El acertijo matemático en el epitafio de Diofanto

La muerte del matemático alejandrino Diofanto nos trajo el siguiente acertijo, al menos según recoge una colección griega de acertijos del siglo V:

En esta tumba reposa Diofanto. ¡Ah, qué gran maravilla! La tumba cuenta científicamente la medida de su vida. Dios le concedió ser un muchacho durante la sexta parte de su vida, y añadiendo una doceava parte a ésta, revistió su mejilla de pelusa. Encendió la luz del connubio pasada una séptima parte, y cinco años después de su matrimonio le dio un hijo. ¡Ay! ¡Desdichado hijo tardío! Después de consolar su pena mediante el estudio de los números durante cuatro años, Diofanto terminó su vida.

¿Cuál fue la edad de muerte de Diofanto?

La respuesta es 84 años de edad (aunque ello no esté acreditado desde un punto de vista histórico). Los cálculos son los siguientes (siendo x la edad de Diofanto):

X = 1/6x + 1/12x + 1/7x + 5 + 1/2x + 4

Conocer Ciencia: Ciencia sencilla, ciencia divertida, ciencia fascinante...

Los primeros instrumentos musicales

La música como forma de expresión es algo consustancial con la propia naturaleza humana, por ello aparece desde tiempos remotos en todas las culturas. 

Nadie conoce con exactitud el momento en que nació lo que conocemos como música, pero existe una correlación entre la misma y la necesidad que ha acompañado siempre al ser humano de expresar sus emociones o sentimientos.

Se cree que las primeras expresiones musicales surgieron, o bien de la necesidad de imitar el sonido de los animales que los rodeaban a fin de comunicarse con ellos, o bien como un modo de establecer relación con los dioses a los que veneraban.

Esta suposición parte de la base de que la narración del origen de la música en todas las culturas, de las que tenemos constancia, dota a ésta de una naturaleza divina.

Así por ejemplo, en la tradición griega se considera al dios Hermes como transmisor de la música al ser humano, o en la cultura nórdica es Heimdall su dios guardián, el que la acerca mediante el uso de un cuerno musical llamado, Gjallarhorn.

Las tradiciones y leyendas, se repiten a través de todas las culturas, otorgando carácter divino a la música y configurándola como un lenguaje con el que comunicarse con los dioses.

El primer instrumento musical: el cuerpo humano

A pesar de no poder tener constancia de este extremo, dada la imposibilidad de encontrar evidencias arqueológicas, se sospecha que el primer instrumento utilizado por el ser humano para elaborar música fue su propio cuerpo, mediante el empleo de la voz o de la percusión corporal.

Así el ser humano descubrió la capacidad de imitar los sonidos de la naturaleza y se encontró ante una nueva forma de expresión.

La percusión corporal evolucionaría hacia la realizada golpeando piedras, palos o incluso pieles tensadas.

Lamentablemente los restos de estos posibles primeros instrumentos no existen debido a la degradación de los materiales empleados en el caso de las pieles, o a la dificultad de otorgar el carácter de instrumento musical a los restos líticos hallados.

El primer instrumento musical elaborado por el hombre

Pero si nos centramos en instrumentos musicales elaborados por el ser humano y de los que conservemos restos que prueben su existencia hemos de remontarnos hasta el Paleolítico Superior, donde aparecen los primeros aceptados como tales por toda la comunidad científica y cuya elaboración se debe al Homo Sapiens.

Hablamos del hallazgo en Geissenklösterle (Alemania) de dos flautas talladas en cúbito de cisne y una tercera en marfil de mamut, a las que se ha atribuido una antigüedad de 36.000 años y que están enmarcadas dentro de la cultura Auriñaciense.

La controversia de la flauta de Divje Babe

En el año 1995, el arqueólogo Ivan Turk descubre en la cueva de Divje Babe, en Eslovenia, los restos de lo que puede ser una flauta con una antigüedad datada de 43.100 años, y atribuida no ya al Homo Sapiens sino al Homo Neanderthalensis.

La hipotética flauta está construida sobre un hueso de oso donde se presentan cuatro agujeros alineados y un quinto en la parte posterior de estos, tal y como tienen las flautas actuales.

Existe controversia al respecto de si es una verdadera flauta o si se trata realmente de un fémur de oso horadado por la actuación de animales carnívoros o roedores.

Los partidarios de la hipótesis de que se trata de una flauta, alegan que junto con ella, aparecieron restos de instrumentos puntiagudos que pudieron servir para hacer los agujeros que presenta.

Asimismo establecen como improbable que la acción de uno o varios animales pudieran tallar cuatro agujeros prácticamente equidistantes entre sí y con forma circular.

Asimismo, tras una reconstrucción de la flauta, se demostró que la misma se ajusta a la escala musical, tal y como se aprecia en el video:

La música prehistórica como forma de arte

Con independencia que la flauta de Divje Babe sea realmente el primer instrumento musical del que se tiene constancia o que sea meramente un hueso al que el azar o el paso del tiempo le ha dado forma de flauta, lo cierto es que la música como lenguaje está presente en todas y cada una de las culturas de las que se tiene referencia.

Además, a medida que investigamos en nuestro pasado más remoto, descubrimos como la música como forma de expresión, sigue una evolución paralela al propio lenguaje humano teniendo la misma importancia que éste en el desarrollo de nuestra civilización.

Quizá la incógnita que realmente debemos despejar no es cuándo nació la música, sino el momento en el que pasó de ser una forma de comunicación con los dioses o la naturaleza, y alcanzó entidad propia como un arte que aún a día de hoy nos fascina y que consideramos tan imprescindible como el lenguaje oral o escrito

Tomado de:

Suite101

No hay música sin ciencia

No se puede ver ni palpar, sin embargo, se siente. La música es una de las manifestaciones artísticas más universales y, a la vez, uno de los rasgos más singulares, junto con el habla, del ser humano. Pero el lenguaje musical tiene, también, mucho en común con otro lenguaje que la inteligencia ha inventado para describir la realidad: la ciencia. Ésta habla de espectros, frecuencias, resonancias, vibraciones y análisis armónico. No es una simple coincidencia, no hay música sin física.

El sonido es un fenómeno físico originado por la vibración de los cuerpos y que se trasmite por el aire en forma de ondas. El efecto estético de un sonido depende de la relación lógica y pautada de sus vibraciones. Es decir, que en el fenómeno musical existe una esencia matemática. Y si consideramos la música como una sensación auditiva cuyo propósito es invocar emociones, disciplinas como la fisiología, la psicología, la bioquímica y las neurociencias tienen mucho que decir.

