Matemáticas para niños: El doce y la docena

—…200 gramos de azúcar, media docena de huevos…
 

—¿Docena? No, será decena.
 

—Aquí pone docena, Sal.
 

—Lee bien, Ven, que si no, no nos saldrán bien las magdalenas (panecillos).

Mamá les había pedido a Sal y Ven que copiasen de una página web los ingredientes de la merienda que van a cocinar, y lo hacían con interés. Las magdalenas son su merienda favorita. Gauss estaba atento a la pantalla del ordenador, salivando cómo si ya oliera a comida.

—Pero si es que pone do-ce-na —insistió el pequeño leyendo con la naricilla casi rozando la pantalla del monitor.

—Qué extraño… en clase sólo usamos unidades, decenas, centenas…

—Bueno, Sal, es lo habitual si usamos nuestro sistema de numeración, en base 10 —Mati acababa de aparecer en escena.

—¡Hola Mati! ¿Quieres hacer magdalenas con nosotros esta tarde? —preguntó Ven con una gran sonrisa.

—Claro, me encantan, sobre todo, con aceite de oliva.

Sal saludó a Mati con un abrazo mientras seguía con la mirada perdida, pensando en algo hasta que, finalmente, preguntó:

—¿Y qué es una docena, Mati?

—Una docena son doce unidades.

—Y media docena, ¡son 6 huevos! —sentenció Ven con su habitual entusiasmo.

—Exacto, pequeño.

—¿Y para qué se inventaron las docenas si tenemos las decenas? —siguió preguntando el gafotas, con su curiosidad habitual.

—Bueno —comenzó diciendo la gafotas —el 12 es mejor para repartir que el 10, sobre todo si son ¡huevos!

—¿Por qué, Mati? —quiso saber Ven

—Pues porque el 12 tiene más divisores que el 10, se puede dividir por 2, por 3, por 4 y por 6. Y eso es cómodo cuando se trata de huevos, o de meses, por ejemplo. El año tiene 12 meses y se divide en bimestres, trimestres, cuatrimestres o semestres.

—Pero el 10 también se puede dividir por 4, Mati, y tienes 2,5 —contestó Sal

—Claro, pero lo difícil es poner en la receta 2,5 huevos crudos, ¿no?

—Toma, claro —pensó el pequeño en voz alta.

Sal seguía intentando rebatir los argumentos a favor de las docenas, Gauss se había dormido.

—Mira, Sal —continuó la pelirroja —Vamos a ver qué números son los mejores para repartir huevos, ¿vale? Fíjate en la tabla.

—El 6 es el primero que nos permite dividir en grupos de 2 formas diferentes (con 2 o 3 huevos), el primero que nos permite dividir en 4 formas diferentes es el 12 (2, 3, 4 ó 6 huevos), la docena; el primero que nos permite dividir de 6 formas diferentes es el 24 (2, 3, 4, 6, 8 ó 12 huevos), dos docenas; y ya hasta el 36, tres docenas, no encontramos 7 formas distintas de hacerlo.

—Alucinante… —observó Sal

—Por esta razón, se han usado las docenas como unidad de medida durante mucho tiempo, se sabía el precio de la docena, por ejemplo, y a partir se calculaba el precio de las cantidades más pequeñas, y aún se siguen usando para los huevos, los lápices…

—También el día se divide en 24 horas, ¡2 docenas! —dijo el gafotas

—¡Toma, toma, toma! —se alegró Ven —¡qué chulada! Por eso los dados sólo tienen hasta el 6, ¿no?

—No, cielo, eso es porque el cubo tiene 6 caras —contestó sonriendo Mati —, pero el 6 tiene más cosas curiosas. Es el primer número que se puede conseguir como producto de sus divisores propios, el 2 y el 3. 

Y también es el único número que es suma y producto de tres números consecutivos, 1+2+3=6 y 1 × 2 × 3 =6

—Y 6 son los años que tengo —afirmó Ven con una sonrisa de satisfacción.

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Pequeño Libro de Notas

Números amigos

Miércoles, 10 de marzo de 2010

Números amigos

Los Pitagóricos cosideraban a los números naturales como las llaves que abrían las puertas del Universo, lo cual los llevó a desarrollar toda una mística alrededor de los mismos, adjudicándoles diversas cualidades. Asi, los números impares representaban al sexo masculino y los números pares al femenino; el número uno era símbolo de la razón; el número dos era la opinión; el tres representaba la armonía; el cuatro la justicia; el cinco significaba el matrimonio; el seis la creación; y así sucesivamente.

Todo este misticismo extravagante alrededor de los números llevó a los Pitagóricos a dar los primeros pasos en el desarrollo de la Teoría de los Números. Fueron los primeros en reconocer y estudiar a los números pares y a los impares, a los números primos y a los compuestos. Llamaron abundante, deficiente o perfecto según la suma de los divisores propios del número bajo estudio fuera mayor, menor o igual al propio número.

