Tres
de las más grandes revoluciones científicas del siglo XX –la Teoría de
la relatividad, la física cuántica y la teoría del Caos- han
fortalecido, cada una a su manera, la concepción filosófica de la
naturaleza sostenida por Engels en su obra Dialéctica de la naturaleza.
Se trata de la concepción del mundo con la cual Marx realizó el
estudio más serio acerca de la dinámica del capitalismo. El
materialismo dialéctico no es sólo un método de análisis para estudiar
al capitalismo, sino, como señalaba Engels, una concepción general del
mundo: la naturaleza, el pensamiento y la sociedad que encuentra sus
raíces en el maravilloso pensamiento del antiguo filósofo griego
Heráclito y en el método dialéctico de Hegel.
En Razón y revolución Ted Grant y Alan Woods han puesto al
día la obra de Engels, en mi texto “El materialismo dialéctico y la
ciencia”, siguiendo la estela dejada por Ted Grant y Alan Woods, he
tratado de mostrar cómo estas revoluciones científicas muestran un
universo en constante cambio y movimiento, a través de contradicciones y
con un desarrollo de complejidad creciente. En este texto pretendo
concentrarme en la teoría del Caos, los fractales y el llamado “número
dorado”; temas todos vinculados y que, además de interesantes y
apasionantes, muestran la estructura contradictoria de la naturaleza y
-especialmente el número áureo- parecen señalar la auto-organización
de la naturaleza y la estructura subyacente espiral oculta en muchas
estructuras (incluidas las fractales). Para ilustrar el texto me he
auxiliado - además de literatura de divulgación científica- de
imágenes, ilustraciones y videos obtenidos del internet a las cuales
les debo el lado gráfico de este trabajo. Espero que el tema resulte
tan interesante para el lector como lo es para mí.
Teoría del Caos
La Teoría del Caos -desarrollada en los años sesenta en los trabajos
de los científicos soviéticos A. Kolmogorov, V. Arnold; S. Smale y E.
Lorenz en EUA; D. Ruelle y R, Thom en Francia-señala que la dinámica de
los fenómenos complejos –fenómenos que involucran más de tres
variables- no se pueden describir y entender con la matemática
euclidiana (es decir, con reglas, escuadras y compases), ni con la
mecánica de Newton. Fenómenos como el movimiento pendular, el flujo
turbulento, la dinámica del mundo subatómico, los ruidos de fondo, el
goteo azaroso en la bañera, etc. son fenómenos que combinan el caos y
el orden; son impredecibles pero, al mismo tiempo están determinados.
El “azar” y el orden están dialécticamente vinculados. Esta maravillosa
teoría nos enseña que el movimiento lineal y predecible se transforma
más allá de cierto punto en un movimiento caótico e impredecible y que,
si bien, es imposible determinar el comportamiento de cada partícula
que conforma el movimiento caótico, es perfectamente posible predecir
la estructura subyacente del Caos como un sistema. Pero esto no es
todo: el Caos hace posible el surgimiento de nuevos órdenes lineales
que expresan una nueva etapa del desarrollo. Se trata del
replanteamiento inconsciente en términos de la ciencia moderna de una
concepción dialéctica del mundo. Tenemos en esta teoría todas las
llamadas “leyes de la dialéctica”: Unidad y lucha de contrarios, paso
de lo cuantitativo a cualitativo y viceversa, y negación de la
negación.
Ejemplifiquemos concretamente esta idea con el asombroso
patrón de desarrollo –“Diagrama de bifurcación”-descubierto por R. May
en la década de los setentas en la dinámica de población de algunos
animales, insectos y bacterias. R. May encontró que cuando algunos
crustáceos tenían una tasa de reproducción menor a 0.6 la población
desaparece al cabo de pocos años; en este caso la tasa es menor a la
capacidad de la especie para compensar los especímenes que mueren.
Cuando la tasa de población es superior a 0.6 y hasta una tasa de 2.7,
la población aumenta progresivamente quedando estabilizada en una
cantidad determinada. Estamos ante el comportamiento de un patrón
perfectamente predecible y lineal. Pero con una tasa de crecimiento
mayor a 3 el patrón lineal se bifurca en dos cifras que se alternan
cada año; para una tasa mayor a 3.45 la tasa población se bifurca en 4
cifras que se alternan; en 3.569 la tasa vuelve a bifurcarse en ocho
cifras, en 3.56 tenemos 16 cifras y así sucesivamente con cada pequeño
digito que alteremos. En este punto nos encontramos al borde del Caos,
la dinámica es tan inestable que cualquier pequeño cambio provocará un
salto de estado. Lorenz se refirió al pequeño cambio que provoca el
caos como “El efecto mariposa”. En dialéctica se le llama transición de
cantidad a calidad. Así en 3.56999 entramos en una fase caótica de la
dinámica poblacional: ya es imposible determinar un número exacto para
la población la cual varía caóticamente dentro de cifras en un rango
que la vez está determinado. Abajo la gráfica que representa esta
fascinante dinámica.