Un Sistema Solar polifónico

La correspondencia entre la música y la ciencia se conoce desde hace mucho tiempo. Probablemente, hacia el siglo VI a.C., en Mesopotamia ya advirtieran las relaciones numéricas entre longitudes de cuerdas. Pero fue en la Grecia antigua cuando se trazaron las diferentes escaleras armónicas basadas en las proporciones numéricas. Para los pitagóricos el Universo era armonía y número. Las notas musicales se correspondían con los cuerpos celestes. Los planetas emitían tonos según las proporciones aritméticas de sus órbitas alrededor de la Tierra. Y los sonidos de cada esfera se combinaban produciendo una sincronía sonora: la "música de las esferas".

Esta armonía celestial fue descrita por muchos pensadores como Platón, que en La República, relata el mito de Er, un guerrero que en su muerte temporal ve el Universo y describe las órbitas de los planetas. "Encima de cada uno de los círculos iba una Sirena que daba también vueltas y lanzaba una voz siempre del mismo tono; y de todas las voces, que eran ocho, se formaba un acorde". También Cicerón, en El Sueño de Escipión, explica el fenómeno: "Es el sonido que se produce por el impulso y movimiento de las órbitas, compuesto de intervalos desiguales, pero armonizados (...) Porque tan grandes movimientos no podrían causarse con silencio, y hace la naturaleza que los extremos suenen, unos, graves, y otros, agudos".

La tradición que consideraba al Universo como un gran instrumento musical se prolongará durante la Edad Media y hasta el siglo XVII, cuando aparece la figura de Johannes Kepler. El astrónomo alemán intentó comprender las leyes del movimiento planetario y consideró que éstas debían cumplir las leyes pitagóricas de la armonía. En su libro Harmonices Mundi (1619) ilustra el orden del Universo según los sonidos producidos por las velocidades angulares de cada planeta. Cuanto más rápido era el movimiento, más agudo era el sonido que emitía.

Asumida esta creencia, Kepler escribió seis melodías, cada una correspondiente a un planeta diferente, e instó a los músicos de su época a asimilar su descubrimiento. Escribió: "el movimiento celeste no es otra cosa que una continua canción para varias voces, para ser percibida por el intelecto, no por el oído; una música que, a través de sus discordantes tensiones, a través de sus síncopas y cadencias, progresa hacia cierta predesignada cadencia para seis voces y, mientras tanto, deja sus marcas en el inmensurable flujo del tiempo".

Las estrellas se hacen oír

Las primeras evidencias de música originada en un cuerpo celeste, tal como habían imaginado los pitagóricos primero y Kepler más tarde, no se encontraron hasta hace varias décadas. Las estrellas no emiten melodías armoniosas, pero sí que están sometidas a perturbaciones que provocan una respuesta en forma de ondas. No podemos escuchar el sonido emitido por una estrella, ya que las ondas de sonido necesitan un medio por el que propagarse y el Universo está prácticamente vacío, aunque podemos observar cómo vibra. Y éste es el ámbito de estudio de la sismología solar, un campo de la astrofísica que, desde 1979, investiga en detalle la estructura interna invisible del Sol.

Como un complejo instrumento musical, nuestro astro oscila creando tipos de ondas (modos propios de oscilación) que se propagan por su interior y se reflejan en la superficie deformándola ligeramente, del mismo modo que las olas del mar. Observando esta alteración se pueden descubrir las frecuencias de las ondas que se propagan desde su núcleo y deducir, al igual que en una ecografía, las características físicas y los movimientos que se prolongan en el interior.

Que nuestro astro tenga ritmo no es una cualidad única, sino que cada estrella, como cada instrumento musical, posee su propio sonido. Actualmente, un astrofísico del IAC, Garik Israelian, ha convertido esta propiedad de los objetos celestes en un proyecto musical. "Detecto las ondas, las convierto en sonidos en el ordenador y, como resultado, obtengo una serie de notas precisas", describe. Con él colabora Brian May, otro astrofísico aunque más conocido como guitarrista y compositor del grupo Queen.

Y el Sol es, también, la repuesta a uno de los misterios que la ciencia llevaba años persiguiendo: el excelso sonido del violín Stradivarius. La última teoría sostiene que el secreto está en el "Mínimo de Maunder", un periodo de escasa actividad solar que entre los siglos XVII y XVIII, cuando se elaboraron los citados violines, provocó un acusado cambio climático. La temperatura en Europa descendió, en lo que se llamó la "Pequeña Edad de Hielo", causando un lento crecimiento en los árboles y dotando a la madera de unas singulares cualidades sonoras.

Con la música a otra parte

Para Leibniz, "la música es un ejercicio de aritmética secreta y el que se entrega a ella ignora que maneja números". Y Bertrand Russell consideraba que "el matemático puro, como el músico, es creador libre de su mundo de belleza ordenada". Descartes (Compendio musical), Galileo (Discurso), Mersenne (Armonía Universal), D’Alembert (la solución de la ecuación de ondas) y Euler (Nueva teoría musical), son algunos de los matemáticos que se han preocupado por la elaboración de teorías musicales. Si bien, también se conocen muchos compositores que han aplicado a sus creaciones principios de lógica y probabilidad matemática, como Debussy, Boulez, Messiaen, Varese, Stockhausen o Xenakis, precursores de la música electrónica actual.

Pero la música no solamente ha seducido a los matemáticos. Científicos de muchas disciplinas han recogido sus teorías en composiciones musicales. Como Clark Maxwell, descubridor de la existencia de las ondas electromagnéticas, que compuso una canción titulada "Rigid Body Sings" para explicar de forma cómica la ley de colisión entre los cuerpos rígidos, o el físico Georges Gamow, que en uno de sus libros sobre su simpático personaje de ficción Mr. Tompkins incluyó tres arias para ser cantadas por tres eminentes cosmólogos, Abbé George Lemaître, Fred Hoyle y él mismo, que explicaban diferentes teorías de la creación del Universo.

En contra de la creencia popular, emoción y razón se originan en el cerebro y están relacionadas. Por ello, han prosperado nuevos campos de estudio, en especial, desde las neurociencias, que analizan la conexión entre el sonido, la emoción y el pensamiento. Y aunque hace 20 años pocos creían que pudiera aportar nada, actualmente es un ámbito de gran interés académico y múltiples aplicaciones, sobre todo, terapéuticas.

