Robots inteligentes que 'piensan' antes de actuar

El profesor Hasegawa con el robot | Foto: Afp

• Un sistema les permite conocer su entorno y resolver problemas.

Un grupo de científicos japoneses ha diseñado unos robots inteligentes capaces de pensar, aprender y decidir como llevar a cabo sus tareas antes de actuar. Los nuevos robots han alcanzado un punto aún más humano, pero este progreso también plantea ciertos problemas éticos.

Osamu Hasegawa, profesor asociado en el Instituto de Tecnología de Tokio, ha sido el encargado de diseñar un sistema que permite a un robot humanoide conocer su entorno y resolver los problemas a los que se enfrentará en él.

"La mayoría de los robots actuales son capaces de realizar tareas preprogramadas, pero saben muy poco sobre el mundo real en el que viven los humanos", apunta. "Nuestro proyecto es construir un puente entre el robot y el mundo real para que se comporten mejor cuando entren en contacto con los hombres", dice.

El robot tiene una "red neuronal incremental auto-organizados" (SOINN), es decir, una estructura que le permite acumular y utilizar el conocimiento para "deducir" cómo llevar a cabo tareas específicas en un particular. Es capaz de reconocer imágenes y sonidos y reproducir las acciones mediante el análisis del entorno.

Por ejemplo, si se le enseña al robot como verter agua en un vaso, él se encontrará estos objetos en diversas circunstancias y diferentes lugares, reconocerá los objetos y adaptará sus gestos al mundo que le rodea, aprenderá de sus acciones al controlar cada paso que dé y los resultados que obtenga.

Mejorar, ignorar

Estos robots capaces de pensar antes de actuar aprenden a pedir ayuda cada vez que se enfrentan a una tarea superior a sus capacidades. Una vez aprenden las nuevas habilidades requeridas, el robot puede ser reutilizado para otros fines, lo que requiere una mayor reflexión para determinar qué habilidades pueden ser útiles en función de cada problema.

El robot vertiendo agua | Afp

Además, al igual que ocurre con los humanos, el sistema permite a la máquina ignorar el 'ruido', la información insignificante que podría confundirles. Sabe diferenciar la información de interés de la que contamina. Durante una conversación, el ser humano es capaz de ignorar el ruido y centrarse en lo que dice el orador o localizar visualmente lo que desea observar en una escena a pesar de que exista una gran cantidad de objetos.

Además, el ser humano es capaz de identificar un objeto desde varios ángulos, por deducción, y no sólo aquellos que ya ha visto y recordado. "El cerebro humano hace estas actividades de manera tan natural y automática que ni siquiera nos damos cuenta de que hay que realizar un proceso de reconocimiento extremadamente complejo visual o de audio", dijo Hasegawa.

Por su parte, el robot utiliza Internet para almacenar la información nueva. "Hay una gran cantidad de datos disponibles en Internet, pero en la actualidad, sólo los seres humanos hacen uso de ella", dice el científico que decidió darle al robot la posibilidad de conectar directamente su cerebro a la enorme base de conocimiento que es la red.

Problemas éticos

En el futuro, el sistema neuronal artificial de la máquina podría encontrar una gran variedad de usos para mejorar el rendimiento en tiempo real de la máquina y que dispongan de una mayor capacidad de ayudar al hombre en sus tareas diarias. "Podríamos tener un robot que pusiera en la mesa de sushi el bote de sushi. A continuación, el robot podría consultar directamente en Internet la imagen de distintas botellas de salsa de sushi, identificar el objeto y encontrarlo en la cocina", explica el profesor.

Sin embargo, el propio científico reconoce que el crecimiento constante de las tecnologías robóticas plantea ciertos problemas éticos. Hasegawa apunta que se debe reflexionas sobre las tareas requeridas por estos robots 'inteligentes' para que sus acciones no se vuelvan contra los seres humanos que las crearon, como ocurre en la película '2001: Una odisea en el espacio'.

El profesor lo explica con un ejemplo: "un cuchillo es una cosa útil, pero también puede convertirse en un arma". Por lo tanto, advierte que hay que tener cuidado y debatir con personas de diversos orígenes que uso se hace de estas tecnologías.

Fuente:

El Mundo Ciencia

Los grandes problemas de la física teórica actual

Hace tiempo que llevo barajando escribir un post sobre la Teoría de Cuerdas, que considero es un tema muy interesante desde el punto de vista sociológico. Como preludio a ese grandioso post (XD) he decidido escribir otro antes explicando cuales son los temas candentes en física que a todos nos gustaría resolver.

La lista es muy similar a la que hay en el libro The Trouble with Physics, de Lee Smolin. Imagino que habrá más en otros libros.

1. El problema de la unificación

Antes de empezar con la teoría en si veamos para que se creo. Obviamente las teorías científicas no salen de la nada, se crean para responder a algún problema. Y el problema en cuestión aquí es la unificación de la Física Cuántica y la Relatividad.

Por unificación se entiende cuando hay dos teorías que explican fenómenos en apariencia diferente y a alguien se le ocurre la manera de englobarlo todo en una sola teoría. Esto a priori podría parecer un simple capricho, pero no lo es en absoluto. Al unificar dos teorías se pueden descubrir nuevos fenómenos que antes no nos imaginábamos que ocurrieran, nuevos métodos y predicciones.

Como ejemplo de unificación tenemos el caso de Faraday y Maxwell. Gracias a estos genios, dos fenómenos que aparentemente eran diferente, la electricidad y el magnetismo quedaron unificados en la Teoría Electromagnética. Esta nueva teoría quedó recogida en las famosas Ecuaciones de Maxwell, que describen el comportamiento de los campos eléctricos y magnéticos y como interaccionan entre sí. Esta teoría proporcionó un maravilloso método de cálculo para los fenómenos electromagnéticos, pero también predijo nuevos fenómenos, como la existencia de ondas electromagnéticas como la luz, pero que no podían ser vistas.

Está claro que una teoría unificadora es siempre algo muy interesante, entonces la pregunta es ¿qué queda por unificar? Básicamente las dos principales teorías de la física actual, la Física Cuántica y la Relatividad General. Estas dos teorías están consideradas las más acertadas dentro de la física. La cuántica estudia los objetos muy pequeños, como átomos, moléculas o partículas. La Relatividad, por su parte, estudia la gravedad, que sólo juega un papel relevante en objetos muy grandes, como la tierra o el sol. Cada una por su lado funcionan perfectamente y no ha habido aún ningún experimento u observación que las contradiga, el problema es que se basan en principios muy diferentes y difíciles de conciliar. La física cuántica trata el tiempo y el espacio como factores externos a la teoría, mientras que en relatividad son variables de la misma.

La pregunta ahora es: ¿Es esto un problema? Ya que la física cuántica trata las cosas muy pequeñas y la relatividad las cosas muy grandes, ¿no sería más sencillo dejarlas cada una en su campo? Por un lado esa podría ser una solución, pero los científicos somos muy curiosos y no nos convence. Por un lado ya he dicho que una teoría nueva nos podría descubrir nuevos fenómenos útiles para el ser humano. Desde un punto de vista más intelectual está el problema siguiente: las cosas muy grandes están compuestas de cosas muy pequeñas, así que la teoría que las describa debería ser la misma.

