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29 de marzo de 2022

Conrad Wolfram: “El 80% de lo que se aprende en el curso de matemáticas no sirve para nada”

Tenemos un problema con las matemáticas. 

Nadie está contento.

Los estudiantes creen que es un curso difícil y sin interés

Los maestros están frustrados con los resultados de sus alumnos.

Los gobiernos saben que son determinantes para la economía pero no saben cómo actualizar los programas académicos. 


 

"Cada vez vivimos en un mundo más matemático y sin embargo la educación está estancada", opina Conrad Wolfram, físico y matemático por la Universidad de Cambridge y fundador de Computer Based Math, una compañía centrada en rediseñar la asignatura de matemáticas que en 2015 lanzó su programa piloto en colaboración con el Gobierno de Estonia.

Wolfram es muy conocido por su charla TED Cómo enseñar a los niños matemáticas del mundo real, en la que analiza los motivos por los que los estudiantes han perdido el interés en la asignatura que está detrás de las "creaciones más emocionantes de la humanidad", desde los cohetes hasta los mercados de valores.

  

Demasiadas horas de clase invertidas en aprender a calcular grandes divisiones y ecuaciones a mano. Ese es el gran fallo, según Wolfram, que apuesta por introducir la computación en las clases... ¡que las máquinas se encarguen del cálculo!

Pregunta. Si los niños no aprenden a calcular a mano y hacen las operaciones con la computadora, ¿cómo van a entender lo que están haciendo?

Respuesta. Antes de las computadoras las matemáticas no eran muy útiles para el día a día, para la vida en general. Para cualquier campo en el que se usen muchos datos, como la física, la biología o la salud, la computación ha elevado las matemáticas a un nuevo nivel.

Los problemas reales del siglo XXI solo se pueden resolver empleando computadoras y por eso deben entrar en el sistema educativo como parte fundamental de la asignatura de matemáticas. 

Tener a los niños en las aulas calculando a mano ecuaciones de segundo grado ya no tiene sentido; hay que enseñarles a interpretar los datos y a sacar utilidad de las matemáticas. 

Enseñarles el funcionamiento básico está bien, pero complicarlo hasta la extenuación es una estrategia errónea que les aleja para toda la vida. Suelo poner el ejemplo la acción de conducir un auto; no hace falta entender el funcionamiento de los motores para manejar un automóvil.

P. Algunos expertos sostienen que el cálculo ayuda a aprender el sentido de los números y es una buena herramienta para entrenarse en la toma de decisiones.

R. ¿Cuándo fue la última vez que multiplicaste 3/17 por 2/15? Probablemente lo aprendiste en la escuela pero nunca lo has vuelto a utilizar. 

Muchos expertos dirán que multiplicando fracciones estás aprendiendo, pero no estás aprendiendo solo estás recordando un proceso

Realmente no estás entendiendo para qué lo haces ni para qué sirve. 

Un ejemplo muy simple: en la ecuación x+2=4 te enseñaron que si pasas el dos a la derecha cambia de signo y se convierte en menos 2. Ahí tampoco entiendes qué estás haciendo

Las matemáticas tradicionales ya no tienen sentido y probablemente el 80% del contenido del curso de matemáticas ya no es útil y nunca lo usarás fuera del aula. 

P. Podrían decirle que dejarle el cálculo a la computadora en edad de aprender es cosa de vagos.

R. Intentar saber cómo usar la computación no supone menos trabajo para el cerebro. Todo lo contrario. Los problemas a resolver son mucho más complejos y ahí es donde hay que entrenar a los niños. 

La programación es lo que equivaldría hoy al cálculo a mano, saber decirle a la computadora con códigos y números lo que tiene que hacer de forma muy precisa. Matemáticas, programación y pensamiento computacional deben ser la misma asignatura. 


 

P. ¿Podría poner un ejemplo de esas situaciones de la vida real de las que habla?

R. Si te muestro los datos de dos páginas web y te pregunto cuál está funcionando mejor la primera pregunta que debes hacerte es qué significa mejor

Puede ser el tiempo que los usuarios pasan en cada una de ellas o las veces que hacen clic en alguna de las pestañas... En el mundo real puedes usar el machine learning o el análisis estadístico para medir y analizar resultados. Elegir qué opción funciona mejor en cada caso es complicado y ese tipo de conocimientos no se enseñan en la escuela

Las matemáticas son mucho más que el cálculo, aunque es comprensible que durante cientos de años se le haya dado tanta importancia, pues solo había una forma de hacerlo; a mano. Las matemáticas se han liberado del cálculo, pero esa liberación todavía no ha llegado a la educación. 

P. Su empresa ha reinventado la asignatura de matemáticas para introducir la computación y ha introducido nuevas habilidades a evaluar como la comunicación matemática. ¿Cómo consiguió convencer al Gobierno de Estonia para implantarla en los colegios públicos?

R. Con 1,3 millones de habitantes, Estonia se considera el país más digital de Europa. Sus ciudadanos pueden votar, pagar impuestos, comprobar archivos médicos o registrar una empresa desde su ordenador de casa en pocos minutos. De hecho, Estonia es considerada la primera nación digital del mundo.
 
En el último informe PISA (2016) superó a los finlandeses en ciencias y matemáticas. Estonia es el nuevo referente en Europa en innovación educativa. 
 
Hace tres años conocí a su Ministro de Educación, que es físico, y dos años después lanzamos el primer proyecto piloto, que se está usando en el 10% de los colegios públicos del país. Hemos centrado la asignatura, para estudiantes de Secundaria, en probabilidad y estadística y hemos cambiado el sistema de evaluación. Los alumnos aprenden a resolver cuestiones reales como por ejemplo ¿son las chicas mejores en matemáticas? o ¿mi estatura está en la media?. Ahora estamos en conversaciones con Irlanda y Australia.
 
El impedimento fundamental para la innovación en los colegios es la certificación, llegar a los estándares de conocimiento prefijados para después poder acceder a la universidad. Hay un hecho llamativo y es que hemos detectado que los países que ocupan mejores posiciones en PISA son los que están más abiertos al cambio y otros, como España, que lleva 15 años estancada con la misma puntuación, son más reacios.
 

 

P. La charla TED de 2010, ¿marcó un antes y un después en su carrera?

R. He trabajado durante más de 30 años con mi hermano en nuestra empresa de software Wolfram Research, con sede en Illinois, EE.UU., y suma unos 500 empleados. 

