Matemáticas: Sistema de numeración de base cinco

Los aymaras contaban con un sistema de numeración quinario (de base cinco) porque ellos contaban solamente con los dedos de una mano. El tema me interesó y, aunque no existe mucha información en internet, encontré este artícilo que ahora comparto con ustedes. ¡Para realizar con material concreto con niños de diez años en adelante!

Hemos visto cómo se representan y leen los números en nuestro sistema de numeración decimal. Podemos también representar los números utilizando bases distintas de 10 y conservando el principio de posición y el cero. Vamos a hacerlo usando como base el número 5.

Si tenemos cierta cantidad de cerillos y los agrupamos en bolsitas de cinco cerillos cada uno, obtenemos 19 bolsitas y sobran 2 cerillos.

Si luego agrupamos las bolsitas de cinco en cinco y las acomodamos en cajas, tendremos 3 cajas y sobran 4 bolsitas y 2 cerillos, lo que podemos expresar como:

3 cajas + 4 bolsitas + 2 cerillos.

O sea:

3 x (5 x 5) + 4 x (5) + 2 x (1)

Como 5 x 5 = 5², 5 = 5¹ y 1 = 5⁰, puede también expresarse empleando las formas exponenciales de 5, quedando:

3 x 5² + 4 x 5¹ + 2 x 5⁰

En esta expresión podemos reconocer la notación desarrollada de un número si la base considerada es 5. En ella observamos que hay 2 unidades de 1° orden, 4 unidades de 2° orden y 3 unidades de 3° orden, con base 5, lo que puede expresarse en la siguiente forma:

342_cinco

Donde la palabra cinco colocada de esta manera, indica que el número está escrito en base cinco. Este número no debe leerse comotrescientos cuarenta y dos puesto que 3 representa 3 x 25 y no 3 x 100 y 4 representa 4 x 5 y no 4 x 10. Por esto, dicho número debe leerse tres, cuatro, dos, base cinco.

Ejemplo. Tenemos 58 cuadernos y queremos expresar esa cantidad en base 5. 

Primero, agrupamos los cuadernos en bolsas de 5 cuadernos. Al hacerlo, tendremos 11 bolsas y quedarán libres 3 cuadernos. Esto es equivalente a dividir 58 entre 5, el cociente es 11 y el residuo es 3, es decir:

58 = (11 x 5) + 3

Después, agrupamos las bolsas en cajas de 5 bolsas. Al hacerlo, tendremos 2 cajas y quedará libre 1 bolsa. Esto es equivalente a dividir 11 entre 5, el cociente es 2 y el residuo es 1, por lo tanto:

58 = 2 x (5 x 5) + 1 x (5) + 3

Escribiéndolo de forma exponencial:

58 = 2 x 5² + 1 x 5¹ + 3 x 5⁰

Que también puede expresarse así:

58 = 213_cinco

Como el lector ya habrá podido observar, para escribir números en el sistema de numeración base 5, se utilizan unicamente las cifras 0, 1, 2, 3 y 4. Si un número escrito en base cinco se quiere transformar en su equivalente de base decimal, solo hay que sumar los valores relativos de cada una de sus cifras. Como nuestra notación usual es de base diez, se ha convenido en no anotar la base cuando se escriban estos números. Solamente se hará cuando se trate de los que estén expresados en bases distintas de diez.

Tomado de:

Schollaris

Cómo armar (y amar) las tablas de multiplicación

Muchos recordaréis las tablas de multiplicar de la escuela y los trucos para aprenderlas. En algunas había tendencias que se repetían (como simplemente duplicar la tabla de multiplicar del 2) pero otras terminábamos aprendiéndolas de memoria. Y no estaba muy claro por qué había que memorizar el resultado de 7 x 9.

No temas, aquí no te encontrarás trucos para memorizar las tablas. En lugar de ello, te quiero mostrar una forma de entender los números que les da cierta estructura, y cómo la multiplicación utiliza esa estructura.

Comprendiendo la multiplicación

Multiplicar simplemente te da el área de un rectángulo, si sabes la longitud de sus lados. Escoge cualquier cuadrado de la tabla debajo (por ejemplo, escojamos el cuadrado en la columna número 7 y la fila 5) y colorea un rectángulo desde ese punta a la esquina de la izquierda (debajo en verde).