Hoy sabemos, que la música y el lenguaje tienen un origen común, ya que en el ámbito neurológico han evolucionado juntas en los últimos dos millones de años. También conocemos que la música estimula la zona del cerebro que registra el placer, un mecanismo básico para la supervivencia. Y que no todos escuchamos del mismo modo: gracias a imágenes obtenidas por Resonancia Magnética Funcional, se ha observado que la actividad cerebral en un músico es diferente de la de una persona sin formación musical.

Resumiendo, la música es el arte de combinar sonidos armónicamente con el propósito de producir sensaciones. Pero la armonía no es sólo un elemento esencial de la música, sino que ha sido invocada frecuentemente por la ciencia para describir y comprender el mundo. Muchos científicos han confiado en la armonía del Universo y algunos músicos han utilizado la lógica y el cálculo en sus creaciones. La música integra con la ciencia un campo general del pensamiento que nos distingue como humanos. Preguntarnos por ella, es preguntarnos por nosotros mismos.

Fuente:

Ccaos y Ciencia

¿Cómo habría acabado Sócrates con la telebasura?

No hay cadena comercial de TV que se precie que no cuente en su parrilla con algún programa basado en los chismes, los rumores, los infundios, la injuria, la calumnia… los llamados, con mucho tino, telebasura. Ya contamos en su momento lo que les hubiese pasado en el siglo XVI a los – en este caso las – condenados por injurias o calumnias, pero como no me gusta ser tan cruel echaremos mano del filósofo clásico Sócrates para saber cómo habría atajado él esta epidemia.

Sócrates

En cierta ocasión, un conocido de Sócrates se le acercó y le dijo:

Maestro, ¿sabes lo que me han contado de Fulano? (también podría haber sido de Mengano o Zutano)

Sócrates levantó la mano para que no siguiese hablando y le advirtió:

Antes de que me digas de qué va permite que te haga la prueba de las tres preguntas. Su amigo aceptó.
1ª ¿Estás seguro de que lo que me vas a contar es cierto? No, acaban de contármelo.
Es decir, que no sabes si es cierto o no.
2ª Lo que vas a decirme de Fulano, ¿es bueno? No.
Me quieres contar algo malo de Fulano incluso no estando seguro de si es cierto, ¿es así? El hombre avergonzado asintió.
3ª Lo que vas a contarme de Fulano, ¿será provechoso para alguien? No, realmente no…
Quieres contarme algo que no estás seguro de que sea cierto, que no es bueno y ni siquiera es provechoso, ¿por qué entonces hablar de ello? Vete de aquí con tus infundios y bulos.

Si antes de participar en este tipo de programas se planteasen la prueba de las tres preguntas de Sócrates y, además, fuesen consecuentes y sinceros con sus respuestas… se acabaría con estas miserias. A Sócrates se le olvidó un pequeño detalle… la pasta que les pagan que compra voluntades y conciencias.

Fuente: Anécdotas de la Historia – Pancracio Celdrán Gomáriz.

Tomado de:

Historias de la Historia

¿Cuál es el origen de la expresión encontrar a tu "media naranja"?

Parece que la primera alusión al concepto de la búsqueda de la "media naranja" en alusión a nuestra "pareja ideal" aparece en la obra El banquete, de Platón. En el libro, tras un copioso festín, Aristófanes cuenta a los asistentes que, en una época remota, había los humanos eran seres redondos, con 4 brazos y 4 piernas, además de dos rostros. Y que existían tres tipos: el varón doble, la mujer doble y el hombre-mujer (andróginos).

Aquellos individuos quisieron enfrentarse a los dioses y escalar el cielo, pero Zeus los castigó cortandolos en dos. Desde entonces, narraba la obra de Platón, cada mitad busca a su otra mitad para fundirse con ella para siempre en un abrazo. 

Fuente:

Muy Interesante

¿Cuántas estrellas podemos ver a simple vista?

Una pregunta milenaria, que seguro preocupó a muchas mentes a lo largo de la historia. La primera aproximación es decir que son muchas, y en este sentido queda retratado en Génesis (15 4-5):

El Señor lo llevó fuera, y le dijo: “Ahora mira al cielo y cuenta las estrellas, si te es posible contarlas.” Y añadió: “Así será tu descendencia".

Los astrónomos griegos, mucho más metódicos, obtuvieron una cifra más precisa de las estrellas que podían ver a lo largo del año. Por ejemplo, Hipparco (aprox. 127 a.C.) catalogó 850 estrellas en el cielo nocturno, mientras que Ptolomeo de Alejandría (127-151 d.C.) aumentó esa cifra a 1022 [1]. De éstas, en un cielo sin Luna y en condiciones muy favorables se pueden ver algo más de la mitad (pues el resto estaría bajo el horizonte).

Los astrónomos griegos dividieron a las estrellas visibles en 6 clases, atendiendo a su brillo aparente. Las estrellas más brillantes como Sirio o Vega eran clasificadas como de magnitud 1, y las más tenues que se podían ver a simple vista en las mejores condiciones caían en la clase 6.

A finales del siglo XIX, Sir N. R. Pogson se dió cuenta que las estrellas típicas de magnitud 6 eran aproximadamente 100 veces más ténues que las de magnitud 1, y que la escala era logarítmica, siendo las estrellas de cada magnitud unas dos veces y media más brillantes que las de la siguiente. En base a esta observación, Pogson redefinió la escala de magnitudes estelares de modo que pudiera asociar un número real al brillo aparente de cada estrella.

En esta nueva escala algunas estrellas con gran brillo aparente tienen magnitud negativa. Así, por ejemplo, el Sol tendría una magnitud –26.74, mientras que Sirio (la estrella más brillante del cielo nocturno), tiene una magnitud de –1.47. También podemos asociar una magnitud a estrellas que sólo son visibles a través del telescopio. Por ejemplo, la estrella más cercana al Sistema Solar (Proxima Centauri) tiene magnitud 11.09.

En una noche oscura y con las mejores condiciones de observación, el ojo humano puede llegar a ver estrellas hasta de magnitud 6 o 6.5 en la nueva escala. De las 300.000 millones de estrellas de nuestra galaxia, 9500 tienen magnitud menor que 6.5. En el mejor cielo estrellado es posible que se puedan a contar unas 4000 a simple vista. En ciudades pequeñas la contaminación lumínica sólo permite que detectemos estrellas de magnitud menor que 4, reduciendo el número de estrellas visibles a unas 200.