2. El problema de la medida

Como ya he dicho antes la Física Cuántica está considerada la mejor teoría científica de la humanidad. Su rango de acción es inmenso (desde las partículas elementales como el electrón, hasta los complejos fotosintéticos), no hay un solo resultado experimental que la contradiga y muchas cosas que se fabrican hoy en día es gracias a ella (cómo los láseres o los ordenadores). Sin embargo aún tiene una pequeña pega.

El problema es que como ya expliqué en el post sobre la coherencia, los sistemas cuánticos pueden estar en varios estados al mismo tiempo. La evolución de estos sistemas viene dada por la archifamosa Ecuación de Schrödinger (no hace falta entenderla, sólo saber que existe)

Sin embargo cuando miramos al sistema no lo vemos en múltiples estados, lo vemos en uno sólo. ¿Cómo puede ser eso? Eso ocurre porque la misma física cuántica dice que al medir el estado encontraremos sólo uno de los estados con una cierta probabilidad. El problema ahora es ¿cuándo el sistema evoluciona mediante la ecuación de Schrödinger y cuándo no? La respuesta es que si está aislado lo hace mediante la ecuación y si algo lo mide pasa a estar en un sólo estado.

El problema radica en la definición de "medir". Si un sistema cuántico evoluciona mediante la ecuación de Schrödinger cuando está aislado y yo considero la suma "sistema+aparato de medir" como un sistema en sí, debería evolucionar también mediante la ecuación, y eso no es lo que observamos. Esto ha dado muchos quebraderos de cabeza, como El Amigo de Wigner. También han surgido diferentes intentos de resolverlo, como la Interpretación de Muchos Mundos, que está a camino de la filosofía y la ciencia-ficción, o la interpretación de Zurek, reflejada en su libro Quantum Theory and Measurement.

En mi opinión el tema sigue aún abierto y es uno de los más importantes del momento.

3. Unificación de las fuerzas

En el universo hay cuatro fuerzas, que sepamos, la fuerza electromagnética, la interacción débil , la interacción fuerte y la gravedad. Como ya de ha mencionado la fuerza eléctrica y la magnética fueron consideradas cosas diferentes hasta que Maxwell las unificó, algo así se espera que pueda ocurrir con todas las fuerzas.

Ya hay bastantes indicios de que a ciertas energías la interacción débil se unifica con la electromagnética, formando lo que llamamos la interacción electrodébil, sin embargo las otras aún se resisten. Mencionar que la unificación de la gravedad con el electromagnetismo era el sueño de Einstein que no consiguió ver cumplido. Al igual que con la unificación de la física cuántica y la relatividad, esto también daría lugar a un marco nuevo donde estudiar nuevos fenómenos.

4. Cálculo de las constantes fundamentales del Universo

Todas las teorías existentes tienen unas determinadas variables que sólo se pueden calcular en el laboratorio. Ejemplos son la velocidad de la luz en el vacío, la masa de los electrones o la constante de Planck. Las teorías realmente no son muy útiles si no les añadimos esa información extra que nos permite comenzar a calcular cosas. La cuestión es ¿por qué son cómo son?

Hasta el momento no hay ningún método de calcular estas constantes, pero cada vez van siendo menos. A medida que surgen nuevas teorías se establecen relaciones entre unas constantes y otras, ahorrando así el tener que calcularlas todas. Sin embargo desde un punto de vista puramente fundamental la pregunta sigue abierta. Lo deseable sería poder tener una teoría que nos diera todos esos valores sin necesidad de calcularlos experimentalmente, pero hasta el momento no hay mucho.

5. La masa y energía oscura

Por último un problema cosmológico. Si queremos calcular la masa que hay en las galaxias tenemos dos maneras diferentes. La primera es simplemente mirar con los telescopios, calcular el brillo de lo que vemos y a partir de ahí calcular la masa. La segunda manera es un poco más complicada, según las leyes de Newton o la Relatividad, podemos calcular la masa a partir del movimiento de las estrellas de la galaxia. Con esto podemos hacer un gráfico de la velocidad de las estrellas a medida que te alejas del centro de la galaxia y comparar. El resultado, pues que no coincide, de ahí el problema

Fuente: Wikipedia

¿Cuál es la solución propuesta a este problema? La principal es la existencia de una materia que no podemos ver porque no interacciona con la luz, a esta hipotética materia se la denomina Materia Oscura. Hay muchos intentos actualmente para detectar esta materia oscura, pero hasta ahora no hay ningún resultado definitivo. También hay otras teorías alternativas, de las cuales la más famosa es la Teoría MOND, sin embargo la más aceptada es la materia oscura.

Por otro lado gracias a las observaciones del telescopio Hubble se llegó a un resultado impresionante. Como ya era sabido entonces el universo se expande, como descubrió el mismo Hubble, y era de esperar que la gravedad iría frenando esa expansión lentamente, sin embargo el telescopio espacial dio un resultado sorprendente, el universo se acelera. La solución propuesta actualmente es similar a la de la materia oscura, la existencia de una energía oscura que introducida en las ecuaciones de Einstein de la gravedad dan lugar a esta reaceleración.

Una pregunta lógica sería ¿y no podría ser un simple error de cálculo? Obviamente cuando se analizan las cantidades de materia y la aceleración del universo hay un margen de error, sin embargo los resultados son concluyentes: la mayoría del universo debe estar compuesto por materia y energía oscura.

Fuente: Wikipedia

La cuestión seguirá abierta hasta que se detecte de alguna manera esta materia y energía oscura, o hasta que alguien invente una nueva teoría que no las necesite. Por el momento no está zanjada la cuestión.

Así que esto es todo, estas son en mi opinión las preguntas más interesantes de la física actual. Ahora resolverlas no es tan fácil como escribir sobre ellas, me temo. Si os animáis ahí están para todos.

Tomado de:

Manzanas entrelazadas

¿No tienes dinero? Si resuelves alguno de los siguientes problemas, te darán un millón de dólares

Hay siete problemas matemáticos (bueno, ahora quedan seis) que tienen premio, como en los concursos de la tele. Y un premio nada desdeñable: un millón de dólares para el que resuelva alguno de ellos. Y una medalla Fields de propina (el equivalente al premio Nobel en matemáticas).

Son los llamados Problemas del Milenio, seleccionados y premiados por el Instituto Clay en el año 2000, un siglo después de los Problemas de Hilbert, enunciados por el famoso matemático David Hilbert en 1900 y cuyo tratamiento y resolución dieron un gran impulso a las matemáticas del siglo XX.. Así que si se os da bien las matemáticas, adelante. El más antiguo de ellos fue formulado en 1859, y aún no ha sido resuelto, así que tened en cuenta que son bastante esquivos.

Uno de ellos ya fue resuleto por genio matemático ruso Grigori Perelman en 2006, pero ya sea por rarito o porque no tenía una hipoteca que pagar, el tipo rechazo el dinero y la medalla. Concretamente resolvió la Conjetura de Poincaré.