En esta gráfica podemos observar que dentro del periodo caótico del
desarrollo podemos encontrar pequeñas franjas blancas que son “ventanas
de orden dentro del Caos”, es decir, tasas en donde la dinámica de
población vuelve a ser lineal y ordenada describiendo en pequeña escala
el patrón ya descrito: se estabiliza, se bifurca y que se vuelve a
bifurcar hasta dar lugar a un nuevo caos. El orden genera caos, el caos
tiene un orden y genera nuevos órdenes.
Este, por supuesto, no es
el único patrón que describe el paso del orden al caos. Las formas
obedecen al tipo de dinámica estudiada, así se conocen transiciones
“casi periódicas”, “cascadas subarmónicas”, “intermitencias”, etc.
Estos patrones no son exclusivos de la dinámica poblacional. Se han
encontrado patrones equivalentes en los ritmos cardiacos cuando se
vuelven inestables en las arritmias y caóticos en los ataques
cardiacos; los estados mentales, el patrón del encefalograma parece ser
más caótico y fractal mientras la persona está más alerta. ¡La
consciencia humana sería imposible sin el caos y la contradicción! Es
posible que esta dinámica se manifieste también en los ciclos
económicos que pasan de estables a inestables durante las crisis
capitalistas. Ya Marx había señalado que la dinámica del capitalismo no
es lineal, es contradictoria y está llena de inestabilidades y caos
intrínseco.
La dialéctica de los fractales
Hemos señalado que el Caos tiene un orden que depende del sistema
caótico de que se trate. Hemos observado, en el caso de la dinámica
poblacional, que en el caos se encuentran ventanas de orden que repiten
la estructura inicial en pequeña escala. Esas pequeñas ventanas de
orden dentro del caos pueden ampliarse cuantas veces se quiera
encontrando los mismo patrones una y otra vez. El caos tiene una
estructura fractal: una estructura geométrica no lineal autosimilar;
repite la misma estructura a cualquier escala que la miremos. El orden
del caos se puede representar por fractales, estructuras
contradictorias, son un verdadero asalto a la lógica formal, verdaderos
“monstruos matemáticos”. Para explicar hasta que punto estas
estructuras son dialécticas veamos algunos de los fractales más famosos
y conocidos.
En 1828 el botánico ingles Robert Brown describió en
curioso movimiento en zigzag que se conoce en la actualidad como
“movimiento browniano”. Una partícula de polen suspendida en agua o en
polvo suspendido en el aire (suspensión coloidal) describe este
asombroso movimiento irregular. Si trazamos los puntos por los que pasa
una mota de polvo por el espacio en un momento determinado (1 minuto
por ejemplo) y unimos los puntos de manera imaginaria, obtendremos una
estructura en zigzag como la de la imagen de abajo. Si nos preguntamos
qué paso entre el punto 1 y 2 representado en nuestro dibujo por una
recta, trazando el movimiento con puntos en un inérvalo de tiempo más
corto (por ejemplo 1 segundo) obtendremos, en ese nuevo intervalo, otra
estructura en zigzag similar a la antes mencionada. El fenómeno se
repite hasta el infinito para tiempos más cortos. Se trata de un
fractal porque la estructura se repite en diversos intervalos de
tiempo. El movimiento browniano nos obliga a aceptar que la mota de
polvo está en un tiempo finito en infinitos puntos. ¡Un movimiento
infinito en un tiempo finito! Este tipo de contradicciones ya habían
sido expresadas en las paradojas de Zenón, solo que Zenón las exponía
para demostrar que el movimiento es contradictorio y, por tanto, no
debía existir como señalaba su maestro Parménides (precursor de la
lógica formal). La única manera de resolver las contradicciones de
Zenón es aceptando la contradicción misma.
Otro de los fractales más antiguos y “sencillos” es el ideado y, al
mismo tiempo, descubierto por Cantor en 1883. Se trata de un monstruo
matemático que ni el mismo Cantor creía que pudiera existir: se trata de
una estructura autosimilar (fractal) que tiene infinitos puntos pero
cuya longitud tiende a cero. Es difícil concebir algo así. En la escuela
nos enseñaron que la recta se define como la suma de los puntos, la
lógica formal nos señala que mientras una línea contenga más puntos su
longitud será mayor. Se dice que el polvo de Cantor es más que una
colección de puntos pero menos que una línea. Por un lado Cantor compuso
este fractal, pero al mismo tiempo, estaba descubriendo, sin saberlo,
la estructura fractal de fenómenos como los finísimos anillos de
Saturno, las fluctuaciones del precio del algodón, hasta las variaciones
del nivel del río Nilo durante los últimos dos mil años1.