Un rectángulo de tamaño 5 x 7 en la tabla de multiplicar

Este rectángulo tiene una longitud de 7 y una altura de 5, y el área (el número de cuadrados verdes) la puedes encontrar en el círculo azul de la esquina inferior derecha. Esto se cumple independientemente del par de números que escojas en la tabla.

Cojamos ahora este rectángulo y girémoslo sobre la diagonal principal de la tabla (la línea discontinua roja debajo).

El mismo rectángulo, girado

La longitud y altura del rectángulo también se ha cambiado, pero el área sigue siendo la misma. Por tanto, podemos ver que 5 x 7 es lo mismo que 7 x 5. Esto se cumple para cualquier par de números. En matemáticas es lo que conocemos como propiedad conmutativa.

Este hecho implica que hay una simetría en la tabla de multiplicar. Los números sobre la diagonal son como una especie de espejo de los números debajo. Así que, si tu objetivo es memorizar la tabla, solo necesitas memorizar la mitad.

La base que construye los números

Para adentrarnos más allá en las multiplicaciones necesitamos primero hacer algunas divisiones. Recuerda que dividir un número simplemente significa separarlo en partes más pequeñas de igual tamaño.

12 ÷ 3 = 4

Esto significa que 12 puede ser separado en 3 partes, cada una de tamaño 4.

Dado que 3 y 4 son ambos números enteros, se les llama factores de 12, y 12 se dice que es divisible por 3 y por 4. Si un número es solo divisible por sí mismo y 1, se le llama número primo.

Pero hay más de una forma de representar 12 como un producto de dos números:

12 × 1

6 × 2

4 × 3

3 × 4

2 × 6

1 × 12

De hecho, podemos ver esto si miramos a la tabla de multiplicar debajo:

Las apariciones del 12 en la tabla de multiplicar

El número de cuadrados coloreados de azul en esta tabla te dice que hay seis formas en las que puedes hacer un rectángulo de área 12 cuyos lados tengan una longitud de números enteros. Representan también las diferentes maneras en las que puedes escribir 12 como producto de dos números.

Además, tal vez te hayas dado cuenta de que los cuadrados coloreados parece que forman una especie de curva. ¡Lo hacen!. La curva que uniría los cuadrados se llama hipérbola, definida por la ecuación a × b = 12, en la que “a” y “b” no son necesariamente números enteros.

Echemos un vistazo de nuevo a la lista de números cuyo producto es igual a 12. Todos esos números son factores de 12. ¿Y si miramos a factores de factores? Cualquier factor que no sea un factor primo (excepto el 1) puede separarse en factores adicionales, por ejemplo:

12 = 6 × 2 = (2 × 3) × 2

12 = 4 × 3 = (2 × 2) × 3

No importa cómo lo hagamos, cuando dividimos los factores hasta que nos quedamos solo con los factores primos, siempre acabaremos con dos 2 y un 3.

Esta multiplicación:

2 × 2 × 3

Se llama “descomposición factorial” de 12 y es única a ese número. Solo hay una forma de escribir un número como un producto de sus factores primos, y cada multiplicación de factores primos da un resultado diferente. En matemáticas esto es lo que se conoce como teorema fundamental de la aritmética.

La descomposición en factores primos nos cuenta cosas importantes sobre un número de una forma muy condensada.

Por ejemplo, en la descomposición factorial 12 = 2 × 2 × 3 podemos ver inmediatamente que 12 es divisible por 2 y 3, y no por ningún otro número primo (como el 5 o el 7). También podemos ver que es divisible por el producto de cualquier combinación de dos 2 y un 3 que escojas.

Más aún, cualquier múltiplo de 12 será también divisible por los mismos números. Toma 11 x 12 = 132. Este resultado es divisible por 1, 2, 3, 4, 6 y 12, exactamente igual que 12. Al multiplicar cada uno de estos por el factor de 11, obtenemos que 132 es también divisible por 11, 22, 33, 44, 66 y 132.

Es también fácil ver si un número es el cuadrado de otro número: en ese caso debe haber un mismo número de cada factor primo. Por ejemplo, 36 = 2 × 2 × 3 × 3, es decir, es el cuadrado de 2 × 3 = 6.