Los problemas que quedan por resolver son los siguientes:

1.- Las ecuaciones de Navier-Stokes. Describen el movimiento de los líquidos y gases. Si bien éstas fueron formuladas en el siglo XIX, todavía no se conocen todas sus implicaciones, principalmente debido a la no linealidad de las ecuaciones y los múltiples términos acoplados.

2.- Existencia de Yang-Mills y del salto de masa. Describe partículas con masa positiva que poseen ondas clásicas que viajan a la velocidad de la luz. Este es el salto de masa. El problema es establecer la existencia de la teoría de Yang-Mills y un salto de masa.

3.- La hipótesis de Riemann. Dice que todos los ceros no triviales de la función zeta de Riemann tienen una parte real de 1/2.

4.- La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer. Trata sobre un cierto tipo de ecuación que define curvas elípticas sobre los racionales. La conjetura dice que existe una forma sencilla de saber si esas ecuaciones tienen un número finito o infinito de soluciones racionales.

5.- P versus NP. Consiste en decidir si la inclusión entre las clases de complejidad P y NP es estricta.

6.- La conjetura de Hodge. Dice que para variedades algebraicas proyectivas, los ciclos de Hodge son una combinación lineal racional de ciclos algebraicos.

Suena un poco críptico, pero si no fuera así... no darían un millón de dólares.

Tomado de:

Xakata Ciencia

Interesante ¿verdad?

Conocer Ciencia: Ciencia sencilla, Ciencia divertida, Ciencia fascinante...

Matemática: El problema de las tres puertas

Supón que estás en un concurso, y se te ofrece escoger entre tres puertas: detrás de una de ellas se encuentra el coche de tus sueños, y detrás de las otras, mulas. Escoges una puerta, digamos la nº1, y el presentador, que sabe lo que hay detrás de las puertas, abre otra, digamos la nº2, que contiene una mula. Entonces te pregunta: “¿No prefieres escoger la nº3?”.

¿Qué es mejor para ti?

A. Mantener tu elección inicial (es decir, abrir la nº1)
B. Cambiar tu elección inicial (abrir la nº3)
C. Piensas que ninguna opción es mejor o peor que la otra

Ahora, rápidamente, vayan a los comentarios, y sin leer las respuestas del resto de lectores añadan la suya propia (A, B o C). Si lo desean pueden también explicar el porqué de su elección. Lo prometo: una de las tres es la opción correcta. Yo mañana actualizaré la entrada, desvelando la interesante solución del enigma.

Actualizado: He añadido la solución al problema, no la lean sin antes dar una respuesta.

Solución: El Problema de Monty Hall
Lo expuesto hasta ahora es en realidad el enunciado de un famoso ejercicio de probabilidad conocido como el problema de Monty Hall. Dicho dilema está inspirado por un concurso televisivo estadounidense, y su nombre proviene del nombre del presentador, Monty Hall.

En un primer instante la lógica nos invita a pensar que la opción correcta es la C, es decir, cambiar o no cambiar da igual, pues quedando sólo 2 cajas, una buena y otra mala, las probabilidades de que el premio esté en una u otra es del 50%. Pero ese razonamiento es incorrecto. Para no aburriros con una demostración pesada o difícil de entender lo haremos mirando todas las posibles combinaciones de las puertas:

Asumamos que eliges la puerta 1. En un principio tienes 1/3 de probabilidades de acertar. Pero (y esta es la clave) el presentador sabe que hay detrás de cada puerta.
En el caso A y B, el presentador te abrirá las puertas 2 y 3 respectivamente (lo que hace que sólo quede una puerta con mula)… si se fijan en esos dos casos lo acertado para conseguir el coche es cambiar de puerta. Sólo en el caso C no te conviene cambiar. Por lo tanto de las tres combinaciones posibles… en dos es bueno cambiar (2/3), y sólo en una (1/3) es malo. ¿Sorprendido verdad? Tus posibilidades de ganar aumentan del 33% al 66% si cambias de puerta después de que te muestren una incorrecta.
Si aún no les queda claro pueden leer la entrada que la Wikipedia dedica a este problema.

Fuente:

Arte y Matemáticas

John von Neumann, la calculadora humana

Martes, 20 de julio de 2010

John von Neumann, la calculadora humana

Problema de la mosca y los trenes. | Fuente imagen: Revistasacitametan.

John von Neumann (1903-1957) [matemático y científico húngaro, nacionalizado estadounidense] era bien conocido por su asombrosa y casi instantánea capacidad de cálculo. Para que el lector se haga una idea de esta increíble capacidad de von Neumann, expongo una anécdota relacionada con un problema matemático que tiene dos formas de resolverse, una sencilla y otra compleja. Veamos el enunciado:

Dos trenes separados por 200 kilómetros se mueven el uno hacia el otro por la misma vía. La velocidad de ambos trenes es de 50 kmh. En el momento inicial, una mosca situada en el morro de uno de los trenes comienza a volar hacia el otro, en viajes de ida y vuelta, a una velocidad de 75 kmh. Lo hace repetidamente hasta que ambos trenes chocan entre si matando a la mosca. ¿Qué distancia ha recorrido volando el insecto?

En realidad la mosca toca cada tren un número infinito de veces antes de morir aplastada, y uno podría resolver el problema a la manera difícil, usando lápiz y papel para sumar la serie infinita de distancias. Sin embargo el método simple funciona así:

Como los trenes están separados 200 km entre si, y cada uno viaja a 50 kmh, en dos horas cada uno habrá recorrido 100 km chocando en el punto intermedio. Por tanto, la mosca voló durante dos horas. Como sabemos que la mosca volaba a 75 kmh, es sencillo inferir que debió haber volado 150 km. Eso es todo lo que hay que hacer.

Cuando alguien le presentó este problema a John von Neumann, este respondió inmediatamente: “150 kilómetros“.

La persona que le hizo la pregunta, asombrada, respondió: “Es muy extraño, pero casi todo el mundo intenta resolverlo sumando la serie infinita“.

“¿Qué quiere decir con extraño?” respondió Von Neumann. “¡Así es como yo lo he hecho!”

Fuente:

Amazing

Einstein y...los experimentos mentales

Lunes, 14 de junio de 2010

Einstein y...los experimentos mentales

Si bien casi todo el mundo se ha planteado alguna vez un “¿qué pasaría si…?” para intentar resolver un problema, pocas personas han sabido sacarle tanto provecho como Albert Einstein. Einstein llevó estos Gedankenexperimenten, como él los llamaba siguiendo a Mach, a nuevas cotas, creando formas únicas de visualizar un problema que no requerían que se llevase a cabo una prueba física.

Los experimentos mentales no eran nada nuevo para los científicos, aunque pocos los elevaron a la categoría de arte como Einstein. Uno de los pensadores más admirados por Einstein, Ernst Mach, también basaba buena parte de su trabajo en esos juegos mentales, y es posible que Einstein le imitase desde una edad bastante temprana. En sus “Notas autobiográficas”, Einstein describe uno de sus experimentos mentales más fructíferos, con el que jugueteó por primera vez cuando tenía dieciséis años. Imaginó como sería ir montado en un rayo de luz.