El mismo año de la charla TED monté un pequeño departamento en Oxford, con unas 30 personas, dedicado exclusivamente a repensar la asignatura de matemáticas. Nuestro lema es rediseñar las matemáticas reconociendo que existen los ordenadores

La idea se me ocurrió a partir del servicio que ofrecíamos para Apple, concretamente para Siri, su sistema de búsqueda por reconocimiento de voz. Si le preguntas por cualquier operación matemática compleja, en segundos te remite a nosotros. Ahí me planteé por qué obligamos a los estudiantes a dedicar tantos años de su vida a aprender lo que un teléfono resuelve en segundos.

P. ¿Cree que los gobiernos escucharían más la reforma que propone si fuese de la mano de una gran universidad como Cambridge?

R. En este momento Cambridge, Oxford, Harvard o el MIT son organizaciones comerciales y buscan el beneficio tanto como las empresas. Los gobiernos necesitan reflexionar sobre ello o no restar credibilidad a una iniciativa porque no ha surgido de una universidad. Lo que les frena es la falta de evidencias y creen que no hacer nada es menos arriesgado que probar nuevos métodos. 

El sistema educativo está fallando cada año más a los estudiantes y eso explica porqué no hay suficientes perfiles STEM. Los jóvenes tienen que encontrarles una utilidad: tener las habilidades para diferenciar una buena hipoteca o el suficiente escepticismo para cuestionar las estadísticas que ofrece el Gobierno. La desmotivación es uno de los grandes desastres de las matemáticas. 

Con información de El País (España)

17 de febrero de 2020

Matemáticas para conseguir a la novia (o el novio) de tus sueños


Primero, algo de historia. En 1961, el astrónomo estadounidense Frank Drake presentó su ecuación al mundo con la que podemos estimar con cuántas civilizaciones extraterrestres nos podemos comunicar mediante ondas de radio, aunque ya imagino que estás pensando: ¿para qué me sirve saber esto último?, ¿esto me va a ayudar a tener mi pareja soñada? Pues, la verdad es que no, pero no te desesperes, hay una razón para esta mención.

Ecuación de Drake:

N = R*fp*ne*fl*fi*fc* L

Luego, el economista Peter Backus cambió la ecuación de Drake para saber cuántas mujeres, con las características que él requería, podían ser potencialmente su novia y que, además, ellas lo encontraran atractivo, lo cual reducía aún más sus posibilidades. Aunque tenemos que resaltar que él es realista y no se quedó con los brazos cruzados. Puedes consultar su informe aquí.

Así, Backus estimó que existían 26 mujeres en todo Londres que cumplían con las características que él propuso. Finalmente, después de varios intentos logró estar con alguien y además casarse; ¡sí, casarse! Así que levanta la cara, no te rindas, amigo(a), que aún tienes oportunidades para dejar de estar solo(a), si es eso lo que quieres.

Ecuación de Drake adaptada por Peter Backus:

N = R*fw*fl*fa*fu*fb

Tranquilo, joven, no huya o se desespere. Lo pondré más fácil apto para dummies y con datos actuales según censo de Perú en 2017. Puedes consultar los resultados aquí.

Un ejemplo

Vayamos a lo práctico: La chica ideal de Christian debería de vivir en Lima, Perú. Además, debe de tener entre 25 a 29 años y contar con estudios universitarios. Entonces, comencemos con la magia y reemplacemos por datos reales:

R = población en Perú en 2017 = 29’381,884

fw = porcentaje de mujeres que viven en Perú = 50.8% = 0.508 (consultar pag 37)

fl = porcentaje de mujeres en Perú que viven en Lima = 51.2% = 0.512 (consultar pag 41)

fa = porcentaje de mujeres en Lima que tienen entre 25 y 29 años = 4.17% = 0.417 (dividir los valores de las pag 38/pag 21)

fu = porcentaje de mujeres entre 25 y 29 años en Lima con educación universitaria = 25.2%*0.4836 = 12.2% = 0.122 (revisar pag 111, valor de 0.4836 para mujeres y 0.5164 para hombres)

fb = porcentaje de mujeres que encuentro atractivas entre 25 y 29 años en Lima con educación universitaria= 3.33% = 0.033 (esto ya depende de cada uno, a medida de ejercicio digamos que es 1 de cada 30. Es decir, tenemos que dividir 1/30 y obtenemos 3.33%)

N = 29’381,884*0.508*0.512*0.417*0.122*0.033 = 1,296

Esto quiere decir que existen alrededor de 1,296 mujeres que serían parejas potenciales para Christian. Sin embargo, este resultado no toma en cuenta que tan atractivo eres para las otras personas, ni si ellas están solteras o si le puedes caer bien para iniciar o continuar alguna conversación.

Entonces, para ser más realistas, ajustaremos aún más el resultado. Tomando en cuenta los datos anteriores:

fs = porcentaje de mujeres solteras en Perú = 47.6% = 0.476 (revisar la pag.57)

fb’ = porcentaje de mujeres que me consideran atractivo = 2.85% = 0.029 (con este dato tienes que ser realista también, él piensa que es atractivo para una de cada 35 mujeres)

fe = porcentaje de mujeres a las que puedo caerles bien = 60% = 0.6 (6 de cada 10)
Finalmente tenemos: N’ = 1,296*0.476*0.029*0.6 = 11


Con este resultado podemos estimar que existen alrededor de 11 potenciales parejas para Christian y que además ellas gustan de una conversación con él. Por supuesto si queremos obtener un resultado aún más realista debemos de poner más condiciones y luego jugar con los datos que nos ofrece el informe del censo.



El artículo completo en: El Comercio (Perú)

 

20 de enero de 2020

El alfabeto Morse y el código binario

El alfabeto Morse fue el primer código binario utilizado para comunicar mensajes complejos a gran distancia y en tiempo real.

En un interesante artículo publicado en esta misma página, Javier Sampedro relaciona el alfabeto Morse con el código genético, lo que, además de recordarme algún inquietante relato de ciencia ficción, me ha sugerido la idea del título.

