Cambiando la regla y el compás por piezas de mecano para construir distintos tipos de números

Se acerca el período navideño y con él la tradicional costumbre de los regalos. Aunque es posible que actualmente ya no sea tan popular, en otra época el mecano era uno de los juegos estrella en las cartas que los niños enviaban a los Reyes Magos. Todos hemos jugado alguna vez con este popular juego que consiste en ensamblar tiras metálicas mediante tornillos y tuercas.

Combinando estas tiras se pueden conseguir formas y mecanismos muy diversos, desde simples figuras a complejas y elaboradas construcciones.

  Tiras de Mecano, junto a otros tipos de piezas (imagen tomada de aquí.)
Pero aquí hablamos de matemáticas, y eso es lo que vamos a hacer. Vamos a explorar una faceta muy diferente y menos conocida de este juego de construcción muy relacionada con las matemáticas.

En este blog hemos hablado en bastantes ocasiones sobre las construcciones con regla y compás (por ejemplo en I, II, III, IV, V y VI). Bien, pues lo que vamos a hacer en esta entrada es cambiar la regla y el compás por piezas de mecano. Es decir, vamos a analizar qué tipo de construcciones relacionadas con regla y compás pueden realizarse con las tiras metálicas de un mecano. Por ejemplo, ¿qué números se pueden construir? ¿Podremos construir un polígono regular? ¿Y bisecar un ángulo? ¿Y trisecarlo? No perdáis detalle, nos esperan muchas sorpresas relacionadas con este tema en lo que será una serie de artículos dedicados al mismo.

Antes de nada vamos a introducir algunas cuestiones relacionadas con las piezas que vamos a utilizar y la manera que vamos a tener de trabajar. Como hemos dicho, usaremos solamente las tiras típicas del mecano, que constan de un cierto número de agujeros, donde consideraremos que están situados números enteros, y que se pueden unir unas con otras mediante un tornillo.

Supondremos que estas piezas solamente no tienen dos dimensiones, por lo que para nosotros tendrán altura cero, para no tener problemas a la hora de poner varias piezas unidas en el mismo agujero. Evidentemente esto no es verdad en el mundo real, y por eso mismo las construcciones más elegantes serán las que eviten esta circunstancia.

Construcción de los números racionales

Las tiras, como hemos dicho, tienen una longitud entera, ya que los agujeros están espaciados una cantidad entera. Aunque esto en principio podría parecer una restricción, en realidad no es así. Podemos construir fácilmente otras tiras de longitud racional (no entera). Así como los números racionales surgen como extensión de los números enteros para expresar cantidades de la forma , con .

Para lograrlo, solamente hay que utilizar la semejanza de triángulos. Como se puede observar en la figura siguiente, podemos crear una tira de longitud racional . Ya que y pueden elegirse libremente, podemos crear cualquier número racional sin limitación.

Lea el artículo completo en:

Gaussianos