Cambiando la regla y el compás por piezas de mecano para construir distintos tipos de números

Se acerca el período navideño y con él la tradicional costumbre de los regalos. Aunque es posible que actualmente ya no sea tan popular, en otra época el mecano era uno de los juegos estrella en las cartas que los niños enviaban a los Reyes Magos. Todos hemos jugado alguna vez con este popular juego que consiste en ensamblar tiras metálicas mediante tornillos y tuercas.

Combinando estas tiras se pueden conseguir formas y mecanismos muy diversos, desde simples figuras a complejas y elaboradas construcciones.

  Tiras de Mecano, junto a otros tipos de piezas (imagen tomada de aquí.)
Pero aquí hablamos de matemáticas, y eso es lo que vamos a hacer. Vamos a explorar una faceta muy diferente y menos conocida de este juego de construcción muy relacionada con las matemáticas.

En este blog hemos hablado en bastantes ocasiones sobre las construcciones con regla y compás (por ejemplo en I, II, III, IV, V y VI). Bien, pues lo que vamos a hacer en esta entrada es cambiar la regla y el compás por piezas de mecano. Es decir, vamos a analizar qué tipo de construcciones relacionadas con regla y compás pueden realizarse con las tiras metálicas de un mecano. Por ejemplo, ¿qué números se pueden construir? ¿Podremos construir un polígono regular? ¿Y bisecar un ángulo? ¿Y trisecarlo? No perdáis detalle, nos esperan muchas sorpresas relacionadas con este tema en lo que será una serie de artículos dedicados al mismo.

Antes de nada vamos a introducir algunas cuestiones relacionadas con las piezas que vamos a utilizar y la manera que vamos a tener de trabajar. Como hemos dicho, usaremos solamente las tiras típicas del mecano, que constan de un cierto número de agujeros, donde consideraremos que están situados números enteros, y que se pueden unir unas con otras mediante un tornillo.

Supondremos que estas piezas solamente no tienen dos dimensiones, por lo que para nosotros tendrán altura cero, para no tener problemas a la hora de poner varias piezas unidas en el mismo agujero. Evidentemente esto no es verdad en el mundo real, y por eso mismo las construcciones más elegantes serán las que eviten esta circunstancia.

Construcción de los números racionales

Las tiras, como hemos dicho, tienen una longitud entera, ya que los agujeros están espaciados una cantidad entera. Aunque esto en principio podría parecer una restricción, en realidad no es así. Podemos construir fácilmente otras tiras de longitud racional (no entera). Así como los números racionales surgen como extensión de los números enteros para expresar cantidades de la forma , con .

Para lograrlo, solamente hay que utilizar la semejanza de triángulos. Como se puede observar en la figura siguiente, podemos crear una tira de longitud racional . Ya que y pueden elegirse libremente, podemos crear cualquier número racional sin limitación.

Lea el artículo completo en:

Gaussianos

La demostración más elemental de la irracionalidad de raíz de dos

A estas alturas de la película creo que es bastante conocido que el número raíz de dos, , es un número irracional. Es decir, que no puede expresarse como una fracción con numerador y denominador números enteros.

Hay muchas formas de demostrarlo. De hecho aquí en Gaussianos hemos visto ya varias: la típica que usa reducción al absurdo (junto con una que usa descenso infinito) y una demostración geométrica muy interesante. Hoy vamos a ver la, posiblemente, demostración de la irracionalidad de raíz de dos más elemental que he visto nunca.

Comencemos con ella. Está bastante claro que las únicas posibilidades que pueden darse en una fracción son las siguientes: impar/impar, impar/par, par/impar y par/par.

La opción par/par se puede reducir a alguna de las otras tres, por lo que no es necesario considerarla.

Dicho esto, veamos que ninguna de las tres opciones puede dar como resultado . O lo que es lo mismo, que el cuadrado de cada una de ellas no puede valer 2. O lo que es igual, que al elevar al cuadrado cada una de ellas el numerador no puede ser el doble que el denominador. Hasta ahora bien, ¿verdad? Bien, pues vamos caso por caso:

• impar/impar Si elevamos un número impar al cuadrado obtenemos un número impar, por lo que al elevar esta fracción al cuadrado obtenemos otra fracción tipo impar/impar, y está bastante claro que un número impar no puede ser el doble que otro número impar, por lo que no puede ser igual a una fracción de este tipo.
• impar/par Si elevamos un número par al cuadrado obtenemos también un número par, por lo que aquí al elevar al cuadrado obtendremos una fracción del tipo impar/par. Pero un número impar no puede ser el doble de un número par, por lo que tampoco puede ser igual a una fracción de este tipo.
• par/impar Por lo visto anteriormente, el cuadrado de esta fracción daría también una del tipo par/impar, y aquí en principio sí que podría ser que el numerador fuera el doble del denominador. Pero en realidad no es así, ya que un número par al cuadrado da un múltiplo de 4, y es claro que un múltiplo de 4 no puede ser el doble de un número impar (porque en realidad es el doble de un número par). Por tanto tampoco puede ser igual a una fracción así.