Pero... ¿Qué produce ese límite de magnitud de 6.5? Podríamos pensar que el problema está en nuestros ojos. Sin embargo, una estrella de magnitud 6.5 es lo suficientemente brillante como para que cada una de nuestras retinas reciba unos 200 fotones / segundo [2]. Teniendo en cuenta que nuestros bastones (entre las tres clases de fotoreceptores de nuestra retina, la que media la visión nocturna) pueden detectar y trasmitir la captura de un único fotón, esto debería ser suficiente para detectar la estrella ¿Qué está ocurriendo?

Lo cierto es que los bastones no son completamente infalibles, y de vez en cuando reaccionan pese a no haber detectado ningún fotón. Esta reacción es indistinguible de la verdadera captura de un fotón. Para que el ojo esté seguro de haber detectado una estrella, no basta con detectarla; el flujo de fotones capturados debe ser bastante mayor que el flujo de "fotones falsos" reportados por los bastones.

¿Explicaría esto el límite de magnitud 6-6.5? Pues en realidad no. El astrónomo americano Heber Curtis descubrió que podemos ver estrellas mucho más tenues si ocultamos el cielo alrededor de la estrella. Podemos detectar estrellas de magnitud 8.5 cuando las vemos a través de un orificio en una pantalla oscura. Usando tan avanzado aparato, se elevaría a varias decenas de miles el número de estrellas que podríamos contar en una noche.

Sólo un tercio de la luz del cielo terrestre más oscuro procede de las estrellas que podemos discernir a simple vista. El resto es luz difundida que se reparte de manera homogénea en todo el cielo, procedente principalmente de tres fuentes. La primera son reacciones químicas producidas en la alta atmósfera. La segunda es la llamada luz zodiacal, radiación reflejada por el polvo interplanetario. Finalmente, un pequeño porcentaje es debido a la luz galáctica, compuesta de la emisión de estrellas y galaxias demasiado ténues como para ser vistas de manera individual. Esta luz difusa "tapa" las estrellas tenues, y termina limitando el número de estrellas que podemos contar a simple vista [2].

Como veis, para esta y otras muchas preguntas sobre ciencia la respuesta correcta (y la más interesante) suele ser "depende".

Fuentes:

[1] Clifford A. Pickover "The Stars of Heaven"
[2] R.W. Rodiek "The First Steps in Seeing"

Tomado de:

Resistencia Numantina

¿Cómo hacer un tornillo de Arquímedes?

Una de las formas más antiguas que se conocen para transportar líquidos y fluidos viscosos desde zonas bajas a zonas altas, es el conocido tornillo sinfín o tornillo de Arquímedes. Este mecanismo logra utilizar conceptos de hidráulica y transporte de fluidos para poder realizar el trabajo, que actualmente realizan las bombas de agua. En este artículo, veremos cómo hacer un tornillo de Arquímedes de forma sencilla que nos podrá servir para realizar experimentos de manejo de fluidos, presentarlo como un proyecto de ciencias, o modificarlo para utilizarlo como sistema de bombeo de agua u otro fluido.

Materiales

- Un eje que puede ser de madera o de metal, preferiblemente si cuenta con una manivela.

- 1 botella de plástico.

- 1 tubo de plástico (manguera).

- 2 recipientes.

- Agua.

Armando nuestro tornillo de Arquímedes

El primer paso para construir nuestro tornillo de Arquímedes, es tomar la botella de plástico y fijar dentro de ella el eje que tengamos a la mano. Es recomendable, que sea una botella angosta en la cual el eje quede prácticamente fijo, de manera que logremos crear una especie de funda protectora sobre el eje para evitar que este se pudra o se oxide.

Si el eje cuenta con una manivela, mejor. En el caso que no la tenga, podemos crear una especie de palanca fijando un par de trozos de paletas de helado o listones de madera, logrando que el cilindro gire sobre su eje.

Ahora, es momento de pegar la manguera (tubo de plástico tipo laboratorio) con ayuda de un pegamento extra fuerte alrededor del cilindro recién creado desde la base hasta la cercanía de la manivela. De esta manera, podremos crear una especie de surco similar al de un tornillo.

Nuestro tornillo sinfín ya está listo, es momento de probarlo. Para hacerlo, debemos llenar un recipiente con agua y colocar la base del tornillo de Arquímedes dentro de este recipiente. Una vez hecho esto, colocamos un recipiente vacío a una altura en donde pueda llegar la parte superior del cilindro con una inclinación. Ahora, debemos mover la manivela y podremos ver como el agua sube por el interior de la manguera hasta el recipiente vacío.

Conozca más sobre Arquímedes:

Conocer Ciencia - Biografías - Arquimedes

View more presentations from Conocer Ciencia

Fuente:

Cómo Hacer

Vitamina D. ¿La nueva panacea?