Viajando a esas velocidades tan increíbles, la misma velocidad que la misma luz, ¿qué vería uno? ¿Qué aspecto tendría una onda electromagnética? ¿Parecería congelada en su movimiento? ¿Qué pasaría si uno iba montado en un rayo de luz que se alejaba de un reloj? Volviendo la vista atrás, el reloj parecería estar congelado, ya que las nuevas ondas de luz que te mostrarían un cambio en el tiempo marcado no te podrían alcanzar. ¿Qué implicaba esto para el tiempo mismo? Preguntas como estas estuvieron revoloteando por la cabeza de Einstein durante años, y encontraron una respuesta en 1905, cuando en varias semanas alumbró la teoría especial de la relatividad. Su nueva teoría afirmaba que incluso si estás viajando a velocidades cercanas a la de la luz, nunca podrás percibir la luz como congelada. En vez de eso, parecerá que se aleja de ti a los mismos 300.000 km/s de siempre. La teoría también decía que si el tiempo parecía estar congelado detrás de ti, entonces desde tu perspectiva ese marco de referencia estaba congelado, anclado para siempre en ese punto.

La teoría general de la relatividad de Einstein también tuvo su germen en un experimento mental, uno al que Einstein se refirió como “el pensamiento más feliz de mi vida”. Tras la publicación de la teoría especial de la relatividad, que describía tan bien cómo se movía la luz, Einstein quería aplicar el concepto a la gravitación. El problema era que la gravitación causaba aceleración y eso parecía bastante diferente a la luz y su única velocidad. Al igual que el anterior, este problema, de una forma vaga, rondó la cabeza de Einstein durante años.

Un día imaginó qué sentiría si estuviese cayendo libremente. De forma muy parecida a ir montado en un rayo de luz, visualizó montar la fuerza de la gravedad y se dio cuenta de que en un una caída libre uno no sentiría la gravedad. Por ejemplo, si Alicia cierra sus ojos mientras cae por la madriguera de conejo más vertical y larga que han conocido los siglos, y no pudiese ver pasar los juegos de té en las estanterías mientras cae, y si, de alguna manera no pudiese sentir el viento, no se daría cuenta que está realmente cayendo. Démonos cuenta que no cae a una velocidad constante, sino que va uniformemente más rápido, acelerándose debido a la gravedad. A pesar de ello, ella sentiría que está simplemente suspendida en el espacio. Si ella, estando en movimiento uniformemente acelerado, sentía lo mismo que si estuviese quieta, entonces, de repente, Einstein tenía el punto de partida para relacionar su marco de referencia en aceleración con el de alguien en reposo observándola. Si los dos marcos de referencia se percibían iguales, Einstein podía crear ecuaciones partiendo de la hipótesis de que eran idénticos. La teoría general de la relatividad nació poco después.

Tras la teoría general de la relatividad Einstein dedicó su atención a la física atómica e hizo uso de sus Gedankenexperimenten una vez más. Todavía se recuerdan sus ardientes disputas con Niels Bohr acerca de cómo interpretar la nueva mecánica cuántica e, invariablemente, Einstein empleó experimentos mentales para apoyar sus ideas. Desde rayos de luz atravesando rendijas a cajas colgando de una balanza, Einstein empleó tantas situaciones como pudo para intentar convencer a Bohr y sus colegas. Uno de los últimos grandes artículos [1] de Einstein, escrito con Boris Podolsky y Nathan Rosen, es un experimento mental que hoy día se conoce como la paradoja EPR, en la que se visualizan dos partículas que están a varios kilómetros de distancia y, sin embargo, son capaces de comunicarse a una velocidad superior a la de la luz. Este Gedankenexperiment fue respondido por Bohr [2], al igual que tantos otros de los experimentos mentales cuánticos, de una manera que no satisfizo necesariamente a Einstein, pero sí al resto de la comunidad científica. Paradójicamente, muchos de los experimentos mentales de Einstein que tuvieron que ver con la mecánica cuántica terminaron ayudando a cimentar la nueva dinámica en los cerebros de sus defensores, exactamente lo contrario de lo que pretendía Einstein.

El famoso historiador de la ciencia Gerald Holton, que ha estudiado a Einstein de forma exhaustiva y ha intentado describir qué hizo a su cerebro tan creativo y fructífero, cree que estos experimentos mentales son parte de la respuesta. Einstein tenía la capacidad de visualizar soluciones a hipótesis tan vívidamente que podía resolver problemas complejos en su cabeza. Los experimentos mentales puede que hayan sido la clave de su genio.

Referencias:

[1]

Einstein, A., Podolsky, B., & Rosen, N. (1935). Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete? Physical Review, 47 (10), 777-780 DOI: 10.1103/PhysRev.47.777

[2]

Bohr, N. (1935). Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality be Considered Complete? Physical Review, 48 (8), 696-702 DOI: 10.1103/PhysRev.48.696

Fuente:

Experientia Docet

Resolución de problemas al estilo chimpancé

Lunes, 07 de junio de 2010

Resolución de problemas al estilo chimpancé

Un poco viejo, pero quienes no lo hayan visto soltarán un WTF!! al ver la ingeniosa solución:

Chimpanzee Problem Solving [1 min.]

No se por qué estoy convencido de que muchas personas no superarían la prueba…

(Vía Cynical-C)

Solucionar problemas complejos mediante comunidades de bacterias

Martes, 01 de junio de 2010

Nuevo sistema para la solución de problemas complejos por comunidades de bacterias

Recopilación de diseños y resultados de los distintos desarrollos de esta investigación.

Un nuevo sistema para la resolución de problemas complejos de forma autónoma por una comunidad de bacterias, que constituye un paso adelante en la conformación de una nueva disciplina científica llamada biología sintética, ha sido desarrollado en la Facultad de Informática de la Universidad Politécnica de Madrid (FIUPM).

Los algoritmos diseñados para este cometido ayudan a la sincronización necesaria entre bacterias distintas, basándose para ello en las capacidades y los mecanismos de comunicación que las bacterias muestran en estado natural, como son la conjugación bacteriana y el quórum sensing.

La conjugación bacteriana es el proceso de transferencia de información genética desde una célula donadora a otra receptora. El quórum sensing es un mecanismo de control de expresiones genéticas dependiente de la densidad celular.

Manipulando la comunicación bacteriana

El nuevo sistema desarrollado en el marco de esta investigación modifica y manipula estos mecanismos de comunicación entre bacterias para conseguir computaciones con rudimentarios sistemas de toma de decisiones.

Entre los ejemplos de cómputo a los que se someten las nuevas arquitecturas diseñadas caben destacar la resolución de problemas complejos de forma autónoma por una comunidad de bacterias, o el diseño de un oscilador poblacional modelado a semejanza de la arquitectura cliente/servidor.