La descomposición factorial puede hacer también las multiplicaciones más sencillas. Si no sabes el resultado de 11 x 12, conocer la descomposición de 12 implica que puedes calcular la multiplicación paso por paso.

11 x 12

= 11 x 2 × 2 × 3

= ((11 x 2) × 2) × 3

= (22 × 2) × 3

= 44 × 3

= 132

Si los factores primos de la descomposición son lo suficientemente pequeños (digamos 2, 3 o 5), multiplicar es sencillo, tal vez solo tengas que escribir un poco. Por tanto, multiplicar por 4 (= 2 x 2), 6 (= 2 x 3), 8 (= 2 x 2 x 2), o 9 (= 3 x 3) no tiene por qué ser tan complicado.

Por ejemplo, si no puedes recordar la tabla de multiplicar del 9, no importa siempre que puedas multiplicar dos veces por 3 (este método no vale sin embargo si tienes que multiplicar por factores primos mayores, aquí hay que utilizar otros trucos - si no has visto el de la tabla del 11, echa un ojo a este vídeo).

La habilidad de separar los números en sus factores primos puede hacer sencillas multiplicaciones muy complicadas, y es aún más útil para números mayores.

Por ejemplo, la descomposición factorial de 756 es 2 x 2 x 3 x 3 x 3 x 7, es decir, multiplicar por 756 simplemente significa multiplicar por cada uno de estos factores primos más pequeños (por supuesto, dar con la descomposición factorial de primos de un número muy grande es generalmente muy complejo, así que solo es útil si ya sabes antes cuál es esa descomposición).

Pero, ante todo, la descomposición factorial ofrece información fundamental sobre los números. Esta información es muy útil en matemáticas y otros campos como la criptografía y seguridad online. También lleva a algunos hallazgos sorprendentes: intenta colorear todos los múltiplos de 12 en las tablas de multiplicar anteriores y mira qué ocurre. Eso lo dejaré de tarea.

Fuente:

Gizmodo

Nuevas maneras de multiplicar y de dividir

Que los más jóvenes hablen de cuestiones que los adultos no comprenden, no es nuevo. Pero cuando lo más básico cambia, no queda más remedio que volver a la escuela. 

Dividir y multiplicar ya no es lo mismo. Los métodos que tradicionalmente se enseñaban en los colegios están siendo reemplazados.

Al parecer, los modernos hacen que las matemáticas sean más fáciles para los niños, pero dejan a los adultos completamente confundidos.

Rob Eastway, coautor del libro "Matemáticas para mamás y papás", le trata de explicar a los lectores de la BBC qué está pasando.

---

Yo solía pensar que tenía una buena comprensión de las matemáticas... hasta que mi hija empezó a ir a la escuela primaria. Fue entonces cuando descubrí una revolución tuvo lugar en la manera en que se enseña aritmética, y que había técnicas y terminología que no significaban nada para mí.

Déjeme darle una idea. En las escuelas primarias, los niños trabajan con líneas de números, rellenan diagramas de Carroll y calculan utilizando el método de "rejilla" y algo que lleva el peculiar nombre de "fragmentación".

Decidí investigar de qué estaba pasando.

Sin ábaco ni calculadora... el nuevo método promete que se puede llegar al resultado con la mente.

Lo primero que entendí fue que en la escuela yo fui uno de los afortunados. Era bueno con los números, así que el aprendizaje de las técnicas tradicionales de la multiplicación y la división no representaban ningún problema.

Pero para una enorme proporción de los niños, estas técnicas eran una tarea sin sentido. Si uno le pide a la mayoría de los adultos de hoy para llevar a cabo una multiplicación o una división larga, se quedan en blanco.

Quizás en algún momento sabían cómo hacerlo, pero ya no se acuerdan. Y de todos modos, para eso están las calculadoras, ¿no?

El tema de las calculadoras es importante. Muchas de las técnicas que nos enseñaron datan del siglo XIX, cuando se necesitaba un gran número de empleados para realizar los cálculos cotidianos a mano. Hoy en día, las calculadoras puede hacer estas tareas mucho más rápido.

Pero eso no quiere decir que no necesitamos saber manejar los números.

Para entender la vida

La esperanza es que con el nuevo método, menos gente le tenga miedo a las matemáticas.