Vida saludable

Es posible que, mientras te relajas tranquilamente tumbado en la playa o dando un paseo por la montaña, estés haciendo más por tu salud de lo que se esperaría del mero descanso o de los beneficios propios del ejercicio. La razón: que mientras tomas el sol estás también produciendo vitamina D. Su principal fuente, al contrario que en el resto de vitaminas, no se encuentra en la dieta, sino en un curioso proceso que tiene lugar en la piel.
Cuando tomamos el sol, los rayos ultravioleta B (UVB) transforman una sustancia relacionada con el colesterol (el 7-dehidrocolesterol) en previtamina D, que posteriormente sufrirá pequeños cambios en el hígado y en el riñón hasta dar lugar a la molécula activa. Este mecanismo actuaba hace ya miles de años, adaptado a épocas en que vivíamos la mayor parte del tiempo al aire libre y sin usar apenas ropa, y en las que aún no existían las oficinas o los gimnasios. ¿Es posible, por tanto, que la forma de vida actual, tan alejada de la naturaleza, tenga repercusiones sobre los niveles de vitamina D? Parece que sí.
El precio del progreso
Los valores de vitamina D deseables se establecieron en su momento alrededor de 75 nanomoles por litro (nmol/l), y se consideró que había riesgo de raquitismo u osteomalacia (dos enfermedades por falta de vitamina D que provocan graves deformidades esqueléticas) por debajo de 25 nmol/l. Las personas que tenían entre 25 y 75 se consideraban deficitarias en vitamina D, pero sin riesgo de padecer tales enfermedades. Actualmente se discuten estos valores, entre otras cosas porque se ha tenido en cuenta una población que trabaja en oficinas, hace deporte en gimnasios, etc. (El doctor Giovanucci, investigador de nutrición en Harvard, EE. UU., estima que los valores ‘naturales’ serían de unos 125 nmol/l.) Aun así, y admitiendo los 75 nmol/l como valor de referencia, resulta impactante saber que hasta el 83% de los hombres que acudieron a un centro de atención primaria en Boston (EE. UU.) presentaron niveles insuficientes de vitamina D (Boston tiene una latitud, y por tanto una exposición al sol, muy semejante a la de España). Pero la repercusión puede ser mayor, y es que parece que la vitamina D no influye únicamente en el metabolismo de los huesos.
No solo para los huesos
Desde hace tiempo se conoce que la vitamina D participa en el proceso de formación de los huesos, principalmente aumentando la absorción intestinal de calcio y favoreciendo su depósito óseo. Es por ello que el uso de suplementos de vitamina D está globalmente extendido para la prevención y tratamiento de la osteoporosis. Sin embargo, desde hace unos años se ha venido observando que, sorprendentemente, hay una gran cantidad de tejidos en nuestro organismo que tienen también receptores para la vitamina D, como por ejemplo el cerebro, la próstata o el colon, y que la vitamina D se comporta como una hormona que controla directa o indirectamente más de 200 genes diferentes.
¿En qué se traducen todas estas observaciones? Todavía es pronto para extraer conclusiones, ya que la mayoría de los trabajos publicados hasta la fecha son de observación, que no permiten determinar el papel causal de la vitamina. No obstante, a la espera de estudios más definitivos, los primeros datos son esperanzadores: se ha visto que las personas que viven en latitudes más altas –donde la luz solar es de menor intensidad y, por tanto, produce menor cantidad de vitamina D– presentan un mayor riesgo de desarrollar hasta 17 tipos diferentes de cáncer, entre ellos algunos de los más comunes, como los de colon, mama o próstata. Pero también se ha observado esta relación con un gran número de enfermedades de lo más diverso, como la diabetes de tipo 1, la esclerosis múltiple, la hipertensión o enfermedades mentales como la esquizofrenia, el alzhéimer o la depresión.

También se ha visto que las personas de raza negra (cuya melanina dificulta la formación de vitamina D) tienen mayor tendencia a presentar diversas enfermedades, entre ellas la tuberculosis, y, de hecho, parece que la vitamina D puede mejorar la inmunidad y ser eficaz en la prevención de infecciones.

Además, otro número considerable de estudios han visto de forma consistente una relación entre las concentraciones sanguíneas de vitamina D y las enfermedades comentadas –incluso con la fuerza muscular o la pérdida de peso–, con una mayor protección cuando los niveles alcanzaban los 100 nmol/l. Recientemente se ha publicado, en ‘Archives of Internal Medicine’, un artículo que engloba una serie de estudios en los que se habían usado suplementos de vitamina D o placebo: la conclusión ha sido que la mortalidad entre la gente que tomaba algún tipo de suplemento era un 7% inferior a la de la gente que tomaba un placebo. De hecho, basándose en los datos más optimistas, algunos científicos han estimado que, de confirmarse todas estas observaciones, el uso de suplementos de vitamina D podría ahorrar hasta 180.000 millones de euros a la sanidad europea. Sin embargo, es preciso ser cautos y recordar que son todavía pocos y ambiguos los ensayos clínicos debidamente diseñados y publicados; por esta razón no pueden aún establecerse con certeza los posibles beneficios que tendría el tomar preparados con vitamina D.

Suplementos ¿sí o no?

Las recomendaciones actuales sobre vitamina D en la dieta son de 200 unidades internacionales (UI) hasta los 50 años, 400 UI de 50 a 70 años y 600 UI a partir de los 70. Sin embargo, con las actuales condiciones de vida, estas dosis parecen insuficientes para alcanzar el ‘objetivo’ de 75 nmol/l, la cifra de vitamina D deseable. Así, el doctor Holick, –del Departamento de Endocrinología y Nutrición del Hospital Universitario de Boston y autor del libro ‘The Vitamin D Solution’– afirma que en verano bastaría con tomar el sol durante unos 15 minutos al día sin protección. Este tiempo sería lo suficientemente breve como para no influir en el riesgo de melanoma, que no debemos olvidar es uno de los mayores peligros que tiene exponerse a la luz solar sin las debidas precauciones; de hecho, tras cierto tiempo de exposición, la piel ya no produce más vitamina. Pasado el verano, sin embargo, sería necesario tomar entre 1.000 y 2.000 UI diarias, cantidad que es prácticamente imposible obtener a través de la dieta -una dieta normal aporta apenas 200 UI al día-, y que implicaría la toma de suplementos.

Uno de los riesgos que se les han atribuido a estos suplementos es que podrían elevar en exceso los niveles de calcio, pero parece que tal situación se da solo a partir de dosis superiores a 10.000 UI al día. De hecho, dados los mínimos riesgos que parecen entrañar, Holick recomienda ya el uso de suplementos incluso sin necesidad de esperar a que se publiquen los estudios más definitivos que se encuentran en marcha. En el mismo sentido, la Sociedad Canadiense del Cáncer aconseja ya tomar suplementos para alcanzar las 1.000 UI diarias en otoño e invierno.

Estas recomendaciones no se han adoptado aún en España, y habrá que esperar un tiempo para comprobar si eran realmente apropiadas: dentro de unos años dispondremos de muchos más datos para determinar si los beneficios son los que se sugieren y si no hay problemas a largo plazo derivados de la administración de suplementos de vitamina D. Al fin y al cabo, la panacea universal no es algo fácil de encontrar.

COLUMNAS AL MARGEN

1.- EN BUSCA DE LA HIJA DEL DIOS DE LA SALUD

En la mitología griega, Panacea era la hija de Asclepio, el dios de la salud. De ahí el nombre que se le dio a un hipotético medicamento capaz de curar todas las enfermedades y alargar la vida. La panacea universal se buscó, sin éxito, durante siglos. Recientemente, sustancias como las vitaminas C y E prometían beneficios casi ilimitados que, a la larga, resultaron ser mucho menores de lo esperado. Ahora parece haber llegado el turno de la vitamina D, en la que hay muchas esperanzas depositadas. Una de las diferencias con las sustancias anteriores, como afirma el doctor Giovanucci, es que en este caso no se trata de aumentar las dosis fisiológicas, sino de recuperar las cantidades naturales que nuestra forma de vida ha reducido. Hay más de doscientos ensayos clínicos en marcha que nos dirán cuánto hay de verdad en esta esperanza. Estaremos atentos.

