¿Por qué no existen los logaritmos de números negativos?

Los logaritmos son funciones matemáticas creadas por John Napier en el siglo XVII, y que son muy útiles tanto en investigación matemática como en otras ciencias.

Dado un número real x, un logaritmo de x es una función matemática cuyo resultado es el valor al que hay que elevar una cierta base para obtener ese x.

Los logaritmos tienen la siguiente estructura:
donde log es logaritmo, b es la base, x el valor al que aplicamos el logaritmo y n el resultado. Para que un logaritmo sea válido, por definición debe de cumplirse que su base, b en nuestro caso, tiene que ser siempre positiva y distinta de 1.

A mí personalmente, el logaritmo es una función que me gusta mucho, puesto que cada vez que realizamos uno, en cierto modo, estamos haciendo una pequeña ecuación que tiene la siguiente estructura:


Los logaritmos tienen muchas propiedades, pero hay una que es la protagonista de este post:

No existen los logaritmos de números negativos ni del 0. Pero, ¿por qué?

Si nos fijamos en su definición, vemos que la base tiene que ser siempre un número mayor estrictamente de 0. Entonces, nos podemos preguntar, ¿existe algún exponente de una potencia con base positiva que al realizar la operación dé como resultado un valor negativo?

La respuesta es no, ese valor no existe. En una potencia, si la base es positiva, al elevarla a cualquier número el resultado es positivo porque hay tres opciones:

• Si el exponente es positivo, un número positivo elevado a otro positivo es trivialmente positivo.
• Si el exponente es negativo, es equivalente a hacer la operación como 1 partido de la potencia pero con exponente positivo, que es una división de números positivos y por tanto, positivo.
• Y por último, que el exponente sea 0, que como vimos en el blog hace tiempo, un número elevado a 0 siempre vale 1.

Por lo tanto, discutidos todos los casos, vemos que una base positiva al elevarla a un exponente cualquiera siempre resulta un valor positivo. Entonces, eso implica que no se pueden realizar logaritmos de números negativos porque no existen.

Ejemplos del uso de logaritmos en la vida diaria son la Escala de Richter (para medir la intensidad de terremotos) que es una escala logarítmica; para equilibrar reacciones químicas; o para medir el tamaño de una estrella lejana. Pero como hemos dicho, son solo algunos ejemplos, y sus aplicaciones son múltiples.

Todo lo que hemos visto tiene sentido en el campo de los números reales. Como curiosidad, es interesante saber que en los números complejos sí existen los logaritmos de números negativos, pero ese concepto merecerá un artículo otro día.

Fuente:

Matemàticas Digitales

Cambiando la regla y el compás por piezas de mecano para construir distintos tipos de números

Se acerca el período navideño y con él la tradicional costumbre de los regalos. Aunque es posible que actualmente ya no sea tan popular, en otra época el mecano era uno de los juegos estrella en las cartas que los niños enviaban a los Reyes Magos. Todos hemos jugado alguna vez con este popular juego que consiste en ensamblar tiras metálicas mediante tornillos y tuercas.

Combinando estas tiras se pueden conseguir formas y mecanismos muy diversos, desde simples figuras a complejas y elaboradas construcciones.

  Tiras de Mecano, junto a otros tipos de piezas (imagen tomada de aquí.)
Pero aquí hablamos de matemáticas, y eso es lo que vamos a hacer. Vamos a explorar una faceta muy diferente y menos conocida de este juego de construcción muy relacionada con las matemáticas.

En este blog hemos hablado en bastantes ocasiones sobre las construcciones con regla y compás (por ejemplo en I, II, III, IV, V y VI). Bien, pues lo que vamos a hacer en esta entrada es cambiar la regla y el compás por piezas de mecano. Es decir, vamos a analizar qué tipo de construcciones relacionadas con regla y compás pueden realizarse con las tiras metálicas de un mecano. Por ejemplo, ¿qué números se pueden construir? ¿Podremos construir un polígono regular? ¿Y bisecar un ángulo? ¿Y trisecarlo? No perdáis detalle, nos esperan muchas sorpresas relacionadas con este tema en lo que será una serie de artículos dedicados al mismo.

Antes de nada vamos a introducir algunas cuestiones relacionadas con las piezas que vamos a utilizar y la manera que vamos a tener de trabajar. Como hemos dicho, usaremos solamente las tiras típicas del mecano, que constan de un cierto número de agujeros, donde consideraremos que están situados números enteros, y que se pueden unir unas con otras mediante un tornillo.

Supondremos que estas piezas solamente no tienen dos dimensiones, por lo que para nosotros tendrán altura cero, para no tener problemas a la hora de poner varias piezas unidas en el mismo agujero. Evidentemente esto no es verdad en el mundo real, y por eso mismo las construcciones más elegantes serán las que eviten esta circunstancia.

Construcción de los números racionales

Las tiras, como hemos dicho, tienen una longitud entera, ya que los agujeros están espaciados una cantidad entera. Aunque esto en principio podría parecer una restricción, en realidad no es así. Podemos construir fácilmente otras tiras de longitud racional (no entera). Así como los números racionales surgen como extensión de los números enteros para expresar cantidades de la forma , con .

Para lograrlo, solamente hay que utilizar la semejanza de triángulos. Como se puede observar en la figura siguiente, podemos crear una tira de longitud racional . Ya que y pueden elegirse libremente, podemos crear cualquier número racional sin limitación.

Lea el artículo completo en:

Gaussianos

¿Cuál es el número más cercano a 3?

Lunes, 05 de abril de 2010

¿Cuál es el número más cercano a 3?

Respuesta rápida: el 2 y el 4. Pero esta respuesta es incompleta ya que tan sólo estamos considerando los números enteros (naturales), aquéllos que usamos normalmente para contar (1, 2, 3…).

Si consideramos la línea de los números reales, que incluye tanto a los números racionales, es decir, los que pueden ser expresados como una fracción compuesta por dos enteros (3/4, -21/3, 5, 0, 1/2), como los irracionales, por ejemplo, pi o raíz de 2, no se puede definir el número más cercano a un número real; es decir, dado, por ejemplo, el 3, no existe un número que sea el más próximo de todos a ese valor.

¿Cuá sería, el 2.9, 2.99, 2.999,… 2.9999999999? ¿O el 3.01, 3.001, 3.0001,…3.000000001?

Esto ocurre porque la línea de los números reales es continua, sin embargo, la línea de los números enteros no es continua, pues hay un salto de una unidad entre dos enteros consecutivos, por ejemplo entre el 6 y el 7.

Esto, que puede parecer un ejercicio mental de matemática básica, es una idea que se ha trasladado a la física. Así, los físicos consideran que el espacio es continuo, al menos hasta distancia tan cortas como 10^-24 metros.

Es decir, que en el espacio ordinario no existe una distancia mínima a recorrer a la hora de trasladar una partícula, un quark o un electrón, por ejemplo. En un continuo, la ausencia de un intervalo mínimo implica la existencia de infinitas operaciones posibles de simetría traslacional.

¿Podría ser que en el futuro seamos capaces de observar el espacio a escalas aún más reducidas que revelen un espacio discreto?

Tomado de:

Ciencia On Line

El forista zugzwang escribió en Meneame:

Hasta los estudiantes de tercero de la ESO saben que 2,9 periódico es exactamente igual a 3.

Y el forista Drei83 complementó:

2,999... es lo mismo que 3:

x = 2.999...
10x = 29.999...
10x - x = 29.999... - 2.999... = 27
9x = 27
x = 3

Conocer Ciencia: Ciencia sencilla, ciencia divertida, ciencia fascinante...