La arquitectura cliente/servidor, tan importante en las ciencias de la computación, es un modelo para el desarrollo de sistemas de información en el que las transacciones se dividen en procesos independientes que cooperan entre sí para intercambiar información, servicios o recursos.

Aplicacione médicas y ecológicas

Las aplicaciones del sistema, que ha sido validado tanto a nivel biológico (conocimiento experto) como computacional (simulación), abarcan campos científicos tan diversos como la medicina o la ecología.

La investigación ha centrado su desarrollo en el diseño de arquitecturas de comunicaciones para comunidades de bacterias multi-cepa. Por un lado, ha diseñado una comunidad heterogénea que utiliza la conjugación bacteriana como protocolo de comunicaciones fundamental.

Esta comunidad heterogénea se basa en la idea de diferenciar las instrucciones computacionales almacenadas en el cromosoma bacteriano de los conjuntos de datos almacenados en vectores plasmídicos. Los plásmidos, vectores o también llamados plasmidios, son moléculas de ADN extracromosómico circular o lineal que se replican y transcriben independientes del ADN cromosómico.

Lea el artículo completo en:

SINC

El problema de los dos sobres

Sábado, 17 de marzo de 2010

El problema de los dos sobres

Imagina por un momento que se te acerca un desconocido y te entrega un sobre cerrado con dinero en su interior. Y que, antes que puedas reponerte de la sorpresa ante semejante actitud, te ofrece cambiarlo por otro que lleva con él, sabiendo que el nuevo sobre puede tener o bien el doble de dinero que el otro, o bien la mitad. ¿Qué deberías hacer? Si alguna vez te encuentras ante tan poco probable situación, estarás enfrentando el problema de los dos sobres, una curiosa paradoja estadística que debes conocer.

Hay situaciones ante las que conviene estar preparado. Dejando de lado que es muy poco probable que alguien te haga una oferta como la anterior, en caso de que te enfrentes a un dilema similar -participando de algún concurso, por ejemplo- seguramente te gustaría sacar el mejor provecho posible a la oferta que te plantean. El problema de los dos sobres, uno de esos maquiavélicos inventos que los matemáticos y filósofos utilizan para torturamos, es el siguiente: nos dan a elegir entre dos sobres con dinero, diciéndonos que uno tiene el doble de dinero que el otro. Una vez que elegimos uno, nos dan la opción de cambiarlo por el otro. ¿Qué debemos hacer para obtener la mayor ganancia posible? ¿Es más conveniente quedarse con el sobre elegido en primer lugar o, por el contrario, conviene más hacer el cambio? Eso es lo que trataremos de determinar.

El problema de los dos sobres no es más que una curiosa paradoja.

Supongamos que la cantidad de dinero que hay en el sobre que elegimos primero es A. Eso significa que el otro sobre tiene una probabilidad del 50% de poseer el doble de ese monto (2A) y el 50% de tener la mitad (A/2). Como ambas situaciones son igualmente probables, la “esperanza matemática” de la cantidad que contiene la otra caja es

0,5*2A + 0,5*A/2 = 1,25A

Es decir, si cambiamos de sobre, obtenemos un 25% de ganancia. ¿Estupendo, verdad? Pero antes de que salgas corriendo a cambiar el sobre, deberías pensar un poco. En efecto, el razonamiento anterior puede hacerse exactamente igual si hubieses elegido el otro sobre, por lo que quizás cambiarlo no sea tan buena idea después de todo. Pero, ¿dónde está el fallo?

Veamos un ejemplo concreto. Supongamos que en el sobre elegido hay 1000 euros. Eso significa que es igualmente probable que en el otro haya 500 o 2000 euros. Por lo tanto, si cambio el sobre elegido por el otro, o bien pierdo 500 o bien gano 1000. Puesto que lo que puedo ganar es mayor (el doble, de hecho) de lo que puedo perder, no hay dudas de que me conviene cambiar el sobre elegido por el otro. Pero la paradoja estriba en que el mismo argumento se puede aplicar al otro sobre. O peor aún: una vez cambiado el sobre, podría utilizar una y otra vez este argumento para seguir cambiando los sobres indefinidamente. ¿Cómo es posible que en ambos casos pueda ganar más de lo que pierdo si cambio el sobre?

En realidad, lo que ganas o pierdes es lo mismo.

En realidad, el fallo se produce al pensar que el monto que ganarás, si ganas, es mayor que el monto que perderás, si pierdes. En realidad, lo que ganas o pierdes es lo mismo. Si A es la cantidad de euros que contiene el sobre elegido en primer lugar y el otro tiene o 2A o A/2 euros, podemos llamar B a la diferencia de los importes en los dos sobres o, lo que es lo mismo, B es el menor de los dos montos, o -mejor aún- B = A. Si ganas en el intercambio (cambiando un sobre con A euros por uno con 2A euros) ganarás A euros. ¿Correcto? Y si pierdes en el intercambio (cambiando un sobre con 2A euros por uno que solo tiene A euros) estarás perdiendo A euros. Esto significa que el monto que puedes ganar o perder es el mismo y que no hay alguna ventaja en cambiar el sobre. Dado que la probabilidad de hallar el monto mayor es la misma si cambias o no el sobre, la paradoja desaparece. Esto significa que si alguien te ofrece un sobre con dinero, tranquilamente puedes tomarlo y marcharte sin esperar a que te ofrezcan cambiarlo por otro: la probabilidad de que ganes o pierdas en el intercambio son las mismas.

Fuente:

Neo Teo

Viajar te hace más inteligente

Martes, 06 de abril de 2010

Viajar te hace más inteligente

Por Víctor Lenore

Varios estudios coinciden en el diagnóstico.

La psicóloga Lile Jia, de la universidad de Indiana (Estados Unidos), escogió a unos cuantos alumnos y los dividió en dos grupos. A ambos les pidió que le hicieran una lista con todos los medios de transporte que se les ocurrieran. La diferencia es que a unos les dijo que se trataba de un trabajo normal de clase y a otros que el estudio era parte de una investigación de una universidad griega con la que estaban colaborando.

¿Resultados?
Los que pensaban que los deberes venían de Europa hicieron una lista mucho más larga. Sus compañeros se limitaron a medios de transporte actuales y de uso local, mientras que ellos mencionaron desde barcos antiguos (el trirreme) hasta naves espaciales. ¿Conclusión? Cuando piensas globalmente, se amplía el menú de opciones, encontrando más y mejores soluciones.

Otro experimento similar conducido por Jia obtuvo resultados parecidos. Proporcionó puzzles a dos grupos de personas distintas, diciendo a unos que las piezas venían de una juguetería local y a otros, que los habían enviado desde California.

Abre tu mente
Los que pensaban que el juego había llegado de lejos ofrecían más alternativas, lo que hacía más probable la resolución. ¿Qué tiene esto que ver con los viajes? Pensar que existe un mundo más allá de tu ciudad abre tu mente a nuevas posibilidades y puntos de vista.