2.- EL METABOLISMO DE LA VITAMINA D

La vitamina D que se toma en la dieta o se obtiene del sol se denomina también colecalciferol. En un principio, esta molécula no tiene actividad, y para ejercer sus funciones precisa de una serie de modificaciones que tienen lugar primero en el hígado y más tarde en el riñón, aunque una gran parte se almacenará como reserva. En el hígado, la vitamina D se convierte en 25-OH-vitamina D, una molécula que tiene ya aproximadamente un 30% de actividad. Posteriormente, en el riñón –y en otros tejidos, como se ha visto recientemente– se transformará en 1-25-OH-vitamina D, que es la forma completamente activa.
En España la mayoría de los preparados con vitamina D (colecalciferol) contienen solamente unas 400 UI y se acompañan de distintas cantidades de calcio, ya que se suelen usar para el tratamiento o prevención de la osteoporosis. Los pocos suplementos que contienen únicamente vitamina D y que se comercializan en España suelen estar basados en la 25-OH-vitamina D (se desarrollaron en principio para personas cuyo hígado no funcionaba correctamente) y dan lugar a niveles de vitamina bastante más elevados que las mismas dosis de colecalciferol. Sin embargo, la inmensa mayoría de los estudios internacionales están basados en este último (la vitamina D original), que es la forma en la que se suele vender la vitamina D en otros países, por lo que hay que tener en cuenta que las conclusiones de dichos estudios pueden no ser del todo extrapolables.

3.- NO ES LO MISMO

Estudios de observación. Constituyen la base de la investigación en epidemiología. Permiten establecer asociaciones pero no causalidad. Un ejemplo de este tipo serían los estudios en los que se determinan los niveles de vitamina D en un grupo de personas y, pasado un tiempo, se observa si hay una relación entre dichos niveles y la aparición de una enfermedad. Como el investigador no controla los grupos, existe el riesgo de que la relación se deba a otros factores aparte de dichos niveles (los individuos con niveles más altos podrían tener una dieta más sana, hacer más ejercicio, etc.).

Ensayos clínicos. Son la base de los estudios experimentales y permiten establecer causalidad. En ellos, el investigador selecciona un número de personas y los divide al azar en dos grupos: por ejemplo, a uno se le dará vitamina D y a otro un placebo (pero ninguno de los grupos sabrá qué es en realidad lo que está tomando). Al estar el proceso mucho más controlado se puede establecer si una mejora en una determinada enfermedad puede ser debida a la administración de la vitamina.

Fuente:

20000 caligrafías

El mito de Arquímedes y la corona de oro

La leyenda cuenta que el Rey Hierón II de Siracusa (aprox. 306-215 a. C.) había mandado a fabricar una corona de oro, para la cual entregó un lingote a un orfebre. Cuando el trabajo concluyó, le fue devuelta, y si bien pesaba exactamente lo mismo que el lingote que había entregado, Hierón comenzó a dudar de si el orfebre había sido deshonesto y había reemplazado parte del oro por algún material más económico.

(siempre con énfasis en la palabra leyenda)

Hierón encargó a Arquímedes (aprox. 287 – 212 a. C.), por ser un inventor, matemático, físico e ingeniero de la época a que resolviera el problema. Claramente la corona no podía ser cortada en trozos, fundida, ni nada parecido, por lo que había que buscar otra manera. Arquímedes sabía que el oro un metal extremadamente pesado (un litro de oro pesa 19,3 Kg), y que cualquier otro metal que hubiese utilizado debería ser más liviano (una misma medida de plata pesaría 10,49, y de plomo, 11,34 Kg). Esto significaba que si se hubiese utilizado otro material, la corona debería tener un volumen mayor. En ese momento se sabía calcular el volumen de un cuerpo geométrico, pero una corona es totalmente irregular como para realizar un cálculo preciso, y nuevamente, la posibilidad de fundir la corona dentro de un recipiente regular, no existía (si el genio en cuestión quería conservar su vida por lo menos).

Continuando con la leyenda, en una ocasión, Arquímedes se fue a tomar un baño en una bañadera que estaba llena hasta el borde. Comenzó a sumergirse de a poco, a la vez que notaba cómo el agua se volcaba. Y en una explosión de lucidez, notó que el volumen de agua que se volcaba tenía que ser similar al volumen de su cuerpo que se iba sumergiendo. Debido a la emoción, gritó el famoso y épico ¡Eureka! ("εὕρηκα", en griego antiguo, "¡Lo he encontrado!") y salió corriendo desnudo por las calles de Siracusa.

Finalmente, comprobó mediante otros experimentos que efectivamente el volumen de un cuerpo sumergido es similar al del líquido que desplaza (todo científico serio comprueba varias veces y de forma empírica sus ideas). Realizó el experimento con la corona y un lingote de oro de igual masa, y notó que la corona desplazaba más agua, por lo que el orfebre había reemplazado parte del oro por otro material, y eso le costó la cabeza.

Detrás de la Leyenda

Muy bien, esa es la famosa leyenda de Arquímedes que ilustra de manera extremadamente sencilla el surgimiento de las ideas y algo de método científico, y esboza el surgimiento del Principio de Arquímedes. Pero ¿qué problemas tiene esta historia?

Primero, esta anécdota no figura en ningún escrito conocido de Arquímedes. La primera referencia al mismo aparece unos 230 años después, en un relato del escritor romano Vitruvius (un libro arquitectura e ingeniería llamado De Arquitectura). Por lo que en este punto ya podemos desconfiar de que realmente haya sucedido todo esto.

Segundo, no explica mucho sobre el principio de Arquímedes, que se supone quiere explicar:

Un cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido en reposo, recibe un empuje de abajo hacia arriba igual al peso del volumen del fluido que desaloja.

La corona de oro más grande que se ha encontrado de los tiempos de Arquímedes, mide unos 18,5 centímetros y pesa 714 gramos. Y no era precisamente una corona, sino más bien un ramo de laureles. De todas formas, pensemos que mucho más peso para llevar sobre la cabeza resultaría incómodo, ridículo o peligroso, por lo que sería bastante improbable.