Morse binario, o más bien binario Morse, como blanca nieve o ancho mar: “binario” es el epíteto del código Morse, su adjetivo inseparable, puesto que se caracteriza precisamente -y a ello debe su eficacia- por usar solo dos signos: una señal corta y una larga. Señales que, además de pulsos eléctricos o electromagnéticos, pueden ser destellos luminosos, sonidos o cualquier otra cosa que permita generar una dualidad fácilmente reconocible.

Y hablando de sonidos, todos hemos visto, en alguna película de intriga, a alguien que envía un mensaje golpeando una tubería; pero los golpes no pueden generar sonidos largos y cortos, como, por ejemplo, un silbato, así que ¿cómo consiguen comunicarse los golpeadores de tuberías? La respuesta parece obvia: no cuentan los golpes sino las pausas; pero eso puede dar lugar a ambigüedades. ¿O no? Someto la cuestión a la consideración de mis sagaces lectoras/es.

Con un código binario podemos escribir dos “mensajes” de un solo carácter (0 y 1) y cuatro de dos caracteres (00, 01, 10, 11), o sea, seis en total; con tres caracteres las posibilidades suben a 14 (2 + 4 + 8), y con cuatro, a 30 (2 + 4 + 8 + 16), y puesto que el alfabeto tiene 26 o 27 letras, según las versiones (con o sin ñ, con o sin ç), en el código Morse el máximo de puntos y líneas necesarios para definir una letra es cuatro.

Dado el actual desarrollo de las comunicaciones, el código Morse ha caído en desuso; pero no por completo, y todos conocen la señal de socorro internacional. Pero ¿por qué SOS? Parece una abreviatura de “socorro”; pero eso solo vale para algunas lenguas romances, como el castellano o el italiano; en inglés es “help”, que no tienen nada que ver. Y sin embargo hay una razón lógica para que la señal de socorro internacional sea SOS; ¿cuál es?

Tomado de: El juego de la ciencia


10 de enero de 2020

Recursos matemáticos para que los niños adoren las matemáticas

Un recurso educativo es una ayuda o un medio para favorecer el aprendizaje. Los recursos matemáticos no son magia.


Un recurso educativo es una ayuda o un medio para favorecer el aprendizaje. Los recursos matemáticos no son magia, pero facilitan enormemente que los niños aprendan matemáticas. Para entender el papel que representan es necesario comprender la importancia que tienen las emociones en todos los procesos de aprendizaje.

Cuando una persona está aprendiendo, antes de que la información sea absorbida de manera intelectual, es procesada por el sistema límbico donde se encuentran las emociones. Esto nos sugiere que el aprendizaje está condicionado por las emociones positivas o negativas que se producen en el momento de aprender. Todos sabemos que somos principalmente seres emocionales y en segundo lugar seres racionales.

Por tanto, la emoción abre las puertas al proceso de aprendizaje y por ello es tan importante despertar la curiosidad y el interés en los niños y las niñas. Los niños prestan atención a aquello que les interesa porque les proporciona una recompensa emocional positiva y dejan de atender a lo que les produce una compensación emocional negativa.

Así cuando uses un recurso matemático ten esto en cuenta. Tienes que generar situaciones que causen un impacto emocional positivo, es decir, que motiven, ilusionen o diviertan. Si además implican a varios sentidos mejor, dejarán mayor huella emocional eficaz facilitando el aprendizaje.

Además, para que puedas asegurarte de que aprenden matemáticas es imprescindible que las propuestas pongan en marcha su razonamiento lógico-matemático. Es decir, no se trata de utilizar un recurso porque sí o porque está de moda, sino que tienes que acompañarlo de una pregunta o un reto. De otra forma, el cerebro se acomoda y no “se esfuerza” por aprender.

Existen cientos de recursos que puedes usar en casa o en el aula, y te voy a indicar mis tres grupos favoritos.

1. Materiales manipulativos

Están diseñados para que los niños puedan visualizar muchos conceptos matemáticos. Sin ellos las matemáticas son abstractas y, en muchos casos, incomprensibles para los niños. Hay una gran diversidad yo te recomiendo tres de los más utilizados:

1. Las regletas numéricas
Son una colección de barritas de madera que representan los números del 1 al 10, cada número tiene una longitud y un color diferente. Con ellas se puede consolidar la noción de número, descubrir relaciones numéricas y también investigar sobre medidas y geometría. Las recomiendo usar desde los 5 a los 16 años.

2. Los policubos
 Son unos cubos encajables útiles para entender las tablas de multiplicar, las fracciones o los gráficos estadísticos. Se puede utilizar a partir de los 5 años y hasta los primeros cursos de secundaria.

3. Los bloques lógicos
 Permiten hacer actividades para desarrollar el razonamiento lógico como series, clasificaciones y cambio de cualidades. Ideales para niños de 3 a 12 años.

2. Juegos de mesa

Para aprender matemáticas de forma duradera se necesita activar la memoria a largo plazo; es decir, no se trata de aprender las tablas de multiplicar para el examen de la semana que viene, sino que es necesario que los niños las aprendan para siempre. Aquí es cuando entran los juegos de mesa: sirven para consolidar aprendizajes.

Cuando los niños juegan en casa o en clase con juegos, están afianzando aprendizajes. Hay cientos de juegos desde el clásico parchís a juegos tremendamente matemáticos como Código secreto.

3. Libros y cuentos

Dispones de muchas obras literarias para que los niños se acerquen a las matemáticas desde la lectura. Algunas permiten repasar o ampliar conocimientos matemáticos a través de los juegos, retos y curiosidades que proponen.

Si quieres comenzar tu biblioteca matemática te sugiero tres títulos para tres rangos de edades diferentes.

1. Por cuatro esquinitas de nada (de 3 a 6 años)
2. Cuentacuentos (a partir de 3 años, si se lo leemos nosotros, y hasta 7 años)
3. Matemática Mente (a partir de 7 años)

Los recursos matemáticos son elementos básicos en la enseñanza de las matemáticas y deberían estar en todas las casas y aulas ya que permiten que los niños aprendan disfrutando.

Para elegir las propuestas más adecuadas para tus hijos o tus alumnos te recomiendo que tengas en cuenta la versatilidad del recurso ya que así lo podrás usar para diferentes contenidos o distintos grados de dificultad.

Fuente:


17 de diciembre de 2019

Acertijos: las bolas blancas, las bolas negras y la muerte


El acertijo

Eres un preso que ha sido condenado a muerte. Pero te ofrecen una oportunidad de vivir si consigues jugar bien a este simple juego. 