Estamos inundados por los números todo el tiempo, ya sea porque alguien nos está tratando de vender un plan de teléfono móvil o un político nos está tratando de convencer de que su programa económico es el mejor. Como sociedad tenemos que darle sentido a estos números, si queremos gestionar con éxito nuestras vidas.

No todos tenemos que ser capaces de multiplicar 27 x 43 sin lápiz y papel? Pero sí necesitamos saber que el 27 x 43 es de aproximadamente 30 x 40, y que esto es más o menos 1.200. Así, llegar a comprender bien los números es la base de los nuevos métodos modernos.

Una de las técnicas adoptadas es el método de la rejilla para la multiplicación, que está vinculado a un método visual que muchos niños encuentran más fácil de entender.

En la siguiente guía podrá recordar cómo se multiplicaba de la manera tradicional y luego verá una introducción al método de la rejilla.

Lea el artículo completo en:

BBC Ciencia

El mínimo común múltiplo (mcm)... ¡y como calcularlo!

En este post vamos a ver qué es el mínimo común múltiplo o mcm y cómo calcularlo. Y también les dejamos unos enlaces para que puedan resolver ejercicios.

¿Qué es el mínimo común múltiplo (mcm)? El mínimo común múltiplo (mcm) es el número más pequeño, que no sea 0, que es múltiplo de 2 o más números.

Para entender mejor esta definición vamos a ver todos los términos:

• Múltiplo: Los múltiplos de un número son los que obtienes cuando lo multiplicas por otros números.

Vamos a ver un ejemplo de los multiplos de 2 y de 3. Para calcular sus múltiplos hay que ir multiplicando el 2 o el 3 por 1, por 2, por 3, etc.

2 x 1 = 2          2 x 2 = 4          2 x 3 = 6          2 x 4 = 8          y así sucesivamente hasta infinitos números.

3 x 1 = 3          3 x 2 = 6          3 x 3 = 9          3 x 4 = 12        y así sucesivamente hasta infinitos números.

•  Múltiplo Común: Un múltiplo común es un número que es múltiplo a la vez de dos o más números, es decir, es un múltiplo común a esos números.

Siguiendo con el ejemplo anterior, vamos a ver los múltiplos comunes de 2 y de 3.

Habrá que ver qué múltiplos tienen en común el dos y el tres, que en la imagen figuran en verde, es decir, el 6, el 12 y el 18.  Hay que tener en cuenta que los múltiplos son infinitos y que nosotros solo hemos mostrados los primeros de cada número.

•  Mínimo común múltiplo: El mínimo común múltiplo es el número más pequeño de los múltiplos comunes.

Siguiendo con el ejemplo anterior, si los múltiplos comunes de 2 y de 3 eran 6, 12 y 18, el mínimo común múltiplo o mcm es 6, ya que es el menor de los múltiplos comunes.

A continuación vamos a ver cómo calcular el mínimo común múltiplo. Se pueden utilizar dos métodos.

El primer método para calcular el mcm es el que hemos utilizado antes, es decir, escribimos los primeros múltiplos de cada número, señalamos los múltiplos que sean comunes y elegimos el múltiplo común más pequeño.

Ahora vamos a explicar el segundo método para calcular el mcm. Lo primero que hay que hacer es descomponer en factores primos cada número. Después tendremos que elegir los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente y por último, tendremos que multiplicar los factores elegidos.

Vamos a ver un ejemplo de ésto, calculando el mcm de 12 y de 8.

Vamos a descomponer 12 y 8 en factores primos:

12 = 2² x 3          8 = 2³

Ahora elegimos los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente, por lo tanto elegimos 2³ y el 3.

Y por último los multiplicamos, por lo tanto 2³ x 3 = 8 x 3 = 24

Así que el mcm ( 12 , 8 ) = 24

Pulsa en el enlace si quieres ver el tutorial completo con más ejemplos del mínimo común múltiplo.

Además puedes practicar algunos ejercicios sobre el mínimo común múltiplo online en los enlaces que te mostramos a continuación:

Ejercicios para calcular el mcm de 2 números I

Ejercicios para calcular el mcm de 2 números II

Fuente:

Matemáticas a un click

Las dos maneras equivalentes de escribir los dígitos de un número

Estamos acostumbrados a ver precios que casi, casi llegan a un valor entero, como 5.99€. Al menos en ese caso si pagas con 6€, (en teoría) te devolverían 1 céntimo. ¿Pero qué pasaría si el precio fuera de 5,99999....€ con infinitos nueves?