Sin dudas un punto alto en el estudio de los números por parte de los Pitagóricos fue el descubrimiento de un par de números distintos: y cada uno de los cuales es el resultado de la suma de los divisores propios del otro:

A este par de números se los llama números amigos o amigables. El número más pequeño es abundante y el más grande es dificiente, lo que constituye un resultado verdadero para cualquier par de números amigos. Para el misticismo numérico, y , cada uno compuesto por una parte del otro, simbolizan la amistad perfecta.

Si bien el par de números amigos era conocido por griegos, un nuevo par de números con esta característica recién aparace hacia el siglo IX. La primera contribución seria al estudio de los números amigos la hace un matemático árabe llamado Thabit ibn Qurra (826-901), quién propone la siguiente regla:

Regla de Thabit: Si es un número natural tal que los siguientes números

; ;

son números primos, entonces y forman un par de números amigos.

Para la Regla de Thabit genera el primer, segundo y tercer par conocido de números amigos, estos son:

;

;

;

pero no genera ningún otro par de números amigos para .

El conocimiento del primer par de números amigos y su rol en el misticismo numérico llega a Europa via los árabes y hacia el año 1550 dicho par de números ya habían aparecido en trabajos de Chuquet, Stifel, Cardano y Tartaglia. Sin embargo la Regla de Thabit y sus resultados eran totalmente desconocidos. Entonces es cuando tanto Fermat como Descartes comienzan la búsqueda de pares de números amigos, y ambos redescubren la Regla de Thabit, y en cartas a Mersenne cada uno declara el descubrimiento de un nuevo par: Fermat en 1636 y Descartes en 1638.

Euler, como siempre, hace su aparación y revoluciona la búsqueda de pares de números amigos. Al momento de su interés en el tema, año 1737, solo tres pares se habían encontrado en el lapso de dos mil años. Luego, él solo, llevó la cuenta a 62!!!, descontados unos cuantos números que más tarde se domostró no eran amigables. Euler investigó cuando un par de números, con una estructura particular , donde son números primos distintos entre sí y no son divisores de , son amigables. Este análisis le llevó a encontrar su par más pequeño: .

Regla de Euler: Si un número natural y con son tales que los tres números

;

;

son números primos, entonces y forman un par de números amigos.

Cuando se obtiene la Regla de Thabit. Solo se conocen dos pares que satisface las condiciones de la Regla de Euler, ellos son y . El primero caso genera un par de números amigos en donde cada miembro tiene 20 dígitos, el segundo cada miembro del par generado tiene 40 dígitos.

El éxito de Euler en desarrollar un método sistemático para encontrar pares de números amigos, entusiasmó a muchos a iniciar nuevas búsquedas. Sin embargo el éxito de Euler fue tal que sólo cuatro nuevos pares se encontraron un siglo y medio después, contribuyendo a un total de 66 pares de números amigos hacia finales del Siglo XIX.

La aparición de las computadoras transformó la busqueda de pares de números amigos. Durante miles de años se encontraron poco más de un par de estos números, hoy en día se cuentan por millones, concretamente a la fecha hay 11 994 387 pares de números amigos. Desde 1985 Jan Munch Pedersen mantiene una página web llamada Known Amicable Pairs la que lista en orden creciente todos los pares de números amigos conocidos, junto con sus descubridores, año del descubrimiento y su factorización prima. La lista de números amigos comienza así:

1- Pythagoras (Año 500 AC) –

2- Paganini (Año 1866) –

3- Euler (Año 1747) –

No hay mucha sorpresa en los casos 1 y 3, pero ¿el segundo?. Durante miles de años, primeros los griegos, luego los árabes y matemáticos del calibre de Fermat, Descartes, Euler y muchos otros escudriñaron los cielos con sus sofisticados métodos matemáticos buscando números amigos, pero fracasaron en encontrar lo que yacía a sus pies, el segundo par más pequeño de estos números . ¿Quién encontró este par de números, asegurándose un lugar en el salón de la fama de la teoría de los números? Nicolo Paganini, un estudiante de secundaria italiano de 16 años.

El par de números amigos más grande fue encontrado en 2005 y es donde “…” representa en ambos miembros 24069 dígitos.

Existen varias conjeturas sobre la estructura de los pares de números amigos que están pendientes de demostrar, para todos aquellos con hambre de inmortalidad matemática listamos tres de ellas:

1- Los pares de números amigos son infinitos.

2- Los miembros de un par de números amigos son ambos pares o ambos impares.

3- Los miembros de un par de números amigos impares son divisibles por tres.

(Este post es un resumen y traducción del artículo Friends in High Places de Roger Webster and Gareth Williams aparecido en el último número de Mathematical Spectrum, se puede bajar de internet desde aquí).

Fuente:

Apuntes matemáticos