Te dan 50 bolas de mármol negras, 50 bolas blancas y dos cuencos vacíos.

Luego, te dicen: "Divide estas 100 bolas en estos dos cuencos. Puedes dividirlas de la forma que quieras mientras uses todas las bolas.

"Luego, te cubriremos los ojos y removeremos las bolas. Tendrás que elegir un cuenco y sacar una bola. Si es blanca, vivirás, pero si es negra...morirás".

¿Cómo tienes que dividir las bolas para que tengas las mayores probabilidades de elegir una bola blanca?

La solución

Pon una bola blanca en un cuenco y todas las demás en otro cuenco (49 blancas y 50 negras).
De esta forma empiezas con una probabilidad 50/50 de elegir el cuenco con solo la bola blanca, lo cual ¡te salvaría la vida instantáneamente!. 

Pero incluso si eliges el otro cuenco, tendrás todavía una probabilidad de casi 50/50 de agarrar una de las 49 bolas blancas. 

Fuente: BBC Mundo

4 de diciembre de 2019

Matemática: el misterioso número 6174

6174 parece un número cualquiera. Sin embargo, lleva intrigando a matemáticos y entusiastas de la teoría de los números desde 1949.

¿Por qué?


Pues mira esto tan curioso.

1. Elije cualquier número de cuatro dígitos que esté formado por al menos dos dígitos diferentes, incluido cero, por ejemplo 1234

2. Organiza los dígitos en orden descendente, lo que en nuestro ejemplo quedaría 4321

3. Ahora, organiza el número en orden ascendente: 1234

4. Resta el número más pequeño del número más grande: 4321 - 1234

5. Y ahora repite los tres últimos pasos 

Vamos a hacerlo:
  • 4321 - 1234 = 3087
entonces organizamos los dígitos de 3087 en orden descendente y queda 8730, y en orden ascendente, 0378, y restamos:
  • 8730 - 0378 = 8352
nuevamente, organizamos los dígitos del resultado 8352, y los restamos:
  • 8532 - 2358 = 6174
Una vez más, en orden descendente -7641- y ascendente -1467-, y restamos:
  • 7641 - 1467 = 6174
Como puedes notar, de aquí en adelante no vale la pena seguir, pues sólo repetiríamos la misma operación. 

Tratemos con otro número. ¿Qué tal 2005?:
  • 5200 - 0025 = 5175
  • 7551 - 1557 = 5994
  • 9954 - 4599 = 5355
  • 5553 - 3555 = 1998
  • 9981 - 1899 = 8082
  • 8820 - 0288 = 8532
  • 8532 - 2358 = 6174
  • 7641 - 1467 = 6174
Resulta que no importa con cuál número comiences, siempre llegas a 6174 y a partir de entonces, la operación se repite, con el mismo resultado una y otra vez: 6174.

Kaprekar, un adicto a los números

A esto se le conoce como la Constante de Kaprekar pues quien descubrió la misteriosa belleza de 6174 y la presentó en la Conferencia Matemática de Madrás en 1949 fue Dattatreya Ramchandra Kaprekar (1905-1986), un adicto confeso de la teoría de los números. 

"Un borracho quiere seguir bebiendo vino para permanecer en ese estado placentero. Lo mismo ocurre conmigo en lo que respecta a los números", solía decir.

El artículo completo en: BBC Mundo
 

29 de noviembre de 2019

Stanislas Dehaene: cómo aprende el cerebro y cuál es el método más eficaz

“Todos los niños vienen curiosos. Habría que preguntarse si la escuela no mata esa curiosidad”, planteó Dehaene.


Stanislas Dehaene da clases en el Collège de France y ganó el Brain Prize, considerado como el “Nobel de neurociencia”. Es catalogado como uno de los máximos exponentes en la materia, pero cuando se le pregunta qué es la inteligencia prefiere citar a un colega. “Demis Hassabis, CEO de DeepMind, dice que la inteligencia es la capacidad de transformar informaciones brutas en conocimientos utilizables. Eso, al final y al cabo, es el aprendizaje -agrega él-. implementar herramientas mentales para aplicar a situaciones extremadamente diferentes unas de las otras".

-¿Cuánto hay de innato y cuánto de adquirido?
-La máquina que es nuestro cerebro se basa en muchas cuestiones innatas. Es uno de los grandes descubrimientos de los últimos veinte años. En mi laboratorio también vimos que el cerebro de los niños muy pequeños ya está extremadamente organizado. Desde el nacimiento observamos circuitos cerebrales muy próximos a los que van a tener de adultos. Los bebés ya aplican funciones de muy alto nivel como el sentido de las probabilidades, de los números, del espacio. Nuestro cerebro proyecta sobre el mundo exterior para poder aprender.

-¿Todos los bebés nacen con un punto de partida similar?
-Sí, efectivamente. Los competencias matemáticas o proto-matemáticas ya existen desde los primeros días de nacidos y son idénticas tanto para varones como para mujeres.

-¿Cómo puede ser posible que tengan competencias matemáticas sin ni siquiera haber visto un número?
-Sigue siendo un misterio. Pero el cerebro se autoorganiza, como si fuera un mapeo. Está lo que se llama el GPS cerebral, que es un espacio que está entre el hipocampo y la corteza temporal. En las investigaciones con ratones se ve cómo ellos mapean el espacio. Este circuito ya está presente en el primer día que el ratón empieza a moverse.

-En su libro afirma que el cerebro del niño es superior a cualquier inteligencia artificial.
-Sí, por lo menos por ahora.

-¿Cree que en el algún momento la IA lo va a superar?
-Como hipótesis de base no puedo decir que eso no vaya a suceder. Por el momento les faltan algunos de los pilares de aprendizaje que aplicamos los humanos. Las máquinas hoy usan muchos menos datos para aprender. El cerebro humano descubre regularidades explícitas. Todo aquello que conocemos lo podemos reformular y transmitir. Esto es la base de la educación: somos la única especie que puede autoeducarse.


26 de noviembre de 2019

George Green: el molinero que revolucionó el electromagnetismo

El físico y matemático inglés George Green publicó sus primeros artículos con las suscripciones de sus vecinos mientras trabajaba en el molino familiar.