A comienzos de este año dos instituciones dieron por finalizado el mismo estudio. Se trata de la escuela de negocios Instad (Francia) y el Instituto Kellogg de Dirección de Empresas (Chicago). Los dos coincidieron en los resultados: aquellos estudiantes que han vivido fuera de su país alcanzan un promedio de inteligencia un 20% superior a sus compañeros que no se han movido de casa.

El tiempo no es lo importante
También descubrieron que no tenía gran importancia la cantidad de tiempo que se hubiera pasado fuera, sino sólo el haber estado en contacto con una cultura distinta.

William Maddux, director del estudio de Chicago, resaltó las aplicaciones laborales del descubrimiento: "En un mundo cada vez más global e interconectado, hay que pensar fuera de los caminos habituales para triunfar en los negocios". Otros investigadores señalaron también que pasar tiempo fuera de tu entorno te ayuda a tomar distancia y pensar con mayor claridad sobre los problemas que tienes en casa.

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Yahoo Noticias

Matemática ¿Cómo escoger entre 100 personas?

Domingo, 14 de marzo de 2010

Matemática ¿Cómo escoger entre 100 personas?

La vida cotidiana de una persona la obliga a tomar decisiones. Muchas veces, aun cuando uno no lo detecte. Decisiones que involucran el trabajo, a quién votar, elegir una casa, una escuela, los compañeros, la novia/el novio, un viaje, una película, un libro, una comida.

Saber elegir es aprender a vivir mejor. Si uno logra saber qué películas ver y cuáles evitar, está contribuyendo a su calidad de vida aunque no sea tan evidente (y posiblemente, no tan importante). Pero elegir un trabajo sobre otro, o renunciar a alguno, sí puede tener importancia y generar consecuencias que uno quiere o bien no quiere.

Incluso casarse o tener hijos implican la toma de decisiones. ¿Por qué escribí todo esto? Porque el siguiente problema muestra cómo la matemática puede cooperar desde un lugar no muy explorado por nosotros. Si bien el ejemplo que voy a usar puede no ser el que usted tenga que utilizar en su vida, sin embargo, estoy seguro de que le va a agregar una perspectiva que quizá no tenía, y eso solo ya bastaría para que uno se sienta más potente. Aquí voy.

Supongamos que usted es jefe de personal de una empresa. Tiene que contratar a una persona para cubrir un cargo que quedó vacante. Se abre la inscripción y usted es quien tiene que tomar la decisión final. Si se presentan pocas personas, digamos una o dos o tres, o incluso cuatro, el mejor método consiste en que usted evalúe personalmente a cada uno de los candidatos y luego elija el mejor (con el criterio que asumo que usted tiene para tomar esas decisiones).

Pero supongamos que se presentan 100 personas (por poner un ejemplo). Una alternativa es entrevistarlos a todos. Este método es seguro, en el sentido de que usted va a encontrar al mejor para el cargo, pero consume muchísimo tiempo. Ni hablar si los postulantes son más de 100.

Por otro lado, si usted decidiera no entrevistar a nadie y elegir en forma aleatoria, la probabilidad de que usted elija al mejor se reduce a 1/100, o sea, a un 1 por ciento. Eso sí: no consume casi nada de tiempo.

Como usted advierte, éstas dos serían las posiciones extremas: entrevistar a todos vs. elegir al azar. Las dos tienen sus ventajas, pero ciertamente también desventajas. ¿Cómo hacer para diseñar una estrategia que le permita aumentar la probabilidad de 1/100 en el caso de 100 postulantes?

Aquí es donde la matemática tiene algo para decir. Primero, quiero adelantar algo, que aunque parezca obvio lo quiero escribir igual: no hay mejor método que entrevistar a todos y decidir cuál es el mejor. O sea, usted no va a encontrar en lo que sigue una mejora a ese método, sencillamente porque no existe.

Eso sí, el objetivo es tratar de mejorar la estrategia de elegir uno al azar, y lograr que la probabilidad, que en ese caso es de 1/100 = 0,01 o sea con un 1 por ciento de posibilidades de acertar (en el caso de 100 postulantes), se transforme en la más alta posible.

Dicho esto, quiero contar en qué va a consistir la “tal” estrategia. Lo que uno va a hacer es elegir un grupo de los 100 al azar... digamos 37 por poner un ejemplo. A esos 37 los va a entrevistar como si fueran los únicos postulantes que hay, y se va a quedar con el mejor de entre esos 37. Pero ése no va a ser el candidato elegido. No. Lo que usted tiene que hacer inmediatamente después es empezar a entrevistar a los 63 que siguen, hasta que encuentre uno que sea mejor que el que usted encontró entre los 37. Ese va a ser el candidato elegido.

Por supuesto, la/lo imagino con un montón de preguntas. ¿De dónde salió el número 37? ¿Quién dijo que eso permite obtener la mejor probabilidad de obtener al mejor candidato? ¿Quién dijo que ésta es la mejor estrategia? Y las preguntas podrían seguir y seguir. Y estaría muy bien que siguieran. Eso sí: yo voy a tratar de dar algunas respuestas, no todas obviamente.

El número 37 no es un número cualquiera. Es el número que resulta al hacer el análisis más fino. Pero lo que quiero (y puedo) hacer acá es poner un ejemplo con menos postulantes para verificar cómo funciona la estrategia (o método). Y luego, vuelvo al caso más general.

Un punto más: no voy a poder demostrar en el marco de este artículo el resultado que voy a proponer. Lo voy a explicar tanto como sea capaz, pero las herramientas necesarias exceden las que yo pueda usar acá. Sin embargo, eso no impide que se entienda perfectamente lo que hay que hacer, y cómo la matemática sirve como auxilio para resolver el problema que planteé más arriba. Ahora sí, acá va.

Lo que voy a hacer es suponer que uno tiene cuatro candidatos (y no 100), y mostrar cómo funciona el método. Esto debería dar la idea de lo que hay que hacer si uno tiene 100 (o la cantidad que sea). Supongamos que los candidatos recibieron un número: 1, 2, 3 y 4. Más aún: si usted hubiera podido entrevistarlos a todos, digamos que el orden de méritos hubiera sido este: 1234.

Es decir, el número 1 fue el mejor de los candidatos, el número 2 el segundo y así siguiendo. Pero el postulante 1 es quien debiera ser el elegido. Ahora bien: si uno no sabe cuál es el orden “correcto”, ¿cuántos posibles ordenamientos hay? En total, son 24:

Lo que uno quiere es encontrar una estrategia que le permita tener la mayor probabilidad posible de encontrar al candidato 1 (que es el mejor). Como uno no quiere entrevistarlos a todos, puede optar por una de estas cuatro alternativas:

a)

Elegir al primero de cada posible orden.

b)

Eliminar el primer candidato que aparezca y elegir el primero que sea mejor que el que uno descartó.

c)

Eliminar los dos primeros (pero recordando cuál es el mejor entre estos dos) y quedarse con el primero de los dos restantes que sea mejor que el mejor que uno descartó.

d)

Eliminar los tres primeros, y quedarse con el cuarto.