Como veremos en el post de hoy, se puede demostrar matemáticamente que ese número y el 6 son el mismo. No es que estén "infinitesimalmente cerca", no, no es eso: es que son las dos formas válidas de escribir el número 6.

Si no te lo crees así de sopetón, como es la reacción más normal, aquí va la primera demostración. Primero, podemos separar 5,999999.... en dos partes:

5,9999.... = 5 + 0,9999.....

Ahora, dividimos y multiplicamos el segundo sumando por 3:

= 5 + 0,9999.... * (3/3)

= 5 + 0,3333.... * 3

Y nadie dudará de que 0,33333.... (con infinitos treses) es igual a 1/3, por lo que:

= 5 + (1/3) * 3

que es exactamente igual al número 6:

= 5 + (1/3) * 3 = 5 + 1 = 6

Resumiendo: 5,9999.... con infinitos nueves no se puede distinguir, ni siquiera en lo más infinitamente pequeño, del número 6.

Ésta es una propiedad sorprendente que simplemente quiere decir que existen dos formas de escribir muchos números, ya que no es un caso particular que sólo ocurra con el número 6.

De hecho, si observas el razonamiento que he seguido arriba, podríamos hacer exactamente lo mismo con cualquier otro número entero N sustituyendo el 5 por un N-1. Y dividiendo todo por 10 elevado a la potencia correspondiente se puede generalizar para cualquier número con un número finito de decimales.

La propiedad no se puede aplicar, en general, para cualquier número real ni tan siquiera racional, pero sí que se puede extender a cualquier otro sistema de numeración distinto del decimal. Obviamente, en un sistema de base b, en lugar de nueves, los dígitos que se repiten infinitamente serán el b-1. Como ejemplo, para números en base binaria (los usados por los ordenadores), tenemos que el número:

110₍₂

(dónde el ₍₂ indica que es un número binario), es idéntico al:

101.11111111111...... ₍₂

Para demostrar este caso voy a echar mano de otra demostración distinta a la de arriba: multiplicar por b (un 2 en este caso, 10 si fuese sistema decimal) y a dicho valor restar el número original:

x = 101.111...₍₂

10₍₂ x = 1011.111...₍₂

10₍₂ x - x= 1011.111...₍₂ - 101.111...₍₂ --->

1₍₂ x = 110₍₂ --->

x = 110₍₂ --->

101.111...₍₂ = 110₍₂

De nuevo, esta demostración también funciona en base 10 o en la que queráis probar.

Y para terminar, la demostración que más me gusta, que hace uso de un resultado conocido de sumas de series geométricas, aquel que dice que la suma de los infinitos términos:

r¹ + r² + r³ + r⁴ + r⁵ + ....

es igual a r/(1-r), siempre que |r| < 1.

Pues bien, si expresamos la representación de un número decimal como:

a.b₁b₂b₃b₄b₅.....

su valor numérico viene dado simplemente por el valor de cada uno de sus dígitos, ponderado por el "peso" del lugar que ocupa:

= a + b₁ (1/10)¹ + b₂ (1/10)² + b₃ (1/10)³ + b₄ (1/10)⁴ + ....

Para el caso de un número terminado en infinitos nueves vemos que todos los términos "b" son iguales a 9, y el valor del número es el resultado de sumar los infinitos términos de:

= a + 9 [ (1/10)¹ + (1/10)² + (1/10)³ + (1/10)⁴ + ....]

Pero lo que va dentro de los corchetes no es más que una serie geométrica de coeficiente r=1/10, por lo que su suma vale r/(1-r) = 1/9, que reemplazando arriba:

= a + 9 (1/9) = a + 1

Lo que demuestra que, entre otras infinitas posibilidades, 5.9999...... es exactamente igual a 6.

Si aún tras todas estas pruebas te sientes escéptico, probablemente sea por la engañosa similitud del concepto de "infinitos nueves decimales" al de "un número de nueves que tiende a infinito". Ojo, que un "5 con k nueves decimales" sin duda tiende a 6 cuando k tiende al infinito, pero nunca lo alcanza. Por contra, un "5 con infinitos nueves decimales", es exactamente 6.

¡Espero que os haya entretenido!