Aun así, y para simplificar los cálculos, asumamos que la corona pesaba 1000 gramos. Esa cantidad de oro, debido a su gran densidad sería de 51,8 centímetros cúbicos. El recipiente, por razones obvias, tiene que ser mayor que la corona. Supongamos que es redondo, y mide 20 centímetros. Esa corona, sumergida en este recipiente, desplazaría sólo 1,65 milímetros (algo que de por sí, está muy cerca del "ancho" de la "panza" que forma el agua por la tensión superficial).

En el hipotético caso de que el orfebre hubiese reemplazado un 30% del oro por plata (algo que ya es mucho), habría tenido una corona ligeramente más grande, de 64,8 centímetros cúbicos. Volumen que, sumergido en el mismo recipiente, habría desplazado 2,06 milímetros. Comparando a ojo, o incluso con instrumentos de precisión sería muy difícil notar una diferencia del nivel del agua de 0,41 milímetros. Además, estaríamos asumiendo que la corona es perfectamente sólida, y que no sólo no hubo salpicaduras de agua, sino que la fundición del oro no dejó ninguna burbuja de aire en su interior. (fuente) Considerando todo esto, se me ocurren cuatro posibilidades:

1) Arquímedes notó esa diferencia de medio milímetro del nivel del agua en un recipiente que ni siquiera era transparente, pero el orfebre fue honesto, y el oro tenía alguna burbuja en su interior, se salpicó agua, observó mal o algún error así.

2) Arquímedes notó esa diferencia, y el orfebre era un verdadero estafador (esta sería la versión oficial, y dadas las circunstancias, me parece la más improbable).

3) Arquímedes no notó la diferencia, pero estaba muy empeñado en comprobar su teoría frente al Rey.

4) Arquímedes nunca usó esta técnica para comparar las coronas.


Galileo tras el mito

En el siglo XVI, Galileo Galilei se hizo estas mismas preguntas, y se inclinó más por la idea de que si realmente sucedió, el experimento tiene que haber sido otra forma, aunque contradiga los únicos registros conocidos.

En 1586, a sus 22 años, publicó el artículo La Bilancetta, en el que describía lo que se puede resumir en la imagen de la derecha.

Básicamente, si tenemos la corona de un lado de una varilla y el bloque de oro del otro, haciendo equilibrio (y despreciando la influencia del aire), cuando lo sumerjamos en un líquido (agua), los dos objetos desplazarán un volumen de agua diferente, por lo que recibirán un empuje desde abajo con diferentes valores, haciendo que la corona "flote más".

Teniendo en cuenta que comparar la cantidad de líquido desplazado es casi imposible con este tipo de instrumentos, y para tan poca diferencia, lo más probable es que Vitruvius haya recogido un rumor erróneo. Incluso, tendría más sentido que Arquímedes haya realizado este otro experimento ya que aquí se aplica la idea de empuje hidrostático, que se explica en el principio que lleva su nombre.

Es posible que hayan tenido que pasar unos diesiciete siglos para poner aquella anécdota en orden. Y aun así, resulta un tanto decepcionante que nunca sabremos realmente qué pasó, o si pasó.

Fuente:

Proyecto Sandía

PD. Si desea conocer más sobre Arquímedes y sobre la famosa "leyenda" del ¡Eureka! puede revisar esta presentación (en power point) que realizamos en la producción de un programa de Conocer Ciencia:

Historias de la Ciencia (1) - Arquimedes y Eureka

View more presentations from Conocer Ciencia

Y también realizamos un programa especial sobre Arquímedes y sus obras, muchas de las cuales quedaron solo en bocetos y proyectos, recordemos que en la antigua Grecia un "noble" no podía trabajar con sus manos pues sería considerado "indigno", y Arquímedes no pudo sustraerse completamente a su época. Pero nos dejo un gran legado: la ciencia puede ser teoría, pero también puede ser practica (ciencia aplicada o tecnología).

Biografías de la Ciencia (1) - Arquimedes

View more presentations from Conocer Ciencia

Conocer Ciencia: Ciencia sencilla, ciencia divertida, ciencia fascinante...

conocerciencia@yahoo.es
conocerciencia@gmail.com

Un tsunami destruyó el mítico templo de Olimpia

Olimpia, templo de Zeus

Ampliar

• Nuevos estudios determinan que no fue una riada la que destruyó Olimpia
• La presencia de conchas de moluscos y los restos de abundantes microorganismos, son una clara evidencia.
• El templo fue golpeado repetidamente por enormes inundaciones, en vez de ser sepultado bajo una gran capa de sedimentos.

Nuevas pruebas apuntan a que la causa de la destrucción de Olimpia fue un tsunami y no una riada, como se pensaba anteriormente. El profesor Andreas Vött, del Instituto de Geografía de la Universidad Johannes Gutenberg de Mainz,en Alemania, investigó el lugar como parte de un estudio de los paleotsunamis que se produjeron a lo largo del Mediterráneo oriental durante los últimos 11.000 años.

Los resultados geomorfológicos y sedimentológicos concluyen que las aguas del tsunami desbordaron el estrecho valle, entre el famoso santuario de Zeus y el mar. "Tanto la composición y el espesor de los sedimentos que se encuentran en Olimpia no concuerdan con el potencial hidráulico del río Kladeos y el inventario geomorfológico del valle. Es muy poco probable que esto pudiera haber sido la obra de este arroyo", afirma el profesor.

"En épocas anteriores, Olimpia no estaba a 22 kilómetros del mar, como hoy. En aquel entonces, la costa se encontraba a ocho, o tal vez incluso más, kilómetros más lejos", explica Vött. En su caso, los tsunamis llegaron desde el mar y se precipitaron en el estrecho valle del río Alfeo, en el que desemboca el Kladeos, abriéndose paso hasta el lugar dónde se encuentra Olimpia, provocando su inundación.

La presencia de conchas de moluscos y los restos de abundantes microorganismos, son una clara evidencia de que los sedimentos tienen origen marino. Los sedimentos fueron transportados hacia el interior a gran velocidad y potencia, llegando al antiguo templo olímpico. Aunque el sitio se encuentra a unos 33 metros sobre el nivel del mar. Por otro lado,también afirman que el templo fue golpeado repetidamente por enormes inundaciones, en vez de ser sepultado bajo una gran capa de sedimentos.

