, puedes consultar Historia de los logaritmos, de Xavier Lefort.

Si lo que quieres es bucear en los trabajos de Napier, puedes encontrarlos en la página johnnapier.com o leer el artículo Remembering John Napier and His Logarithms, de Michael A. Lexa.

Si te interesa la historia de los logaritmos, pero también la del resto de las matemáticas, puedes consultar el libro A History of Mathematics, de Uta C. Merzbach y Carl B. Boyer.

También puedes aprender con la reseña del film Logaritmo neperiano: una probabilidad entre un millón en la sección "Cine y matemáticas" que Alfonso Población escribe en Divulgamat.

Fuente:

Cifras y Teclas

La escala de Richter y un error habitual

En los últimos tiempos muchos han sido los terremotos que han sacudido de forma más o menos violenta ciertas zonas de nuestro planeta. Seísmos como el de Lorca, Haití, Japón o el de Jaén y Granada de hace unos días (y muchos otros que se producen diariamente) han provocado múltiples destrozos y, lo que es peor, multitud de víctimas en muchos casos.

Los medios de comunicación se han encargado de darnos información sobre estos sucesos, pero prácticamente todos ellos (al menos todos los que he podido consultar) han cometido el mismo error: meter la palabra grados cuando hablan de la escala de Richter. Y no solamente son ellos quienes se confunden, sino que prácticamente todos lo hacemos con relativa frecuencia. Vamos a ver qué tipo de escala es esta escala de Richter, y también la llamada escala sismológica de magnitud de momento, y por qué esto de los grados es un error, y ya aprovecharemos para dar una idea de la gravedad de un terremoto en función del valor que tenga asociado en dichas escalas.

(Único edificio que colapso durante el terremoto de Lorca de 2011.
Fuente: Materia Ciencia.)

Comencemos por el principio: cuando hablamos de la magnitud de un terremoto es incorrecto hablar de “grados”. Es decir, no es correcto decir “un terremoto de magnitud 5,2 grados en la escala de Richter”, lo correcto sería “un terremoto de magnitud 5,2 en la escala de Richter”.

La razón es muy sencilla: la escala de Richter no es una escala graduada, por lo que es incorrecto asignarle la palabra “grados” a sus valores. Una escala graduada es una escala en la que se toman dos valores, elegidos de manera arbitraria, y se divide en 100 una cierta cantidad de partes la distancia entre ellos, tomando cada una de esas partes como “un grado”.

Ése es el caso, por ejemplo, de los grados Celsius. Un grado Celsius es la centésima parte de la distancia entre la temperatura del punto de fusión del agua a 1 atmósfera y la temperatura del punto de ebullición del agua a 1 atmósfera. Es decir, se toman esos dos valores (totalmente arbitrarios, se podrían haber tomado otras temperaturas relacionadas con el agua, o con cualquier otra sustancia), se divide entre 100 la distancia entre ellos y se tomo el resultado como “1 grado”. Por contra, no es el caso de los Kelvin, que tampoco deben llevar con ellos la palabra “grado”, al ser una escala de temperatura absoluta, no relativa a dos valores arbitrarios como la Celsius.

Bien, ¿y por qué la de Richter no es una escala graduada? Pues porque mide la magnitud de la energía liberada en un terremoto, por lo que sus valores no están asociados a dos puntos elegidos arbitrariamente, sino que son, por decirlo de alguna manera, absolutos.

Por todo ello es erróneo incluir la palabra “grados” junto a la magnitud de un terremoto en la escala de Richter…pero es que también debería considerarse erróneo decir “…en la escala de Richter” en la gran mayoría de los casos. La escala de Richter se creó para medir la magnitud de los terremotos que ocurrían exclusivamente en la falla de San Andrés, en California. La escala que se usa para el resto de zonas del planeta se llama escala sismológica de magnitud de momento, que es una escala de estilo a la de Richter pero mucho mejor para valores altos (la de Richter, en muchas ocasiones, daba resultados erróneos por encima de 6,9; la de magnitud de momento arregla ese problema). Por cierto, hasta esos valores, sobre 6,8-6,9, las dos escalas coinciden.