Para leer más: 1

Fuente:

Ciencia Explicada

Cómo sumar los naturales y no morir en el intento

Miércoles, 14 de abril de 2010

Cómo sumar los naturales y no morir en el intento

Las series divergentes son una invención del diablo. Usándolas se puede llegar a cualquier conclusión y es así cómo estas series han dado lugar a tantas falacias y paradojas

Niels Henrik Abel

Ya los dijo Abel hace mucho tiempo, que esto de sumar infinitas cosas nos iba a traer problemas. Pero esto a Euler no le impidió hacer verdaderas maravillas con ellas.

Si os pregunto cuánto vale la suma de todos los números naturales, probablemente casi todos me diréis que es infinito, y estaréis en lo cierto... siempre que sentemos las bases clásicas de las series infinitas.

Para sumar una serie infinita, lo que hacemos es ir viendo las sumas parciales, es decir, truncando la serie y quedándonos con una cantidad finita de términos. Cada vez, vamos añadiendo un nuevo término y así vamos obteniendo una sucesión de números cada vez más cercanos a la (presunta) suma, que será el límite de estas sumas parciales.

Esto es grosso modo el método clásico de sumación y, según éste, la serie de los números naturales es divergente, es decir, suma infinita. Pero Euler era de todo menos clásico, así que simplemente hizo algunas manipulaciones. Antes, se decidió calcular cuánto valía la suma de los naturales, pero alternando el signo, es decir, 1-2+3-4+5-6+.... para lo que hizo lo siguiente.

S = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + . . . . .
S = + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - . . . . .
S = + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - . . . . . .
S = + 1 - 2 + 3 - 4 + . . . . . . .
--------------------------------------------
4 S = 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + . . .

Por lo tanto, la suma anterior es S=1/4.

Esto no es demasiado extraño ni alejado de lo clásico ya que si desarrollamos en series de potencias la función 1/(1+x)^2 resulta que

1/(1+x)^2=1-2x+3x²-4x³+...

y este desarrollo es válido cualquiera que sea el valor de x entre -1 y 1. En principio, el -1 debería estar excluido, epro si hacemos x=-1 en la expresión anterior, resulta que nos da, precisamente, que S=1-2+3-4+...=1/4.

Ahora estamos en disposición de sumar los números naturales, según la versión de Euler.

z(s) = 1^-s + 2^-s + 3^-s + 4^-s + ...
2^-sz(s) = 2^-s + 4^-s + 6^-s + ...

Ahora, a la primera suma, le restamos 2 veces la segunda y obtenemos

(1-2·2^-s)z(s)=1^-s-2^-s+3^-s-4^-s+ ...
Finalmente, haciendo s=-1, se obtiene que

-3(1+2+3+4+...)=1-2+3-4+....
Y como ya habíamos visto que esta última suma era 1/4, resulta que
1+2+3+4+...=-1/12
Paradójico, ¿verdad? Pues lo mejor de todo es que todos estos cálculos se pueden hacer rigurosos, ya que la expresión z(s) que hemos utilizado es, en realidad, la función Zeta de Riemann que está perfectamente definida para todo número complejo s≠1. Así que, en el fondo, Euler no andaba muy desencaminado.

Pero es que la cosa no queda aquí, es que este cálculo dibaólico es el que justifica que la Teoría Bosónica de Cuerdas funcione en las 26 dimensiones que debe funcionar. Pero esto ya es harina de otro costal.

Sólo finalizar esta entrada con el peor chiste de matemáticas de mundo que dice lo siguiente:

Esto es un número infinito de matemáticos que entran en un bar. El primero pide una cerveza. El segundo pide media cerveza. El tercero pide un cuarto de cerveza… Entonces el camarero dice «¡Idiotas!» y les pone dos cervezas.

Pues bien, gracias a los cálculos que hemos realizado, y como bien apuntan en God Plays Dice, este chiste se puede mejorar de la siguiente forma:

Esto es un número infinito de matemáticos que entran en un bar, uno de los cuales lleva ya una cerveza enla mano. El primero pide una cerveza. El segundo pide 2 cervezas, el tercero 3 y así sucesivamente. Así que el camarero coje la cerveza que traían y les quita, exactamente 1/12 de ella. Y todos los matemáticos se fueron contentos.

Fuente:

Tito Eliatron Dixit