Vött supone que la inundación disminuyó muy lentamente debido a que la salida del río por el valle del Alfeo fue bloqueado por las aguas de entrada del tsunami y los depósitos sedimentarios. Además, este hecho podría haberse repetido en varias ocasiones durante los últimos 7.000 años, tal y como muestra el análisis de las distintas capas de sedimentos en el área de Olympia. Probablemente, en el siglo VI, el templo finalmente se acabó destruyendo y quedó enterrado por completo.

Tsunamis en el Mediterráneo

Los tsunamis son bien conocidos desde el Mediterráneo oriental y son principalmente el resultado de intensas actividades sísmicas a lo largo del arco helénico. El más reciente mega-tsunami en el Mediterráneo se produjo en 1908 en relación con un terremoto en el Estrecho de Messina, en el sur de Italia, devastando la región de la costa vecina, con más de 100.000 muertos.

Fuente:

20 Minutos

Números amigos

Miércoles, 10 de marzo de 2010

Números amigos

Los Pitagóricos cosideraban a los números naturales como las llaves que abrían las puertas del Universo, lo cual los llevó a desarrollar toda una mística alrededor de los mismos, adjudicándoles diversas cualidades. Asi, los números impares representaban al sexo masculino y los números pares al femenino; el número uno era símbolo de la razón; el número dos era la opinión; el tres representaba la armonía; el cuatro la justicia; el cinco significaba el matrimonio; el seis la creación; y así sucesivamente.

Todo este misticismo extravagante alrededor de los números llevó a los Pitagóricos a dar los primeros pasos en el desarrollo de la Teoría de los Números. Fueron los primeros en reconocer y estudiar a los números pares y a los impares, a los números primos y a los compuestos. Llamaron abundante, deficiente o perfecto según la suma de los divisores propios del número bajo estudio fuera mayor, menor o igual al propio número.

Sin dudas un punto alto en el estudio de los números por parte de los Pitagóricos fue el descubrimiento de un par de números distintos: y cada uno de los cuales es el resultado de la suma de los divisores propios del otro:

A este par de números se los llama números amigos o amigables. El número más pequeño es abundante y el más grande es dificiente, lo que constituye un resultado verdadero para cualquier par de números amigos. Para el misticismo numérico, y , cada uno compuesto por una parte del otro, simbolizan la amistad perfecta.

Si bien el par de números amigos era conocido por griegos, un nuevo par de números con esta característica recién aparace hacia el siglo IX. La primera contribución seria al estudio de los números amigos la hace un matemático árabe llamado Thabit ibn Qurra (826-901), quién propone la siguiente regla:

Regla de Thabit: Si es un número natural tal que los siguientes números

; ;

son números primos, entonces y forman un par de números amigos.

Para la Regla de Thabit genera el primer, segundo y tercer par conocido de números amigos, estos son:

;

;

;

pero no genera ningún otro par de números amigos para .

El conocimiento del primer par de números amigos y su rol en el misticismo numérico llega a Europa via los árabes y hacia el año 1550 dicho par de números ya habían aparecido en trabajos de Chuquet, Stifel, Cardano y Tartaglia. Sin embargo la Regla de Thabit y sus resultados eran totalmente desconocidos. Entonces es cuando tanto Fermat como Descartes comienzan la búsqueda de pares de números amigos, y ambos redescubren la Regla de Thabit, y en cartas a Mersenne cada uno declara el descubrimiento de un nuevo par: Fermat en 1636 y Descartes en 1638.

Euler, como siempre, hace su aparación y revoluciona la búsqueda de pares de números amigos. Al momento de su interés en el tema, año 1737, solo tres pares se habían encontrado en el lapso de dos mil años. Luego, él solo, llevó la cuenta a 62!!!, descontados unos cuantos números que más tarde se domostró no eran amigables. Euler investigó cuando un par de números, con una estructura particular , donde son números primos distintos entre sí y no son divisores de , son amigables. Este análisis le llevó a encontrar su par más pequeño: .

Regla de Euler: Si un número natural y con son tales que los tres números

;

;

son números primos, entonces y forman un par de números amigos.

Cuando se obtiene la Regla de Thabit. Solo se conocen dos pares que satisface las condiciones de la Regla de Euler, ellos son y . El primero caso genera un par de números amigos en donde cada miembro tiene 20 dígitos, el segundo cada miembro del par generado tiene 40 dígitos.

El éxito de Euler en desarrollar un método sistemático para encontrar pares de números amigos, entusiasmó a muchos a iniciar nuevas búsquedas. Sin embargo el éxito de Euler fue tal que sólo cuatro nuevos pares se encontraron un siglo y medio después, contribuyendo a un total de 66 pares de números amigos hacia finales del Siglo XIX.

La aparición de las computadoras transformó la busqueda de pares de números amigos. Durante miles de años se encontraron poco más de un par de estos números, hoy en día se cuentan por millones, concretamente a la fecha hay 11 994 387 pares de números amigos. Desde 1985 Jan Munch Pedersen mantiene una página web llamada Known Amicable Pairs la que lista en orden creciente todos los pares de números amigos conocidos, junto con sus descubridores, año del descubrimiento y su factorización prima. La lista de números amigos comienza así:

1- Pythagoras (Año 500 AC) –

2- Paganini (Año 1866) –

3- Euler (Año 1747) –

No hay mucha sorpresa en los casos 1 y 3, pero ¿el segundo?. Durante miles de años, primeros los griegos, luego los árabes y matemáticos del calibre de Fermat, Descartes, Euler y muchos otros escudriñaron los cielos con sus sofisticados métodos matemáticos buscando números amigos, pero fracasaron en encontrar lo que yacía a sus pies, el segundo par más pequeño de estos números . ¿Quién encontró este par de números, asegurándose un lugar en el salón de la fama de la teoría de los números? Nicolo Paganini, un estudiante de secundaria italiano de 16 años.

El par de números amigos más grande fue encontrado en 2005 y es donde “…” representa en ambos miembros 24069 dígitos.

Existen varias conjeturas sobre la estructura de los pares de números amigos que están pendientes de demostrar, para todos aquellos con hambre de inmortalidad matemática listamos tres de ellas:

1- Los pares de números amigos son infinitos.

2- Los miembros de un par de números amigos son ambos pares o ambos impares.

3- Los miembros de un par de números amigos impares son divisibles por tres.

(Este post es un resumen y traducción del artículo Friends in High Places de Roger Webster and Gareth Williams aparecido en el último número de Mathematical Spectrum, se puede bajar de internet desde aquí).

Fuente:

Apuntes matemáticos