En el caso (a) uno sólo elegiría al número 1 en seis de los 24 casos posibles, que se corresponde con la primera fila de la tabla 1. O sea, se quedaría con el mejor solamente en el 25 por ciento de los casos (6/24 = ¼ = 0,25). ¿Qué pasaría en el caso (b), en donde uno elimina al primero, y se queda con el mejor de los tres restantes, que es mejor que el que descartó? Analicemos situación por situación:

Hasta acá, uno elige mal siempre. Sigo:

En esta situación, uno se queda con el mejor en 11 oportunidades sobre 24 casos posibles. O sea, la probabilidad de haber acertado es de 11/24 = 45,833... O sea, casi el 46 por ciento de los casos.

En el caso c) (la/lo invito a que usted haga el análisis), uno se queda con el mejor en 10/24 = 5/12 = 0,41666. O sea, acierta casi en el 42 por ciento. Y en el caso d), uno termina eligiendo el mejor en 6/24 = ¼ = 0,25, o sea en un 25 por ciento de los casos. Es decir, la estrategia b), que implica descartar al primero y luego seleccionar al primero que aparece mejor que el que eliminó es la óptima, y uno logra descubrir al mejor candidato en casi el 46 por ciento de los casos.

¿Y ahora, qué? Y si en lugar de ser cuatro candidatos fueran 100, ¿qué pasaría? La idea es, justamente, extrapolar lo que hice más arriba a cualquier número de postulantes. Pero tomemos el caso de 100 candidatos. Lo que uno tiene que hacer es:

1

Entrevistar a 37 candidatos cualesquiera.

2

Elegir el mejor de todos ellos (que llamo A).

3

Empezar a entrevistar a los que quedan hasta que aparece el primero que es mejor que A.

4

Ahí, detiene el proceso y selecciona ese candidato.

Como dije más arriba, no tengo las herramientas suficientes para poder explicar por qué el número que provee la mejor estrategia es el 37 (si los postulantes son 100). Es decir, con un poco de matemática (no muy sofisticada, solamente un poco por encima de lo imprescindible para entender lo que estoy escribiendo en este artículo), se puede deducir que si los candidatos son 100, basta con evaluar a 37 de ellos antes de tomar la decisión. Además, se puede demostrar que esta estrategia es óptima en el sentido que provee la mejor probabilidad de seleccionar al mejor de todos los candidatos sin tener que entrevistarlos a todos, cosa que uno logra en el 37,1 por ciento de las veces. Este 37,1 por ciento es mucho mayor que el 1 por ciento (que uno tenía en el caso de 100 aspirantes) que uno obtiene si elige uno cualquiera al azar. Y por supuesto, si el número de postulantes es mayor, ese 1 por ciento es aún más chico.

¿Estará uno dispuesto a usarla en la vida cotidiana? ¿Se sentiría usted satisfecho de hacerlo? No importa, en todo caso, lo que sirve es saber que hay herramientas que la matemática provee que ayudan a la toma de decisiones, y que permiten, dado el tiempo que uno tiene para hacer las evaluaciones, optimizar la probabilidad de elegir al mejor.

Fuente:

Página 12

Matemáticas, átomos, pelos y mocos

Jueves, 11 de marzo de 2010

Matemáticas, átomos, pelos y mocos

Problema de Fermi

En física se denomina problema de Fermi, pregunta de Fermi o estimación de Fermi, en homenaje al físico Enrico Fermi, a problemas que involucran el cálculo de cantidades que parecen imposibles de estimar dada la limitada información disponible.

En la enseñanza de la física se utiliza la denominación en problemas diseñados para enseñar análisis dimensional y cálculo de estimaciones, mostrando la importancia de identificar claramente las hipótesis utilizadas.

Más información en Wikipedia. (Incluye valiosos ejemplos)

Tengo la costumbre de emplear una de mis primeras clases de cada curso en enseñar a mis estudiantes a hacer cálculos que, aparentemente, pueden resultar imposibles de llevar a cabo. Esta aparente dificultad para llevarlos a buen fin viene dada por la falta de datos, de información relevante.

El físico de origen italiano Enrico Fermi (1901-1954), quien fue una de las cabezas más visibles en el desarrollo del célebre proyecto Manhattan, que concluiría con la construcción de la primera bomba atómica, poseía una asombrosa facilidad para resolver cierto tipo de problemas, como los que os describo en el primer párrafo. Partiendo de unos datos exiguos, era capaz de obtener unas buenas estimaciones, aproximaciones asombrosamente precisas a las soluciones de los problemas planteados. En su honor, a estos problemas o cuestiones se les llama problemas de Fermi. Y para resolverlos, Fermi trataba siempre de descomponer el problema original en otros más simples, lo desmenuzaba hasta que a cada uno de estos micro-problemas le podía asignar una respuesta sencilla.

Para explicaros en qué consisten estos problemas, os pondré tres ejemplos de los que suelo proponer a mis estudiantes. Son estos:

1. ¿Cuántos átomos hay en un cuerpo humano?

2. ¿Cuál es la longitud del pelo que hay en una cabeza femenina?

3. ¿Cuánta gente hay, ahora mismo en el mundo, hurgándose la nariz?

No me negaréis que tienen enjundia, ¿verdad? ¿Entendéis ahora por qué digo lo que digo en los párrafos anteriores? ¿Cómo diablos se puede dar una solución aproximada a semejantes preguntas? Pues, justamente eso, es lo que me dispongo a contaros ahora mismo.

Comencemos por la primera cuestión. ¿Cuántos átomos hay en un cuerpo humano? Veamos, el cuerpo está formado por una serie más o menos diversa de elementos químicos constituyentes, pero no sabemos exactamente cuántos hay de cada tipo. Sin embargo, sí conocemos que un gran porcentaje de nuestro cuerpo es agua. Tomemos, pues, como primera aproximación que todo nuestro cuerpo es agua. Aún siendo este porcentaje del 70%, esto no quiere decir que cometamos un 30% de error, ya que justamente ese otro 30% está formado por otros átomos, aunque no sean de agua. Bien, un conocimiento básico de química nos dice que cada molécula de agua posee tres átomos: dos de hidrógeno y uno de oxígeno. El siguiente paso modesto es saber cuánto pesa una molécula de agua o, lo que es lo mismo, cada átomo que la constituye. Esto también lo aprendimos en el colegio. En un mol de agua hay el número de Avogadro (unos 600.000 trillones) de moléculas y cada mol pesa 18 gramos. Únicamente nos resta asumir un peso medio para un cuerpo humano. Pongamos 70 kg. Resulta trivial deducir que en un cuerpo humano hay, pues, unos 3900 moles de agua y, por tanto, 10²⁸ átomos. ¡Problema resuelto!