Posteriormente el matemático sueco H. Koch construyó en 1904 una
curva infinitamente irregular conocida como “curva de Koch”. La
estructura es asombrosa porque es finita (por ejemplo cabe en una hoja
de papel) pero es infinita al mismo tiempo. Si intentamos medir el
perímetro de esta curva encontraremos una cifra aproximada; pero si
observamos con lupa observaremos irregularidades o protuberancias que no
habíamos medido, utilizando un instrumento de medición más fino
obtendremos una nueva aproximación y así, hasta el infinito. La
dimensión de esta curva es fraccional (dimensión Hausdorff), lo que
quiere decir que se aproxima a un número sin llegar nunca a él. La curva
de Koch está lejos de ser una simple curiosidad para entretenerse de
la misma forma en que los niños ocupan el tiempo hurgando su nariz. El
perímetro de nubes, continentes, grietas, fallas, la membrana celular,
la membrana nasal, etc. son tan irregulares y contradictorios como la
increíble curva de Koch.
La “empaquetadura de Sierpinski” descrita por el matemático polaco
Waclaw Sierpinski en 1916, por ejemplo, es un triángulo equilátero
infinitamente agujereado con espacios en blanco -en forma de triángulo
invertido inserto- en el triángulo negro inicial; se repite,
sucesivamente, el proceso de “agujereado” con los 4 triángulos negros
que resultan en cada operación. El resultado es una estructura cuya suma
de los perímetros de los triángulos negros es infinito, mientras que
su área tiende a cero. Nuevamente se desafía a la lógica formal puesto
que en la matemática euclidiana el área aumenta en proporción al
perímetro. Aquí tenemos lo contrario. A este tipo de área se le conoce
como área Sierpinski.
La versión tridimensional de este monstruo es la “esponja de Menger”
pirámide infinitamente agujereada con espacios piramidales. Fue
compuesta por el matemático vienés Karl Menger en 1926, cuando
investigaba la “dimensión topológica” (matemática no euclidiana). El
área superficial de la pirámide es infinita mientras que el volumen
tiende a cero. El cerebro tiene volumen “Menger”, la Torre Eiffel es una
versión tosca del mismo fractal. Los átomos, por ejemplo, parecen
estar al borde de la no existencia y, al mismo tiempo, son uno de los
niveles básicos de la existencia. De acuerdo a los maravillosos
programas sobre ciencia de Enrique Ganem, para imaginar la evanescente
existencia del átomo podemos hacer la siguiente representación mental:
si el átomo de hidrógeno fuera del tamaño de la Ciudad de México el
núcleo de protones sería del tamaño aproximado de la plancha del
Zócalo, los protones serían del tamaño de un bolón de Básquet Bol; y el
electrón sería del tamaño del punto de una “i” situada a las afueras
de la Ciudad, protón que está y no está: se mueve a kilómetro y medio
por segundo dentro de su nivel de energía en un movimiento azaroso pero
determinado por la constante Plank. Así de contradictoria es la
dialéctica entre el ser y no ser.
Observemos un fascinante viaje al interior de una esponja de Menger.
Se entiende por qué se usan las dimensiones fractales para los efectos
especiales de las películas de Hollywood.
Durante mucho tiempo los fractales no fueron
considerados más que como “casos patológicos” o curiosidades sin
interés; no fue sino hasta el desarrollo de los procesadores en los años
sesenta y setenta que los científicos pudieron construir estructuras
que implicaban una sucesión infinita de operaciones matemáticas
encontrando, con ello, patrones fractales asombrosos. Terminemos la
exposición de fractales con el que generó, a finales de los años
setenta, Benoit Mandelbrot, ingeniero de la IBM, estudiando las
propiedades de los Conjuntos de Julia; se trata de uno de los fractales
más asombrosos conocidos. El fractal de Mandelbrot es un fractal mucho
más complejo que los fractales “lineales” que se repiten a sí mismos
hasta el infinito. Se trata de un fractal irregular porque las
estructuras infinitas que contiene se repiten hasta cierto punto y dan
origen a nuevas estructuras y patrones infinitos que, al mismo tiempo,
siguen conteniendo de forma subordinada, en alguna de sus infinitas
protuberancias, al fractal original. En dialéctica a esto se le conoce
como “negación de la negación”.
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Lucha de Clases