Lo que hemos obtenido es que no puede ser igual a ninguno de los tipos de fracciones posibles donde el numerador y el denominador son números enteros. En consecuencia, no es un número racional, hecho que unido a que sí es un número real nos lleva a que es un número irracional

Sencilla, ¿verdad? ¿Conocéis alguna otra demostración más elemental que ésta?

Fuente:

Gaussianos

Las dos maneras equivalentes de escribir los dígitos de un número

Estamos acostumbrados a ver precios que casi, casi llegan a un valor entero, como 5.99€. Al menos en ese caso si pagas con 6€, (en teoría) te devolverían 1 céntimo. ¿Pero qué pasaría si el precio fuera de 5,99999....€ con infinitos nueves?

Como veremos en el post de hoy, se puede demostrar matemáticamente que ese número y el 6 son el mismo. No es que estén "infinitesimalmente cerca", no, no es eso: es que son las dos formas válidas de escribir el número 6.

Si no te lo crees así de sopetón, como es la reacción más normal, aquí va la primera demostración. Primero, podemos separar 5,999999.... en dos partes:

5,9999.... = 5 + 0,9999.....

Ahora, dividimos y multiplicamos el segundo sumando por 3:

= 5 + 0,9999.... * (3/3)

= 5 + 0,3333.... * 3

Y nadie dudará de que 0,33333.... (con infinitos treses) es igual a 1/3, por lo que:

= 5 + (1/3) * 3

que es exactamente igual al número 6:

= 5 + (1/3) * 3 = 5 + 1 = 6

Resumiendo: 5,9999.... con infinitos nueves no se puede distinguir, ni siquiera en lo más infinitamente pequeño, del número 6.

Ésta es una propiedad sorprendente que simplemente quiere decir que existen dos formas de escribir muchos números, ya que no es un caso particular que sólo ocurra con el número 6.

De hecho, si observas el razonamiento que he seguido arriba, podríamos hacer exactamente lo mismo con cualquier otro número entero N sustituyendo el 5 por un N-1. Y dividiendo todo por 10 elevado a la potencia correspondiente se puede generalizar para cualquier número con un número finito de decimales.

La propiedad no se puede aplicar, en general, para cualquier número real ni tan siquiera racional, pero sí que se puede extender a cualquier otro sistema de numeración distinto del decimal. Obviamente, en un sistema de base b, en lugar de nueves, los dígitos que se repiten infinitamente serán el b-1. Como ejemplo, para números en base binaria (los usados por los ordenadores), tenemos que el número:

110₍₂

(dónde el ₍₂ indica que es un número binario), es idéntico al:

101.11111111111...... ₍₂

Para demostrar este caso voy a echar mano de otra demostración distinta a la de arriba: multiplicar por b (un 2 en este caso, 10 si fuese sistema decimal) y a dicho valor restar el número original:

x = 101.111...₍₂

10₍₂ x = 1011.111...₍₂

10₍₂ x - x= 1011.111...₍₂ - 101.111...₍₂ --->

1₍₂ x = 110₍₂ --->

x = 110₍₂ --->

101.111...₍₂ = 110₍₂

De nuevo, esta demostración también funciona en base 10 o en la que queráis probar.

Y para terminar, la demostración que más me gusta, que hace uso de un resultado conocido de sumas de series geométricas, aquel que dice que la suma de los infinitos términos:

r¹ + r² + r³ + r⁴ + r⁵ + ....

es igual a r/(1-r), siempre que |r| < 1.

Pues bien, si expresamos la representación de un número decimal como:

a.b₁b₂b₃b₄b₅.....

su valor numérico viene dado simplemente por el valor de cada uno de sus dígitos, ponderado por el "peso" del lugar que ocupa:

= a + b₁ (1/10)¹ + b₂ (1/10)² + b₃ (1/10)³ + b₄ (1/10)⁴ + ....

Para el caso de un número terminado en infinitos nueves vemos que todos los términos "b" son iguales a 9, y el valor del número es el resultado de sumar los infinitos términos de:

= a + 9 [ (1/10)¹ + (1/10)² + (1/10)³ + (1/10)⁴ + ....]

Pero lo que va dentro de los corchetes no es más que una serie geométrica de coeficiente r=1/10, por lo que su suma vale r/(1-r) = 1/9, que reemplazando arriba:

= a + 9 (1/9) = a + 1

Lo que demuestra que, entre otras infinitas posibilidades, 5.9999...... es exactamente igual a 6.

Si aún tras todas estas pruebas te sientes escéptico, probablemente sea por la engañosa similitud del concepto de "infinitos nueves decimales" al de "un número de nueves que tiende a infinito". Ojo, que un "5 con k nueves decimales" sin duda tiende a 6 cuando k tiende al infinito, pero nunca lo alcanza. Por contra, un "5 con infinitos nueves decimales", es exactamente 6.

¡Espero que os haya entretenido!

Para leer más: 1

Fuente:

Ciencia Explicada