Vamos ahora con la segunda de las cuestiones planteadas. Para intentar estimar la longitud total de los cabellos que pueblan una cabeza femenina (masculina también vale) se puede descomponer el problema en estos tres más sencillos: primero, averiguar el área del cuero cabelludo; luego, el número de cabellos por unidad de área y, finalmente, la longitud de un cabello típico. Veamos. La palma de una mano completamente extendida suele abarcar unos 20 cm. Una cabeza humana tiene un diámetro aproximado de un palmo. Si supongo que la forma de la cabeza es esférica y que el cuero cabelludo ocupa la mitad de ésta, utilizando la expresión del área de una esfera (4 veces pi por el cuadrado del radio de la misma), se obtiene que el cuero cabelludo ocupa una extensión de unos 600 centímetros cuadrados. El siguiente paso consiste en utilizar la imaginación o, alternativamente, arrancarse un par de pelos y comprobar que más o menos poseen una anchura (puesto uno a continuación del otro) de 1 mm en una regla graduada. Esto hace unos 400 cabellos por centímetro cuadrado en nuestro cuero cabelludo. Por lo tanto, multiplicando los dos números estimados hasta ahora, se tiene que en la cabeza hay unos 240.000 cabellos. Suponiendo que una mujer tiene, en promedio, su melena a la altura de los hombros y tomando para esta distancia unos 10 cm, se concluye que la longitud total de todo su cabello es de 24 km. Impresionante, ¿no?

La tercera y última cuestión es la que más me gusta de ellas. Aún sin cámaras de vigilancia puedo saber cuántas personas aproximadamente hay en este momento haciendo cochinadas, buscando petróleo en sus orificios nasales. Para ello, partiré de un principio matemático bastante obvio y que me dice que la fracción de tiempo que alguien emplea en una cierta actividad es igual a la fracción de gente que está realizando precisamente esa actividad en este mismo momento. Dicho más sencillamente, si yo empleo un 10% de mi tiempo en volar en avión, entonces más o menos el 10% de la población mundial estará volando en un determinado instante.

Bien, entonces la pregunta es ¿cuánto tiempo empleamos en hurgar nuestra nariz al cabo del día? ¿Diez segundos? Parece poco, ¿no creéis?. Veamos, ¿qué tal 1000 segundos? Por el contrario, parece demasiado, ¿no es cierto? Cojamos, pues, el orden de magnitud intermedio, es decir, unos 100 segundos al día (algo menos de 2 minutos). Si eliminamos de nuestro cálculo a la gente con un par de narices para compensar con los que se comen los mocos con frecuencia (los niños cochinos), y que mantienen la, seguramente equivocada, idea de que alimentarse de pelotillas parece ayudar al sistema inmunitario infantil a reconocer ciertos tipos de virus y bacterias perjudiciales (ver comentario de Sophie, más abajo), simplemente podremos establecer una proporción muy simple que nos proporcionará la solución a nuestro problema planteado originalmente. El cociente entre el número de hurgadores y la población mundial (redondeando, unos 6000 millones) tiene que ser igual al cociente entre el tiempo empleado en hurgarse y la duración de un día. El resultado, asombroso, sin duda: 10 millones de personas están ahora mismo recolectando, rascándose o arrancándose pelillos molestos.

¡Qué cosas asombrosas se pueden hacer con las matemáticas! ¡Hasta la próxima edición del Carnaval de Matemáticas!

P.D. Si os gustan este tipo de acertijos, problemas y cuestiones y queréis potenciar vuestro ingenio, encontraréis mucho más material en el libro de Lawrence Weinstein y John A. Adam titulado Guesstimation: Solving the world’s problems on the back of a cocktail napkin.

Tomado de: Física en la Ciencia Ficción

Resuelven un milenario problema matemático

Miércoles, 23 de septiembre de 2009

El problema de los números congruentes

El problema de los números congruentes lo planteó por primera vez el matemático persa Al-Karaji (953 - 1029). Su versión no tenía que ver con triángulos, sino que se planteaba en términos de números cuadrados, números que son cuadrados de enteros: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49… o cuadrados de números racionales: 25/9, 49/100, 144/25, etc. Él se preguntó: ¿para qué números enteros n existe un cuadrado a2 de forma que a2-n y a2+n también sean cuadrados? Cuando sucede esto, n se denomina un número congruente. El nombre proviene del hecho de que hay tres cuadrados que son un módulo congruente n. Al-Karaji se vio muy influido por las traducciones árabes de las obras del matemático griego Diofanto (c.210 - c.290), quien planteó problemas similares.

En los mil años siguientes, apenas se avanzó. En 1225, Fibonacci (conocido por la “Sucesión de Fibonacci” que lleva su nombre) demostró que 5 y 7 eran números congruentes, y afirmó (sin probarlo) que 1 no es un número congruente. Quien sí lo probó fue Fermat (conocido por el “Último teorema de Fermat”) en 1659. Hacia 1915, se habían determinado los números congruentes inferiores a 100; y en 1952, Kurt Heegner aplicó técnicas matemáticas profundas al asunto, hasta demostrar que todos los números primos de la secuencia 5, 13, 21, 29… son congruentes. Pero en 1980, aún quedaban por resolver casos inferiores a 1.000.

Esta es la noticia:

de Norteamérica, Europa, Australia y América del Sur han resuelto un complejo problema matemático, propuesto hace un milenio, y han encontrado miles de millones de soluciones. El hito ha sido posible gracias a una técnica que permite multiplicar números tan largos que si se escribieran todos los dígitos a mano en una hoja de papel ésta ocuparía dos veces la distancia que nos separa de la Luna. 

Según Brian Conrey, director del Instituto Americano de Matemáticas, “los viejos problemas como éste pueden parecer ‘oscuros’, pero generan gran cantidad de investigación útil e interesante, ya que los investigadores desarrollan nuevas formas de afrontarlos”. 

El problema resuelto consistía en determinar qué números enteros pueden ser el área de un triángulo rectángulo cuyos lados sean números enteros o fracciones. El área de dicho triángulo recibe el nombre de “número congruente”. Por ejemplo, el triángulo rectángulo cuyos lados miden 3, 4 y 5, muy típico en geometría, tiene un área de 1/2 x 3 x 4 = 6, con lo que 6 es un número congruente. El cálculo encontró 3.148.379.694 nuevos números congruentes. 

Los investigadores tuvieron un cuidado especial en verificar sus resultados, realizando el cálculo dos veces en diferentes ordenadores, utilizando algoritmos distintos y formando dos grupos independientes para redactarlos. El equipo de Bill Hart (Universidad de Warwick, en Reino Unido) y Gonzalo Tornaría (Universidad de la República, en Uruguay) utilizó el ordenador “Selmer” en la Universidad de Warwick, con la financiación del Engineering and Physical Sciences Research Council del Reino Unido. La mayor parte del código se redactó en un taller realizado en la Universidad de Washington en junio de 2008.

El equipo de Mark Watkins (Universidad of Sydney, en Australia), David Harvey (Courant Institute, NYU, en Nueva York) y Robert Bradshaw (Universidad de Washington, en Seattle) utilizó el ordenador “Sage” de la Universidad de Washington. Sage está financiado por la National Science Foundation de EE UU, y el código del equipo se desarrolló durante un taller realizado en el Centro de Ciencias de Benasque Pedro Pascual - CSIC en Benasque (Huesca) en julio de 2009.

Fuentes:

Muy Interesante

El Libre Pensador