¿Y qué tipo de escalas son ésta de Richter y de magnitud de momento? Pues son escalas logarítmicas. Eso significa que en esas escala un valor 6 no es el doble que 3, sino 1000 veces más. Sería algo así (no exactamente, pero nos sirve para hacernos una idea):

• Un terremoto de magnitud 1 libera una cantidad de energía igual a de energía.
• Un terremoto de magnitud 2 libera una cantidad de energía igual a de energía.
• Un terremoto de magnitud 3 libera una cantidad de energía igual a de energía.
• …
• Un terremoto de magnitud 6 libera una cantidad de energía igual a de energía.

y así sucesivamente.

Por tanto, la próxima vez que veáis una noticia relacionada con un terremoto debéis saber que si hablan de grados estarán cometiendo un error, si nombran la escala de Richter posiblemente también y, lo más importante, que en este caso 4 no es el doble de 2, sino mucho más grande.

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Fuentes y enlaces para saber más:

• Los inexistentes grados Kelvin y grados Richter en el blog de MiGUi.
• Porque 8 no es siempre el doble de cuatro en Mati y sus Mateaventuras.
• Escala sismológica de Richter en la Wikipedia en español.
• Escala sismológica de magnitud de momento en la Wikipedia en español.
• Sobre la intensidad y la magnitud de los terremotos en Microsiervos.
• Terremotos en grado 361.

Fuente:

Gaussianos

Buscando el número e

Jueves, 17 de junio de 2010

Buscando el número e

¿Qué es el número e? Si bien hace dos meses os hablaba del número pi y de lo fácil que es definirlo para que cualquier persona pueda entenderlo, el caso del número e no es tan fácil de definir, pero no por ello menos importante. Si el número pi es considerado como un número clave en la geometría, el número e es un número clave en el cálculo matemático.

I: Símbolo del número e

Al número e también se le conoce como Número de Euler o Constante de Napier. Precisamente éste último nombre se debe a la primera referencia a la existencia de esta constante que hay registrada. En 1618 John Napier introdujo el número e en unas tablas referenciadas en el apéndice de un estudio sobre los logaritmos. Pero en estas tablas, no daba un valor concreto para el número e, sino que simplemente daba una lista de logaritmos naturales calculados a partir de esta nueva constante.

Unos años más tarde, Jacob Bernoulli estudió el problema del interés compuesto. En él hacía cálculos sobre los beneficios de una cantidad de dinero con un interés anual del 100% dependiendo de los periodos en los que se pague a lo largo de un año. Elevando el número de periodos al límite, terminó hallando una ecuación que sin que el propio Bernoulli fuera consciente definió por primera vez el valor de la constante matemática e.

II: Ecuación de Bernoulli

Para encontrar el primer uso del número e, así como el primer cálculo de los primeros decimales nos tenemos que trasladar al ‘reinado matemático’ de Leonhard Euler. Euler se refirió por primera vez a la constante en 1727, y la mencionó con la letra e por primera vez en la publicación Mechanica de 1737. También fue el primero en definir una serie para facilitar un cálculo mediante fracciones continuas, y hallar de hecho los primeros 18 decimales del número e.

III: Fracciones continuas de Euler para calcular e

Con el paso de los años, aparecieron muchos otros métodos de cálculo para el número e, así como nuevas definiciones aprovechando la evolución del cálculo matemático. Todo esto permitió que el número de decimales conocidos del número e fuera en aumento, siendo William Shanks el primero en llegar a las 200 cifras en 1871, gracias otra de las definiciones del número e hecha por Euler mediante la suma infinita del inverso de factoriales, que permite con tan sólo los 25 primeros términos de la suma hallar los primeros 22 decimales.

IV: Serie con factoriales de Euler para calcular e

Al igual que en el caso del número pi, la llegada de la era computacional, ha hecho que el cálculo de los decimales de e se haya convertido en toda una obsesión, siendo el record actual el conseguido por Alexander J. Yee el pasado febrero con 500.000 millones de decimales.

Fuente:

Recuerdos de Pandora

Ricky Martin y las funciones exponenciales

Miércoles, 07 de abril de 2010

Ricky Martin y las funciones exponenciales

Viejos temas con nuevos ropajes. Contextualizar los problemas, y las matemáticas, a situaciones reales de nuestro entorno inmediato es potenciar su facilidad comprenderlos. En esta oportunidad Ricky Martin confiesa a unos amigos que es loca... ¡y fíjense de que manera se expande el chisme!