Una niña, frente al molino de la familia Green, actualmente convertida en museo de ciencia e historia.

A principios del siglo XIX, los científicos provenían de familias adineradas o de clase alta, que se podían permitir años de costosa educación para sus hijos. Sin embargo, la vida del matemático y físico George Green, responsable de grandes avances en el electromagnetismo y en la teoría de ecuaciones en derivadas parciales, fue muy diferente.

No se sabe exactamente cuando nació, pero fue bautizado el 14 de julio de 1793 en Nottingham (Inglaterra). En 1801, con ocho años, fue inscrito en la escuela de Robert Goodacre, una reputada institución privada. Pero apenas un año más tarde tuvo que abandonar su formación para trabajar en la panadería familiar; el negocio iba bien y querían expandirlo.

En 1807, su padre compró un terreno en una villa cercana a Nottingham y construyó un molino. En 1817 la familia Green se trasladó a una casa construida en la misma finca y George, con 24 años, se inició en el oficio de molinero. Durante estos años, estudió física y matemáticas de forma autodidacta. Aunque no está del todo claro cómo pudo acercarse a estas disciplinas con solo un año de escolarización, es posible que un vecino de Nottingham, John Toplis, le ayudara. En ese momento era la única persona en la ciudad con la formación suficiente en matemáticas para enseñar a Green (tradujo del francés el primer volumen de la Mécanique Céleste de Laplace en 1814), y además, vivía cerca de la familia antes de que se mudasen.


En 1823 Green se unió a la Biblioteca de Subscripción de Nottingham, lo que le dio acceso a revistas científicas como los Philosophical Transactions of the Royal Society, aunque sólo del ámbito nacional. Entre 1823 y 1828 nacieron sus primeros dos hijos, falleció su madre y trabajaba a tiempo completo, pero el tiempo del que disponía lo empleaba en estudiar en el piso superior del molino.

En 1828 publicó su primer trabajo, An Essay on the Application of mathematical Analysis to the theories of Electricity and Magnetism. Creyéndose un total aficionado, Green no lo envió a ninguna revista científica, sino que puso un anuncio en un periódico local anunciando su inminente publicación y pidiendo a la gente interesada en recibirlo que pagase una cuota para costear la producción de una tirada. El precio de la subscripción era 7,5 chelines, lo que equivalía aproximadamente al salario de una semana de un obrero. Aun así hubo 51 personas que respondieron al anuncio y recibieron su correspondiente copia, muchas de ellas pertenecientes a la Biblioteca de Subscripción de Nottingham. Aunque la inmensa mayoría no entenderían de que trataba el trabajo, alguna de las copias llegó a Sir Edward Bromhead, quien sí tenía los conocimientos adecuados para apreciarlo. Tras leerlo, se apresuró a escribir a Green ofreciéndole ayuda para futuras publicaciones.

Durante dos años no contestó, considerando que la carta había sido pura cortesía y que, dada la diferencia de clases sociales, hubiese sido de mala educación responder. Pero convencido por un amigo, finalmente lo hizo, dando comienzo a una importante colaboración. Entre 1830 y 1833 Green escribió otros tres artículos y Bromhead se encargó de que dos fueran publicados por la Cambrige Philosophical Society y el otro por la Edimburg Royal Society.

Bromhead le propuso viajar a la Universidad de Cambridge, conocer a importantes científicos, y comenzar sus estudios allí. Aun con ciertas dudas y tras sortear varias dificultades, Green dejó el molino –que años después se convertiría en un museo de ciencia en su honor- y comenzó a estudiar en la universidad a la edad de 40 años.

Se graduó en 1837, siendo el 4º de su promoción. En 1839 obtuvo un puesto de investigación en la universidad, pero a comienzos de 1840 cayó enfermo y tuvo que volver a Nottingham. Un año más tarde murió, con 49 años de edad. En el corto periodo que formó parte de la comunidad científica, ni Green ni sus compañeros supieron ver la importancia de sus matemáticas.

Pero con el paso del tiempo, su influencia en la ciencia fue creciendo: el concepto de potencial, que había ideado en su artículo de 1828, fue adoptado en la teoría del electromagnetismo (por ejemplo, en las ecuaciones de Maxwell) y en teoría de campos; las técnicas matemáticas que había desarrollado en ese mismo texto llevaron al enunciado del que hoy se conoce como Teorema de Green, y que aprenden en su primer año de carrera todos los estudiantes de física y matemáticas. También llevan su nombre las funciones de Green que ideó para resolver aproximadamente ecuaciones en derivadas parciales y que son una herramienta clave en la moderna teoría cuántica de campos. Sin duda, consiguió alcanzar su mayor sueño: contribuir a la ciencia.

Artículo tomado de: El País (Ciencia)
 

¿Qué son los números imaginarios?


En la Italia renacentista de comienzos del siglo XVI uno de los espectáculos callejeros más populares en la ciudad universitaria de Bolonia eran los duelos. Pero no solo los de espadas. También había combates puramente intelectuales.

Se trataba de desafíos matemáticos, en los que dos o más expertos batallaban por encontrar la solución a un problema. El duelo se llevaba a cabo en plazas públicas y era seguido por miles de habitantes.

Fue en esta época que algunos matemáticos italianos se empezaron a dar cuenta de que algunas ecuaciones eran imposibles de resolver. 

En particular, aquellas cuya resolución requería calcular la raíz cuadrada de números negativos.
Como quizás recuerdes de la escuela, los números negativos no tienen raíces cuadradas: no hay un número que, cuando se multiplica por sí mismo, da un número negativo. 
 
Esto se debe a que los números negativos, cuando son multiplicados, siempre producen un resultado positivo. Por ejemplo: -2 × -2 = 4 (no -4).

Pero los matemáticos Niccolo Fontana (alias Tartaglia) y Gerolamo Cardano se dieron cuenta de que si permitían la existencia de raíces cuadradas negativas, podían resolver ecuaciones verdaderas -o con "números reales", como se conoce a los números que poseen una expresión decimal-.

La "unidad imaginaria" o "i" es la raíz cuadrada de -1, un número que fue inventado en el siglo XVI en Italia. >

Fue así como crearon una unidad nueva, imaginando la raíz cuadrada de -1 (o √-1 en términos matemáticos).

