Para el profano toda la matemática es
lo mismo y, sin embargo, no todas las matemáticas son creadas
iguales. Existe una rama de ellas que es tremendamente abstracta,
tanto que sólo los matemáticos especializados en ella le encuentran
algún sentido: el álgebra abstracta. Paradójicamente el universo
parece recogerse en ella.
El álgebra como abstracción comenzó
su camino a finales del siglo XVIII y floreció en el XIX. Sin
embargo, cada uno de sus pasos se encontró con la incomprensión de
la mayoría de los matemáticos con mentalidades más clásicas
(enfocadas a la geometría) o más modernas (fascinadas por el
análisis y sus aplicaciones en física e ingeniería). Este fue el
caso de Abel, Ruffini, Galois o Grassmann. El caso de este último es
muy ilustrativo: hoy día cualquier estudiante universitario que haya
tenido un curso de matemáticas ha estudiado a Grassmann sin saberlo,
es lo que llamamos álgebra lineal. Grassmann en su día tuvo que
abandonar las matemáticas por la incomprensión de un Cauchy, un
Möbius o un Hamilton y dedicarse a su otra pasión, el sánscrito,
lo que, esta vez sí, le granjeó un doctorado honorífico por la
Universidad de Tubinga. Y es que esas abstracciones suyas de vectores
y espacios vectoriales no tenían utilidad alguna, no digamos ya
grupos, anillos o cuerpos.
En 1960 Eugene Wigner escribió un
ensayo titulado “La irrazonable efectividad de las matemáticas en
las ciencias naturales” en el que se maravillaba de que estos
productos de la pura abstracción humana, estos grupos y matrices,
estos espacios y variedades, terminasen siendo imágenes de cosas
reales o procesos reales en el mundo real. Y es que la revolución de
la física de la primera mitad del siglo XX encontró apoyo en las
ideas más abstractas del siglo XIX para la descripción tanto del
universo a gran escala como del interior del átomo. De hecho, las
física más especulativa del siglo XXI también se apoya en los
aspectos más abstractos del álgebra del siglo XX. Veamos, a título
de ilustración y sin ánimo de ser exhaustivos, algunos ejemplos.
Teoría especial de la relatividad
(1905)
Las mediciones del espacio y el tiempo
realizadas en un marco de referencia pueden ser “traducidas” a
mediciones hechas en otro (que se mueve, por supuesto, a una
velocidad constante con respecto al primero) mediante la
transformación de Lorentz. Estas transformaciones pueden incluirse
en un modelo como rotaciones de un sistema de coordenadas en un
cierto espacio de cuatro dimensiones. En otras palabras, un grupo deLie (1870).
Teoría general de la relatividad
(1916)
El espacioteimpo de cuatro dimensiones
se curva (distorsiona) por la presencia de materia y energía. Para
describir este fenómeno adecuadamente hemos de recurrir al cálculotensorial,
iniciado por Hamilton (1846), desarrollado por Ricci-Curbastro (1890)
basándose en Riemann y Grassmann, y popularizado por Levi-Civita
(1900).
Mecánica cuántica matricial (1925)
Cuando el joven Werner Heisenberg
estaba trabajando con las frecuencias de las radiaciones emitidas por
un átomo que “salta” de un estado cuántico a otro, se encontró
mirando varios cuadros de datos que tenían como característica que
el número de la columna n-ava de la fila m-ava
representaba la probabilidad de que un átomo “saltase” del
estado m al estado n. La lógica de la situación le
indicaba que tenía que multiplicar estos cuadros entre sí y sugirió
la única técnica adecuada para hacerlo. Pero, cuando intentó
llevar a cabo la multiplicación efectiva, se encontró con la
sorpresa de que no era conmutativa. Multiplicar el cuadro A por el
cuadro B no era lo mismo que multiplicar el cuadro B por el cuadro A.
¿Qué estaba pasando? Su suerte fue que investigaba en la
Universidad de Gotinga y Emmy Noether y David Hilbert le explicaron
muy amablemente la teoría de matrices que Cayley ya recogía en un
libro de texto (1858), y las contribuciones posteriores de Hamilton,
Frobenius y Cauchy, entre otros.
Hadrones y quarks (1964)
Para comienzo de los años 60 del siglo
XX los físicos habían descubierto todo un mundo de partículas
subatómicas llamadas hadrones. Murray Gell-Mann, a la sazón un
joven investigador en el Instituto de Tecnología de California, se
dio cuenta de que las propiedades de los hadrones, si bien no seguían
un patrón lineal evidente, adquirían sentido como parte de un grupo
de Lie, uno que aparece cuando estudiamos las rotaciones en un
espacio bidimensional cuyas coordenadas sean números complejos.
Trabajando con esta idea y los datos, Gell-Mann se dio cuenta de que
su primera impresión era superficial. El grupo equivalente de 3
dimensiones complejas explicaba muchas más cosas pero requería de
la existencia de partículas que aún no se habían observado.
Gell-Mann se fió de su intuición, sus datos y las matemáticas y
publicó lo que había encontrado. Las partículas que había
predicho Gell-Mann dieron en llamarse quarks.
Teoría de cuerdas (1985)
Trabajando con algunas ideas de
Riemann, Erich Kähler propuso en los años 30 del siglo XX una
familia de variedades que tienen una propiedades generales muy
interesantes. Cada superficie de Riemann, por ejemplo, es una
variedad de Kähler. Entre 1954 y 1957 Eugenio Calabi identificó una
subclase de variedades de Kähler y conjeturó que su curvatura debía
tener un tipo de simplicidad muy interesante. Esta conjetura de
Calabi fue demostrada por Shing-tung Yau en 1977.
En 1985 el grupo de investigación de
Edward Witten se refirió a esta subclase de variedad como Calabi-Yau
en un trabajo en el que identificaban su lisura (suavidad, ausencia
de irregularidades), la simplicidad de su curvatura, como el
trasfondo ideal en el que ubicar los movimientos de las cuerdas que,
según la teoría, nuestros instrumentos interpretan como toda la
variedad de partículas subatómicas y fuerzas, incluida la gravedad.
El hecho de que la variedad de Calabi-Yau tenga 6 dimensiones parece
muy raro, pero resulta que 3 de ellas están “plegadas” desde
nuestra perspectiva macroscópica, de la misma forma que una maroma
de barco manifiestamente tridimensional parece unidimensional a una
distancia suficiente.
Una vez dije en una conferencia que la
física del futuro, la descripción del universo que compartirán
nuestros nietos, existe ya en la facultad de matemáticas. Eso sí,
puede que la distribución no sea isótropa, y haya algo más
concentración en los departamentos de álgebra.
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