¿Quién no sabe ya que Ricky Martin es homosexual? (comunicado de Ricky Martin). Es una noticia que ha corrido como la espuma, más que nada porque lo dijo él en Internet. Pero, no sé el motivo, algunos seres humanos tienen gran interés por lo que hace uno de puertas para dentro, y con quién se acuesta o de se deja de acostar una persona, y tienen la necesidad de comunicar la noticia rápidamente.

Hoy día, con la televisión e Internet, los rumores y noticias vuelan de un usuario a otro de forma exponencial. Pero los rumores (especulaciones no confirmadas) siempre han sido transmitidos de forma exponencial, de ahí su gran difusión.

Supongamos que Ricky Martin no lo dice en Internet sino que se lo comenta a tres vecinos suyos. Los vecinos, como son unos cotillas, se lo comentan a tres vecinos más cada uno, y así sucesivamente. ¿Cuánto tiempo tardaría el rumor o la noticia en extenderse por todo el mundo?

Supongamos que se tarda un cuarto de hora (15 min) en transmitir el rumor de una persona a otras tres.

8:00 am. Ricky Martin se lo comenta a sus tres vecinos.

8:15 am. Lo saben cuatro personas: Ricky Martin y sus tres vecinos.

8:30 am. Como conocida la noticia, cada uno de estos tres vecinos se apresuraron a comunicarla a tres más, la conocían 4 + (3 x 3) = 13 personas.

8:45 am. 13 + (3 x 9) = 40 personas.

9.00 am. 40+(3 x 27)= =121

9:15 am. 121 + (3×81) = 364

9:30 am. 364 + (3 x 243)= 1093.

Como vemos, nos encontramos con una función exponencial que cumple la siguiente ecuación

y=3^x .

Si x=0, y = 1;

si x=1, y=3;

x=2, y=9;

etc.

Podemos calcular rápidamente cuantos cuartos de hora hacen falta para que todo el planeta supiera la noticia. Si somos unos 6700 millones de personas (6700000000):

Podemos hacerlo con la cuenta de la vieja:

3¹⁰ = 59049 (60 mil personas);

3¹⁵ = 14348907 (14 millones).

3²⁰ = 3486784399 (3400 millones de personas).

3²¹ = 1046035320 (10 millones de personas). con 21 cuartos de hora los sabría todo el planeta.

O, más correctamente, usando logaritmos:

3x= 6700000000

log3x=log6700000000

x·log3=log6700000000

x= log6700000000/ log3 = 9.826/0.477 = 20.6 (aproximando)

20.6 cuartos de hora en conocerse la noticia en todo el mundo. Eso son 20.6·15min = 309 min = 5.15 horas.

Si el rumor empieza a las 8:00 am, a las a las 13:15 pm ya los sabría todo el planeta.

(Este ejemplo es una adaptación de la “Propagación de rumores en una ciudad” del libro Matemática Recreativa de Yakov I. Perelman.)

Se pueden hacer una idea de cómo fluyen de rápido los rumores y noticias con Internet y la televisión, donde millones de personas se enteran de la misma noticia a la vez. Por eso no es raro que cuando uno va a comentar con alguien algo de la televisión, ese alguien ya lo sepa, porque lo haya visto o por que otro se lo haya contado.

Para tener una idea del poder de las funciones exponenciales, no está de mal recordar la “Leyenda sobre el tablero de ajedrez“ o el “Trato ventajoso“, magnífica forma de engañar a algún amigo o familiar, que no sepa qué es eso de las funciones exponenciales, y sacarle algún dinero. En general, recomiendo el libro de “Matemáticas recreativas” y el capítulo de “Relatos de números gigantes“.

El conocieminto de las funciones exponenciales es fundamental para entender el mundo de hoy, porque casi todo evoluciona de una manera exponencial: la transmisión de la información, el crecimeinto de la población, el crecimiento de las bacteria en un cultivo, el contagio de enfermedades, etc.

Conocer Ciencia: Ciencia sencilla, Ciencia divertida, Ciencia fascinante...

Fuente:

Ciencia On Line

Logaritmos y Música

Logaritmos y música

Ingresé a SlideShare, conocido como el YouTube de las presentaciones en Power Point, y encontré esta presentación sobre los Logaritmos y la música. De manera breve, pero didáctica, un grupo de estudiantes de la Universidade de Londrina nos ilustran sobre las octavas musicales y su relación con los logaritmos. Ahí lo tienen:

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¿Qué tal? Interesante, ¿verdad?

Un abrazo:

Leonardo Sánchez Coello
Profesor de Educación Primaria