En 1573 otro matemático renacentista, Rafael Bombelli, explicó cómo funcionaba la aritmética con este nuevo concepto, en una obra llamada "Álgebra".

Allí señaló que la unidad nueva no era positiva ni negativa y, por lo tanto, no obedecía las reglas habituales de la aritmética.

Por cerca de un siglo muchos pensadores rechazaron esta nueva idea, llamando a esta unidad inventada "ficticia, imposible o sin sentido".

Uno de los detractores fue el filósofo francés René Descartes, quien en su obra "La Géométrie" (1637) bautizaría a la invención con el término despectivo de "números imaginarios".

i

Pasarían muchas décadas más para que los matemáticos empezaran a aceptar a estos números imaginarios, que desafiaban la lógica, como algo válido y genuino.

En 1707, otro francés, Abraham de Moivre, relacionó los números imaginarios con la geometría, logrando así usar esta disciplina para resolver complejos problemas algebraicos.

Setenta años más tarde, los números imaginarios tendrían finalmente su propio símbolo: i (gracias al matemático suizo Leonhard Euler).

Y su uso permitiría extender el sistema de números reales (R) al sistema de números complejos (C), donde se combinan números reales con números imaginarios.

Quizás todo esto suena como algo completamente abstracto y sin utilidad real, que solo podría interesarle a intelectuales que viven en el mundo de las ideas, pero esa está lejos de la realidad.

En el siglo XX, los números imaginarios empezaron a tener muchos usos prácticos, permitiendo a ingenieros y físicos, entre otros, resolver problemas que de otra forma no hubieran tenido solución.

Telecomunicaciones

Hoy estos números imaginarios y complejos están detrás de algunas de las tecnologías más esenciales que usamos.

Resultaron especialmente valiosos cuando se inventó la electricidad, ya que son muy útiles para analizar cualquier cosa que se expresa en ondas (como las ondas eléctricas).
La ingeniería eléctrica utiliza números complejos, en los que "i" es usado para indicar la amplitud y la fase de una oscilación eléctrica.


Sin estos números, no se hubiera podido desarrollar las telecomunicaciones. No existiría la radio, la televisión e internet y hoy no estarías leyendo esta nota en tu computadora, tablet o celular.
Los números imaginarios también permitieron todo tipo de desarrollos tecnológicos y científicos, desde el radar y el GPS hasta la resonancia magnética y las neurociencias.

La física cuántica reduce todas las partículas a formas de onda, lo que significa que los números complejos son fundamentales para comprender ese extraño mundo.

No sólo podrían ser clave para el futuro, sino que algunos creen que eventualmente podrían servir para responder una de las grandes incógnitas que siguen dejando perplejos a los científicos: ¿qué pasó antes del Big Bang y cuándo empezó realmente el tiempo?

¿En serio?

La clásica teoría general de la relatividad de Albert Einstein vinculó el tiempo con las tres dimensiones espaciales con las que todos estamos familiarizados (arriba-abajo, izquierda-derecha y adentro-afuera), creando un "espacio-tiempo" cuatridimensional en el que el tiempo solo puede avanzar. 

Una teoría brillante, pero cuando se aplica a la creación del Universo surgen problemas.
Pero si invocas la teoría cuántica y le agregas algo de tiempo imaginario y todo empieza a cobrar sentido... al menos para los cosmólogos. 

El tiempo imaginario se mide en números imaginarios y, a diferencia del tiempo real, puede avanzar y retroceder como una dimensión espacial adicional.
Y eso le da al Big Bang un momento para comenzar.

Fuente: BBC Mundo


22 de noviembre de 2019

Teoría de Dunbar: ¿podemos tener más de 150 amigos?

Robin Dunbar estableció que todo ser humano, en priomedio, popdría tener 150 amistades, ¿es esto posible en una sociedad hiperconectada como la actual?

A través de sus estudios de primates no humanos, el antropólogo británico Robin Dunbar llegó a la conclusión de que había una relación entre el tamaño del cerebro y el tamaño del grupo con el que nos vinculamos.

El experto concluyó que el tamaño de la neocorteza, la parte del cerebro asociada con la cognición y el lenguaje, en relación con el cuerpo, está relacionado con el tamaño de un grupo social cohesionado.

Esta relación limita la complejidad que puede manejar un sistema social.

Dunbar y sus colegas aplicaron este principio básico a los humanos, examinando datos psicológicos, antropológicos, ya fuera históricos como contemporáneos, sobre el tamaño de los grupos, incluida la forma en que los grandes grupos se forman antes de separarse o colapsar.

El resultado fue que encontraron notable consistencia alrededor del número 150.


Una persona tiene en torno a 150 amigos en total

¿De dónde viene?

Según Dunbar y muchos investigadores en los que influyó su teoría, esta regla de 150 es cierta para las primeras sociedades de cazadores-recolectores, así como para una sorprendente variedad de agrupaciones modernas: oficinas, comunas, fábricas, campamentos, organizaciones militares, pueblos… e, incluso la lista para la celebración de la Navidad.

Sus conclusiones indican que si un grupo excede 150 personas, es poco probable que dure mucho o sea coherente.

Pero 150 por sí solo no cuenta toda la historia. Otros números también son decisivos dentro de la hipótesis del cerebro social, que es como se conoce la teoría de Dunbar.

De acuerdo con ésta, el círculo más estrecho de nuestras relaciones humanas tiene cinco personas: nuestros seres más queridos o cercanos.
A estos, le siguen varias capas sucesivas:
  • 15 buenos amigos
  • 50 amigos
  • 150 contactos significativos
  • 500 conocidos
  • 1.500 personas que puedes reconocer
Las personas migran dentro y fuera de estas capas, pero la idea es que cada persona mantiene sus relaciones en esos límites.

Por supuesto, esos números realmente representan un rango. Los extrovertidos, según el autor, tienden a tener una red más amplia, aunque con relaciones menos intensas, mientras que los introvertidos se concentran en un grupo más pequeño de contactos muy cercanos.

Las mujeres, por su parte, generalmente tienen un poco más de contactos en las capas más cercanas.

Lea el artículo completo en:

BBC Mundo

12 de noviembre de 2019

Matemáticas: el problema de las pinturas de Mondrian


Los cuadros geométricos de Piet Mondrian, una de los máximops representantes del arte abstracto mundial, esconden mucha matemática... y tmbién este rimpecabezas, o problema, que les traemos a continuación.

El problema matemático de Mondrian consiste en dividir una cuadrícula de dimensiones n x n, en rectángulos y cuadrados de lados enteros e incongruentes entre sí (es decir, que no haya dos iguales), de tal modo que la diferencia entre la superficie del rectángulo mayor y el menor sea la menor posible. Esa resta dará la puntuación.

¿Cómo dijo?

Este enunciado, formulado de esta manera, en abstracto, resulta difícil de entender, pero se ve muy fácilmente con un caso concreto.

Por ejemplo, tomemos la cuadrícula de 4×4. Una posible solución es dividir el cuadro en dos rectángulos de 3×4 y 1×4, lo que otorga una puntuación de 8. Una forma de mejorar el resultado es dividir la cuadrícula en 3 rectángulos, lo que permite rebajar la puntuación a 6.

Pasatiempo N° 01:

Todavía hay una solución mejor para una cuadro 4×4, una distribución óptima que arroja una puntuación de 4. ¿Cuál es? Busca la respuesta.

Fue a partir de 1915, luego de haber estudiado a profundiad los principios de movimientos como el impresionismo, el expresionismo o el cubismo, cuando Piet Mondrian comenzó a pintar sus famosos cuadros. Estas obras sublimaban la abstracción y simplificación de las formas hasta limitar los elementos a líneas rectas y rectángulos; y los colores empleados a los primarios (rojo, amarillo y azul) y los acromáticos (gris, blanco y negro). Con este lenguaje, el pintor trataba de reflejar el equilibrio de opuestos —líneas vs superficies; formas horizontales vs verticales; colores vivos vs ausencia de color— que gobernaban la naturaleza y el universo entero y que constituía su esencia y espíritu... ¡bastante profundo y ambicioso! ¿verdad?

Ahora vamos a dar un paso más, pasemos a la siguiente cuadrícula:

Pasatiempo 2:

Aquí se muestra la mejor solución para el caso de un cuadro de 5×5, que permite una Puntuación de 4.

En el caso de un cuadro de 6×6, la mínima puntuación posible es 5, ¿cuál es la solución que permite alcanzar este valor?

¿Y cuál es la solución óptima para un cuadro de 8×8?
 
Pero aquí no acaba todo, el problema se vuelve más complejo y desafiante, sigue leyendo AQUÍ. 

11 de noviembre de 2019

Matemática: Qué es la teoría de categorías y cómo se ha "puesto de moda"

Desde hace algunos años se habla mucho de una de las ramas de la matemática: la teoría de categorías que ha ganado bastante popularidad dentro de la comunidad matemática. Pero, ¿qué es esta rama de las matemáticas y por qué está de moda?

Algunas personas llaman a la teoría de categorías “las matemáticas de las matemáticas”, ya que se sitúa por encima de muchas disciplinas matemáticas, conectándolas. Fue propuesta en 1945 como una herramienta para trasladar problemas matemáticos de un campo a otro, en el que se pudieran resolver con mayor facilidad. Por ejemplo, sabemos que en cualquier momento debe haber un punto en la superficie de la Tierra donde la velocidad del viento es cero. Pero para demostrar este precioso resultado lo debemos traducir a una afirmación algebraica, para lo que es útil emplear una pizca de teoría de categorías. Habitualmente, resultados más complejos requieren más teoría de categorías. La demostración del último teorema de Fermat, por ejemplo, se basa en una gran cantidad de matemáticas del s. XX y la teoría de categorías jugó allí también su papel.

Desafortunadamente, este alto nivel de abstracción superó incluso el grado de tolerancia de los propios matemáticos y, durante años, muchos de ellos han considerado esta teoría como un “sinsentido abstracto” y se han limitado a usarla cuando era totalmente necesario para su trabajo. Sin embargo, otros sí aceptaron con los brazos abiertos la belleza y el poder de esta disciplina, lo que hizo que su influencia fuese extendiéndose de forma gradual no solo en las matemáticas, sino también en otras ciencias. A partir de la década de 1990 comenzó a infiltrarse en las ciencias de la computación: nuevos lenguajes de programación como Haskell y Scla, por ejemplo, empleaban ideas de la teoría de categorías. Actualmente aparecen nuevas aplicaciones de esta teoría a la química, la ingeniería eléctrica o ¡incluso para diseñar frenos de los coches! La teoría de categorías aplicada, que en otra época hubiese sido considerada un oxímoron, se está convirtiendo en un tema de investigación real.



17 de septiembre de 2019

Pioneras de la ciencia (08/08): Maria Mitchell (1818-1889), la primera mujer científica en los EE.UU.


El caso de Maria Mitchell (1 de agosto de 1818 – 28 de junio de 1889) es uno de esos que nos recuerdan las muchas mentes brillantes que la ciencia habrá perdido, por el solo hecho de haber pertenecido a mujeres que carecieron de oportunidades. Mitchell es el contraejemplo: ella sí tuvo la oportunidad y la aprovechó sobradamente. Aunque fue criada en la tradicionalista Nueva Inglaterra, la igualdad entre sexos defendida por su familia le abrió la puerta a los estudios que le depararían una fulgurante carrera en astronomía.

Cuando Maria Mitchell tenía 14 años, los barcos balleneros que partían del puerto de Nantucket, la isla cercana a Massachussetts donde vivía, confiaban en su habilidad para calibrar los instrumentos de navegación que les ayudarían a orientarse durante sus semanas de travesía. La conocían y estaban seguros de su habilidad porque llevaban años viéndola acompañar a su padre, William Mitchell, un hombre instruido y versado en ciencias y astronomía que se dedicó personalmente de la educación de su hija.

Mitchell nació el 1 de agosto de 1818 en una familia cuáquera, una tradición que defiende que chicos y chicas deben ser educados igual, así que ella acudió a la escuela local y recibió una amplia formación de su padre, que incluyó muchos ratos realizando experimentos juntos. Una de sus hermanas contaba que en el salón colgaba de la lámpara una bola de cristal llena de agua que él utilizaba en sus experimentos sobre la polarización de la luz y que hacía que todas las paredes de la estancia estuviesen cubiertas de fragmentos de arco iris.

La astronomía y su estudio era una disciplina muy apreciada en la isla, que vivía de los barcos balleneros que a su vez dependían de los instrumentos astronómicos para orientarse. William Mitchell se encargaba de ajustar esos instrumentos de forma que los barcos siempre supieran dónde estaban cuando pescaban en alta mar, y su hija lo acompañaba. También hacían juntos otros experimentos. Durante un eclipse solar cuando ella tenía 13 años, calculó la longitud a la que se encontraba su casa.
A Mitchell le encantaba leer, aprender y enseñar. A los 16 años empezó a trabajar como asistente de los profesores de su anterior escuela, y a los 18 se convirtió en la primera bibliotecaria del Ateneo de Nantucket.

Era un lugar tranquilo, así que ella aprovechó parte de su tiempo allí para seguir leyendo y aprendiendo. Le interesaban muchas materias: alemán, latín, matemáticas avanzadas y mecánica celeste. Algunas tardes se organizaban en el Ateneo charlas y tertulias a las que acudían mentes progresistas para hablar de todo tipo de temas, y ella también estaba allí, aprendiendo.
Disfrutaba con su tranquilo trabajo, pero un día la casualidad se puso ante ella y todo cambió. Lo hizo en la forma de un cometa inesperado. A Mitchell le gustaba pasar las noches sobre el tejado de la casa de su familia escrutando el cielo y las estrellas con su telescopio. El 1 de octubre de 1847 estaba estudiando un segmento del cielo que ya conocía cuando se encontró en él una mancha blanca que no estaba allí antes. Bajó a contárselo a su padre, que animó a Mitchell a hacer público su descubrimiento.

Ante la negativa de ella, que temía ser menospreciada por ser mujer, William Mitchell escribió a otros astrónomos influyentes para que apoyasen el descubrimiento de su hija. William C. Bond era por entonces el director del Observatorio de Harvard, en Massachussetts, y fue quien habló a los Mitchell de la medalla a la que Maria podía aspirar. Les contó que Frederik VI, rey de Dinamarca, también era muy aficionado a la astronomía, y que había ofrecido una medalla a todo el que descubriese un nuevo cometa. El monarca había fallecido en 1839 pero su sucesor, Christian VIII, continuó otorgando estos premios.

Convencida por su padre y su colega, Mitchell se animó por fin a publicar su descubrimiento, aunque un error de ellos dos al seguir los trámites para optar a la medalla casi la dejan sin ella. Por fin, un año después de haber visto el cometa que sería bautizado con su nombre, la medalla de Maria Mitchell llegó a Nantucket.

Su descubrimiento la hizo famosa, y propició que se convirtiese en la primera mujer que formó parte de la Academia Estadounidense de las Artes y las Ciencias, y fue contratada por el servicio que elaboraba el calendario náutico para seguir y consignar detalladamente los movimientos de Venus que, aunque es un planeta, servía como estrella guía para los barcos. Mucha gente venía a visitarla y quería conocerla, impresionados por la primera mujer estadounidense que había descubierto un cometa.

Gracias a sus ahorros y a un trabajo como acompañante de una chica más joven, pudo viajar por el sur de Estados Unidos y por Europa, donde visitó algunos de los observatorios más avanzados de la época, como el de Cambridge o Roma, y conoció a los astrónomos más importantes del continente, Sir George Ary, el Astrónomo Real que estableció el Meridiano de Greenwich, o el padre Secchi, el Astrónomo del Vaticano.
En 1858 Mitchell estaba de vuelta en Nantucket, y poco después, tras la muerte de su madre, se trasladó con su padre al continente. Continuó trabajando para el servicio náutico hasta que en 1865 fue contratada como profesora por Mathew Vassar para dar clase en el Vassar College, su recién inaugurada escuela para mujeres, por su habilidad científica y por ser un modelo a imitar para otras mujeres jóvenes. Ella encajó enseguida en su rol de profesora y mentora de sus alumnas, a las que animaba a no dejar que el hecho de ser mujeres las desanimase en sus empeños. “Ninguna mujer debería decir ‘Pero solo soy una mujer’. ¿Solo una mujer? ¿Y qué más se puede pedir?”.
Las llevaba a excursiones para observar eclipses y las mantenía despiertas mucho más allá de la hora fijada para estudiar con ellas el cielo y sus componentes. Era muy exigente, pero era también una de las profesoras preferidas por sus estudiantes, a las que trataba como iguales: “Somos mujeres estudiando juntas”.

Volvió a Europa unos años después, en 1873. Primero fue a Rusia, donde descubrió encantada que allí la educación de las mujeres jóvenes estaba mucho más extendida que en Estados Unidos. Allí las chicas a las que conoció hablaban de ciencias, de literatura y de política sin cortarse. En comparación, en EE. UU. el número de chicas con esos conocimientos era mucho más limitado. En el otro lado estaba el Colegio para Chicas de Glasgow, que también visitó en ese viaje, en el que solo se las enseñaba música, danza, dibujo y bordado, lo cual le resultó muy decepcionante. A su vuelta a su país, Mitchell participó en la fundación de la Asociación Americana para el Avance de las Mujeres.
En 1888, Mitchell enfermó del corazón y dejó las clases para trasladarse a la casa de su hermana, ante el disgusto y las súplicas de estudiantes y de la dirección de la escuela, que le pidieron que se quedase viviendo allí, aunque no pudiese seguir dando clase. Ella prefirió marcharse. Su sobrino, arquitecto, le construyó un pequeño observatorio en su nuevo hogar con la esperanza de que se recuperase lo suficiente como para usarlo. No fue así. Maria Mitchell murió el año siguiente.

Mitchell fue una mujer de ideas adelantadas a su tiempo. Un ejemplo curioso: renunció a vestir prendas de algodón como protesta contra la esclavitud. Pero sobre todo, fue una activa defensora de los derechos de las mujeres, impulsando el movimiento sufragista y la participación de las mujeres en la ciencia. Con ocasión de un viaje a Europa, dejó escrita su admiración por la matemática y astrónoma escocesa Mary Somerville, para quien “las horas de devoción al estudio intenso no han sido incompatibles con los deberes de esposa y madre”. Quizás esa fue la espina que se le quedó clavada, ya que Mitchell nunca se casó ni tuvo pareja, un precio que muchas mujeres científicas han debido pagar a cambio de carrera y prestigio.

Fuente: Open Mind

Mujeres con ciencia

Open Mind
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